2.3.2兩點間的距離公式教學設計

教學分析

教學內(nèi)容與解析

1.教學內(nèi)容

本節(jié)課是人教A版（2019）選擇性必修第一冊第二章直線和圓的方程2.3.2兩點間的距離公式，

內(nèi)容包括：本節(jié)課首先回顧平面直角坐標系中兩點位置關系，引出兩點間距離問題；接著利用向量法和構造

直角三角形法推導兩點間的距離公式，設平面內(nèi)兩點片（/，月）,乙（々,當），向量法：求得

耳耳=（/一項，必一弘），然后利用向量模長公式即可得出由闈=；構造直角三

角形法：過兩點分別作坐標軸垂線構成直角三角形，利用橫坐標差I/一X/、縱坐標差|必一乂|作為直角邊，

推導得出兩點間距離公式伊闈=，（々一占）24（%—％）2，弗調(diào)公式中平方對距離非負性的保障及與坐

標順序無關的特性；隨后通過求坐標軸上兩點距離、已知距離求點坐標、結合幾何圖形（如三角形）計算邊

長等例題，展示公式應用，同時引導學生總結解題步驟，最后通過練習鞏固公式使用，幫助學生掌握公式推

導邏輯與實際應用方法，為后續(xù)直線與圓位置關系等內(nèi)容奠定基礎.

2.內(nèi)容解析

本節(jié)課始于平面直角坐標系中兩點位置關系的回顧，圍繞“如何計算兩點間距離”的核心問題，采用

兩種方法推導公式：一是向量法，通過求兩點構成向量的模長得出結果；二是構造直角三角形法，過兩點

作坐標軸垂線，以橫縱坐標差為直角邊，結合勾股定理推導.推導后重點強調(diào)公式中平方項對距離非負性的

保障，以及坐標順序不影響結果的特性.隨后通過三類例題展開應用：求坐標軸上兩點距離、已知距離求點

的坐標、結合三角形計算邊長，同時引導學生總結解題步驟：最后通過練習鞏固，幫助學生掌握公式推導

邏輯與實際應用方法，為后續(xù)直線與圓的位置關系等內(nèi)容筑牢基礎.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學重點為：掌握兩點間距離公式的兩種推導方法，理解公式特性并能

靈活應用于距離計算.

教學目標與解析

1.教學目標

（1）掌握平面上兩點間的距離公式

（2）會運用坐標法證明簡單的平面幾何問題

（3）能解決簡單的“距離型''最值問題

2.目標解析

（I）該目標是本節(jié)課基礎核心目標，要求學生不僅能熟記公式形式，還需理解向量法與構造史角三角

形法的推導邏輯，明確平方保障非負性、坐標順序無關的特性，為后續(xù)應用奠定認知基礎，是實

現(xiàn)其他目標的前提.

（2）此目標側重方法應用與能力提升，需學生將幾何問題轉(zhuǎn)化為坐標運算，通過兩點間距離公式計算

邊長等，體現(xiàn)數(shù)形結合思想，培養(yǎng)學生用代數(shù)手段解決幾何問題的思維，深化對坐標法的理解與

運用.

（3）該目標是公式應用的延伸與拓展，要求學生結合函數(shù)思想或幾何圖形性質(zhì)，利用兩點間距離公式

建立關系求解最值，鍛煉學生分析問題、轉(zhuǎn)化問題的能力，提升知識應用的靈活性與綜合性.

學情分析

學生已學平面直角坐標系概念，能確定點的坐標，對橫縱坐標差有基礎認知；掌握勾股定理，可解決

直角三角形邊長計算問題：初步接觸向量概念，了解向量模長的簡單計算，但向量法推導公式的邏輯銜接

能力較弱.整體而言，學生具備推導公式的基礎知識點，但知識間的綜合運用能力有待提升.

教學中可能遇到的困難：

一是用向量法推導公式時，難以將兩點坐標與向量坐標建立關聯(lián).

二是運用坐標法證明幾何問題時，不知如何建立合適坐標系.

三是解決“距離型”最值問題時，無法將最值需求轉(zhuǎn)化為踵離公式應用.

解決方法：

（1）先復習向量坐標表示，通過實例引導學生寫出兩點構成的向量，再結合向量模長公式逐步推

導，拆解推導步驟.

（2）提供典型幾何圖形（如三角形、四邊形），講解建系原則（如利用對稱性、讓頂點在坐標軸

上），結合例題示范建系過程.

（3）通過具體例題，引導學生分析最值本質(zhì)，借助幾何圖形直觀理解，建立“最值一距離”的轉(zhuǎn)化

思路.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學難點為：向量法推導公式的邏輯銜接、坐標法證明幾何問題的建

系、“距離型”最值問題的轉(zhuǎn)化.

^^教學過程設計

新課導入

情境引入

學校的年度文化節(jié)即將來臨，學生會策劃了一場特別的“校園尋寶”游戲.游戲中，參與者需要根據(jù)一系

列提示找到隱藏在校園各處的寶藏.而每個提示都是一個謎題，解開謎題后會得到兩個地點的坐標(如智慧

樓標記為A(5,3),創(chuàng)新樓標記為B(10,8),以及一個挑戰(zhàn)——計算這兩個地點之間的直線距離，作為通往下

一個寶藏的線索.

思考：我們知道了校園內(nèi)兩個地點的坐標，我們該如何計算距離呢？

教師：這就是今天我們要學習的內(nèi)容一兩點間的距離公式

設計意圖：結合校園尋寶情境，將抽象坐標轉(zhuǎn)化為實際地點，激發(fā)學生興趣，自然引出距離計算需求，為

公式學習奠定現(xiàn)實基礎.

教學建議：可展示校園實景圖標注坐標，讓學生直觀感知；鼓勵學生先嘗試計算，再對比后續(xù)推導，強化

主動探究意識，深化對公式的理解.

新知探究

引言：我們知道，在各種幾何量中，直線段的長度是最基木的.所以，在解析幾何中，最基木的公式自然

是：用平面內(nèi)兩點的坐標表示這兩點間距離的公式.

探究：如圖2.32已知平面內(nèi)兩點6?,y),￡(々，必)，如何求《，2間的距離伊圖？

教師：提示：我們可以用平面向量的知識來解決；

學生：從平面向量的知識入手，考慮求法：

如圖，由點鳥(X2，%)，得6g=(工2一%，必一乂)?

于是，|明=-0)2+(必-I'.

練習：若兩個點中，其中一個為原點0(0,0),另一個為尸(x,y),則|0耳=?

學生：應用自己推導出來的兩點間的距離公式，代人計算，得到兩點間的距離的特殊情況:

平面坐標系上任意一點P(x,y)到原點的距離公式：|。片=+.

設計意圖：引導學生體會由一般到特殊的數(shù)學思想.

思考：除了向量法，還能借助其他知識，推導兩點間的距離公式嗎？

教師：提示：可以考慮構造直角三角形利用勾股定理求解.

學生：回顧初中勾股定理的知識，進行做圖求解：

如圖，在Rt△《鳥。中，易知，

所以IP1P2I=叱%2—)2+02—yI)2.

即兩點＞,|)，。2(及，一)間的距離|尸122|=/(及一內(nèi)尸+。2—X)2.

思考：“當直線PP2平行于X軸時”與“當直線尸色平行于)，軸時“，兩點間距離公式可以化簡為怎樣的形

式?

教師:引導學生分“當y=%時”和“當百=X?時”兩種情況討論

學生：分、、當y=%時"和'、當X=當時”兩種情況分別應用兩點司距離公式井化簡.得出結論.

師生：問題4和問題5的探究分析，辨析兩點間的距離公式，并歸納總結.

思考：有些代數(shù)式子表示的幾何意義就是兩點間的具體，那么你能識別嗎？

比如式子〃『+()，+〃『的幾何意義是什么?

學生：觀察式子的機構，并與兩點間的距離公式作對比，得出結論.

牛刀小試

練1:平面上4(2,1)、8(3,2)兩點的距離是.

解析：\AB\=V(3-2)2+(2-I)2=V2,故答案為：V2

練2：已知兩點M(0,3),N(4,0),則|MN|=()

A.3B.5C.9D.25

解析：因為M(0,3),N(4,0),則|MN|=J(0-4尸+(3-0尸=5.故選：B

練3：已知點力(1,2),8(—1,0),。(3,6),“為48中點，則|用。|=.

解析：由于M是小8中點，所以M(笞辿，等)，即M(OJ)，所以|MC|二J(3-0尸+(6-1產(chǎn)=所下留=

V34.故答案為：V34

練4：△ABC的三個頂點的坐標分別為做—4,一4),8(2,2),C(4,-2),貝必B邊上的中線長為()

A.V26B.夜C.V29D.V13

解析：因為力(一4,一4),8(2,2),C(4,-2),所以邊48的中點。的坐標為0(-1,-1).

所以|CD|二一4尸十[—1-(-2)]2=屏,故選：A

練5：已知AABC的三個頂點分別為4(2,3),8(—1,0)((2,0),則△ABC的周長是()

A.2V3B.3+2V3C.6+372D.6+\<10

解析：由題意知|力8|="-1一2尸+(0-3,=3/,\AC\=V(2-2)2+(0-3)2=3,\BC\=

J(2+1萬+(0-0)2=3,故AA8C的周長為/8|+MC|+|8C|=6+3&.故選：C.

應用新知

例3已知點4—1,2),例2,歷,在」軸上求一點尸,使|E4|=|尸耳,并求|%|的值.

教師：引導學生認真審題，并學會用方程的思想去處理問題.

學生：認真審題，并自主嘗試解答本題，并收集自己的問題，帶著問題去聽別的同學的分享.

預設：設所求點為P(x,O),則

|PA|=7(X+1)2+(0-2)2=VX2+2X+5，

\PB\=7(X-2)2+(O->/7)2=VX2-4X+11

由|PA|=|叫得

x2+2x4-5=x2-4x+11

解得工=1.

所以，所求點為尸(1,0),且

\P^=7(1+1)2+(0-2)2=2>l2.

跟蹤練習：已知點4—1,26)，8(2,J7),在"由上求一點尸，使爵二拉，并求|網(wǎng)的值.

學生：回顧例題3的解題過程及方法，進行知識的遷移解決該跟蹤練習題.

教師：巡視學生的做題情況，并進行個別輔導，尋找規(guī)范答題示范和經(jīng)典錯誤答題示范，并進行展示和分析.

預設：解：設所求點為尸(尤0),則：

|「川=杰+1)2+(0-2后=&+2丹13,

閘=7(X-2)2+(0-V7)2=6-44+11

由囹=忘，得但三竺=&,解得x=l或9

陷&-4工+11，

當x=l時，所求點為尸(1,0),K\PA\=7(1+1)2+(0-273)2=4；

當工=9時，所求點為P(9,0),且附|={(9+1)2+(()_2后=4"

師生歸納總結：兩點間的距離公式求兩點間距離的方法：

第1步：確定兩點的坐標，若某點坐標未知，就根據(jù)題意設點的坐標

第2步：代入兩點間距離公式：|阿=5(芍一刈2+(乃一)'產(chǎn)

兩種特殊情況：若坐標的縱坐標相等，貝1質(zhì)卜居-$|

若坐標的橫坐標相等，則w冏=帆-刈

第3步：計算化簡即可求得距離.

例4用坐標法證明：平行四邊形兩條對角線的平方和等于兩條鄰邊的平方和的兩倍.

師生：共同審題及分析：苜先要建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，用坐標衣示有關的量，然后進行代數(shù)運算，最

后把代數(shù)運算的結果“翻譯”成幾何關系.

學生：根據(jù)分析的解題方法嘗試解題，同桌可交流討論.

預設：證明：如圖2.3-4,四邊形A3CO是平行四邊形.以頂點A為原點，邊AB所在直線為x軸，建立如

圖所示的平面直角坐標系.

思考：如圖，若設點3的坐標為(。,0),點。的坐標為(b,c),如何利用平行四邊形的性質(zhì)得到點。的坐

林？

學生：思考并嘗試，交流討論，為后面解題斜點的坐標做準備.

如何由平行四邊形的性質(zhì)，得到點C的坐標為(。+dC)?

在口A3CO中，點A的坐標是(0,0),設點8的坐標為(。,0),點。的坐標為(b,c),由平行四邊

形的性質(zhì)，得點C的坐標為(a+〃,c).

2222222

由兩點間的距離公式，得Mcf=(a+b)+c，忸?！?(b-a)+cf\AB\"=at\AD\"=b+c.

所以|AC1+忸葉=2(/+/+。2),|/W「+|A￡f=—+力2+。2

所以|AC「+\BD\"=2(|AB|2+|AD|2),

即平行四邊形兩條對角線的平方和等于兩條鄰邊的平方和的兩倍.

師生歸納總結：“坐標法”解決平面幾何問題的四個基本步驟:

第一步：i建：建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?

第二步：二表：用坐標表示點、距離等相關量;

第三步：三算：進行相關代數(shù)運算；

第四步：四翻譯：把代數(shù)運算結果“翻譯”成幾何結論.

跟蹤練習：換一個建平面直角坐標系的方法，再證明一次例題4

學生：思考如何重新建立坐標系，再重新求對應點的坐標，再證明.

教師：巡視學生做題情況，個別輔導，挑選優(yōu)秀證明展示.

預設：證明：以對角線的交點為原點，建立如圖所示坐標系，在口八6CO中，設A(a,-A),以仇

由平行四邊形的性質(zhì)，得CS-a+"，m.

由兩點間的距離公式，可得

\AC^=(b+d-2ay+(2/，丫=b2+d2+4a2+2bd-4ab-4ad+4/i\

|BD|2=(Z>-J)2+(2/r)2=Z>2-2M+J2+4/J2,

222222

網(wǎng)2=(b-a)=護-2ab+a9\AD^=(d-a)+(2h)=d-lad+a+4",

所以

|AC|2+|BD|2=2/+2d2+4〃2一也》一4ad+8h\

|AB|2+|AD|2=b2+d2+2a2-2ab-2ad+4h2.

所以“『+回「=2(|"「+|A球卜

即平行四邊形兩條對角線的平方和等于兩條鄰邊的平方和的兩倍.

思考：體會例題4中兩種不同建系方法中證明過程，說說適當建立坐標系，對證明的重要性?

預設：不同的建系，相關量的表示不同，證明過程的計算量不同

學生：回顧兩種建系后的證明過程，分享自己的體會.

思考：如何建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担?/p>

學生：根據(jù)之前兩次建系的體會思考和總結，交流討論，得出結論.

師生：總結建系的三大原則：

原則一：讓盡可能多的點落在坐標軸上;

原則二：條件中有兩條線垂直，一般的這兩條線作為坐標軸

原則三：軸對稱圖形，對稱軸一般作為坐標軸

課后練習：如右圖所示，建立坐標系，該建系方法是否遵循了以上三個建系

原則？

課后同學們嘗試再證明一次，

體會證明過程，并比較.

回顧：在“平面向量及其應用”的學習中，我們用"向量法''證明過這個命題.

例2如圖6.4-3,已知平行四邊形ABCD.你能發(fā)現(xiàn)對

角線八。和3D的長度與兩條鄰邊八3和八D的長度之間的X

系嗎？

分析：平行四邊形中與兩條對角線對應的向量恰是與兩條

鄰邊對應的兩個向量的和與差，我們可以通過向量運算來探索

它們的模之間的關系.

解：第一步.建立平面幾何與向量的聯(lián)系.用向量裊示問

題中的兒何元素,將平面兒何問題轉(zhuǎn)化為向量問

如圖6.4-4,取{筋，而力為基底，設而5=a,湎5=

b,則

AC=a+b,Dli=a-b.圖6.4-4

第二步.通過向量運算,研究兒何元素之間的關系:

AC2=(a4-b)1=a!4-2a?b+b'.

DB2=(a-b)z=a2-2a?b+b2.

上面兩式相加，得正/+Dl}2=2(a，+b2).你能用自然語言敘述這

第三步.把運算結果“翻譯”成幾何關系：個關系式的意義嗎？

AC24-BD2=2(AB24-AD2).

思考：比較“坐標法”和“向鼠法”，你有什么體會?

學生：比較，思考，討論交流.

重點題型

題型一：兩點間的距離公式求兩點間的距離

例題：已知P(—1,2),Q(-2,-3),則△PQM的周長為.

22

預設：\PQ\=J(-1+2)2+(2+3-=V26,\PM\=V(-l-l)+(2-0)=2VL

\QM\=V(-2-l)2+(-3-0)2=3V2,

.?.△PQM的周長為|PQ|+\PM\+\QM\=V26+5

方法總結：①求坐標：若有點的坐標未知，先求出點坐標；

②代公式：代入兩點間的距離公式即可求得兩點間的距離.

題型二：利用兩點間的距離公式求參數(shù)值

例題：已知點4(3,3a+3)與點B(a,3)之間的距離為5,則實數(shù)。的值為

預設：因為點A(3,3a+3)與點8(a,3)之間的距離為5,則|A8|=y/(a-3)2+(3-3a-3)2=

《(a-3)2+(-3a)2=5,整理得5a2-3a-8=0,解得a=-1或a=g.

方法總結：①設點：若有點的坐標未知，引入?yún)?shù)設點的坐標；

②建方程：利用已知等式建立關于參數(shù)的方程.

題型三：兩點距離公式與其他知識交匯

例題1：(1)直線Z：4A-y-4=0與〃：A-2y-2=0及34x+3y-12=0所得兩交點的距離為()

C.3而D.卻

由加-廣4=0得予3,

4x+3y-12=0;

1>'=2

則加得學+(-?)2=J(Q+(部=酒.故選：口

⑵若動直線4:工-股+〃?+1=0("7€?)定點A和動直線:“+yT+3=0(TwR)定點B,

求|的.

預設：由x-〃?y+〃?+l=0可得：A+l-/??(y-1)=0?由「'+1—°可得，'—L

<7(>'-1=0[y=\

所以定點

直線我+丁一/+3=0可化為《x—l)+y+3=0,由!'一1=°可得卜=1，

y+3=0[y=-3

所以定點B(l,-3)，

|A/3\=^(-1-1)2+[|-(-3)]2=720=2^

3、若過點A(3,a)和點8(4,與的直線與y=2x+3平行，則|八8|均值為()

A.3B.石C.5D.>/5

預設：由題意得—=2=2,即?a=2.所以MM=J(4-3)2+(J-a)2=6.

4—3

故詵：D

方法總結：先利用已知條件求出點的坐標，或者々一再、％_必整體的值，再代入兩點間的距離公式求距

離.

題型四：“距離型”的最值問題

例題：(1)已知P(x,l-2x),0(3,0),求|尸。|的最小值.

預設：|尸@=加/-3)2+(1-2X-0)2=[5(工-1)，5

當”=1時，|PQL=6

方法總結：先用兩點的距離公式求距離，表示成只含一個未知數(shù)的式子，再利用函數(shù)的觀點求最值.

(2)函數(shù)y=&+4+&+6x+18的最小值為.

預設；),=，｛2+4十十6大+18=](人-0)2十(0—2)2(。+3)2+(0+3)2,

函數(shù)y表示點P(x,0)到點A(0,2)和8(-3,-3)的距離之和.

|廣山+121A卻=’(一3-0/+(―3-2『=扃.故答案為：V34

方法總結：雙根號和的最值：理解式子的幾何意義，轉(zhuǎn)化為兩個點的“距離和”問題，動點P到兩定點A、

B的距離和大于等于定點的距離:

幟4|+|尸5以4用(三點共線時，取等號)

(3)已知直線/：3x-y—1=0及點A(4,1),B(0,4),C(2,0).試在/上求一點P,使|AP|一|CP|最小.

預設：如圖，設。關于/的對稱點為b),則與^=—g,升

Q2J,rJ

且3?色甘一"^一1=0,解得C(一1,1).又A(4/)，[/

44I/

當P在直線上運動式，MQ+|CPE|AC|=|4—(―1)=5.

方法總結：同側距離和最小值：先求兩定點A、B中A點關于直線0lCX對稱點A，，則:

\PA\-h\PB\=\PAf\+\PB\^\A,B\/[

(4)已知直線/：3x-y-l=0及點A(4,1),B(0,4),C(2,0).試在/上求一點Q,使|AQ|一|BQ|最大.

預設：如圖，設8關于/的對稱點為夕(小，〃)，則斗、、J

且一三一一1=0,解得9(3,3).又A(4,1)

此時|4。|一|/迨|=八。|一A/

又|AB1=J(3—4)2+(3—l『=顯故所求最大值為逐/[a\

方法總結：異側距離差最小值：先求兩定點A、B中A點關于直線對稱點A，，則：

\PA\-\PIi\=\PA'\一|「冏014⑵|(不妨設|>|P?|)

題型五：由頂點坐標判斷三角形的形狀

例題：己知△4RC的三個頂點的坐標是力(一3,1),/?(3,-3),C(l,7)

(1)判斷△48C的形狀；(2)求A/IBC的面積.

預設：因為|AB|=J(3+3產(chǎn)+〔一3-3下=夜,|AC|=V(1+3)2+(7-I)2=V52,

|BC|=，(1-3產(chǎn)+(7+3)2=/104

所以|4B|=MC|,\AB\2+\AC\2=|BC『,

所以△力8c是等腰直角三角形.

(2)由(1)得SAA8c=214用?|AC|=-x\/52xN/52=26.

22

方法總結：①求距離：利用三角形頂點坐標求出三條邊的長度；

②找距離關系：確定距離是否相等，是否滿足勾股定理等關系，從而可以判斷形狀.

直堰感知

1.(24-25高二上?全國?課后作業(yè))

已知三角形的三個頂點為4(1,2),B(2,0)((3,3),則過點。的中線的長為()

57

A.2B.-C.-D.3

22

解析：由題得線段A8的中點坐標為仔1),故過點C的中線的長為J(3-1)，+(3—=可故選：B

2.(23?24高二下?全國?課后作業(yè))已知&a,0),B(0,10),且MB|=17,則。=.

解析：因為4(。,0),8(0,10)且|力8|二17,所以|AB|=da2+(0-10產(chǎn)=17,解得Q=±3&1

3.(23.24高二下?全國?課后作業(yè))已知點力(4,12),。為x軸上的一點，且點P與點A的距離等于13,則

點P的坐標為.

解析：???點P在％軸上，設P(%,0),???點P與點力的距離等于13,???V(x-4)2+(0-12)2=13,解得％=9

或-1,.?.點P的坐標為(9,0)或(一1,0),故答案為：(一1,0)或(9,0).

4.(2025高三?全國?專題練習)

函數(shù)/(x)=Vx2—2x+10+V&2-6x+13的最小值為()

A.5B.>/29C.V31D.V41

解析：由題可得/(%)的定義域為R,又f(x)=&-1尸+(0-3尸+,“[J)

&-3)2+(0-2/,所以/(x)可以看作是x軸上的動點0)分別與兩點(1,3),(3,2)/G，2)

的距離之和，底N.

5

如圖，點(1,3)關于x軸對稱的點為(1,-3),則當(％