5.7切線長定理

知識梳理

核心結(jié)論：本節(jié)核心是掌握切線長定理（從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，切線長相等）及其推

論，理解圓外切四邊形的性質(zhì)，重點(diǎn)用于切線長計(jì)算、角度求解、圖形證明，以及三角形內(nèi)

切圓相關(guān)拓展應(yīng)用。

一、切線長的定義

切線長是指從圓外一點(diǎn)到圓的切線的線段長度（區(qū)別于“切線”：切線是直線，切線長是線

段的長度）。

?關(guān)鍵特征：線段的一個端點(diǎn)是圓外的點(diǎn)，另一個端點(diǎn)是切線與圓的切點(diǎn)（即直線與

圓的唯一公共點(diǎn)）。

二、切線長定理：內(nèi)容、證明邏輯

1.定理內(nèi)容

從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等。

?文字表述：若點(diǎn)P是圓外一點(diǎn)，PA、PB分別是點(diǎn)P到圓的兩條切線，A、B為切點(diǎn)，

則PA=PB,

2.證明邏輯

三、定理的重要推論

1.圓心與圓外點(diǎn)的連線，平分兩條切線的夾角。

2.圓心與圓外點(diǎn)的連線，垂直平分切點(diǎn)所連的弦

四、核心應(yīng)用場景

1.切線長計(jì)算

?已知圓的半徑r和圓外點(diǎn)到圓心的距離d,可通過勾股定理求切線長1：1=7（出-r2）

2.角度求解

3.圓外切四邊形的性質(zhì)

?定義：四條邊都與同一個圓相切的四邊形，稱為圓外切四邊形（該圓為四邊形的內(nèi)

切圓）。

4.三角形內(nèi)切圓相關(guān)計(jì)算

?結(jié)合5.6中“三角形內(nèi)心”的性質(zhì)，已知三角形三邊長（可求周長1）和內(nèi)切圓半徑

r,可通過“切線長相等”推導(dǎo)邊長關(guān)系，或計(jì)算三角形面積（S=1/2x1xr）。

五、易錯提醒

1.混淆“切線”與“切線長”：切線是直線（無長度），切線長是線段長度（有具體數(shù)

值），避免表述為“切線相等”。

2.遺漏定理應(yīng)用前提：切線長定理僅適用于“從同一圓外點(diǎn)引同一圓的兩條切線”，不

同圓或不同外點(diǎn)的切線長不一定相等。

3.誤用圓外切四邊形性質(zhì)：僅“四條邊都與圓相切”的四邊形才滿足“對邊之和相等”，

普通四邊形無此性質(zhì)，需先確認(rèn)四邊形是否為圓外切四邊形。

同步訓(xùn)練

一、單選題

1.如圖，AC±BC于C,BC=a,CA=b,AB=c,Q。與直線/?、BC、/C都相切，則。。

AgB.—C.D.q

2222

2.如圖，在中，ZC=90°,△ABC的內(nèi)切圓的半徑為2,三個切點(diǎn)分別為D,E,F,

若力8=10,則△48C的面積是（）

A.14B.24C.28D.10+10/

3.如圖，△A8C是一張周長為24cm的三角形的紙片，6c=7cm,。。是它的內(nèi)切圓，小

明準(zhǔn)備用剪刀在。。的右側(cè)沿著與。0相切的任意一條直線MN剪下△AMN,則剪下的三角

形的周長為（）

試卷第2頁，共6頁

B

A.12cmB.11cm

C.10cmD.隨直線MN的變化而變化

4.如圖，P為。。外一點(diǎn)，PA,PB,MN分別切O。于A,B,C三點(diǎn)，且切線MN分別交P4

PB于點(diǎn)、M,N.若P4=6,則△2m可的周長為（）

A

5.如圖，△4BC的內(nèi)切圓。。與BC,&4,4B分別相切于點(diǎn)D,E,尸,且4如=6,BC=10,M=

12.則4F的長為（）

6.如圖，4C是。0的直徑，PB、PC是。。的兩條切線，8、C是切點(diǎn)，若乙P=60°,AC=3,

則48的長度為（）

C.V3D.辿

7.如圖，AB,8C,CD分別與◎。相切于E,尸，G三點(diǎn)，BE=4,CG=6,則8C的長為（）

C.12D.14

二、填空題

8.如圖，△ABC中，4c=90。，點(diǎn)。為△力8c的外心，BC=6,AC=8,00是443(7的

9.如圖，過點(diǎn)A作。。的切線切點(diǎn)分別是B,C,連接BC.過席上一點(diǎn)。作的。。

切線，交AB,AC于點(diǎn)E,F.若41=90。，的周長為2,則3C的長為.

10.如圖，PA,PC是。0的切線，A,。為切點(diǎn).若41PC=60。，PO=5,則直徑AB的長

11.如圖，EA.ED是。0切線，切點(diǎn)為4、D,B、C在O0上，若NE=68°,^l^BAE+/.BCD

為.

試卷第4頁，共6頁

AE

三、解答題

12.己知：如圖，AB,4C是。。的切線，B,C是切點(diǎn)，過品1上的任意一點(diǎn)。作。。的切

線與4B,4c分別交于點(diǎn)E.

(1)連接0D和0E,若44=40°,則=

(2)已知力B=5,求近ADE的周長.

13.如圖，P為。。外一點(diǎn)，PA,PB是。。的切線，A,8為切點(diǎn)，點(diǎn)。在0。上，連接04

OC,AC,BC.

(1)求證:^AOC=2Z.PAC；

(2)連接OP,ZAC||OB,O0的半徑為5,AC=6,求OP的長.

14.如圖，尸4PB是。。的切線，4B為切點(diǎn),4C是。。的直徑，連接CB、OP,OP交,48于

點(diǎn)D.

求證:

(1)OPIICB；

(2)2OA2=OP-BC.

15.如圖，點(diǎn)。是以4B為直徑的半圓的圓心，過點(diǎn)4作/D14B,D為直徑4B上方的動點(diǎn),

點(diǎn)E為。。上異于點(diǎn)A的一點(diǎn)，且D4=DE,過點(diǎn)B作力8的垂線交DE的延長線于點(diǎn)C.

(I)求證：QC為。0的切線;

(2)如圖甲，當(dāng)48=口4=4時，求BC的長;

(3)如圖乙，4c與BD交于點(diǎn)G,連接EG并延長交4B于點(diǎn)E求證：點(diǎn)G為EF的中點(diǎn).

試卷第6頁，共6頁

《5.7切線長定理同步訓(xùn)練2025-2026學(xué)年魯教版（五四制）數(shù)學(xué)九年級下冊》參考答案

題號1234567

答案BBCCBBB

I.B

【分析】本題考查了切線長定理的應(yīng)用，是基礎(chǔ)知識要熟練掌握.設(shè)4GBA.與。。的

切點(diǎn)分別為。、F、E；由切線長定理可得：BF=BE,AF=AD,CO=C￡；可用。。分別

表示出的長，根據(jù)B尸=BE,得出CO的表達(dá)式；連接。。、0E；易證得四邊形OOCE

是正方形，即OE=OO=CD,由此可求出。。的半徑.

【詳解】解：設(shè)AC、BA.BC與O。的切點(diǎn)分別為D、F、E；連接OE,

BE是O。的切線,

Z.ODC=Z.OEC=乙DCE=90°,

???四邊形ODCE是矩形,

v0D=0E,

???四邊形ODCE是正方形，^OE=OD=CD,

設(shè)CO=CE=x,則4。=AF=b-x,

由切線長定理，得BF=BE,

則B/1+/1F=8C+CE,c+b-x=a+x,即％=上占，故。。的半徑為強(qiáng)上.

故選：B.

2.B

【分析】本題主要考查三角形內(nèi)切圓與切線長定理的應(yīng)月，根據(jù)題意利用切線的性質(zhì)以及正

方形的判定方法得出四邊形OEC1。是正方形，進(jìn)而利用勾股定理即可得出答案.

【詳解】解：連接D。，E0,

??O。是的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為O,E,F,

答案第1頁，共13頁

???OE1BC,ODLAC,CD=CE,BE=BF,AF=AD

又?:乙C=90°,

二四邊形OECO是矩形，

又?：EO=DO,

二矩形OECO是正方形，

CE=CD=OD=2,

設(shè)8E=BF=X,^\AF=AD=10-X,BC=X+2,XC=2+10-X=12-X

在Rt△ABC中8c2+AC2=AB2

(x+2尸+(12-％尸=102,

解得：Xi=6,x2=4,

BC=6,AC=8,或8c=8,AC=6,

SMBC=-x6x0=24.

故選：B.

3.C

【分析】此題重點(diǎn)考查三角形的周長、三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、切線長定理等知識，推導(dǎo)出

AD+AF=AB+AC-(BD+CF)=10cm,是解題的關(guān)鍵.設(shè)O。與AB、BC、AC,直線MN

分別相切于點(diǎn)。、E、AH,由△ABC的周長為24cm,BC=7cm,求得/B+AC=17cm,

由8。=BE,CF=CE,求得AD+AF=AB+AC-(BD+CF)=10cm,由HM=DM,HN=

FN,得力M+MN+AN=40+AF=10cm,于是得到詞題的答案.

【詳解】解：設(shè)。。與48、BC、AC,直線MN分別相切于點(diǎn)。、E、F、H,

???△718。的周長為24cm,BC=7cm,

AB+AC=AD+BD+CFAF=24-7=17(cm),

???BD=BE,CF=CE,

BD+CF=BECE=BC=7cm,

二AD+AF=AB+AC-(BD+CF)=17-7=10(cm),

???HM=DM,HN=FN,

答案笫2頁，共13頁

:.AM+MN+AN=AM-HMHN+AN=AMDM+FNAN=AD+AF=10cm,

???剪下的三角形的周長為10cm,

故選：C.

4.C

【分析】本題考查了應(yīng)用切線長定理求解，解題關(guān)鍵是掌握上述知識點(diǎn)并能運(yùn)用求解.

利用切線長定理得出/M=MC,BN=NC,BP=PA=6,再利用三角形周長公式求解即

可.

【詳解】解：???P為O。外一點(diǎn)，PA,PB,MN分別切0。于A,B,C三點(diǎn)，且切線MN分

別交P4PB于點(diǎn)M,N,PA=6,

：.AM=MC,BN=NC,BP=PA=6,

，△PMN的周長為PM+MN+PN

=PM+MC+NC+PN

=PM+AM+BN+PN

=PA+BP

=12,

故選：C.

5.B

【分析】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心和切線長定理，設(shè)/戶=a,根據(jù)切線長定理得

出力F=AE,CE=CD,BF=BD,得到80=BF=6-a,CD=CE=12-a,由8。+CD=

FC=10,得到(6-。)+(12-。)=10,求解即可，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)AF=Q,

???△48。的內(nèi)切圓。0與",。,48分別相切于點(diǎn)。,及凡

AF=AE,CE=CD,BF=BD,

VAB=6,BC=10,CA=12,

二BD=BF=6—a,CD=CE=12—a,

???BD+CD=BC=10,

?,*(6-ci)+(12—Q)=10,

解得：Q=4,

即4尸=4,

故選：B.

答案第3頁，共13頁

6.B

【分析】本題主要考查了切線長定理，切線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，連接BC,

證明APBC是等邊三角形，得到48cp=60。，由圓周角定理和切線的性質(zhì)證得NACP=

LABC=90°,進(jìn)而證得乙4cB=30。，即可求出答案.

【詳解】解：連接BC,

,:PB、PC是。0的兩條切線，

:?PB=PC,

*：LP=60°,

是等邊三角形，

:.乙BCP=60°,

??NC是O。的直徑，

J./-ACP=/.ABC=90°,

?ZC8=90°-60°=30°,

：.AC=2ABf

'：AC=3,

：,AB=-.

2

故選：B.

7.B

【分析】本題主要考查了叨線長定理，根據(jù)切線長定理可求出BF,CF的長，進(jìn)而可求出BC

的長.

【詳解】解：???4B，BC,CD分別與。。相切于E,F,G三點(diǎn)，

:.BF=BE=4,CF=CG=6,

:.BC=BF+CF=10,

故選:B.

答案笫4頁，共13貝

8.V5

【分析】本題主要考查了直角三角形的內(nèi)心與外心、三角形內(nèi)心性質(zhì)、三角形外心性質(zhì)、勾

股定理，切線長定理等知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識成為解題的關(guān)鍵.

如圖：過點(diǎn)P作PD1AC于。、「￡11員?于￡、「尸148于￡根據(jù)三角形的內(nèi)心性質(zhì)得到

PD=PE=PF,易得CD=CE、BE=BF、AF=4。得到四邊形POCE是正方形，根據(jù)勾股

定理求出力8=10得到。8=5,求出PF=CD=2得到BF=4,進(jìn)而得到。F=1,最后根據(jù)

勾股定理求解即可.

【詳解】解：如圖：過點(diǎn)尸作PD14。于。、/^18（；于￡、PF14B于尸，

丁點(diǎn)P是內(nèi)切圓的圓心，

/.PD=PE=PF,CD=CE.BE=BF、AF=AD,

???四邊形POCE是正方形，

???△/BC中，ZC=90°,3C=6,AC=8,

：,AB=y/AC2+BC2=10,

設(shè)CD=CE=x,BE=BF=y,AF=AD=z,

(x+y=6?儼=2

則|x+z=8②，解得：y=4,

(y+z=10(3)(z=6

:.BE=BF=4,PE=CE=CD=2,

???點(diǎn)。為△ABC的外心，

：.OR=^AR=5,

：.OF=OB-BF=5-4=1,

：.OP=y/OF2+PF2=V5.

故答案為：V5.

9.V2

【分析】本題主要考查了切線長定理，勾股定理，熟練掌握切線長定理是解題的關(guān)鍵，

利用切線長定埋得出A8=AC,DF=FC,DE=EB,再根據(jù)二角形周長等于2,可求得48=

答案第5頁，共13頁

AC=1,從而利用勾股定理可求解.

【詳解】解：?.N8,AC是。。的切線，切點(diǎn)分別是B,C,

：.AB=AC,

〈OF、DE是。。的切線，切點(diǎn)是。，

:,DF=FC,DE=EB,

V△4E/的周長為2,即力/+EFAE=AF+DF+DE+AE=AC+AB=2,

：,AB=AC=1,

??2A=90°,

：,BC=y]AB2+AC2=Vl2+l2=\[2.

故答案為：V2.

10.5

【分析】本題考杳了切線長定理，切線的性質(zhì)，含30。隹的百角三角形的性質(zhì)等知識，先根

據(jù)切線長定理，切線的性質(zhì)，得出N4PO=NCPO=：4APC=30。，OA1AP,然后根據(jù)含

30。角的直角三角形的性質(zhì)求出力。二去即可求解.

【詳解】解：”力，PC是。。的切線，Z.APC=60°,

.-./.APO=Z.CPO=-Z.APCOA1AP,

2=30°,

???P。=5,

.?/。=lpo=-,

22

.??直徑力B=2AO=5.

故答案為：5.

11.2367236g

【分析】本題考查了圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，切線長定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，正

確作輔助線是解題關(guān)鍵.連接O根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到4B4D+/BCD=18D。，

根據(jù)切線長定理得出：AE=DE,貝Ui巴4D=ZED4=56°,根據(jù)角的和差即可求出答案.

【詳解】解：連接力。，

答案第6頁，共13頁

a

----"EA.EO是OO的切線，切點(diǎn)為A、。，點(diǎn)B、C在。。上，

.??四邊形48CD是O。的內(nèi)接四邊形，

??.△BAD+480)=180°,

-EA.ED是。。的切線，切點(diǎn)為4、D,

根據(jù)切線長定理得出：AE=DE,

v乙E=68°,

二Z-EAD=乙EDA=56°,

Z,BAE+乙BCD=/.BAD4-/.DAE+乙BCD=180°+56°=236°,

故答案為:236°.

12.(1)70°

⑵10

【分析】本題主要考查了切線長定理，切線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟知切線的

性質(zhì)和切線長定理是解題的關(guān)鍵.

(1)由切線的性質(zhì)得到。8=OP=OC,/-OBA=WCA=^OPD=Z-OPE=90°,則由四

邊形內(nèi)角和定理可求出4BOC的度數(shù)，證明RtZkB。。wRtaP。。，Rt△POE三Rt△COE,

可推出功。￡==70°；

(2)由切線長定理得到力B=AC,DB=DP,EP=EC,再根據(jù)三角形周長計(jì)算公式和線

段的和差關(guān)系求解即可.

【詳解】(1)解：如圖所示，連接。氏0C,。0,0E,0P,

丁/18,AEfOE都是O。的切線，

：.OB=OP=OC,Z,OBA=/.OCA=乙OPD=乙OPE=90°,

Vz/1=40°,

:.(BOC=360°-90°-90°-40°=140°；

又「。。=OD,OE=OE,

ARt△BOD三Rt△POD,Rt△POE三Rt△COE,

答案第7頁，共13頁

:.乙BOD=乙POD=-Z-POB,乙POE=乙COE=-Z.POC,

22

:.乙=70°；

DOE=APOD+Z.POE=-2Z-POB+-Z2.POC=-2Z-BOC

(2)解：??N8,AE,DE都是o。的切線，

：.AB=AC,DB=DP,EP=EC,

???△4?！甑闹荛L=4。+。￡1+4￡

=AD+DP+EP+AE

=AD+BD+AEEC

=AB+AC

=2AB

=10.

13.(1)證明見詳解：

(2)OP=5V5；

【分析】(I)延長。。交。。于點(diǎn)。，連接力。，根據(jù)切線得到424。+匕&4。=90。，從而得

到4PAe+Z.ACO=90°,根據(jù)直徑得到N40c+4c4。=90°,即可得到410C="AC,結(jié)

合圓周角定理得到證明；

(2)過。作0E14C交AC于點(diǎn)E,延長AC交PB于點(diǎn)F,先根據(jù)垂徑定理得到4E=CE=

\AC=3,得到。E,再根據(jù)垂直、平行及切線得到四邊形EFB。是矩形，從而得到。E=BF,

結(jié)合勾股定理即可得到答案；

【詳解】(1)證明：延長C。交。0于點(diǎn)。，連接力D,

〈PA是。。的切線，

：.Z.PAC+Z.CA0=90°t

*：0A=0C=r,

：,^AC0=乙CAO,

答案第8頁，共13頁

：./.PAC+/.ACO=90°,

???cz)是。。的直徑，

，4ADC+乙CAO=90。，

???加=AC,

：,LADC=-^AOC,

2

：.LAOC=22PAC；

（2）解：過。作OEJLAC交4c于點(diǎn)E,延長AC交PB十點(diǎn)足

：.AE=CE=-AC=3,LOEC=90°,

2

/.OF=V52-32=4,

??J8是。。的切線，ACIIOB,

J.LOBP=乙EFB=90°,

，乙OEC=乙OBP=乙EFB=90°,

???四邊形"8。是矩形，

：,OE=BF=4,

PB是O。的切線，

：.PA=PB,

在APF中，

2222

AP=(BP-BF)2+AFf即HP?=(AP-4)+8,

解得：AP=10,

答案第9頁，共13頁

在RtZkAOP中，

OP=y/AP2+OA2=V102+52=5Vs.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，切線的性質(zhì)，切線長定理，垂徑定理，勾股定理等

知識，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

14.(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題考查了切線長定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)切線長定理得出P4=PB/APO=乙BPO,根據(jù)三線合一得出P。1AB,根據(jù)4c是

O。的直徑，得出力B1BC,即可得證；

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論得出△4。/)?△4CB,進(jìn)而得出證明△40。?△POA,

得出力。2=0。?。。，即可得證.

【詳解】(1)i止明：???。力,。8是。0的切線，

：.PA=PB,Z,APO=乙BPO,

：.P0LAB.

〈AC是。。的直徑，

：,AB1BC,

；.0PIIC8；

(2)證明：由⑴知OPIICB,

△AODACB?

.XO=OD=1即。

ACBC22

'：AD1OP,OALAP,

：,L0AD=90°-Z-DAP=乙APO,

△AOD?XPOA,

.AO_OD

,,OP一4?！?/p>

：,A02=OP-OD,

?JOO=-2BC,

：.A02=OP-BC,

2

即20^2=OP?BC.

答案第10頁，共13頁

15.(1)見解析

(2)BC=1

(3)見解析

【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，切線長定理，勾股

定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握以上性質(zhì)，并靈活應(yīng)用.

(1)根據(jù)條件證明△。/10三△0E。，得出對■應(yīng)角相等跳可；

(2)過