2026屆四川省雅安市高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，，，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（）A. B.C. D.2．已知橢圓：的離心率為，則實(shí)數(shù)（）A. B.C. D.3．已知a，b為不相等實(shí)數(shù)，記，則M與N的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.不確定4．已知數(shù)列是等比數(shù)列，，是函數(shù)的兩個(gè)不同零點(diǎn)，則（）A.16 B.C.14 D.5．已知定義在區(qū)間上的函數(shù)，，若以上兩函數(shù)的圖像有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處切線相同，則m的值為（）A.2 B.5C.1 D.06．若函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，則m的取值范圍（）A. B.C. D.7．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是（）A B.C. D.8．橢圓的兩焦點(diǎn)之間的距離為A. B.C. D.9．已知、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，A是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，圓C與的延長(zhǎng)線、的延長(zhǎng)線以及線段相切，若為其中一個(gè)切點(diǎn)，則（）A. B.C. D.與2的大小關(guān)系不確定10．下列說法正確的個(gè)數(shù)有（）個(gè)①在中，若，則②是，，成等比數(shù)列的充要條件③直線是雙曲線的一條漸近線④函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，若，則是函數(shù)的極值點(diǎn)A.0 B.1C.2 D.311．圓心在直線上，且過點(diǎn)，并與直線相切的圓的方程為（）A. B.C. D.12．已知拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則（）A.4 B.2C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．桌面排列著100個(gè)乒乓球，兩個(gè)人輪流拿球裝入口袋，能拿到第100個(gè)乒乓球人為勝利者．條件是：每次拿走球的個(gè)數(shù)至少要拿1個(gè)，但最多又不能超過5個(gè)，這個(gè)游戲中，先手是有必勝策略的，請(qǐng)問：如果你是最先拿球的人，為了保證最后贏得這個(gè)游戲，你第一次該拿走_(dá)__個(gè)球14．在數(shù)列中，若，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式__________15．已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，那么它的前項(xiàng)和___________.16．記為等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，若，，則=_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等差數(shù)列滿足：，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及前n項(xiàng)和公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和18．（12分）已知兩動(dòng)圓：和：，把它們的公共點(diǎn)的軌跡記為曲線，若曲線與軸的正半軸的交點(diǎn)為，取曲線上的相異兩點(diǎn)、滿足：且點(diǎn)與點(diǎn)均不重合.（1）求曲線的方程；（2）證明直線恒經(jīng)過一定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)的坐標(biāo)；19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，為棱的中點(diǎn).（1）求直線與所成角的余弦值；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求二面角的余弦值.20．（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AB＝2，CD＝3，M為PC上一點(diǎn)，且PM＝2MC.（1）求證：BM∥平面PAD；（2）若AD＝2，PD＝3，∠BAD＝60°，求三棱錐P-ADM的體積21．（12分）已知，對(duì)于有限集，令表示集合中元素的個(gè)數(shù)．例如：當(dāng)時(shí)，，（1）當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出集合的子集的個(gè)數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，，都是集合的子集（，可以相同），并且．求滿足條件的有序集合對(duì)的個(gè)數(shù)；（3）假設(shè)存在集合、具有以下性質(zhì)：將1，1，2，2，··，，．這個(gè)整數(shù)按某種次序排成一列，使得在這個(gè)序列中，對(duì)于任意，與之間恰好排列個(gè)整數(shù)．證明：是4的倍數(shù)22．（10分）已知數(shù)列，，，且，其中為常數(shù)（1）證明：；（2）是否存在，使得為等差數(shù)列？并說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】計(jì)算出、的值，執(zhí)行程序框圖中的程序，進(jìn)而可得出輸出結(jié)果.【詳解】，，則，執(zhí)行如圖所示的程序，，成立，則，不成立，輸出的值為.故選：B.2、C【解析】根據(jù)題意，先求得的值，代入離心率公式，即可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以所以，解?故選：C3、A【解析】利用作差法即可比較M與N的大小﹒【詳解】因?yàn)椋?，所以，即故選：A4、B【解析】由題意得到，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到，化簡(jiǎn)，即可求解.【詳解】由，是函數(shù)的兩個(gè)不同零點(diǎn)，可得，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可得則.故選：B.5、C【解析】設(shè)兩曲線與公共點(diǎn)為，分別求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)兩函數(shù)的圖像有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處切線相同，列出等式，求得公共點(diǎn)的坐標(biāo)，代入函數(shù)，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)兩曲線與公共點(diǎn)為，其中，由，可得，則切線的斜率為，由，可得，則切線斜率為，因?yàn)閮珊瘮?shù)的圖像有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處切線相同，所以，解得或（舍去），又由，即公共點(diǎn)的坐標(biāo)為，將點(diǎn)代入，可得.故選：C.6、B【解析】用函數(shù)單調(diào)性確定參數(shù)，使用參數(shù)分離法即可.【詳解】，在上是增函數(shù)，即恒成立，；設(shè)，；∴時(shí)，是增函數(shù)；時(shí)，是減函數(shù)；故時(shí)，，∴；故選：B.7、D【解析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)大于，原函數(shù)單調(diào)遞增；導(dǎo)函數(shù)小于，原函數(shù)單調(diào)遞減；即可得出正確答案.【詳解】由導(dǎo)函數(shù)得圖象可得：時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，排除選項(xiàng)A、B，當(dāng)時(shí)，先正后負(fù)，所以在先增后減，因選項(xiàng)C是先減后增再減，故排除選項(xiàng)C，故選：D.8、C【解析】根據(jù)題意，由于橢圓的方程為,故可知長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)為,那么可知兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，因此可知兩焦點(diǎn)之間的距離為，故選C考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是將方程變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)式，然后結(jié)合性質(zhì)得到結(jié)論，屬于基礎(chǔ)題9、A【解析】由題意知，圓C是的旁切圓，點(diǎn)是圓C與軸的切點(diǎn)，設(shè)圓C與直線的延長(zhǎng)線、分別相切于點(diǎn)、，由切線的性質(zhì)可知：，，，結(jié)合橢圓的定義，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意知，圓C是的旁切圓，點(diǎn)是圓C與軸的切點(diǎn)，設(shè)圓C與直線的延長(zhǎng)線、分別相切于點(diǎn)、，則由切線的性質(zhì)可知：，，，所以，所以，所以.故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查圓與圓錐曲線的綜合，熟記橢圓的定義，以及切線的性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.10、B【解析】根據(jù)三角函數(shù)、等比數(shù)列、雙曲線和導(dǎo)數(shù)知識(shí)逐項(xiàng)分析即可求解.【詳解】①在中，則有，因，所以，又余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，故①正確，②當(dāng)且時(shí)，此時(shí)，但是，，不成等比數(shù)列，故②錯(cuò)誤，③由雙曲線可得雙曲線的漸近線為，故③錯(cuò)誤，④“”是“是函數(shù)的極值點(diǎn)”的必要不充分條件，故④錯(cuò)誤.故選：B.11、A【解析】設(shè)圓的圓心，表示出半徑，再由圓心到切線距離等于半徑即可列出方程求得參數(shù)及圓的方程.【詳解】∵圓的圓心在直線上，∴設(shè)圓心為(a，－a)，∵圓過，∴半徑r＝，又∵圓與相切，∴半徑r＝，則，解得a＝2，故圓心為(2，－2)，半徑為，故方程為.故選：A.12、B【解析】依題意可得，設(shè)，根據(jù)可得，，根據(jù)為拋物線上一點(diǎn)，可得.【詳解】依題意可得，設(shè)，由得，所以，，所以，，因?yàn)闉閽佄锞€上一點(diǎn)，所以，解得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了求拋物線方程，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】根據(jù)題意，由游戲規(guī)則，結(jié)合余數(shù)的性質(zhì)，分析可得答案【詳解】解：根據(jù)題意，第一次該拿走4個(gè)球，以后的取球過程中，對(duì)方取個(gè)，自己取個(gè)，由于，則自己一定可以取到第100個(gè)球.故答案為：414、【解析】由已知可得數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可得解.【詳解】解：由在數(shù)列中，若，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，重點(diǎn)考查了運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題.15、【解析】由題意知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求出首項(xiàng)，再利用等差數(shù)列求和公式即可得到答案.【詳解】已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，..故答案為：.16、18【解析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)和前n項(xiàng)和公式即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，解得，所以故答案為：18三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）【解析】（1）由，，列出方程組，求得，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用公式可得.（2）由（1）求得，結(jié)合“裂項(xiàng)法”求和，即可求解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋?，可得，解得，所以?shù)列的通項(xiàng)公式.（2）由（1）知，可得，所以數(shù)列的前項(xiàng)和：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解，以及“裂項(xiàng)法”求和的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是將的通項(xiàng)裂成兩項(xiàng)的差，利用裂項(xiàng)相消求和，屬于中檔題.18、（1）；（2）證明見解析，.【解析】（1）設(shè)兩動(dòng)圓的公共點(diǎn)為，則有，運(yùn)用橢圓的定義，即可得到，，，進(jìn)而得到的軌跡方程；（2），設(shè)，，，，設(shè)出直線方程，聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理法及向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，即可得到定點(diǎn).【小問1詳解】設(shè)兩動(dòng)圓的公共點(diǎn)為，則有由橢圓的定義可知的軌跡為橢圓，設(shè)方程為，則，，所以曲線的方程是：【小問2詳解】由題意可知：，且直線斜率存在，設(shè)，，設(shè)直線：，聯(lián)立方程組，可得，，，因?yàn)椋杂?，把代入整理化?jiǎn)得，或舍，因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)均不重合，所以直線恒過定點(diǎn)19、（1）；（2）；（3）.【解析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè).（1）寫出、的坐標(biāo)，利用空間向量法計(jì)算出直線與所成角的余弦值；（2）求出平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)，利用空間向量法可計(jì)算得出直線與平面所成角的正弦值；（3）求出平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)，利用空間向量法可求得二面角的余弦值.【詳解】平面，四邊形為正方形，設(shè).以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則、、、、、.（1），，，所以，異面直線、所成角的余弦值為；（2）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，由，可得，取，可得，則，，，因此，直線與平面所成角的正弦值為；（3）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，由，可得，得，取，則，，所以，平面的一個(gè)法向量為，，由圖形可知，二面角為銳角，因此，二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間角的常用方法：（1）定義法：由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對(duì)應(yīng)的三角形，即可求出結(jié)果；（2）向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過計(jì)算向量的夾角（兩直線的方向向量、直線的方向向量與平面的法向量、兩平面的法向量）的余弦值，即可求得結(jié)果.20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）過M作MN∥CD交PD于點(diǎn)N，證明四邊形ABMN為平行四邊形，即可證明BM∥平面PAD.（2）過B作AD的垂線，垂足為E，證明BE⊥平面PAD，在利用VP-ADM＝VM-PAD求三棱錐P-ADM的體積.【詳解】解：（1）證明：如圖，過M作MN∥CD交PD于點(diǎn)N，連接AN.∵PM＝2MC，∴MN＝CD.又AB＝CD，且AB∥CD∴AB∥MN∴四邊形ABMN為平行四邊形∴BM∥AN.又BM?平面PAD，AN?平面PAD∴BM∥平面PAD.（2）如圖，過B作AD的垂線，垂足為E.∵PD⊥平面ABCD，BE?平面ABCD∴PD⊥BE.又AD?平面PAD，PD?平面PAD，AD∩PD＝D∴BE⊥平面PAD.由（1）知，BM∥平面PAD∴點(diǎn)M到平面PAD的距離等于點(diǎn)B到平面PAD的距離，即BE.連接BD，在△ABD中，AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，∴BE＝則三棱錐P-ADM的體積VP-ADM＝VM-PAD＝×S△PAD×BE＝×3×＝.21、（1）8（2）454（3）證明見詳解【解析】（1）n元集合的直接個(gè)數(shù)為可得；（2）由已知結(jié)合可得，或，然后可得集合的包含關(guān)系可解；（3）根據(jù)每?jī)蓚€(gè)相同整數(shù)之間的整數(shù)個(gè)數(shù)之和與總的數(shù)字個(gè)數(shù)之間的關(guān)系可證.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，集合的子集個(gè)數(shù)為【小問2詳解】易知，又，所以，即，得，或，所以或1）若，則滿足條件的集合對(duì)共有，2）若，同理，滿足條件集合對(duì)共有2433）當(dāng)A=B時(shí)，滿足條件的集合對(duì)共有所以，滿足條件集合對(duì)共243+243-32=454個(gè).【小問3詳解】記，則1，1，2，2，··，，共2n個(gè)正整數(shù)，將這2n個(gè)正整數(shù)按照要求排列時(shí)，需在1和1中間放入1個(gè)數(shù)，在2和2中間放入2個(gè)數(shù)，…，在n和n中間放入n個(gè)數(shù)，共