專題L1空間向量及其線性運(yùn)算(舉一反三講義)

【人教A版(2019)]

題型歸納

【題型1空間向量的有關(guān)概念】.................................................................2

【題型2空間向量的加減運(yùn)算】.................................................................4

【題型3空間向量的線性運(yùn)算】.................................................................5

【題型4由空間向量的線性運(yùn)算求參數(shù)】.........................................................6

【題型5空間向量共線的判定】.................................................................10

【題型6由空間向量共線求參數(shù)或值】..........................................................12

【題型7空間向量共面的判定】.................................................................14

【題型8由空間向量共面求參數(shù)】...............................................................15

【題型9共線、共面向量定理的推論及應(yīng)用】....................................................17

舉一反三

知識點(diǎn)1空間向量的概念

1.空間向量的概念

(1)定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量.

⑵長度或模：向量的大小.

(3)表示方法：

①幾何表示法:空間向量用右向線段表示；

②字母表示法:用字母byC,…表示；若向量。的起點(diǎn)是人，終點(diǎn)是8,也可記作其模記為⑷或|成

I.

(4)凡類特殊的空間向量

名稱定義及表示

零向量長度為0的向量叫做零向量，記為0

單位向量模為1的向量稱為單位向量

相反向量與向量a長度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量,記為一。

共線向量如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么

(平行向量)這些向量叫做共線向量或平行向量.規(guī)定:對于任意向量a,都有0〃a

相等向量方向相同且模相等的向量稱為相笠囪量

【注】(1)空間中點(diǎn)的一個(gè)平移就是一個(gè)向量;

（2）數(shù)學(xué)中討論的向量與向量的起點(diǎn)無關(guān)，只與大小和方向有關(guān),只要不改變大小和方向，空間向量可在空

間內(nèi)任意平移，故我們稱之為自由向量.

【題型1空間向量的有關(guān)概念】

【例1】（24-25高二下?全國?課堂例題）下列關(guān)于空間向量的說法中正確的是（）

A.單位向量都相等

B.若悶=|引，則G,而勺長度相等而方向相同或相反

C.若向量而，而滿足同>|無則而,而

D.相等向量其方向必相同

【解題思路】根據(jù)向量的相關(guān)概念及向后的性質(zhì)，即可判斷各項(xiàng)的正誤.

【解答過程】對于A,單位向最長度相等，方向不確定，故A錯(cuò)誤；

對于B,同=間只能說明G,3的長度相等而方向不確定，故B錯(cuò)誤；

對于C,向量作為矢量不能比較大小，故C錯(cuò)誤；

對于D,相等向量方向相同大小相等，故D正確.

故選:D.

【變式1-1］（24-25高二上?全國裸后作業(yè)）下列說法正確的是（）

A.向晟麗與向量瓦（是相等向量

B.與實(shí)數(shù)類似，對于兩個(gè)向量優(yōu)b,有百二aa>b,五三種大小關(guān)系

C.向量的模是一個(gè)正實(shí)數(shù)

D.若兩個(gè)非零向量是共線向最，則這兩個(gè)向量所在的直線可以平行，也可以重合

【解題思路】根據(jù)相等向量的概念判斷A：根據(jù)空間向量的概念判斷B；根據(jù)空間向量模的定義判斷C；根

據(jù)共線向量的定義判斷D.

【解答過程】對于A,向量方與向量瓦5是相反向量，不是相等向量，因此A不正確；

對于B,與實(shí)數(shù)不一樣，兩個(gè)實(shí)數(shù)可以比較大小，而兩個(gè)向量不能比較大小，因此B不正確；

對于C,向量的模是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，因此C不正確；

對于D,若兩個(gè)非零向量是共線向量，則這兩個(gè)向量所在的直線可以平行，也可以重合，D正確.

故選:D.

【變式1-2］（24-25高二上?河南商丘?階段練習(xí)）給出下列命題：

①將空間中所有的單位向量平移到同一個(gè)點(diǎn)為起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓；

②在正方體力BCD-A181GD］中，必有彳工=而1

③若空間向量2,b,[滿足d=b,b=c,則d=c；

④空間中任意兩個(gè)單位向量必相等；

其中假命題的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【解題思路】根據(jù)空間向量的定義，逐個(gè)命題進(jìn)行判斷即可.

【解答過程】對于①，根據(jù)空間向量的定義，空間中所有的單位向量平移到同一個(gè)點(diǎn)為起點(diǎn)，則它們的終

點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)球面，故①為假命題；

對于②，根據(jù)正方體的定義，上下底面的對角線必定相等，結(jié)合向量的方向，所以前二運(yùn)，故②為真命

題；

對于③，根據(jù)向量相等的定義，明顯成立，故③為真命題：

對于④，向量相等即模相等和方向相同，故空間中任意兩個(gè)單位向量必相等是假命題，故④為假命題.

故選：B.

【變式1-3]（24-25高二上?山東,階段練習(xí)）給出下列命題：

①零向量的方向是任意的；

②若兩個(gè)空間向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同；

③若空間向量乙片滿足同=|同,則五=及

④空間中任意兩個(gè)單位向最必相等.

其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）

A.4B.3C.2D.1

【解題思路】根據(jù)零向量的定義判斷①，根據(jù)相等向量的定義判斷②③，根據(jù)單位向量定義判斷④.

【解答過程】零向量是大小為。的向量，零向量的方向是任意的，命題①正確；

方向相同，大小相等的空間向量相等，它們的起點(diǎn)不一定相同，終點(diǎn)也不一定相同，命題②錯(cuò)誤；

若空間向量￡石滿足@=|可，但由于它們的方向不一定相同，故,是不一定相等，③錯(cuò)誤；

空間中任意兩個(gè)單位向量由于它們的方向不一定相同，故它們不一定相等，④錯(cuò)誤；

所以正確的命題只有1個(gè)；

故選：D.

知識點(diǎn)2空間向量的線慢運(yùn)算

1.空間向量的線性運(yùn)算

空間向加法。+力=04+AB=08

量的線

減法a-b=OA~OC=CA

性運(yùn)算

當(dāng)乃>0時(shí)，).a=).OA=PQx

數(shù)乘!：IJ/Aa(A>0/)/Aa(A<())

當(dāng)/.<0時(shí)，2a=20/1=MN；

當(dāng)2=0時(shí),癡=0

交換律:“+》=b+a；

運(yùn)算律結(jié)合律:a+（b+c）=（a+5）+c,2（〃。）=（%，）。：

分配律:（i+4）。=癡+〃“，7（。+力）=2。+，力.

【注】（1）空間向量的運(yùn)算是平面向量運(yùn)算的延展，空間向量的加法運(yùn)算仍然滿足平行四邊形法則和三角形法

則，而且滿足交換律、結(jié)合律，這樣就可以自由結(jié)合運(yùn)算，可以將向量合并.

⑵向量的減法運(yùn)算是向量加法運(yùn)算的逆運(yùn)算,滿足三角形法則.

（3）空間向量加法的運(yùn)算的小技巧：

①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量，因此，求空間若干向量

之和時(shí)，可通過壬移使它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量；

②首尾相接的若干向晟若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為零向量.

【題型2空間向量的加減運(yùn)算】

【例2】（24-25高二上?北京?階段練習(xí)）如圖，在平行六面體力BCD-AaGDi中，AB-AD-AA^=（）

A.溫B.A^CC.用D.西

［解題思路】根據(jù)空間向晟加減法法則計(jì)算.

【解答過程】由題意萬一而一苑=彳§一（而+麗>）=前一麗=用，

故選：C.

［變式2-11（24-25高二上?陜西漢中?階段練習(xí)）已知H,/,/,K是空間中互不相同的四個(gè)點(diǎn)，則市+虧一麻=

（）

A.~HKB.1<JC.~KID.Tj

【解題思路】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算的運(yùn)算法則直接計(jì)算.

【解答過程】可+萬一麻二市+7+而=可+而二可，

故選:B.

【變式2-2]（24-25高二上?云南昭通?期中）在四面體04BC中，OA+AB+BC-AC=（）

A.OCB.OAC.ABD.AC

【解題思路】利用空間向量的加減運(yùn)算計(jì)算即可.

【解答過程】根據(jù)向量的加法、減法法則,得而+而+近-讖=沆-照=醞+褊=耐，

故選:B.

【變式2-3]（24-25高二上?貴州黔西?階段練習(xí)）在空間四邊形4BC0中，下列表達(dá)式化簡結(jié)果與而相等的

是（）

A.AC+CDB.AC+BC

C.DC+CB-DAD.AC+~BD-BC

【解題思路】利用空間向量加減法運(yùn)算法則，逐項(xiàng)分析判斷即可.

【解答過程】在空間四邊形4BCD中，

對TA,AC+CD=AD^AB,A錯(cuò)誤；

對于B,AC+JC^AB,B錯(cuò)誤；

對于C,DC+CB-DA='DB-DA=AB,C正確；

對于D,而+而一麗=而+而=而上而，D錯(cuò)誤.

故選：C.

【題型3空間向量的線性運(yùn)算】

[fl3]（24-25高二下?河南?階段練習(xí)）在四面體力8co中，￡為極BC的中點(diǎn)，則石5-乂而+反）=（）

A.-AEB.-ABC.AED.AB

【解題思路】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可求解.

【解答過程】DA-+DC)=DA-^2DE)=DA-DE=EA=-AE,

故選:A.

c

【變式3-1］（24-25高二上?河南南陽?階段練習(xí)）求但+23一33+3x（|&-/+|9-Q-2族+1）為

（）

A.2a+-b-2cB.2a+-b-2c

22

c—?N—

C.2a-^b-2cD.2a-^b-2c

22

【解題思路】根據(jù)向量的數(shù)乘運(yùn)算以及加減運(yùn)算的性質(zhì)，求解即可得出答案.

【解答過程】原式=G+3x—&+2b—3xgb+28—3下+3x：不一不=2d+b—2c.

故選:B.

【變式3?2】（24-25高二?全國?課后作業(yè)）化簡：*2石一？+4；）-5（冢一/+冢）+2倒+6+曉）.

【解題思路】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算及運(yùn)算律即可求解。

【解答過程】原式二a—1b4-2c--yc4-2a+2b+c=—^a+4b—

【變式3-3］（24-25高二上?山東荷澤?階段練習(xí)）如圖，在正方體力8CD—4B1GD1中，化簡下列向量表達(dá)

(2)才]&++C,C.

哂而+畫-初

【解題思路】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算結(jié)合圖形計(jì)算即可.

【解答過程】（I）AB-BC=AB-AD='DBi

(2)41當(dāng)++C]C=&Ci+C[C=4]C;

(3)^(GD+GB)-A^O=^x2G0+西=G0+西=西.

【題型4由空間向量的線性運(yùn)算求參數(shù)】

【例4】（24-25高二上?福建莆田?期末）如圖,平行六面體ABCD—Ai/QDi中，點(diǎn)M在上，點(diǎn)N在。。1

上，且D]N—DiD,若麗=%而+y同+ZZN；,則％+y+)

23

A.-B.-C.-D.-

6332

【解題思路】根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則確定而=-荏+而+：磯，得到答案.

6

【解答過程】WN='MB+BA+AD+DN=--AAI-7^+AD+-AA^=-A'B+AD+-AAI，

236

故y=1,

x=-l,z=76?x+y+z=76.

故選:A.

【變式4-1](.24-25高二上?福建莆田?階段練習(xí))在四面體OABC^,OA=a,OB=b,OC=c,OM=AOA(A>

0),N為BC的中點(diǎn)，若麗=一：五+：石+之3則2=()

132

--C-

A.3B.43D.

【解題思路】利用空間向量的線性運(yùn)算，求得而二-丘++結(jié)合已知條件，即可求解.

【解答過程】如圖所示，因?yàn)镹為/3c的中點(diǎn)，所以麗二》而+3沆，

又因?yàn)辂?入耐，所以而=ON-OM=-OB+-OC-AOA=-b+-c-Aa,

2222

因?yàn)闃?biāo)=一。五+工3+=占所以4=2.

4224

故選：B.

【變式4-2］（24-25高二?全國?課后作業(yè)）如圖，己知正方體力8。0-4夕。少，點(diǎn)七是上底面的

中心，求下列各式中x,y,z的值.

（1）兩=xAD+yAB+zAA/；

（2）AE=xAD+yAB+z戒

【解題思路】（1）根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算算出答案即可；

（2）根據(jù)空間向吊的線性運(yùn)算算出答案即可.

【解答過程】（1）因?yàn)榈?麗+歷=瓦？+而+亦=-AB+AD+彳不，

又麗=xAD+yAB+zAA7,

所以x=l,y=—1,z=l.

（2）因?yàn)檐?莉+3嗜=XT+[布=XT+X福+而）=病+3柯+3而

=工而+二而+疝，

22

乂荏=xAD+yAB+zAA',

所以y=；,z=l.

【變式4-3]（24-25高二?湖南?課后作業(yè)）如圖，正方體力BCD-48停1。1中，點(diǎn)E,F分別是上底面4】8停1。1

和側(cè)面CG。1。的中心,分別求滿足下列各式的羽y,z的值.

（1）AE=xAD+yAB+zAAx；

（2）/1F=xAD+yAB4-z）力；；

⑶前=xAD+yAB+zAA^.

【解題思路】（1）由向量加法的三角形法則和四邊形法則得荏=彳彳；+港和砧=3荏+而），由此

即可求出結(jié)果；

(2)由向量加法的三角形法則和四邊形法則得行=而+而和而二久荏+彳否)，由此即可求出結(jié)果；

(3)因?yàn)榉?而-荏，由(1),(2)可知，品書而一;京，由此即可求出結(jié)果.

【解答過程】(1)解：由向量加法的三角形法則得，荏=標(biāo)+碓，

由平行四邊形法則和向量相等得，碇=*不瓦+碩7)=\(AB+而)；

所以荏=國+砸=國+：(而+而)而+g而+標(biāo)，

所以x=y=pz=1；

(2)解：由向量加法的三角形法則得，AF=AD+DF,

由四邊形法則和向量相等得，而比+而)=久而+標(biāo))：

所以存=AD+DP=AD+^(AB+彳羽)=AD+^AB+:彳羽，

所以4=l,y=z=^.

>>

(3)解：由(1),(2)可知，EF=AF-AE=(AD+^AB+^AA1)-^AD+^AB+AA1)

所以無=\,y=o,z=

知識點(diǎn)3共線向量定理與共面向量定理

1.共線向量定理

(I)共線向量定理

對于空間任意兩個(gè)向量。，ASWO),a〃b的充要條件是存在實(shí)數(shù)九使。=勸.

(2)直線的方向向量

在直線/上取非零向量。，我們把與向量a平行的非零向量稱為直線/的方向向量.

規(guī)定：零向量與任意向量平行,即對任意向量a，都有0〃a.

⑶共線向量定理的用途：

①判定兩條直線平行；

②證明三點(diǎn)共線.

【注】：證明平行時(shí)，先從兩直線上取有向線段表示兩個(gè)向量，然后利用向量的線性運(yùn)算證明向量共線，

進(jìn)而可以得到線線平行，這是證明平行問題的一種重要方法；證明三點(diǎn)共線問題，通常不用圖形，直接利

用網(wǎng)量的線性運(yùn)算即可，但一定要注意所表示的向量必須有一個(gè)公共點(diǎn).

2.共面向量定理

⑴共面向量

如圖，如果表示向量a的有向線段萬1所在的直線。4與直線/平行或重合，那么稱向量〃平行于直線/.如果

直線OA平行于平面?或在平面a內(nèi)，那么稱向量a平行于平面%.平行于同一個(gè)平面的向量,叫做共面向量.

（2）共面向最定理

如果兩個(gè)向量a，0不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對（x,），），使p

=xa+yb.

（3）共面向量定理的用途：

①證明四點(diǎn)共面；

②證明線面平行.

【常用結(jié)論】

1.三點(diǎn)共線:在平面中三點(diǎn)共線=況=.丫3+?工（其中武戶1）,0為平面內(nèi)任意一點(diǎn).

2.四點(diǎn)共面:在空間中P,A,B,C四點(diǎn)共面^OP=xOA+yZ甫+z5?（其中x+-y+z=l）,0為空間中任意一點(diǎn).

【題型5空間向量共線的判定】

【例5】（24-25高二上?湖南永州?期中）下列條件中，能說明空間中不重合的三點(diǎn)4B、C共線的是（）

A.松+沅=前B.=ACC.AB=-2BCD.\AS\=[Hc\

【解題思路】根據(jù)向量的加法運(yùn)算可判斷A,根據(jù)向量的減法以及相反向量可判斷B,根據(jù)共線向量的定義

可判斷C,向量的模長相等不一定能推出向量共線，即可判斷D.

【解答過程】對于A,對于空間中的任意向量，都有通+而二而，不能說明三點(diǎn)共線，說法A錯(cuò)誤；

對于B,若萬一說=而，則彳？+近二而，而北+方=而，據(jù)此可知近二方，即8,。兩點(diǎn)重合，

選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對于C,AB=-2BC,則從B、C三點(diǎn)共線，選項(xiàng)C正確；

對于D,|而|=|說則線段AB的長度與線段8c的長度相等，不一定有4、B、C三點(diǎn)共線，選項(xiàng)D錯(cuò)誤;

故選：C.

【變式5-1]（24-25高二上?天津河西?期中）設(shè)空間四點(diǎn)0,48,P滿足而=mH?+幾赤，其中m+=

貝IJ（）

A.點(diǎn)P一定在直線AB上B.點(diǎn)P一定不在直線48上

C.點(diǎn)P不一定在直線AB上D.以上答案都不對

【解題思路】利用空間向量的線性運(yùn)算結(jié)合空間三點(diǎn)共線的向量表示法求解即可.

【解答過程】因?yàn)閙+幾=1,所以m=l—九，而而=m6?+nOB,

故而=(1-71)6？+71赤，所以萬一而=幾(而一二?)，

所以而=n而，則點(diǎn)P一定在直線48上，故A正確.

故選：A.

【變式5-2](25-26高二?全國?課后作業(yè))如圖，四邊形48CQ、ABE/都是平行四邊形且不共面，M、N分別

是AC、B尸的中點(diǎn)，判斷而與麗是否共線？

【解題思路】利用空間向量的線性運(yùn)算，結(jié)合空間向量的共線定理，即可判斷.

【解答過程】因?yàn)镵N分別是AC、8尸的中點(diǎn)，而四邊形A8CR4BE/都是平行四邊形，

所以而=加+而+麗=^CA+而+

乂而=祝+而+而+麗=-^CA+CE-AF-^FB,

l^-CA+AF+-~FB=--'CA+'CE-~AF

2222

所以而=CA+2AF+FB=2(誦+AF+FN)=2MN,

即而=2MN,即而與而共線.

【變式5-3](24-25高二上?廣東深圳?階段練習(xí))如圖，在正方體力BCD-4B1G5中，E在AiQ上，且砧=

2西，尸在對角線A/C上，且引=，麗.若而=&，而=上麗=3.

(1)用五,3,5表示￡8.

（2）求證：E,F,8三點(diǎn)共線.

【解題思路】（1）由己知得麗=兩+砧+荏=［帝7+句+而，由此可得答案;

（2）由已知得而=:而，由此可得證.

O

【解答過程】解：（1）因?yàn)檎?2兩'，AB=a,AD=b,AA^=c,

所以麗=EA^+A^A+AB=|^X+布+屈=-1b-c+a,

所以麗=&一|族一演

（2）審=|無.

7_________

???■■?，._____________________'???????，..?????，?■WW***^.????????.??????

FB=FA^A^A+AB=-CA-1+A^A+AB

=1（而+而+福）+初+而

2一

=-（-6—d+c）—c+d

32r3T3/T2rT、3

=5a-5b-5C=^a-3b-^=5EBf

乂麗與麗相交于8,所以區(qū)F,8三點(diǎn)共線.

【題型6由空間向量共線求參數(shù)或值】

［例6］（24-25高二上?上海?課后作業(yè)）設(shè)/，。2是空間兩個(gè)不共線的非零向量，已知麗=2前+k瓦,BC=

可+3還，京=2司一正,且4、8、〃三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)k的值為（）

A.-2B.-4C.-8D.8

【解題思路】利用向量的線性運(yùn)算表示而，根據(jù)小B、。三點(diǎn)共線可得荏=2而，建立等量關(guān)系可得k的

值.

一-*-?—一f一-4??

【解答過程】'：AB=2e1+ke2,5C=e1+3e2,DC=2ex-e2,

AD—AB+RC—DC=（2。1+々c2）++3。？）—卜—o2）=+（k+4）?2，

:小B、。三點(diǎn)共線，

二?三;IER,使得前=人而，

即2。1+ke2=4+(k+4)e2]="i+A(k+4)e2?

：.A=2,A(k+4)=k,解得k=-8.

故選：C.

【變式6-1](24-25高二上?北京?期中)已知心b,^不共面，e=3a-tb-c,d=-2ta+6b+2c,若。與

2共線，則實(shí)數(shù)t的值為()

A.-3B.1C.3D.—3或3

【解題思路】利用空間向量平行充耍條件即可求得實(shí)數(shù)￡的值.

【解答過程】3二3五一屬一乙d=-2ta+6b+2c,

若@與3共線，則有3=21,

3=-2tA(t=3

即-t=6A,解之得入=_二，貝股的值為3.

-1=2AI-2

故選：C.

【變式6-2](2025?貴州六盤水?模擬預(yù)測)己知瓦,瓦,瓦不共面，若而=￡+豆+瓦，麗二百+4與+〃瓦,

且4B,C三點(diǎn)共線，則a+〃=()

A.0B.1C.2D.3

【解題思路】根據(jù)向量共線設(shè)通=無近，從而得到方程組，求出匕：；，得到答案.

【解答過程】因?yàn)?8,C三點(diǎn)共線，所以彳5=%說，

即可+瓦+弓=xe1+xXe1+印石，故[xA=1,解得月二\,

0=1(〃=1

所以4+“=1+1=2.

故選：C.

【變式6-3](24-25高二上?河北邯鄲?期末)已知焉歹萬是不共面的空間向量，若戶=3￡—2歲一4。與。=(m+

l)i+8y+nz(m,九是實(shí)數(shù))是平行向量，則m+zi的值為()

A.16B.-13C.3D.-3

【解題思路】根據(jù)戶II小結(jié)合@=入/，列出方程組，求解即可.

【解答過程】因?yàn)椤?為2是不共面的空間向量且力II小

fm+1=3A

故@=Ip,貝ij8=-2A,

.n=—41

解得m=-13,71=16,所以?n+”=3.

故選：C.

【題型7空間向量共面的判定】

【例7】(24-25島二上?安徽銅陵?階段練習(xí))已知A,B,C,。是空間不共面的四點(diǎn)，點(diǎn)P滿足：5雨=而+

2CA+3^4,則()

A.P,4,B,C四點(diǎn)共面B.P,4,B,。四點(diǎn)共面

C.P,B,C,。四點(diǎn)共面D.P,A,C,。四點(diǎn)共面

【解題思路】由空間向量共面定理的推論求解即可;

【解答過程】因?yàn)?耳？=PB+2CA+3DA,所以5而=BP+2AC+3而，

即5麗=而-荏+2m+3而，故而二存+工就+工而，

632

因龍+9+3=1,所以P,B,C,D四點(diǎn)共面，C正確.

632

另解：由已知得麗=5PA-2CA-3DA=2PA-2CA+3'PA-3DA=2PC+3RD,

所以而，麗，而共面，乂存在公共點(diǎn)P,所以P,B,C,0四點(diǎn)共面，C正確.

故選：C.

【變式7-1](24-25高二上?湖南?階段練習(xí))若五，6,0是空間一組不共面的向量，則不共面的一組向量為

()

A.a—b>b+c,c+aB.—d+c,—b—c,a+b

C.d+b,b—c,a+cD.a+b,a-b,c

【解題思路】根據(jù)空間向量共面定理依次判斷各選項(xiàng)即可得到答案.

【解答過程】A選項(xiàng)：a-5+(5+c)=c+a,所以G—3+3才+益是共面向量；

B選項(xiàng)：一&+F+(—3一乙)=一&一?=—(6+5)，所以一G+泊-b-c,G+3是共面向量；

C選項(xiàng)：a+5-(S-c)=a+c,所以d+B,b-c,G+,是共面向量；

D選項(xiàng)：令G+族=%伍-5)+y/,顯然%,y無解，故不是共面向量.

故選：D.

【變式7-2](24-25高二?福建?階段練習(xí))在下列條件中，使M與4B,C一定共面的是()

A.OM=OA-OB-0C

B.OM=^OA^OB^OC

c.MA+MB+MC='6

D.OM+OA+OB+0C=0

【解題思路】利用空間四點(diǎn)共面定理和向量共面定理，可以做出各選項(xiàng)的判斷.

【解答過程】對于A,由于麗=6？-礪-說不滿足右邊式子的系數(shù)和為1,所以四點(diǎn)不一定共面，故A

錯(cuò)誤；

對于B,由于兩=：而+：而+,說也是不滿足右邊式子的系數(shù)和為1,所以四點(diǎn)不一定共面，故B錯(cuò)誤;

對于C,由于拓5+而+沆=6可得：=根據(jù)向量共面定理結(jié)合三向量又有公共點(diǎn)，可

知四點(diǎn)一定共面，故C正確；

對于D,由于麗+萬？+而+沆=6可得：OM=-OA-OB-OC,同樣由于不滿足右邊式子的系數(shù)和為

1，所以四點(diǎn)不一定共面，故D錯(cuò)誤；

故選：C.

【變式7-3］（24-25高二上?浙江杭州?期末）對于空間一點(diǎn)。和不共線三點(diǎn)且有2而=一色？+而+

2況，則（）

A.。,48,C四點(diǎn)共面B.P,48,C四點(diǎn)共面

C.0,P,8,C四點(diǎn)共面D.0,P,48,C五點(diǎn)共面

【解題思路】根據(jù)題意，化簡得到前=2斤+而，得到赤，而，正共面，進(jìn)而得到P,C四點(diǎn)共面，即

可求解.

【解答過程】由2而=一雨+加+2無，可得加一礪=2（萬一而）+而一而，

即萬A=2而+而，根據(jù)平面向量的基本定理，可得而，亙戶，無共面，

又因?yàn)槿齻€(gè)向量有公共點(diǎn)P,所以P,4B,C四點(diǎn)共面.

故選:B.

【題型8由空間向量共面求參數(shù)】

8）（24-25高二上?安徽合肥?期末）已知點(diǎn)M在平面48C內(nèi)，且對于平面力8。外一點(diǎn)。，滿足兩=+

^OB+-OCf貝I］入=（）

64

A.-1B.5—C.1-D.7—

312212

【解題思路】根據(jù)空間共面向量定理的推論得到入+；+；=1，解得即可.

64

【解答過程】因?yàn)辄c(diǎn)M在平面48c內(nèi)，且麗=2而+；而+；浙，

64

所以4+;+;=1,解得;1=3

6412

故選:D.

【變式8-1］（24-25高二上?天津?階段練習(xí)）在四面體0—4BC中，空間的一點(diǎn)M滿足:麗=+；礪+

446

WC,若M、A,B、C四點(diǎn)共面，則入=（）

A.-B.-C.-D.—

231212

【解題思路】根據(jù)給定條件，利用空間向量的共面向量定理的推論列式計(jì)算即得.

【解答過程】在四面體。一力BC中，。1,小,。"不共面，

而菊二三&+二稔+入。^

46

則U+入=1

46

所以4=看

故選：D.

【變式8-2］（24-25高二上?廣東褐陽?階段練習(xí)）0為空間任意一點(diǎn)，若而=一：65+3而+t沆，若4,

B,C,P四點(diǎn)共面，則￡=（）

911

A.1B.-C.-D.-

884

【解題思路】將於二-；而+；礪+t元化簡為：OP=^OA+^OB+tOC,利用四點(diǎn)共面定理可得升J+

484848

￡=1,即可求解.

【解答過程】因?yàn)獒埽?亦一萬5,所以而=一；褊+:方+t正，可化簡為：OP-0A=-^OA+^OB+

tOC,即而=源+河+沅，

由于4B,C,P四點(diǎn)共面，貝哈+：+￡=L解得：￡=3

488

故選：C.

【變式8-3］（24-25高二下?江蘇?階段練習(xí)）己知向量,,前1不共面，則使向量沆=2a-b,n=b-\-c,p=xa+

5了+3,共面的實(shí)數(shù)x的值是（）

A.-4B.-3C.-2D.4

【解題思路】利用向量共面得到線性表示，再化簡求值即可.

【解答過程】因?yàn)闉樵裁妫源嬖趯?shí)數(shù)s,t,使得/=siH+比=s（2d-W+t@+引=2sG+（t-

r2s=X

s)b+tc=xd+5h+3c,所以-s+t=5,解得￡=3,s=—2,x=-4.

￡=3

故選：A.

【題型9共線、共面向量定理的推論及應(yīng)用】

【例9】（24-25高二下?全國?課后作業(yè)）已知A,B,C三點(diǎn)共線，。為空間任一點(diǎn)，貝U①二5=2而+〃面;

②存在三個(gè)不為0的實(shí)數(shù)人機(jī)，〃，使+m而+幾沆=%那么使①②成立的〃與2+血+幾的值分別為

（）

A.1,-1B.-1,0C.0,1D.0,0

【解題思路】根據(jù)三點(diǎn)共線的推理即可求得〃=