2.3.1兩條直線的交點坐標教學設(shè)計

教學分析

教學內(nèi)容與解析

1.教學內(nèi)容

本節(jié)課是人教A版（2019）選擇性必修第一冊第二章直線和圓的方程2.3.1兩條直線的交點坐標,

內(nèi)容包括：本節(jié)課學習直線的傾斜角與斜率.先明確傾斜角定義：本節(jié)課主要學習兩條直線交點坐標的求法，

首先明確兩條直線交點坐標與對應(yīng)方程組解的關(guān)系：若兩關(guān)直線的方程分別為4/+8方+￡=0和

4.丫+叢），+。2=0,則它們的交點坐標就是方程組［4x+A）'+C=0的解，反之亦然.接著講解通過解

““Ax+B2y+C2=O

二元一次方程組求交點坐標的具體步驟，包括代入消元法或加減消元法的應(yīng)用，并結(jié)合實例說明：當方程組

有唯一解時，兩直線相交，解即為交點坐標；當方程組無解時，兩直線平行；當方程組有無數(shù)解時，兩直線

重合.最后通過練習鞏固求解方法，加深對直線位置關(guān)系與方程組解的對應(yīng)關(guān)系的理解.

2.內(nèi)容解析

本節(jié)課是人教版選擇性必修第?冊直線與圓方程章節(jié)的關(guān)鍵內(nèi)容，承接直線方程的基礎(chǔ)，為后續(xù)研究

直線位置關(guān)系及圓與直線的綜合問題奠定基礎(chǔ).內(nèi)容上，以“兩條直線交點坐標與方程組解的對應(yīng)關(guān)系”為

核心展開：首先建立代數(shù)與幾何的聯(lián)系，明確交點坐標即對應(yīng)二元一次方程組的解，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想；

其次細化操作層面，講解代入消元、加減消兀等解方程組的方法，將抽象關(guān)系轉(zhuǎn)化為具體運算；最后通過

方程組解的三種情況（唯一解、無解、無數(shù)解），對應(yīng)直線的相交、平行、重合三種位置關(guān)系，形成知識

閉環(huán).教學中需突出“數(shù)”與“形”的雙向轉(zhuǎn)化，既讓學生掌握求交點的代數(shù)方法，又能通過方程組解的特

征判斷直線位置關(guān)系，培養(yǎng)其邏輯推理與運算求解能力.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學重點為：掌握兩條直線交點坐標的求法，理解直線位置關(guān)系與方程

組解的對應(yīng)關(guān)系.

教學目標與解析

1.教學目標

（I）能用解方程組的方法求兩直線的交點坐標.

（2）會根據(jù)方程組解的個數(shù)判定兩條直線的位置關(guān)系.

（3）理解直線系方程及其過定點問題.

2.目標解析

（1）該目標聚焦于具體運算能力，要求學生掌握用解二元一次方程組的方法求交點坐標，是數(shù)形結(jié)合

思想的具體應(yīng)用，需熟練運用代入或加減消元法，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算.

（2）此目標強調(diào)邏輯推理，需學生明確方程組解的個數(shù)（唯一、無、無數(shù)）與直線位置關(guān)系（相交、

平行、重合）的對應(yīng)，是對代數(shù)結(jié)果幾何意義的理解，深化數(shù)形結(jié)合認知.

（3）該目標涉及拓展知識，要求理解直線系方程的構(gòu)成，能通過方程組轉(zhuǎn)化分析其過定點的特性，是

對直線交點知識的延伸，培養(yǎng)知識遷移與綜合應(yīng)用能力.

學情分析

學生已學過直線的點斜式、斜截式等方程形式，能寫出直線方程，也掌握了二元一次方程組的解法，

對“形”的直觀認識和“數(shù)'’的運算基礎(chǔ)具備，但數(shù)形結(jié)合的轉(zhuǎn)化意識較弱.

教學中可能遇到的困難：

一是難以將求交點坐標的幾何問題與解方程組的代數(shù)運算緊密聯(lián)系；

二是對直線位置關(guān)系與方程組解的個數(shù)對應(yīng)關(guān)系理解不深刻；

三是直線系方程過定點的推導及應(yīng)用易混淆.

解決方法：

通過實例直觀演示幾何圖形與代數(shù)方程的對應(yīng)，加強兩者轉(zhuǎn)化訓練；用對比表格梳理位置關(guān)系與解的

個數(shù)聯(lián)系；結(jié)合具體直線系方程，引導學生通過方程組變形找定點.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學難點為：深刻理解直線位置關(guān)系與方程組解的聯(lián)系，掌握直線系方

程過定點的推導及應(yīng)用.

^^教學過程設(shè)計

新課5入

情境引入

同學們，有沒有留意過學校附近十字路口的朝陽大街和幸福路是如何相交的呢？它們就像畫在城市地

圖上的兩條直線，在某個特定的位置交匯，這個交匯點就是我們等待紅綠燈、過馬路的地方.

復興哥利用之前學習的直線方程，求得兩條馬路所在直線的方程是2x+3y-6=0,x-y+l=O

其實，生活中像這樣的“直線相交”場景還有很多，它們的交點位置都可以用數(shù)學中的坐標來精準描

述.

問題：大家能說出這兩條“直線”的交點的具體坐標嗎？這個坐標又能告訴我們什么信息呢？

設(shè)計意圖：結(jié)合生活場景引出直線交點問題，激發(fā)學生興趣，建立數(shù)學與生活的聯(lián)系，引導思考交點坐標

的求法與意義.

教學建議：引導學生回憶直線方程知識，嘗試聯(lián)立方程求解，鼓勵討論坐標的實際含義，逐步過渡到知識

點講解.

新知探完

引言：引入平面直角坐標系后，我們用二元一次方程就可對直線做定量研究，

思考：能否借助直線方程對“情境引入”中的“交點”進行定量研究呢？

預設(shè)：能，可以借助直線方程把交點具體坐標求出來

追問：還有哪些量可以通過直線方程利用代數(shù)方法進行定量研究呢？

預設(shè)：兩點之間的距離、點到直線的距離、兩平行直線的距離等

回顧：若點尸在直線/上,則點尸的坐標（天,%）與直線/的方程At+By+C=0有什么關(guān)系？

學生：回顧上節(jié)課所學知識，得出答案：Ar（）+Byo+C=O

追問：已知兩條直線/,:4工+片），+￡=0,Z2:4X+B2y+C2=（）相交，它們的交點坐標尸（為,為）與直線

lv4的方程有什么關(guān)系？

師生：因為點網(wǎng)用,為）為直線小乙的交點，

所以點P（小,%）為直線4，也在直線4上，=>4%++G=0；=>A,x0+B2y0+C2=0

思考：從代數(shù)角度，將以上方程①和方程②聯(lián)立，過程方程組，會有什么結(jié)論？

A2XQ+B2yQ+C2=0

學生：解方程組，可以得到見,比，即可以得到交點P的坐標(馬,九)

師生總結(jié)：求兩條直線交點坐標的方法：

①求：若相交直線方程未知，先求直線的方程；

②構(gòu)：將交點坐標代入兩條宜線方程，構(gòu)成方程組

+=°

A,x0+B2y0+C2=0

③解：解方程組，得到交點坐標.

教師：從幾何角度和代數(shù)角度歸納分析，對應(yīng)的關(guān)系，完成下列表格

幾何角度代數(shù)角度

占P坐標：尸(演”典)

直線/方程：4x+砂+C=0

點F在直線1上Axn+Byn+C=0

A[+Byy0+Cj=0的解<

直線力與，2的交點是尸4

AX+BJ.+C=O

2O22y=yn

學生：完成表格.

牛刀小試

練I.直線x+2y-4=0與直線2無一y+2=0的交點坐標是()

A.(2,0)B.(2,1)

C.(0,2)D.(1,2)

解析:解方程組度多;;二:端三,

即直線x+2y-4=0與直線2x-y+2=0的交點坐標是(0,2).故選：C.

練2.直線y=x與直線y=-工+2的交點坐標為()

A.(-1,-1)B.(1,1)C.(-1,1)D.(1,-1)

解析：由｛y｝二;2解得x=y=L所以交點為(1,1).故選：B

練3.直線工+2y-2=0與直線2x+y-3=0的交點坐標是()

A.(4,1)B,(1,4)C.(浦D.(若)

解析：聯(lián)立直線方程6：；；二:二:，解得％故交點坐標為(稅)故選：C.

練4.直線x+y=5與直線＞-y=1交點坐標是()

A.(1,2)B.(2,3)C.(3,2)D.(2,1)

解析：由直線X+y=5與直線可得二:，解得｛；二;，兩條直線的交點坐標為(3,2),故選

C.

應(yīng)用新知

例1求下列兩條直線的交點坐標，并畫出圖形:

4:3x+4y-2=(),

/2:2x+y+2=0.

f3x+4y-2=0x=-2

解：解方程組c八，得《c，所以，4與/,的交點是“(-2,2),圖形如圖:

[2x+y+2=0y=2~

跟蹤練習求直線4：工一》二0，4：y=-x+2的交點坐標.

x—y=0[x=1

解：解方程組4」.得《,所以.人與人的交點是股(i，i)

y=-x+2Iy=1

例2判斷下列各對直線的位置關(guān)系.如果相交，求出交點的坐標:

(1)/):x-＞,=0,/2:3x+3y-10=0；

(2)/j:3x-y+4=0,l2:6x-2y-\=0；

?

(3)4:3x+4y-5=0,l2:6x+8j-10=0.

分析：解直線44的方程組成的方程組，若方程組有唯一解，則《與4相交，此解就是交點的坐標；若方程

組無解，則《〃4；若方程組中的兩個方程可化成同一個方程，則4與4重合.

/一丫=()所以，4與相交，交點是M(|,|

解:(I)解方程組＜

3x+3y-10=0

3x-y+4=0?

（2）解方程組

6x-2y-l=0②

①x2-②得9=0,矛盾，這個方程組無解，所以《與《無公共點，/J〃2,

3x+4y-5=0①

（3）解方程組《人,①和②可以化成同一個方程，即①和②表示同一條直線，L與

6x+8y-10=0②

重合.

師生總結(jié)：已知直線k八4+叢）+6=0（川+用,0）,直線自Aix+&y+C2=0（對+8理0）：

A]x+3iy+G=0,

方程組14>+82丁+。2=0的解一組無數(shù)組無解

直線八與，2的公共點的個數(shù)一個無數(shù)個零個

直線人與/2的位置關(guān)系相交重合平行

思考：你能用直線的斜率判斷上述各對直線的位置關(guān)系嗎？比較用斜率判斷和解方程組這兩種方法，你會優(yōu)

先選擇哪一種？

學生：用斜率判斷

追問：解方程組判斷直線位置關(guān)系真的一無是處嗎？有沒有優(yōu)點？

學生：非也，在判斷相交關(guān)系時，斜率法只能判斷是否相交，而解方程組法，還可以直接把交點坐標求出來.

重點題型

題型一：根據(jù)直線方程求交點坐標

例題：直線x-2y-6=0與直線2x+y-2=0的交點坐標為（）

A.（0,-3）B.（1,0）C.（3,-4）D.（2,-2）

預設(shè)：^x+y-2=0,解得（^二芻，則交點坐標為（2,-2）.故選：D

方法總結(jié)：根據(jù)直線方程求交點坐標基本步驟

第1步：求方程：若相交直線方程未知，先求直線的方程

第2步：構(gòu)方程組：聯(lián)立兩條直線方程得方程組

第3步：下結(jié)論：解方程組，得到交點坐標

題型二：根據(jù)方程組解的個數(shù)判斷直線位置

例題判斷下列各對直線的位置關(guān)系.如果相交，求出交點的坐標:

(1)I1：2x—y+7=0,l2-.x+y=1；

,x+5

(2)l1.x—3y-10=0,12-y=—

（3）2i：3x-5y+10=0,Z2:9x-15y+30=0；

預設(shè)：（1）解方程組『”二）：］：。，得％=-2,y=3,所以兩直線相交，交點為（一2,3）.

（x-ry—L

fx—3y-10=0

（2）解方程組x+5,無解，所以兩直線平行；

y=—

（3）聯(lián)立的方程組［三］國,41比：］，無數(shù)組解，所以兩直線重合.

（yX-1uy?Dv—U

方法總結(jié)：根據(jù)方程組解的個數(shù)判斷直線位置的方法

Ax+Biy+Ci=0,

一組無數(shù)組無解

方程組&)，+C2=0的解

直線人與12的公共點的個數(shù)一個無數(shù)個零個

直線人與，2的位置關(guān)系相交重合平行

題型三：根據(jù)交點個數(shù)求參數(shù)值

：

例1若三直線11：ax-y+1=0,Z2x+y=0,Z3：x-y=l經(jīng)過同一個點，則。=

預設(shè)：由解得「二M，

i人y-xy=---

2

???直線。與，3的交點坐標坐標為G，-1

由題意得點弓,一與在直線人上，

+^+1=0,解得a=-3.

故答案為：-3.

例2若三條直線2%+y-4=0,%一y+1=0與QX-y+2=0共有兩個交點，則實數(shù)a的值為（）

A.1B.-2C.1或-2D.-I

預設(shè)：由題意可得三條直線中，有兩條直線互相平行，

*.*直線%-y+1=0和直線2X+y-4=0不平行，

；?直線％—y+1=0和直線ax—y+2=。平行或直線2x+y—4=0和直線QX—y+2=0平行，

???直線x-y+1=0的斜率為I,直線2無+y-4=0的斜率為-2,直線以一y+2=0的斜率為a,

/.G=1或Q=—2.

故選：c.

方法總結(jié)：根據(jù)交點個數(shù)求參數(shù)值的方法

①三直線有一個交點

第一步：先求其中兩條直線的交點坐標（盡量選不含參的直線）

第二步：把求得的交點坐標代入第三條直線上，列方程，解方程即可

②三條直線有兩個交點

第一步：三條直線兩個交點必有兩條直線平行

第二步：分類討論，利用平行，建立關(guān)于參數(shù)的方程，解方程即可.

題型四：根據(jù)交點所在位置求參數(shù)取值（范圍）

例1兩直線和的交點在軸上，那么的值是（）

2x3yk0xky120yk

A.-24十.一B._一6一十,_一C.±—6D.±—24

預設(shè)：???兩直線和的交點在軸上，

2x3yk0xky120y

所以交點的釁標為縱坐蟀為西直線蜀縱截距

令％=o,可y=：=與解得上=±6.故選：c.

例2直線與的交點在第四象限，則的取值范圍為（）

kxy2k10x2y40k

A.（-6,V）+-=C.D.（W

預設(shè):

_2-4k

聯(lián)立方程：產(chǎn),解得二盤，所以交點坐標為篇，髭）

/-2k+l

/2-4k>o

因為交點在第四象限，所以《案:：，解不等式組得；—4</cv—故選；C.

—<026

k2k+l

總結(jié)：根據(jù)交點所在象限求參數(shù)取值范圍的方法

第一步：求交點：聯(lián)立兩條直線方程，解方程組，求出交點坐標

第二步：解不等式組：根據(jù)交點所在象限，建立不等式組，解之

第三步：下結(jié)論：不等式組的解，就是所求參數(shù)取值范圍.

題型五：求過某兩條直線交點的直線方程

例題：直線/過直線x+y-2=0和直線x-y+4=0的交點，且過P(—3,0)求直線/的方程.

x+y—2=0,x=—\,

【法一】聯(lián)立方程解得.

x-y+4=0,1)=3,

即直線/過點(-1.3),因為直線/還過點P(-3,0),

所以直線/的斜率為舄，

所以直線/的方程為y—3=為+1),即3x—2y+9=0.

【法二】過直線x+y—2=0和直線x—y+4=0的交點的直線方程可以設(shè)為:

4-y+4+2(x+y-2)=0,

直線系方程法

又直線/的過點P(-3,0),

所以-3—0+4+2(—3+0—2)=0,解得

代人化簡得直線/的方程為3x—2y+9=0.

方法總結(jié)：過某兩條直線交點的一系列直線，統(tǒng)稱為直線系

過直線乙：AX+用J+G=0與4：+線J+G=。交點的直線系方程為

4/+與y+G+4(41+82)，+02)=0

優(yōu)點：幾乎表示所有過交點的直線

缺點：解不能表示之人后面的那條直線：&/+員)，+。2=°

應(yīng)用：凡是求過某交點的直線方程，都可以這樣設(shè)所求直線方程，然后根據(jù)己知條件求出入即可.

題型六：含一個參數(shù)的直線方程過定點問題

證明：不論m為何實數(shù)，直線(m—l)x+(2m—1)y=m—5都恒過某一定點.

【證明】直線方程可化為(x+2)，-1)〃?+(—x—)，+5)=0.

若對任意加都成立，

x+2y-l=0,x=9,

則有?…得

.y=—4.

所以不論/〃為何實數(shù)，所給直線都過定點P(9,-4).

方法總結(jié)：含一個參數(shù)的直線方程過定點，如何求定點坐標呢？

第一步：參數(shù)團圓：等價變形方程，去括號后，將所有含參的項放在一起，把參數(shù)作為公因式，提取公因式;

第二步：建立方程組：令參數(shù)的系數(shù)=0,不含參的部分必為0,

第三步：解方程組：求得x和y的值，這個就是定點的橫、縱坐標.

真題感知

1.（23-24高二上?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?階段練習）直線匕:3%-4y+5=。與12：4x-3y-1=0的交點坐標為

()

A.（2,3）B.弓,3）C.（3,|）D,信3）

（3x-4y+5=0（Y--

解析：聯(lián)立方程組42In，解得3,

（4x-3y--=0（y=3

所以兩直線的交點坐標為G，3）.故選：B.

2.（22-23高二上?北京順義?期末）若直線"-ay=0與直線2x+y-l=0的交點為（1,%），則實數(shù)〃的

俏為（）

A.-1B.--C.1D.2

2

解析：直線X-ay=0與直線2X+y-1=。的交點為(1,%),

所以「一"°=°=4°=T

A

(2+yo-l=Obo=T

故選：A.

3.⑵-22高二上?全國?課后作業(yè)）過兩直線匕:無-3y+4=0和12：2%+y+5=。的交點和原點的直線方

程為（）

A.3x-\9y=0B.19x-3y=0

C.[9x+3y=0D.3x+19y=0

解析：設(shè)過兩直線交點的直線系方程為％-3y+4+A（2x+y+5）=0,

代入原點坐標，得4+52=0,解得/（=一：,

故所求直線方程為％-3y+4--i2x+y+5）=0,即3%+19y=0.

故選:D.

4.（24-25高二上?全國?課后作業(yè)）若直線ax+y-2=。經(jīng)過兩直線5%-3y-17=0和X-y-5=0的

交點，則。=（）

A.2B.4C.6D.8

解札聯(lián)立｛5：力二I,解瞎二，

將點（1,-4）代入到直線QX+y-2=0,得。一4一2=0,故a=6.

故選：C.

5.（24-25高二上?浙江?期中）已知三條直線匕:工-2y+2=0,l2：y-2=0,%：m%+y=。將平面分為

六個部分，則滿足條件的小的值共有（）

A.1個B.2個C.3個D.無數(shù)個

解析：因為三條直線—2y+2=0,l2：y—2=0,卜：根》+y=0將平面分為六個部分，

所以三條直線交于一點或兩條平行線與第三條直線相交，

當三條直線交于一點時，聯(lián)立°可得*=y=2,此時2zn+2=0,即m=-1,

當兩條平行線與第三條直線相交時，可得，“/%或，2〃%，

所以m=一：或m=0.

故選：C.

6.（22-23高二上?安徽馬鞍山?期末）（多選）若三條直線，i：2x-y+l=0,2：x+y-l=0，，3：2x+

ay+Q-2=0可以圍成一個三角形，則實數(shù)Q的值可以為（）

A.-1B.0C.1D.3

解析：根據(jù)題意可知三條直線兩兩都不平行，且不同時過同一個點；

當乙,3平行時可得。=一1，此時大合題意，因此QW-1;

聯(lián)立即