河北正定中學(xué)高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)一、單選題1.若直線，，則下列向量可以作為直線的方向向量的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】取作為的一個(gè)方向向量，設(shè)為的方向向量，可得，由此可得正確答案.【詳解】取上兩點(diǎn)，，則可以作為的一個(gè)方向向量．設(shè)為的方向向量，∵，∴，故，即，B選項(xiàng)正確．故選：B.2.已知向量，，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示，列式計(jì)算即得.【詳解】向量，，則，所以.故選：A3.如圖所示，已知在長(zhǎng)方體中，，則和BG所成角的大小是（）第1頁(yè)/共20頁(yè)A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由∥，得到為和BG所成角求解.【詳解】因?yàn)椤?，所以為和BG所成角，所以在中，，因?yàn)闉殇J角，所以，所以和BG所成角的大小是，故選：C4.若直線與平行，則實(shí)數(shù)的值為（）A.0B.2C.3D.2或3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線平行可得，運(yùn)算求解并代入檢驗(yàn)即可.【詳解】若直線與平行，則，整理可得，解得或，若，則與平行，符合題意；若，則與重合，不合題意；綜上所述：.故選：B.5.袋子中有5個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個(gè)紅球，3個(gè)黃球，從中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，則兩次都摸到紅球的概率為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】第2頁(yè)/共20頁(yè)【分析】根據(jù)古典概型的概率公式以及獨(dú)立事件的概率公式，可得答案.【詳解】袋子中有個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中個(gè)紅球，個(gè)黃球，從中不放回地依次隨機(jī)摸出個(gè)球，兩次摸到紅球的概率：；故選：A.6.已知圓C：，D是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)M滿足，則點(diǎn)M的軌跡方程為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，，根據(jù)得到，將其代入圓C方程，即得點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】設(shè)，，因，則，由，可得，即，故（*因D是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，故，將（*）代入上式，可得，整理得，即為點(diǎn)M軌跡方程.故選：B7.已知：OB在面積的最大值為（）第3頁(yè)/共20頁(yè)A.B.3C.D.2【答案】B【解析】【分析】分析易得在的延長(zhǎng)線上，且在圓上時(shí)，面積最大，進(jìn)而求解即可.【詳解】由：，即，則圓心，半徑為，因?yàn)椋瑒t，，又，則，即，要使面積最大，則在延長(zhǎng)線上，且在圓上，如圖，此時(shí)，則面積的最大值為.故選：B.8.已知直線恒過(guò)定點(diǎn)A，圓上的兩點(diǎn)，滿足，則的最小值為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】得到PQ的中點(diǎn)為，利用，得到E的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，設(shè)直線l為，利用點(diǎn)到直線的距離求出E到l的最小距離，過(guò)PEQ分別作直線l的垂線，垂足分別為MRN，則四邊第4頁(yè)/共20頁(yè)解.【詳解】直線，，，，，,三點(diǎn)共線，設(shè)弦PQ的中點(diǎn)為，連接OE，則，即，∴，，，所以點(diǎn)E的軌跡方程為，即E的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，設(shè)直線l為，則E到l最小距離為，過(guò)P、E、Q分別作直線l垂線，垂足分別為M、R、N，則四邊形MNQP是直角梯形，且R是MN的中點(diǎn)，則ER是直角梯形的中位線，∴，即，即，所以的最小值為.故選：C．第5頁(yè)/共20頁(yè)二、多選題9.以下四個(gè)命題表述正確的是（）A.若直線傾斜角，則斜率的取值范圍是B.若兩直線平行，則兩直線的傾斜角必相等C.若直線與互相垂直，則D.若直線與平行，則與的距離為【答案】ABD【解析】AB直，一般式方程中參數(shù)的關(guān)系，求出參數(shù)值判斷C；根據(jù)兩直線平行時(shí)，一般式方程中參數(shù)的關(guān)系，求出參數(shù)值，再根據(jù)平行線距離公式，求出結(jié)果判斷D.【詳解】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，由斜率，，故A正確；對(duì)于B：若兩直線平行，則兩直線的傾斜角必相等，故B正確；對(duì)于C：直線與互相垂直，則解得或，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：由有，解得，所以與的距離為，故D正確.故選：ABD.10.如圖正方體的棱長(zhǎng)為1，則下列四個(gè)命題中正確的是（）第6頁(yè)/共20頁(yè)A.正方體被面分割成兩部分的體積比為B.點(diǎn)C到平面的距離為.C.四面體的外接球體積為D.二面角的大小為【答案】ABC【解析】【分析】對(duì)于A，利用棱錐的體積公式計(jì)算分割成的三棱錐的體積，用間接法計(jì)算另一部分體積求其比值即可；對(duì)于B，先證平面，即得點(diǎn)C到平面的距離即即可；對(duì)于C，根據(jù)圖形判斷四面體與正方體共外接球易得其體積；對(duì)于D，證明是二面角的平面角，在中求其正切值即可判斷.【詳解】對(duì)于A，如圖正方體被平面分割成的較小部分的體積為，而較大部分的體積為，則正方體被面分割成兩部分的體積比為，故A正確；對(duì)于B，連接，設(shè)交點(diǎn)為點(diǎn)，則，因平面，平面平面，則，第7頁(yè)/共20頁(yè)又平面，故平面，則點(diǎn)C到平面的距離即，故B正確；對(duì)于C，因四面體的外接球即正方體的外接球，故其半徑為，其體積為，故C正確；對(duì)于D，連接，交于點(diǎn)，連接，因平面，平面，則，又，平面，則平面，因平面，故，即是二面角的平面角，因，故D錯(cuò)誤故選：ABC.已知直線和圓相交于M，N兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若直線不過(guò)第四象限，則B.C.的最小值為D.圓上到直線的距離為的點(diǎn)恰好有三個(gè)，則【答案】BC【解析】【分析】對(duì)A，直線變形后求出所過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)得解；對(duì)B，數(shù)形結(jié)合得到當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離最大，最小，由垂徑定理求出的最小值；對(duì)C，表達(dá)出，求出最小值；對(duì)D，由題可得圓心到直線的距離，從而求出.第8頁(yè)/共20頁(yè)【詳解】對(duì)于A，根據(jù)題意變形為，直線恒過(guò)定點(diǎn)，直線不過(guò)第四象限，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由題意可知，當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離最大，此時(shí)最小，圓，圓心，半徑，其中，此時(shí)，又因?yàn)榇藭r(shí),而直線不可能表示,所以,故B正確；對(duì)于C，，因?yàn)榈淖钚≈禐?，如圖，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的最小值為，故C正確；對(duì)于D，，因?yàn)閳A上到直線的距離為的點(diǎn)恰好有三個(gè)，所以圓心到直線的距離，即，解得，故D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題12.若向量，，且與的夾角余弦值為，則等于____________【答案】第9頁(yè)/共20頁(yè)【解析】【分析】根據(jù)向量的夾角公式求解.【詳解】由已知有：，解得，由，可知，所以.故答案為：.13.從高三抽出50名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，由成績(jī)得到如圖的頻率分布直方圖，則估計(jì)這50名學(xué)生成績(jī)的分位數(shù)為_(kāi)___________分．【答案】86.25【解析】【分析】利用給定的頻率分布直方圖，借助頻率及百分位數(shù)的求法估計(jì)分位數(shù)即可．【詳解】依題意，前四個(gè)小矩形的面積之和為，前五個(gè)小矩形的面積之和為，因此分位數(shù)位于內(nèi)，，所以估計(jì)這50名學(xué)生成績(jī)的分位數(shù)為86.25分．故答案為：86.2514.如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則的取值范圍是______.第10頁(yè)/共20頁(yè)【答案】【解析】【分析】連接分別交平面，平面于點(diǎn)，，根據(jù)為定值，計(jì)算得到平面的距離，得點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，在平面的投影是以為圓心，為半徑的圓，計(jì)算到直線的距離為，進(jìn)而得到到直線的距離.【詳解】如圖，正方體中，平面，平面，連接分別交平面，平面于點(diǎn)，，則，由得,解得同理，故因?yàn)?，所以，?1頁(yè)/共20頁(yè)所以動(dòng)點(diǎn)軌跡是以為圓心，為半徑的圓；所以點(diǎn)在平面的投影是以為圓心，為半徑的圓；設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，又點(diǎn)到直線的距離為，則，即，所以點(diǎn)到直線的距離，故答案為：四、解答題15.已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，.（1）求過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線的方程；（2）求邊上的高所在直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】1）求得直線的斜率，利用點(diǎn)斜式即可求得直線方程；（2）由兩直線垂直關(guān)系可得所求直線的斜率為3，代入點(diǎn)斜式方程可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】第12頁(yè)/共20頁(yè)由，可知，故所求直線的方程為，即.【小問(wèn)2詳解】易知，則所求直線的斜率為3，故所求直線的方程為，即.16.已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且．（1）求；（2）若，且的面積為，求的周長(zhǎng)．【答案】（1）（2）【解析】1的范圍即可求解；（2）由，求得，由得，由余弦定理得，即可求得的周長(zhǎng).【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，因?yàn)?，可得，所以，若，則，不合題意，故，所以，第13頁(yè)/共20頁(yè)又因?yàn)?，所?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)榈拿娣e為，可得，可得，又因?yàn)?，所以，由余弦定理，可得，所以，所以的周長(zhǎng)為.17.已知圓Cx﹣a）2+（y﹣2）2＝4（a＞0）及直線l：x﹣y+3＝0．當(dāng)直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為時(shí)，求（Ⅰ）a的值；（Ⅱ）求過(guò)點(diǎn)（3，5）并與圓C相切的切線方程．【答案】（Ⅰ）a＝15x﹣12y+45＝0或x＝3．【解析】l的距離da的方程，求出方程的解即可得到a的值，然后由a大于0，得到滿足題意a的值；（Ⅱ）把（Ⅰ）求出a的值代入圓的方程中確定出圓的方程，即可得到圓心的坐標(biāo)，并判斷得到已知點(diǎn)在圓外，分兩種情況：當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，得到x＝3為圓的切線；當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線的斜率為k35k寫(xiě)出切線的方程，根據(jù)直線與圓相切時(shí)圓心到直線的距離等于圓的半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離dd等于圓的半徑即可列出關(guān)于k即可得到kk方程．C（a，2r＝2，則圓心到直線l：x﹣y+3＝0的距離，由勾股定理可知，代入化簡(jiǎn)得|a+1|＝2，解得a＝1或a＝﹣3，第14頁(yè)/共20頁(yè)（Ⅱ）由（1）知圓Cx﹣1）2+（y﹣2）2＝4，圓心坐標(biāo)為（1，2r＝2由（3，5）到圓心的距離為r＝2，得到（3，5）在圓外，∴①當(dāng)切線方程的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y﹣5＝k（x﹣3）由圓心到切線的距離dr＝2，化簡(jiǎn)得：12k＝5，可解得，∴切線方程為5x﹣12y+45＝0；②當(dāng)過(guò)（3，5）斜率不存在直線方程為x＝3與圓相切．由①②可知切線方程為5x﹣12y+45＝0或x＝3．【點(diǎn)睛】此題考查學(xué)生掌握直線與圓相切時(shí)所滿足的條件，靈活運(yùn)用垂徑定理及勾股定理化簡(jiǎn)求值，靈活運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式化簡(jiǎn)求值，是一道綜合題18.中，為直角，，沿折起至.（1）若平面平面，求證：；（2）設(shè)是的中點(diǎn)，若二面角為30°，求二面角的大小.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）120°.【解析】1）由等腰三角形性質(zhì)、余弦定理及勾股定理可得，法一：由面面垂直的性質(zhì)有CD⊥平面PBDPB⊥面PCDBD中點(diǎn)QCQPQPQ⊥BDPQ⊥CQ可證結(jié)論.（2、分別是、、是二面角的第15頁(yè)/共20頁(yè)平面角，在面上過(guò)作并構(gòu)建直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)已知確定相關(guān)即PQ⊥BDBC中點(diǎn)FQFPQF為二面角PBDCPF交BE于MQMBD⊥QMMQF為二面角EBDC及三角形面積公式求∠MQF.【小問(wèn)1詳解】由題設(shè)知：△PBD為等腰直角三角形且PB⊥PD，PB=PD=，則BD=4，又∠DBC=45°，BC=，在△BCD中由余弦定理得：CD=4，所以，即，法一：又面PBD⊥面BCD，面PBD面BCD=BD，面，所以CD⊥平面PBD，面PBD，則CD⊥PB，又，所以PB⊥面PCD，面PCD，則PB⊥PC.法二：取BD中點(diǎn)Q，連接CQ，在Rt△CDQ中,連接PQ，則PQ=2且PQ⊥BD，又面PBD⊥面BCD，面PBD面BCD=BD，面PBD，所以PQ⊥面BCD，面BCD，則PQ⊥CQ，在Rt△PQC中，又，所以，在△PBC中，即PB⊥PC.【小問(wèn)2詳解】法一：設(shè)、分別是、的中點(diǎn)，連接、，則，，又，則面，第16頁(yè)/共20頁(yè)所以是二面角的平面角.在面上過(guò)作，如圖以為原點(diǎn)，直線為x軸，直線為軸，直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系．則，，，設(shè)，，則，，故，．設(shè)面的法向量為，則，取，得．顯然平面的一個(gè)法向量為因?yàn)?，二面角為，則，整理得，解得，所以，所以，二面角的大小為.法二：由（1）法二：PQ⊥BD，取BC中點(diǎn)F，連接QF，則QF∥CD且QF=CD=2，所以QF⊥BD，又，則面，則∠PQF為二面角PBDC的平面角，第17頁(yè)/共20頁(yè)所以BD⊥QM，則∠MQF為二面角EBDC的平面角，且∠MQF=30°，易知：M是△PBC的重心，則，即，所以∠PQM=90°，故∠PQF=120°，即二面角PBDC的大小是120°.19.P為多面體MM在點(diǎn)P處的離散曲率為為多面體M的所