第02講排列組合

考情探究............................................................2

知識(shí)梳理............................................................2

探究核心考點(diǎn)........................................................4

考點(diǎn)一排列與排列數(shù)......................................................................4

考點(diǎn)二組合與組合數(shù)......................................................................5

考點(diǎn)三相鄰元素捆綁法...................................................................7

考點(diǎn)、b不相鄰元素插會(huì)樂(lè).................................................................8

考疝五特殊元素優(yōu)先安加法..............................................................10

考點(diǎn)、六定序問(wèn)題縮信法..................................................................11

考點(diǎn)七國(guó)挑問(wèn)題直排法..................................................................13

考點(diǎn)八多挑問(wèn)題單排東..................................................................14

老皮九元素相同問(wèn)題隔板法..............................................................15

考點(diǎn)十分組問(wèn)題..........................................................................16

考點(diǎn)十一分堆問(wèn)題.......................................................................17

考點(diǎn)十二多面手問(wèn)題.....................................................................19

考點(diǎn)十三染色問(wèn)題-合理分類(lèi)與分步.....................................................21

考點(diǎn)十e最短路位問(wèn)題..................................................................23

三階突破訓(xùn)練.......................................................26

能力提升..................................................................................31

真題感知..................................................................................37

A考情探究＜

一、5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)

2025?上海排列無(wú)

2024?全國(guó)甲卷排列無(wú)

2023?全國(guó)乙卷排列組合綜合無(wú)

2024?新課標(biāo)II卷列舉法無(wú)

二、命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是高考卷的?？純?nèi)容，以考查基本概念和基本方法為主，涉及特殊元素與特殊位置、

兩元索相鄰或不相鄰、分組、分配等問(wèn)題.

【備考策略】（1）理解排列、組合的概念.

（2）能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式.

（3）能利用排列組合解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.

【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容與生活實(shí)際聯(lián)系緊密，考生可適當(dāng)留意常見(jiàn)的排列組合現(xiàn)象.設(shè)題穩(wěn)定，難度中等

偏難，分值為5分.

＞知識(shí)梳理＜

1.排列

①排列的定義：一般地，從〃個(gè)不同元素中取出加（機(jī)《〃）個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從〃個(gè)

不同元素中取出，〃個(gè)元素的一個(gè)排列.

②排列數(shù)、排列數(shù)公式：從〃個(gè)不同元素中取出〃2（〃7工〃）個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)叫做從〃個(gè)不同元

fl!

素中取出切個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)A：表示，其中=f〃”N.,且“。.

2.組合

①組合的定義：一般地，從〃個(gè)不同元素中取出〃?（，〃<〃）個(gè)元素合成一組，叫做從〃個(gè)不同元素中取出〃?

個(gè)元素的一個(gè)組合.

②組合數(shù)、組合數(shù)公式：從〃個(gè)不同元素中取出根（，〃《〃）個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從〃個(gè)不同

元素中取出加個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)C；表示.

〃！

公式：C：=---:-其中且

inl（n-m）1

規(guī)定：C：=l

③排列與組合的關(guān)系

相司點(diǎn)兩者都是從〃個(gè)不同元素中取出?。āㄓ摇ǎ﹤€(gè)元素

排列問(wèn)題中元素有序，組合問(wèn)題中元素?zé)o序

不司點(diǎn)

（關(guān)鍵是看選出的元素是否與順序有關(guān)，若有關(guān)系，則是排列問(wèn)題，若無(wú)關(guān)系，則是組合問(wèn)題）

④組合數(shù)的性質(zhì)

性質(zhì)1：c：=C：-W；

性質(zhì)2：C3=C：+C；l

3.分類(lèi)

問(wèn)題方法

既可以從元素入手，也可以從位置入手，原則是誰(shuí)''特

“在”與“不在”的有限制條件的排列問(wèn)題

殊”誰(shuí)優(yōu)先.

"捆綁法''：把相鄰元素看作一個(gè)整體利其他元素一起

相鄰問(wèn)題

排列，同時(shí)要注意捆綁元素的內(nèi)部排列

“插空法”：先考慮不受限制的元素的排列，再將不相

不相鄰問(wèn)題

鄰的元素插在前面元素排列的空擋中

先不考慮J順序限制，排列后，再除以定序元素的全排

定序問(wèn)題

列

正面考慮比較復(fù)雜的句題“間接法”，反面入手

平均分組問(wèn)題一般先分〃堆，再除以A；.

不平均分組問(wèn)題先分〃堆，其中有〃?組個(gè)數(shù)一樣，再除以A：；

“隔板法”：將〃個(gè)相同的元素分成〃7份,每份至少一個(gè)

相同元素的“分配”問(wèn)題元素,可以用，〃一1塊隔板，插入〃個(gè)元素排成一排的

〃一1個(gè)空隙中，

A探究核心考點(diǎn)<

考點(diǎn)一排列與排列數(shù)

典例1.用1,2,3,4,5,6可以組成N個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的六位奇數(shù)，則八=()

A.360B.400C.420D.450

【答案】A

【分析】根據(jù)排列公式計(jì)算即可.

【詳解】個(gè)位數(shù)字可以是135,可得N=3A；=360,

故選：A.

典例2.(1)求3C：+gA：的值；

(2)解不等式A；V6A；-2.

【答案】(1)280；(2){x\x=S}

【分析】(1)根據(jù)排列數(shù)以及組合數(shù)公式計(jì)算，即得答案；

(2)根據(jù)排列數(shù)公式，解不等式，即得答案.

1o7x6I

【詳解】(1)3C-+-A^=3xx^-i-^+Ax8x7x6=280；

33x2x13

,8!,8!

(2)由AE6A「，得正*<6x西

化簡(jiǎn)得幺-19工+84<0,解得7vxvl2.①

I8>x_

又八Z所以2C48.②

|x-2>0

由①②及xeN,得x=8,

即不等式的解集為kk=8}.

跟蹤訓(xùn)練1.A；=()

A.10B.15C.20D.25

【答案】C

【分析】根據(jù)排列數(shù)的運(yùn)算直接求解即可.

【詳解】根據(jù)排列數(shù)的運(yùn)算，A；=5x4=20.

故選:C.

跟蹤訓(xùn)練2.證明下列等式.

⑴"）A；=A*

⑵，A;T=A;.

n-m

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵證明見(jiàn)解析

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合排列數(shù)公式，準(zhǔn)確化簡(jiǎn)、運(yùn)算，即可求解.

【詳解】（1）證明：由排列數(shù)的公式，可得：

（0,！A詈.

（/?-/??）!（〃一陽(yáng)）！+1，！

1am.11加〃！

⑵證明：由排列數(shù)公式，可得不盛可~

考點(diǎn)二組合與組合數(shù)

典例1.滿足條件c：＞c的正整數(shù)〃的個(gè)數(shù)是（）

A.10B.9

C.4D.3

【答案】C

【分析】用階乘表示組合數(shù)，化簡(jiǎn)求出〃范圍.

,./?!n\

【詳解】由C＞c河得麗F＞麗

整理得〃2一9〃一10＜0,解得一1＜門(mén)＜10，

所以6W”10,又〃eN'，所以"=678,9.

故選:C.

典例2.證明：HC+COCM++C：C，=C：2A

【答案】證明見(jiàn)解析

【分析】可看作以下情況：求從〃副不同的手套中任取女只，全不配對(duì)的情況總數(shù)，一方面，可分A+1步完

成，另一方面，也可分Z+1類(lèi)解決，計(jì)算可得結(jié)論.

【詳解】可看作以下情況：求從“副不同的手套中任取左只，全不配對(duì)的情況總數(shù).

一方面，可分攵+1步完成：

笫I步，4只手套必須來(lái)自k副不同的手套，有C：種，并對(duì)取出的女副手套編號(hào)；

第2步，在1號(hào)副手套中任選1只，有2種；

第3步，在2號(hào)副手套中任選1只，有2種；

第2+1步，在攵號(hào)副手套中任選I只，有2種，

由乘法原理知共有C：2?種.

另一方面，也可分憶+1類(lèi)解決，設(shè)集合A為〃只左手手套，集合B為〃只右手手套，

分別從集合A中取0,1，2,L,女只手套，

對(duì)應(yīng)著從集合K中取不與己選左手手套配對(duì)的々，k—l,k-2,L,i,0只手套（如下表）,

則由加法原理知不同的取法有C：C：+C；C3+C：C3++C：C3科1.

類(lèi)別AB種數(shù)

第1類(lèi)0kc：c：

第2類(lèi)1k-\

第3類(lèi)2k-2C：*

第4類(lèi)3k-3C：*

?????????

第人類(lèi)k-\1JJ-Zl

第*+1類(lèi)k0CCM

從而有Cc：+C；C3+C：CE++C：C/=C：21

跟蹤訓(xùn)練1.給出下列問(wèn)題：

①若集合A={〃也c/}求集合A的含有3個(gè)元素的子集的個(gè)數(shù)；

②求從甲、乙、丙三名同學(xué)中選兩名同學(xué)參加兩項(xiàng)不同的活動(dòng)的選法種數(shù);

③求從7本不同的書(shū)中選出5本給某一個(gè)同學(xué)的選法種數(shù)；

④求四個(gè)城市之間需要準(zhǔn)備的飛機(jī)票的種數(shù)；

⑤把3本相同的書(shū)分給5個(gè)學(xué)生，求每人最多得1本的分法種數(shù).

其中是組合問(wèn)題的為（）

A.①?B.?@C.①③⑤D.①③

【答案】C

【分析】根據(jù)組合的定義分別判斷即可.

【詳解】對(duì)于①，集合的元素與順序無(wú)關(guān)，故①是組合問(wèn)題；

對(duì)于②，從甲、乙、丙三名同學(xué)中選兩名同學(xué)參加兩項(xiàng)不同的活動(dòng)與順序有關(guān)，故②是排列問(wèn)題；

對(duì)于③，從7本不同的書(shū)中選出5本給某一個(gè)同學(xué)，與順序無(wú)關(guān)，故③是組合問(wèn)題；

對(duì)于④，因?yàn)轱w機(jī)有起始站與終點(diǎn)站，故四個(gè)城市之間需要準(zhǔn)冬的飛機(jī)票的種數(shù)與順序有關(guān)，故④是排列

問(wèn)題；

對(duì)于⑤，因?yàn)闀?shū)是相同的，所以問(wèn)題就等價(jià)于從5人中選出3人，故⑤是組合問(wèn)題.

故選：C.

跟蹤訓(xùn)練2.(多選)已知〃則()

A.C^=CSSB.A：=C：A：

C.A；：+A；T=AND.

【答案】ABD

【分析】AB選項(xiàng)，利用排列和組合的性質(zhì)得到BC正確；C選項(xiàng)，可舉出反例；D選項(xiàng)，利月組合數(shù)公式

得到心=〃/標(biāo)=，〃x=y.

(m-1)!)!m\J(n"-m)!

【詳解】A選項(xiàng)，由組合數(shù)性質(zhì)得C獲5=C黑3A正確；

B選項(xiàng)，由組合數(shù)計(jì)算公式得A；=C；A：,B正確；

C選項(xiàng)，不妨設(shè)〃=4,“7=3,貝JIA：=24,A：=12,A；=6O,

顯然A；+A：'A：\,C錯(cuò)誤;

D選項(xiàng)，心：二=n-—=tn--="?；?D正確.

(加一1)!(〃一fnl(n-niy.

故選：ABD

考點(diǎn)三相鄰元素捆綁法

典例1.由1,2,3,4,5,6,7,8組成一個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，任何相鄰兩個(gè)數(shù)字的奇偶性不同，

且滿足3和4相鄰，則這樣的八位數(shù)有()個(gè).

A.432B.257C.216D.504

【答案】D

【分析】將3和4捆綁，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得.

【詳解】第一步，排1，5,7三個(gè)數(shù)，有A；=6種不同的排法；

第二步，排2,6,8三個(gè)數(shù)，有C；A；=12種不同的排法；

第三步，將3和4作為一個(gè)整體插入，有C；=7種不同的排法，

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，組成的不同的八位數(shù)共有6x12x7=5皿個(gè).

故選:D.

典例2.現(xiàn)有3名男生和3名女生要與班主任站成一排合影，班主任站中間，則3名女生有且僅有2名相鄰

的站法總數(shù)為.（結(jié)果用數(shù)字作答）.

【答案】432

【分析】先確定班主任位置.，再?gòu)?名女生中選2名“捆綁”，將“捆綁”的女生與剩余1名女生插入男生形成

的空位，最后排列男生和“捆綁”體、剩余女生，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算站法總數(shù).

【詳解】班主任站中間位置，只有1種站法；

從3名女生中選2名女生并“捆綁”，有C；種選法；“捆綁”的2名女生內(nèi)部有A；種排列順序；

3名男生全排列，有A；種排法，3名男生排列后形成4個(gè)空位（包括兩端）；

從4個(gè)空位中選2個(gè)空位插入“捆綁”的女生整體和剩余1名女生，有A：種插空方法；

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，總站法數(shù)為C；xA；xA；xA：=3x2x6x12=432.

故答案為：432

跟蹤訓(xùn)練1.三個(gè)人坐在一排5個(gè)座位上，空位相鄰的坐法有種.（用數(shù)字作答）

【答案】24

【分析】將兩個(gè)空位視為一個(gè)整體與三個(gè)人排列，結(jié)合排列數(shù)的定義及計(jì)算公式可得結(jié)論.

【詳解】將兩個(gè)空位視為一個(gè)整體與三個(gè)人排列，又兩個(gè)空位沒(méi)有區(qū)別，故共有A：=24種排法.

故答案為：24.

跟蹤訓(xùn)練2.某高中學(xué)校經(jīng)過(guò)推薦和選拔，挑選6名同學(xué)（4名男生、2名女生）參加奧林匹克生物競(jìng)賽，

并進(jìn)行合影留念.若女生必須相鄰，則有種不同的排法用數(shù)字作答）

【答案】240

【分析】根據(jù)題意，使用捆綁法，2名女生相鄰，將其排在一起當(dāng)做一個(gè)元素，有2種情況，再將其與其他

4名男生全排列，由分步計(jì)數(shù)原理乘法公式，計(jì)算可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行，

先將2名女生排在一起，看成一個(gè)元素，考慮其順序，有A；種情況，

再將其與其他4名男生全排列，有A；種情況，

則其不同的排列方法為A；A；=24。種，

故答案為：240.

考點(diǎn)四不相鄰元素插空法

典例1.現(xiàn)將2本不同的數(shù)學(xué)書(shū)、3本不同的物理書(shū)、1本化學(xué)書(shū)放在一個(gè)單層的書(shū)架上，且同類(lèi)的書(shū)各不

相鄰，則不同的放法有（）

A.12（）種B.144種C.96種D.160種

【答案】A

【分析】分化學(xué)書(shū)在2本數(shù)學(xué)書(shū)之間，或是1本物理書(shū)在2本數(shù)學(xué)書(shū)直接，再按照分步計(jì)數(shù)原理，插空法

解決問(wèn)題.

【詳解】第一種情況，首先化學(xué)書(shū)在2本數(shù)學(xué)書(shū)的中間，數(shù)學(xué)書(shū)排列有2種方法，再讓三本物理書(shū)插空，

有M=24種方法，所以共有2x24=48種方法，

第二種情況，若1本物理書(shū)在2本數(shù)學(xué)書(shū)的中間，則這3本書(shū)看成I個(gè)元素，有3A；=6種方法，再和化學(xué)

書(shū)排列有A；=2種方法，最后剩下的2本物理書(shū)插空，有考=6種方法，所以共有6x2x6=72種方法，

綜上，共有48+72=120種方法.

故選:A

典例2.中國(guó)古代中的“禮、樂(lè)、射、御、書(shū)、數(shù)”合稱(chēng)“六藝”.某校國(guó)學(xué)社團(tuán)開(kāi)展“六藝”講座活動(dòng)，每“藝”

安排一次講座，共開(kāi)展六次.講座次序要求"射''和"御”必須相鄰，“禮”和“書(shū)”不相鄰，則“六藝”講座不同的

次序共有種.

【答案】144

【分析】由題意，將“射”和“御”捆綁看作一個(gè)元素與“樂(lè)”和“數(shù)”進(jìn)行全排列，再將“禮”和“書(shū)”排到所得排列

的空隙中，最后將"射''和"御”交換位置，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理即可求解?.

【詳解】先將“射''和"御”“捆綁”視為一個(gè)元素，再與“樂(lè)''和"數(shù)”一起排列，有A：種不同的次序，

再將“禮”和“書(shū)”排到所得排列的空隙中（“射”和“御”中間不能排），有A：種不同的次序，

最后將“射"和“御'’交換位置，有A；種不同排序，

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知“六藝”講座不同的次序共有A；A：A；=144種.

故答案為：144.

跟蹤訓(xùn)練1.一排有7個(gè)空座位，有3人各不相鄰而坐，則不同的坐法共有種.

【答案】60

【分析】根據(jù)題意，運(yùn)用插空法即可得到結(jié)果.

【詳解】首先拿出4個(gè)空座位，則四個(gè)空座位之間一共有5個(gè)空位，包括兩端，

從5個(gè)空位中選出3個(gè)空位，對(duì)3人進(jìn)行全排列，即得不同的坐法共有A；=60種.

故答案為：60.

跟蹤訓(xùn)練2.如圖，有三個(gè)不同班級(jí)的各兩名代表要坐在長(zhǎng)方形桌了?的6個(gè)座位（座位序號(hào)為1~6）上座談，

要求同一班級(jí)的兩名代表既不能正對(duì)面（例如：一個(gè)人坐1號(hào)座位，則同班級(jí)的另一個(gè)人不能坐6號(hào)座位）

也不能左右相鄰就坐，則所有可能坐法為種.

【答案】96

【分析】先分析座位的限制關(guān)系，再根據(jù)排列組合的知識(shí)計(jì)算所有可能的坐法即可得.

【詳解】假設(shè)三個(gè)不同班級(jí)的各兩名代表分別為c,d、ej,

若1,2,3號(hào)座位只有兩個(gè)不同班級(jí)的代表，則同一班級(jí)的在L3號(hào)座位，

則4,6號(hào)座位需為另一同班級(jí)的兩名代表，

此時(shí)2,5號(hào)座位為同一班級(jí)的兩名代表，不符合題意，

故1,2,3號(hào)座位必須是3個(gè)不同班級(jí)的代表，有種方法；

則4,5,6號(hào)座位只育2x1=2種就坐方法，因此所和可能坐法為2A；?2?=96.

故答案為：96.

考點(diǎn)五特殊元素優(yōu)先安排法

典例L3個(gè)男同學(xué)和3個(gè)女同學(xué)排成一列，進(jìn)行遠(yuǎn)足拉練.要求排頭和排尾必須是男同學(xué)，則不同的排法

有（）種.

A.36B.108C.120D.144

【答案】D

【分析】分步驟分析，利用排列組合的乘法原理來(lái)計(jì)算即可.

【詳解】總共有3個(gè)男同學(xué)，排頭必須是男同學(xué)，所以排頭的選擇有A；=3種，

所以排尾只能從剩余2個(gè)男同學(xué)選取，有A；=2種，

最后剩余4人安排在中間4個(gè)位置,有A：=4!=24種,所以一共有3x2x24=144種.

故選:D.

典例2.甲、乙、丙、丁、戊五人去甘肅、貴州、陜西三省旅游，每人只去一個(gè)省份，已知甲、乙都不去陜

西，丙、丁去的省份不同，則這五人不同的選擇共有（）

A.36種B.72種C.6（）種D.96種

【答案】B

【分析】先安排甲乙，然后安排丙丁，最后安排戊，由分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即得.

【詳解】先安排甲乙，分別在甘肅、貴州兩省中人選一處，力法數(shù)有2x2種，

然后安排丙丁，在三省中任選兩處并考慮順序，方法數(shù)有A；種，

最后安排戊，在三省中任選一處，方法數(shù)有3種，

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理」這五人不同的選擇共有2x2xA；x3=72種.

故選：B

跟蹤訓(xùn)練1.在2024年梧州“半程馬拉松”活動(dòng)中，組委會(huì)將小明等四位志愿者分配到兒伐C三個(gè)場(chǎng)館執(zhí)勒，

若每個(gè)場(chǎng)館至少分到一人，且小明不能被分配到A場(chǎng)館，則不同分配方案的種數(shù)是（）

A.24B.36C.48D.60

【答案】A

【分析】分“小明單獨(dú)一人執(zhí)勤一個(gè)場(chǎng)館”、"小明和另一個(gè)人一起執(zhí)勤一個(gè)場(chǎng)館''兩種情況分析計(jì)算即可得解.

【詳解】分兩種情況：第一種情況，小明單獨(dú)一人執(zhí)勤一個(gè)場(chǎng)館，共有C；C；A；=12種；

第二種情況，小明和另一個(gè)人一起執(zhí)勤一個(gè)場(chǎng)館，共有C；C；A；=12種.

綜上，共有24種不同分配方案.

故選：A

跟蹤訓(xùn)練2.六名學(xué)生排成一行，則甲不在兩端的排法種數(shù)為.

【答案】480

【分析】應(yīng)用分步乘法，先排甲再對(duì)其它學(xué)生作全排，即可得.

【詳解】將甲排在中間四個(gè)位置有C〉再把其它5名學(xué)生作全排有A"

所以甲不在兩端的排法種數(shù)有C：A；=4x5x4x3x2x1=480種.

故答案為：480

考點(diǎn)六定序問(wèn)題縮倍法

典例1.12名同學(xué)合影，站成了前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排，其他人的

相對(duì)順序不變，則不同調(diào)整方法的種數(shù)是（）

A.C；A；B.C.C；A；D.

【答案】D

【分析】第一步可先從后排8人中選2人共有C；種，第二步可認(rèn)為前排放6個(gè)座位，選出2個(gè)座位讓后排的

2人坐，由于其他人的順序不變，求出共有A；種坐法，最后利用分步乘法原理即可.

【詳解】解：第一步可先從后排8人中選2人共有《種；

第二步可認(rèn)為前排放6個(gè)座位，選出2個(gè)座位讓后排的2人坐，

由于其他人的順序不變，所以有A：種坐法；

綜上知不同調(diào)整方法的種數(shù)為C；A：.

故選：D.

典例2.有6位同學(xué)排成一排準(zhǔn)備拍照，拍照前加入了2位同學(xué)，如果要求他們?nèi)哉境梢慌?，同時(shí)原來(lái)6位

同學(xué)的相對(duì)順序保持不變，則有種不同的站法.（用數(shù)字作答）

【答案】56

【分析】利用排列中的定序問(wèn)題的處理方法求解.

【詳解】因?yàn)楣?位同學(xué)站成一排，原來(lái)6位同學(xué)的相對(duì)順序保持不變，

所以共有爺=7x8=56種不問(wèn)站法，

故答案為：56.

跟蹤訓(xùn)練1.城步苗族自治縣“六月六山歌節(jié)'’是湖南省四大節(jié)慶品牌之一，至今已舉辦25屆.假設(shè)在即將舉

辦的第26屆“六月六山歌節(jié)”中，組委會(huì)要在原定排好的10個(gè)“本土歌舞”節(jié)目中增加2個(gè)“歌王對(duì)唱”節(jié)目.

若保持原來(lái)10個(gè)節(jié)目的相對(duì)順序不變，則不同的排法種數(shù)為（）

A.110B.144C.132D.156

【答案】C

【分析】共有12個(gè)節(jié)目，只需排好2個(gè)“歌王對(duì)唱”節(jié)目即可，根據(jù)排列數(shù)計(jì)算即可得出答案.

【詳解】添加節(jié)目后，共有12個(gè)節(jié)目，

因?yàn)楸３衷瓉?lái)10個(gè)節(jié)目的相對(duì)順序不變，

則只需排好2個(gè)“歌王對(duì)唱”節(jié)目即可，

所以，不同的排法種數(shù)為Ah=12x11=132.

故選：C.

跟蹤訓(xùn)練2.書(shū)架上某層有6本不同的書(shū)，新買(mǎi)了3本不同的書(shū)要插進(jìn)去，要保持原來(lái)6本書(shū)的原有順序不

變，有多少種插法？

【答案】504

【分析】

將新買(mǎi)的3本書(shū)放入這9個(gè)位置中的3個(gè)，其余的6本書(shū)按著原來(lái)的順序依次放入即可.

【詳解】方法一：把書(shū)架上這一層欲排的9本書(shū)看作9個(gè)位置，

將新買(mǎi)的3本書(shū)放入這9個(gè)位置中的3個(gè)，其余的6本書(shū)按著原來(lái)的順序依次放入，

因此不同的插法種數(shù)為A；=504.

方法二：將新買(mǎi)來(lái)的3本書(shū)逐一插進(jìn)去：

第I本書(shū)插入6本書(shū)形成的7個(gè)空位中的1個(gè)，有7種插法；

第2本書(shū)插入現(xiàn)在的7本書(shū)形成的8個(gè)空位中的I個(gè)，有8種插法；

最后1本書(shū)插入現(xiàn)在的8本書(shū)形成的9個(gè)空位中的1個(gè)，有9種插法.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,不同的插法共有7x8x9=504（種）.

考點(diǎn)七圓排問(wèn)題直排法

典例1.某次宴會(huì)，有4葷3素2湯共九道菜品在圓桌上擺成一圈，且兩道湯不相鄰，則不同的擺法共有（）

A.40320B.30240C.21600D.5760

【答案】B

【分析】利用分布計(jì)數(shù)乘法原理結(jié)合排列組合，解決“圓桌排列”和“不相鄰”問(wèn)題.

【詳解】由題意，先將4葷3素共7道菜品在圓桌上擺成?圈，有半種擺法，再將兩道湯插空有C；A；種

擺法，

所以總共有爭(zhēng)C爾=30240種擺法.

故選:B.

典例2.圓排列最早出現(xiàn)在《易經(jīng)》里.當(dāng)A,B,C三位同學(xué)圍成一個(gè)圓時(shí)，排列與該排列旋轉(zhuǎn)一個(gè)

或幾個(gè)位置得到的排列BCA或C/仍是同一個(gè)排列，現(xiàn)有六位同學(xué)圍成一個(gè)圓做游戲，其排列總數(shù)為.

【答案】120

【分析】由條件中所舉的3個(gè)人的“環(huán)排列”，確定“環(huán)排列”的公式，即可求解.

【詳解】A,B,C三位同學(xué)圍成一個(gè)圓，ABC,8C4或CA8是同一排列，

其中每一個(gè)圓排列可以拆成任意一位同學(xué)為首的直線排列3個(gè).

三位同學(xué)圍成一個(gè)圓的排列總數(shù)為

由此可得六位同學(xué)圍成一個(gè)圓的排列總數(shù)為2A：=120,

故答案為：120.

跟蹤訓(xùn)練1.某學(xué)校圖書(shū)室內(nèi)，有io位同學(xué)圍著一張圓桌坐成一圈，共有多少種不同的坐法：）

A.A；JB,A；C.|A；2D.3A；

【答案】B

【分析】先將io人排成1歹U,隨后安排第1人就座，據(jù)此可得排法總數(shù).

【詳解】將10人排成I列，有A；；種方法，安排第1人坐卜，有10種可能性，但因是圍著?張惻臬坐成-

圈，第1人坐不同位置沒(méi)有區(qū)別，則總排法數(shù)為：緘一A1

10

故選：B

跟蹤訓(xùn)練2.6位女同學(xué)和15位男同學(xué)圍成一圈跳集體舞，要求每?jī)擅瑢W(xué)之間至少有兩名男同學(xué)，那

么共有多少種不同的圍圈跳舞的方法？

15!-8!

【答案】

3!

【分析】利用捆綁法及環(huán)排問(wèn)題直排法即可求解.

【詳解】首先讓每位女同學(xué)選擇兩名男同學(xué)作為她的舞伴?，一人排在她左側(cè)，另一人排在她右側(cè).

由于6位女同學(xué)互不相同，

故第1名女同學(xué)有同X14種選法,

第2名有13x12種選法，L,一共有A；；種“配對(duì)”方法.

將每名女同學(xué)和她的舞伴看成一組，剩卜.3名男同學(xué)每人看成一組，一共有9個(gè)組，

把這9個(gè)組排成一圈,共有（9-1）!=8!種排法.

由乘法計(jì)數(shù)原理得到滿足條件的排列數(shù)為A>8!=粵.

考點(diǎn)八多排問(wèn)題單排法

典例L甲，乙，丙三位同學(xué)被選中參加校運(yùn)會(huì)的儀仗隊(duì)，現(xiàn)編排這三位同學(xué)分別站在隊(duì)伍的前三排（每?jī)?/p>

人均不在同一排）,則甲或乙站第一排的概率為

23

A.B.C.D.

3563

【答案】A

【詳解】安排三位同學(xué)分別站在前3排（每?jī)扇司辉谕慌牛┗臼录倲?shù)為6,甲或乙在第一排有4種,

42

甲或乙站第一排的概率為

63

故選A.

典例2.2個(gè)老師、4個(gè)女學(xué)生、12個(gè)男學(xué)生，排成三排拍照，要求第一排5人，第二排6人，第三排7人，

且老師在第一排，女學(xué)生在第二排，則不同的排法共有種.

【答案】A閨A：：

【分析】由特殊元素優(yōu)先法，先安排老師與女學(xué)生，再安排男學(xué)生的位置，最后由分步乘法計(jì)數(shù)原理求解

即可.

【詳解】①先在第一排的5個(gè)位置中排入2個(gè)老師，有A；種；

②再在第二排的6個(gè)位置中排入4個(gè)女學(xué)生，有A：種；

③在其余位置上安排12個(gè)男學(xué)生，有A：；種.

由乘法原理知，共有A；A：A：；種.

故答案為:A；A：A：；.

跟蹤訓(xùn)練1.把15人分成前、中、后三排，每排5人，則共有不同的排法種數(shù)為（）

屋

A.詈B.心心，A；C.AsD.

%

【答案】c

【分析】多排問(wèn)題單排考慮，全排列即可.

【詳解】把座位從1到15標(biāo)上號(hào)，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為15人坐在15個(gè)座位上，共有可；種.

【點(diǎn)睛】一般地，元素分成多排的排列問(wèn)題，可歸結(jié)為一排考慮，再分段研究.

跟蹤訓(xùn)練2.6個(gè)人站成前、中、后三排，每排2人，則不同的排法有種.

【答案】720

【分析】可以分三步：前、中、后三排分別站2人即可得，也只可以相當(dāng)于6人全排列.

【詳解】6個(gè)人站成前、中、后三排，每排2人，分3步完成，不同的排法有A：.A：A.；=720（種）.

故答案為：720

考點(diǎn)九元素相同問(wèn)題隔板法

典例1.若將（.E+），+Z）“）展開(kāi)為多項(xiàng)式，經(jīng)過(guò)合并同類(lèi)項(xiàng)后它的項(xiàng)數(shù)為（）

A.33項(xiàng)B.44項(xiàng)C.55項(xiàng)D.66項(xiàng)

【答案】D

【分析】由a+y+z嚴(yán)的展開(kāi)形式可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程x+w+￡=l°的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，由組合數(shù)

求解最終結(jié)果.

【詳解】由展開(kāi)式的代數(shù)形式c歌:/jy+2知，X,y,Z的指數(shù)和為10,

即問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程％+W+W=10的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，因此項(xiàng)數(shù)為C；2=66.

故選：D.

典例2.若方程%+4+七+%=8,其中七二2,則方程的自然數(shù)解的個(gè)數(shù)為.

【答案】28

【分析】依據(jù)隔板法去求解即可.

【詳解】已知方程凡+工2+±+七=8,且勺=2,

則4+七+々=6,其中與0匕均為自然數(shù).

將其轉(zhuǎn)化為a+b+c=X+1+玉+1+%+1=9,其中。也c為正整數(shù).

運(yùn)用隔板法將其轉(zhuǎn)化為有9個(gè)1排成一列，利用2個(gè)隔板法將其分成3組，

第一組1的數(shù)目為。，第二組1的數(shù)目為〃，第三組1的數(shù)目為。，則a+b+c=9.

2個(gè)隔板的放置方法共有C；=28種，

故方程a+b+c=9的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為28.

即方程％+七+/=6的自然數(shù)解的個(gè)數(shù)為28.

故答案為：28.

跟蹤訓(xùn)練1.將8個(gè)外觀相同的蘋(píng)果分給甲、乙、丙三人，每人至少分到1個(gè)蘋(píng)果，共有不同的分法（）

A.15種B.18種C.21種D.24種

【答案】C

【分析】利用隔板法求解即可.

【詳解】8個(gè)蘋(píng)果間會(huì)產(chǎn)生7個(gè)空隙，任選2個(gè)空隙將蘋(píng)果分開(kāi)，即分成三份，共有C；=2I種分法.

故選：C.

跟蹤訓(xùn)練2.2025年5月17日進(jìn)行全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（江蘇賽區(qū)）預(yù)賽，某校擁有11個(gè)參加預(yù)賽的名額，

現(xiàn)將這11個(gè)名額分配給高二的四個(gè)班級(jí)，有班級(jí)可以不分配名額，則名額分配的不問(wèn)種數(shù)為（）

A.455B.364C.210D.120

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，利用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理及隔板法列式計(jì)算得解.

【詳解】11個(gè)名額分配給1個(gè)班，有C：種；分配給2個(gè)班，有C；C。種；

分配給3個(gè)班，有種；分配給4個(gè)班，有C；C：0種，

所以名額分配的不同種數(shù)為Cl+C：C；°+C：C；0+C：C：0=4+60+180+120=364.

故選:B

考點(diǎn)十分組問(wèn)題

典例1.5個(gè)老師分配到3個(gè)班里搞活動(dòng)，不同的分法有種.

【答案】243

【分析】應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)，即可得.

【詳解】每個(gè)老師都有3種分配方法，故5個(gè)老師共有35=243種.

故答案為:243

典例2.將48,。三個(gè)人隨機(jī)安排到甲、乙、丙、丁這四個(gè)部門(mén)工作，已知甲部門(mén)一定有人，則不同的安排

方法種數(shù)是.

【答案】37

【分析】利用對(duì)立事件法求解，先計(jì)算總數(shù)，在計(jì)算甲部門(mén)沒(méi)有人的種數(shù)。

【詳解】先不考慮甲部門(mén)是否有人，總數(shù)為4x4x4=代種；

甲部門(mén)沒(méi)有人的種數(shù)為3x3x3=27種；

所以甲部門(mén)有人的安排方法種數(shù)為64-27=37種；

故答案為：37

跟蹤訓(xùn)練1.1260有個(gè)不同的正因數(shù).（用數(shù)字作答）

【答案】36

【分析】將1260分解，然后根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可.

【詳解】1260=22X32X5X7,

第一步,2可以取202以2,共3種，

第二步，3可以取3033,共3種，

第三步，5可以取5°,5、共2種,

第四步，7可以取7°,7、共2種，

所以一共有3x3x2x2=36種取法，對(duì)應(yīng)36個(gè)不同的正因數(shù).

故答案為：36

跟蹤訓(xùn)練2.有5位同學(xué)各自獨(dú)立地報(bào)名課外興趣小組，可報(bào)名的小組有中華傳統(tǒng)文化、生物技術(shù)

（Biotec/vuAooy）^數(shù)學(xué)應(yīng)用共3個(gè).如果每位同學(xué)限報(bào)一個(gè)小組，小組招收入數(shù)沒(méi)有上限，那么所有可能

的不同的報(bào)名結(jié)果有種.

【答案】243

【分析】每位同學(xué)都有3種不同的報(bào)名方式，根據(jù)分步乘法原理即可求解.

【洋解】每位同學(xué)都有3種不同的報(bào)名方式，根據(jù)分步乘法原理，知有5位同學(xué)不同的報(bào)名

方式有3'243種.

故答案為：243

【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問(wèn)題的應(yīng)用，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，是一道容易題.

考點(diǎn)十一分堆問(wèn)題

典例1.某中學(xué)要給三個(gè)班級(jí)補(bǔ)發(fā)8套教具，先將其分成3堆，其中一堆4套，另兩堆每堆2套，則不同的

分堆方法種數(shù)為（）

C：C：C；

B.C?

A.C：C2K

【答案】C

【分析】根據(jù)部分均分問(wèn)題求解即可.

C；C：C；

【詳解】由條件可知，8套教具，分成4,2,2,共有種分法.

故選：C.

典例2.已知有6本不同的書(shū).

(1)分成三堆，每堆2本，有多少種不同的分堆方法？

(2)分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少種不同的分堆方法？

(3)分給甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少種不同的分配方法？

【答案】(1)15；(2)60；(3)360.

【分析】(1)通過(guò)組合的定義，按照平均分組的原則方法即可得到答案；

(2)通過(guò)組合的定義，按照不平均分組的原則即可得到答案：

(3)在(2)的基礎(chǔ)上進(jìn)行全排列即可.

【詳解】(1)6本書(shū)平均分成3堆，不同的分堆方法的種數(shù)為隼G=15.

(2)從6本書(shū)中，先取1本作為一堆，再?gòu)氖Ｏ碌?本中取2本作為一堆，最后3本作為一堆，不同的分

堆方法的種數(shù)為C：C；C；=60.

(3)在(2)的分堆中，甲、乙、丙三人任取一堆，不同的分配方法的種數(shù)為60A；=360.

跟蹤訓(xùn)練1.已知有6本不同的書(shū).

(1)分成二堆，每堆2本，有多少種不同的分堆方法？

(2)分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少種不同的分堆方法？

【答案】(1)15

⑵60

【分析】直接利用排列組合中的“平均分組''與"不平均分組”的計(jì)算方法計(jì)算即可.

【洋解】(1)6本書(shū)平均分成3堆，

6?.3

所以不同的分堆方法的種數(shù)為五奇「'I

A；3?2?

(2)從6本書(shū)中，先取1本作為一堆，再?gòu)氖Ｏ碌?本中取2本作為一堆，最后3本作為一堆,

所以不同的分堆方法的種數(shù)為CyC：=6x》xl=60.

2x1

跟蹤訓(xùn)練2.要把9本不同的課外書(shū)分別裝到三個(gè)相同的手提袋里，一共有多少種不同的裝法?

【答案】3025種

【分析】對(duì)三個(gè)手提袋中的書(shū)本數(shù)量進(jìn)行分類(lèi)討論，結(jié)合分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可的結(jié)果.

【詳解】要把9本不同的課外書(shū)分別裝到三個(gè)相同的手提袋里，分以卜.幾種情況討論:

①若三個(gè)相同的手提袋里的書(shū)本數(shù)量分別為1、1、7,此時(shí)有爭(zhēng)=36種不同的裝法;

②若三個(gè)相同的手提袋里的書(shū)本數(shù)最分別為1、26,此時(shí)共有C；C；=252種不同的裝法;

③若三個(gè)相同的手提袋里的書(shū)本數(shù)最分別為1、35,此時(shí)共有C；C；=504種不同的裝法;

此時(shí)共有孕=315種不同的裝法;

1n「同的F提袋里的書(shū)本數(shù)量分別為1、44,

此時(shí)共有爭(zhēng)=378種不同的裝法:

⑤若三個(gè)相同的手提袋里的書(shū)本數(shù)量分別為2、2、5,

⑥若三個(gè)相同的手提袋里的書(shū)本數(shù)最分別為2、3、4,此時(shí)共有。；仁=1260種不同的裝法:

此時(shí)共有爭(zhēng)

⑦若三個(gè)相同的手提袋里的書(shū)本數(shù)最分別為3、3、=280種不同的裝法.

綜上所述，由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可知，不同的裝法種數(shù)為36+22S+5O4+215+V7X+I26O+2MU3O2S種

考點(diǎn)十二多面手問(wèn)題

典例1.現(xiàn)有翻譯8人，其中3人只會(huì)英語(yǔ)，2人只會(huì)德語(yǔ)，還有3人英語(yǔ)、德語(yǔ)都會(huì)，現(xiàn)從這8人中選取

3名英語(yǔ)翻譯，2名德語(yǔ)翻譯，有多少種不同的選法？

【答案】92

【分析】方法I：按只會(huì)德語(yǔ)的2人入選的人數(shù)分類(lèi)再由組合知識(shí)可得答案；方法2：按只會(huì)英語(yǔ)的3人入

選的人數(shù)分類(lèi)再由組合知識(shí)可得答案.

【詳解】方法1：按只會(huì)德語(yǔ)的2人入選的人數(shù)分類(lèi).

第I類(lèi)，2個(gè)人都入選，則只需從其余的人中再選3人擔(dān)任英語(yǔ)翻譯，有C；C：種方法；

第2類(lèi)，2人中恰好有1人入選，則要從英語(yǔ)、德語(yǔ)都會(huì)的3人中再選出1人擔(dān)任德語(yǔ)翻譯，

再?gòu)挠嘞聲?huì)英語(yǔ)的5人中選3名英語(yǔ)翻譯，有C；C；C；種；

第3類(lèi)，2個(gè)人都沒(méi)有入選，則要從英語(yǔ)、德語(yǔ)都會(huì)的3人中選2名德語(yǔ)翻譯，

再?gòu)挠嘞聲?huì)英語(yǔ)的4人中選3名英語(yǔ)翻譯，有C；C：種.

因此，共有C；C：+C；C；C；+C；C：=92種不同的選法.

方法2：按只會(huì)英語(yǔ)的3人入選的人數(shù)分類(lèi).

第I類(lèi)，3人中有1人入選，有C；C；C；種選法；

第2類(lèi)，3人中有2人入選，有C汜;C：種選法；

第3類(lèi)，3人都入選，有C；C；種選法；

第4類(lèi)，3人都不入選，有C；C；種選法.

因此，共有C；C；C；+C；C；C；+C；C；+C；C；=92種選法.

典例2.第三屆無(wú)人機(jī)大賽在天津召開(kāi)，現(xiàn)在要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從

事翻譯、安保、禮儀、服務(wù)四項(xiàng)不同工作，每個(gè)工作至少有一人參加，若小張、小趙只能從事安保工作，其余

三人均能從事這四項(xiàng)工作，則不同的選派方案共有種.

【答案】12

【分析】結(jié)合排列和組合數(shù)直接求解即可.

【詳解】由題意知小張或小趙只有一人入選，且只能從事安保工作，其余三人從事不同工作，

則有不同的選派方案=12.

故答案為：12.

跟蹤訓(xùn)練1.甲、乙、丙三名志愿者到某醫(yī)院參加抗擊新冠疫情活動(dòng)，該醫(yī)院有A、B兩種類(lèi)型的機(jī)器各一

臺(tái)，其中甲只會(huì)操作A種類(lèi)型的機(jī)器，乙、丙兩名志愿者兩種類(lèi)型的機(jī)器都會(huì)操作.現(xiàn)從甲、乙、丙三名

志愿者中選派2人去操作該醫(yī)院力、3兩種類(lèi)型的機(jī)器（每人操作一臺(tái)機(jī)器），則不同的選派方法一共有（