專題04立體幾何

題型概覽

題型（）1空間幾何體表面積、體積與側(cè)面積

題型02空間線面位置關(guān)系的判斷

題型03線面角、線線角、二面角的求算

題型04空間幾何體的存在性問題

題型05空間幾何體的距離問題

題型06空間幾何體中的范圍與最值問題

題型07空間幾何體中有關(guān)球的求算問題

空間幾何體表面積、體積與側(cè)面積

1.（2025?北京平谷?一模）冰淇淋蛋筒是大家常見的一種食物，有種冰淇淋蛋筒可以看作是由半徑

為10cm,圓心角為會的扇形蛋卷坯卷成的圓錐，假設(shè)高出蛋筒部分的奶油和包裹在蛋筒內(nèi)部的奶

油體積相等，則該種冰淇淋中奶油的總體積約為（）（忽略蛋筒厚度）

4000直

【答案】D

【分析】由扇形弧長，求得底面半徑及高，再由圓錐體積公式即可求解;

【詳解】設(shè)圓錐底面面積為

）0無

由題意可知2"二丁，

二遮

設(shè)圓錐得高為〃，則力=

93

205/22000夜

所以圓錐的體積為：-nx—x-----=-------兀

39

所以該種冰淇淋中奶油的總體積約為竺”叵

HCm3,

故選：D

2.(2025?福建泉州?一模)如圖，已知RSSA8是圓錐SO的軸截面，C。分別為SA,S4的中點，過

點C且與直線刷垂直的平面截圓造，截口曲線「是拋物線的一部分.若P在『上，則受的最大值

D.叵

C

-T4

【答案】C

DP

【分析】勾股得到OC，從而得到當(dāng)。夕最大時，后最大，然后根據(jù)%_L截面得到截面，根據(jù)勾

股得到當(dāng)。戶最大時，。。最大，耳結(jié)合截面得到。夕的最大值，從而得到票DP的最大值.

【詳解】

過點O作瓦'_LAB，交底面圓于￡尸兩點，連接SO,DO,CO,

設(shè)&4=S3=2,則。C=,A8=&,

2

所以當(dāng)OP最大時，素DP最大，

由圓錐的性質(zhì)得SOL底面,

因為樣u底面，所以SO_LE尸，

又50048=0,S0,43u平面SA8,所以￡FJL平面SA8,

因為SAu平面S48,所以斜_LEF,

因為C，。分別是SAAB的中點，所以CO〃SB,則CO_LSA,

因為COIEF=O,CO,EFu平面CM,所以S4_L平面CE/L

則平面C￡F為截面，

因為。。為SB,A8中點，所以0/)〃必，所以O(shè)/)J_平面。斯,

因為OPu平面CE尸，所以O(shè)DtOP,所以DP=y/OD?+OP?=dl+OP?，

則當(dāng)。夕最大時，DP最大，

如圖為截面的平面圖，

以。為原點，c。為工軸，過點。垂直。。向上的方向為y軸正方向建系,

CO=1,OE=OF=g，0(1,0),則拋物線方程為)/=2x,

設(shè)P彳,。），aw[-夜，&]

所以1。外而=正，

則此時DP=E3宏強寫

故選：C.

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的解題關(guān)鍵在于找到截面，然后轉(zhuǎn)化為平面幾何求最值.

3.（2025?黑龍江?一模）正方體ABC。-ABCR的棱長為1,E為棱。。的中點，點P在面對角線

上運動（尸點異于民G點），以下說法錯誤的是（）

B.A.P1B.D

7

C.直線與平面CDRG所成角的余弦值為,

D.三棱錐P-AC。的體積為:

6

【答案】C

【分析】根據(jù)線面平行判定定理證明A,應(yīng)用空間向量法計算數(shù)量積判斷B,計算線面角判斷C,應(yīng)

用點到平面距離空間向量法求解再結(jié)合三棱錐體積公式計算判慚D.

【詳解】

連接4D,4OnAC=O,因為。金分別是82。2中點，所以?！?/8。。七u平面AEC,平

面AEC,所以BQJ/平面AEC,A選項正確;

如圖建系，設(shè)P（1T,1"），A（LO,1）由（L1,1）,D（O,O,O）,

所以"=西=（1,1,1）,平?函=一/+1+/—1=0,

所以4P，片。，B選項正確；

設(shè)4（1』,1）,《0,0,￡）,設(shè)平面CDRG法向最為”=（1。0），^￡=^-1-1,-1

設(shè)直線與平面8。。所成角為。，

n^E2

f-ri.isin^=-------

所以|n|-B.E3?

所以cos。=Jl-sin*=.11--=—?C選項錯誤:

設(shè)平面ACD,法向量為沅=(x,>\z),

因為P(lT,l"),A(l,O,O),C(O,l,Oj，A(O,O,l),所以Q=(T,1"),衣=(TLO),西=(O,T,l),

所以AC?而=-x+y=0,C〃〃i=-y+z=O,令x=l,虹而

因為AC=*=sS所以Lsf&xax*冬

__a〃八Aj”T-、r>4尸W—Z+1+f1

所以點尸到平面ACR的距圖為d==/=-f=,

所以三棱錐P-AC"的體積為V=:sAAsd=:x廠x————,D選項正確.

33\/326

故選：C.

4.(2025?黑龍江哈爾濱?一模)已知一個圓錐的母線長為6,則當(dāng)其體積最大時，該圓錐的內(nèi)切球

半徑為()

A.x/6-2B.yC.y/3-42D.1

【答案】A

【分析】用〃表示出體積，利用導(dǎo)數(shù)求最值，由軸截面面積列方程即可得解.

【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為「，高為h,則力2+產(chǎn)=3，

則V=/(/?)=；口2/?=_1人3+兀/?,/?￡(0,6)，則r(/z)=7T(lj)(l+/?),

當(dāng)Ov/zvl時，r(/?)>0,當(dāng)1<力<75時，/'(/?)<0,

所以/(/?)在(o/)上單調(diào)遞增，在(i,G)上單調(diào)遞減，

所以，當(dāng)圓錐體積取得最大值時，h=l.r=6,

設(shè)圓錐內(nèi)切球的半徑為R，則由樂截面面積可得;2力=T(2〃+2G)投，

，；R=娓-2.

故選：A

5.（2025?云南昆明?一模）一個內(nèi)角為30°且斜邊長為2的直角三角形，繞斜邊旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體

的體積為（）

九

A.-B.-C.-D.一

6432

【答案】D

【分析】由題意得出旋轉(zhuǎn)體由兩個圓錐構(gòu)成，求出底面圓的半徑，即可根據(jù)圓錐的體積公式求出旋

轉(zhuǎn)體的體積.

【詳解】如圖，在直角三角形A8C中，|4四一2,NC4"-30\則|4C|=2cos3。=0,

將直角三角形A8C沿斜邊A8旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)形成的幾何體為兩個同底的圓錐,

如圖所示,

有|CO|=|Aqsin30

所以所求幾何體的體枳丫=；5圓］峭=$.|0。卜M同=*'（曰］X2=5

故選;D

6.（2025?黑龍江?一模）已知圓錐的軸截面是一個斜邊長為2&的等腰直角三角形，則圓錐的表面

積為（）

A.加兀B.2缶C.4兀D.（2+2甸兀

【答案】D

【分析】由軸截面可得底面半徑及母線長，再由表面積公式即可求解;

【詳解】因為軸截面是一個斜邊長為2挺的等腰直角三角形,

所以圓錐的底面半徑/?=拒，母線/=2,

所以圓錐的表面積5=兀配+泅/=（2+2夜）兀.

故選：D.

鼠型02空間線面位置關(guān)系的判斷

1.（2025?廣東深圳?一模）已知直線。分別在兩個不同的平面內(nèi)，則“直線”和直線加平行〃是"平

面a和平面0平行”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【分析】結(jié)合圖形利用線面的位置關(guān)系和充分條件，必要條件的定義即可判斷.

【詳解】當(dāng)“直線〃和直線〃平行”時，平面。和平面￡可能平行也可能相交，故不充分；

當(dāng)“平面。和平面上平行"時，直線。和直線b可能平行也可能異面，故不必要；

因此“直線。和直線3平行〃是“平面a和平面夕平行”的既不充分也不必要條件.

故選：D.

2.（2025?山東泰安?一模）己知4。為空間中兩條直線，。為平面，則是。_La的

（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.即不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】由線面垂直的判定定理，及充分必要性的定義判斷.

【詳解】由線面垂直的判定定理可得，宜線。要垂直于平面。內(nèi)相交的兩條直線才能得到aJLa,

所以￡_1_5是aJLa的必要不充分條件.

故選：B

3.（2025?甘肅蘭州?一模）已知d#是兩個不同的平面，/〃，〃是兩條不同的直線，以下判斷正確的

是（）

A.若〃?_L〃,a_La,則〃_1_尸B.若,則〃〃/

C.若〃?la,夕,al夕，則〃z_L〃D.若?！?,“〃￡,〃?〃a,則〃

【答案】c

【分析】利用空間線線，線面，面面的位置關(guān)系逐項判斷即可結(jié)論.

【詳解】若ml幾aJL⑸陽，。,則〃,月或川|夕或〃U尸或〃c/?=尸，故A錯誤;

若"〃"a〃⑸e〃斯則〃〃4或〃<=尸，故B錯誤；

若在耳內(nèi)作/_La,所以I_La，乂m_La,所以加〃/,

乂CP,所以〃JJ,所以〃?J_〃，故C正確；

若Q〃尸,〃〃⑸加〃a,則〃?〃〃或〃?n〃=尸或〃?，〃為異面直線.故D錯誤.

故選：C.

4.（2U25?福建原門?一模）已知〃?，〃是兩條不同的直線，〃，0是兩個不同的平面，尸=〃，

則下列說法正確的是（）

A.若〃?//a,則/〃〃，?B.若〃?〃〃，則〃?//a

C.若〃?JL〃，則，〃_L尸D.若m工0,則用|“

【答案】D

【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)判斷A的真假；根據(jù)線面平行的判定判斷B的真假：根據(jù)線面垂直的

判定判斷C的真假：根據(jù)線面垂直的性質(zhì)判斷D的真假.

【詳解】若m"a,則/〃，〃平行或異面，A選項錯誤；

若m/l”，則加//a或/〃ua,B選項錯誤；

若m_1〃，貝1」〃?，夕不一定垂直，也可能平行或相交，C選項錯誤；

若mJL/7,a[\P-n,則m_L〃，D選項正確.

故選：D

5.（2025?湖北?一模）已知兩個不同的平面。，夕和兩條不同的直線〃?，〃滿足〃?u。，,則“a,

夕平行”是“〃?，〃不相交，，的（）

A.充要條件B.充分非必要條件C.必要非充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】直接分析，由當(dāng)Q,夕平行時,直線〃?，〃無公共點，則以，〃不相交,可得充分性，當(dāng)機,

〃不相交時,若。相及=/,"?〃“〃/,則滿足題設(shè)條件，但不能推出a,夕平行,說明直線八〃

不相交不能推出。，夕平行.

【詳解】當(dāng)。，夕平行時，由mua,〃u4可知直線小，〃無公共點，則〃?，〃不相交，故為充分

條件；

當(dāng)加，〃不相交時，滿足aPl/=/,mua,〃u，，加〃〃〃/,則滿足題設(shè)條件，但不能推出a,

夕平行，說明直線〃?，〃不相交不能推出。，尸平行；

故選：B.

6.（2025?貴州六盤水,一?模）己知為直線，。為平面，則咱auajla"是"/_La”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也

不必要條件

【答案】B

【分析】利用線面垂直的性質(zhì)以及直線間的位置關(guān)系判斷即可.

【詳解】根據(jù)題意易知當(dāng)/uaH寸，可判斷可〃推不出"/_La〃，如下圖：

當(dāng)/_La時，可知/垂宜于平面.。內(nèi)的所有直線，因此可以推出丸ua,/l〃，

因此與。ua,/1〃〃是“/J_a〃的必要不充分條件.

故選：B

題型03、線線角、二面角的求算

1.（2025?山西?一模）如圖，已知四棱錐P-A4C笛中，底面ABC。為菱形，ZA4c=60。，AB=PA=2,

PA_L平面ABCD，E,M,F分別是CD.PD.PC的中點.

⑴證明：平面PAE_L平面尸C。；

⑵求二面角F-AE-M的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

（2）?

【分析】（1）連接AC,證得4E_LC。，月4J.C。即可求證；

（2）建系，求得平面法向量，代入夾角公式即可求解；

【詳解】（1）證明：連接4C.」?底面A8CD為菱形，ZABC=60°,

&A8是正三角形，???￡是8中點，J.AE±CDt

?.24_1_平面A3CQ,CDu平面A3cPA_LCD,

PA（）AE=Af又都在平面E4E內(nèi)，

??CDJ?平面E4E,又CDu平面PCQ,

平面PAE_L平面PCD.

（2）It1（1）知，A及A￡4P兩兩垂直，以A及A￡AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所

示的空間直角坐標(biāo)系，

易知：4（0,0,0）,P（0,0,2）,D（-l,>/3,0）,C（1,X/3,0）,

AE=（0,x/3,0）,AF,~AM=

22

設(shè)平面AEF的法向量為時=（5，）1，4），平面AEM的法I句量為R=（%H，Z2），

同=0

%?AE=0

則，即173令玉=2,得Z=—1,解得1=（2,0,-1）.

%-AF=0/玉+彳乂+石=0

石%=0

以■AE-0

即《I￡八,令X=2,得z=1,解得后=（2,0,1）

%-AM-0_/+丁%+22=（）

設(shè)二面角F-AE-M的平面角為*則|cosa|=cos伍,神='

4

所以sina=-.

4

所以二面角F-AE-M的正弦值為二.

2.（2025?安徽?一模）如圖，在四棱錐上一A/JCO中，底面A3C。為直角梯形，48〃CO且

AB=^-CD=\,48_18。./4。。=60.85/。。E='.八4?！辏簽榈冗叾切?

24

⑴若M,N分別是棱AREC的中點，證明：MN〃平面樨：

⑵求平面8CE與平面A/）石夾角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵浮

【分析】（1）通過線線平行得到平面MNE//平面84E,進而證明MN〃平面AAE.

（2）通過分析可得兩兩互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向曷可求兩平面夾

角的余弦值.

【詳解】（1）

如圖，取。石的中點尸，連接MF,NF.

?「分別是棱AD,EC的中點，MF\\AE,NF\\CD.

AB//CD,NF//AB.

???MF//AE,MF<Z平面BAE,AEu平面BAE,

M///平面胡月，同理可得NF〃平面

M/CNF=F,MF,NFu平面MNF,平面MNF//平面BAE,

MNu平面MNF,MN〃平面A8E.

(2)

如圖，連接取OC■的中點G,連接AG,

..AB〃C。且4B=，CO=1，.=AB//CG1=1,AB=CG,

2

」.四邊形A8CG為平行四邊形，故3C||AG,

.?AB±BC,AGtCD,且GO=1,

;乙40c=ar，...AD=2,故AAOC為等邊三角形，

CMrAD,CM=△.

?「VA￡>￡為等邊三角形，DE=2,EM=?ME1AD.

在公。。石中，由余弦定理得，CE2=DC2+DE2-2DC-DEcosZCDE=4+4-2x2x2x-=6,

4

CM2+ME2=CE2,即故MDME,MC兩兩互相垂宜.

以歷為原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則C（0,0,石），^（0,73,0）,D（l,0,0）,>4（-1,0,0）,

由初=曰）得乎］,

氏=（0「瓜研EE=3-區(qū)

卜?反二-傷+屈=0

設(shè)平面BCE的一個法向量為:二（蒼y,z）,則一3L6

n-EB=--x-43y+—z=0

22

令z=3,則y=3,x=-G，故方=[6,3,3).

mil詡?cè)f3/

取平面人OE的一個法向量初=(0.0,1),則”㈤二而"而F

,HE5CE與平面AOE夾角的余弦值為叵.

7

3.(2025?山東淄博?一模)如圖，在四棱錐S-A8C。中，BC//AD,48=8C=1,點E在AO上,

且SE_LAO,AE=1,OE=2.

(1)點〃在線段S石上，且6尸〃平面58,證明：卜為線段S石的中點；

⑵若/W平面SAD,SD與平面SAB所成的角的余弦值為畫，求SO的長度.

10

【答案】(1)見解析

⑵S。的長度為方或2夜

【分析】(1)過點/作PG//A。交S。于點G,連接CG,由線面平行的性質(zhì)定理證明4/〃CG,

即可證明;

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)S(O,O,/z),求出直線S。的方向向量和平面SAB的法向量，由線面角

的向量公式即可得出答案.

【詳解】⑴連接BF,過點產(chǎn)作FG//4)交SD于點G,連接CG,

又因為8C7/AO,所以R//8C,所以反CG,尸四點共面，

因為8E〃平面SCO,BFu平面BCGF,平面SC￡>fl平面8CG/=CG,

所以BF//CG,所以四邊形3CGE是平行四邊形，

所以FG=BC=1,所以尸G=gEO=l,所以尸為線段SE的中點；

s

（2）連接EC,因為八E〃BC,AE=9C=I,所以四邊形ASCK是平行四邊形,

所以/W〃C￡,因為A8_L平面SA。，所以CE_L平面SAD,

乂因為SE_L/A。，所以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)S(ao,/7),A(O,-1,0),。(0,2,0),80,-1,0),C(l,0,0),

SD=（0,2,-/7），設(shè)平面SAB的法向量為”=（乂y,z）,

A月=（1,0,0）,$乂=（0,-1）,

rt?AB=x=0/、

所以《一，令y=A,z=-1,x=0,所以尹二（0,/?,-1）,

n-SA=-y-hz=0

所以SD與平面SAB所成的角的余弦值為叵,

10

所以SO與平面SA5所成的角的正弦值為嚕，

H.J亞而|=,函=PH

io=ILOSH*I同.同

h21

所以（4+的（1+〃2）=而，化簡可得：〃-5力2+4=0,

解得：力2=］或外=4,即力=1或力=2,

所以S。=ylSE2+EDr=Vl2+22=芯或SD=JsE'ED2=,2、2?=2>/2-

4.（2025?山東煙臺?一模）如圖，點C在以A8為直徑的半圓的圓周上，ZABC=60,且3。_1_平面

ABC,AB=2BP=4,CD=2CP(0<2<1)

C

⑴求證：ACIBDx

⑵當(dāng)4為何值時，平面ACP與平面A8。夾角的余弦值為直？

8

【答案】⑴證明見解析；

⑵4或2=*

J1X

【分析】(1)由線面垂直的性質(zhì)有8P_LAC,由圓的性質(zhì)易得5CJ.AC,再由線面垂直的判定和

性質(zhì)證明結(jié)論；

(2)若O為A/的中點，即為半圓的圓心，作(及_1_面46(7,在面A6C內(nèi)作構(gòu)建合適的

空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向顯法求面面角的余弦值，結(jié)合已知列方程求參數(shù)幾即可.

【詳解】(1)由3P_L平面A3C,ACu'F面A8C,則8P_LAC,

又點C在以A5為直徑的半圓的圓周上，則AC±AC,

由BPc8C=8且都在面P8C內(nèi)，則4cL面P8C,

由BOu面PAC,故ACJLBD；

(2)若。為AB的中點,即為半圓的圓心,作OzJL面ABC,在面ABC內(nèi)作Qr_LA8,

由Z4BC=60，AB=2BP=4,則8C=2,AC=6,

故可構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系。一歲z,則A(0,-2.0),B(0,2,0),C(G,l,0),P(0,2,2),

由C方=2。尸(0<2<1),故而=(-&,<22),可得。(百-向4+1,2-),

所以而=(6_&,九+3,24),通=(0,4,0),AC=(73,3,0),

若m=(x,y,z),n=(a,b,c)分別為面ACD,面ABD的?個法向量?

/??A￡)=(V3-\/32)x+(2+3)y+2Az=0_r

則一，取),=-1,/H=(V3,-I,2),

ih-AC=y/r3x+3y=()

H?AD=(>/3->/32,)a+(2+3)/?+2Ac=0-l/-

一,取。=24,〃=(240,&-揚，

nAB=4b=0

lit-nI.4&-26_旦

所以cos/n,/z|=|

同同2任也分+3(--1)28

.22-11113

整理得?了=”，則57萬-582+13=°,可得行潸人歷.

5.（2025?陜西一模）如圖，在三棱臺A8C-AgG中，①，平面ABC,AB1AC,AB=AC=2,

44=1,朋=百，M為8同的中點.

（1）證明：B用，平面人MC；

⑵求平面AMC和平面4MC夾角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵1

【分析】（1）連接可證由A41_L平面A3C,得AC_L3/,利用線面垂直的判定

定理即可得證;

（2）建。..空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向最為萬，由（1）知平面AMC的一個法向量為“；,

利用夾角公式即可求解.

【詳解】（1）（1）如圖，連接人用，由題意知AAJ_平面A86,所以用，乂4與=1,M=G,

所以4g=2=A6,

因為M是3的中點，所以BB、1AM.

因為A4,"L平面ABC,所以AA，4C,又ABJ.AC,ABnAA^A,所以AC_L平面AA.44,所以

AC上網(wǎng).

因為ACcA/W=A,所以88]_L平面AMC.

（2）以人為坐標(biāo)原點，以直線人B,AC,AA分別為1,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

設(shè)平面AMC的法向量為萬=（x,），,z）,

MA-ri=-—x+—z=0/C廠\

則22,取力二（2,3,26）,

AfC/i=2y-\f3z=0

由（1）知平面AMC的一個法向量為麗;=（T,0,G）,

/\BB.jj42

因為,國網(wǎng)'〃>=麗=m=

2

所以平面AMC和平面AMC夾角的余弦值為.

空間幾何體的存在性問題

1.（2025?廣東湛江?一模）如圖，四棱錐S-A4CD的底面是邊長為2的正方形,每條側(cè)棱的長都是

底面邊長的貝倍，尸為側(cè)棱版上的點，且58〃平面尸AC.

s

--------------

⑴求證：ACLSD.

⑵求直線SB到平面PAC的距離.

⑶請判斷在平面0AC上是否存在一點E,使得AESB是以S3為底邊，笄為頂角的等腰三角形.若

存在，請求出點E的軌跡：若不存在，請說明理由.

【答案】（1）證明見解析

喈

⑶不存在，理由見解析

【分析】（1）根據(jù)線線垂直可證明AC_L平面S3。,即可利用線面垂直的性質(zhì)求解，

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求解平面法向量，即可利用點面距離的向量法求解.

（3）根據(jù)線面平行的性質(zhì)，結(jié)合（2）可知。到平面尸AC的距離為邁，而EQ=?<?,即可

232

求解.

【詳解】（1）證明：如圖，連接

設(shè)AC交4。于點0,連接S0,由SA=SC得SOJ_AC.

在正方形ABC。中，AC1BD.

又SOcBD=O,SO,8。u平面SBD,所以AC_L平面SBD.

又因為SOu平面S3。，所以AC_LS￡>.

（2）連接尸0,因為S8〃平面PAC,SBu平面S3D,平面SBOf］平面如。=，

所以SB〃PO.

在Q'AD中，。為4。的中點，所以點P為SD的中點.

易知直線SO,AC,8。兩兩垂直，如圖，以點。為原點建立空間直角坐標(biāo)系.

z.

因為正方形ABC。的邊長為2,

-冬0坐，s（o,o,佝.

所以A（0,一夜,0）,C（0,V2,0）,8（萬0,0）,P

m-AC=0

設(shè)平面PAC的一個法向吊:為所=（x,Fz）,則可得"

m-AP=0'

2昌=0

所以an7見…'

----x+，2yTz=0

2.2

令”3厄,可得加=（3無。"上

因為S3〃平面PAC,所以直線SB到平面PAC的距離等于點B到平面PAC的距離,

\BCiriJZ

BC在法向品沅上的投影的模為1------=也,

同2

所以直線SB到平面PAC的距離為在.

2

（3）不存在.

理由如下：根據(jù)第（2）問可得直線SB到平面PAC的距離為逅.

2

又因為S8〃平面P4C,設(shè)點。為防的中點，所以點Q到平面P4C的距離為手.

假設(shè)在平面PAC上存在點E使得是以S3為底邊，弓為頂角的等腰三角形,

則有EQ=—SB-tan—=.

263

因為￡Q=如＜逅，所以不存在滿足條件的點E

32

2.（2025中肅蘭州?一模）已知正四棱柱A8。。-AMGQ底面邊長為3,點￡、〃分別在直線A。、

C。上，BE=A，DF=\.

(1)證明：AC//平面B\EF；

(2)若三棱錐BEF的體枳為5,求直線叫與平面々即所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵通

43

FDDF1

【分析】⑴由已知可得進而可得4C//E。利用線面平行的判定定理可得結(jié)論；

AEFC2

(2)以Q為坐標(biāo)原點，以D4所在直線為x軸，以力C所在直線為)，軸，以DR所在宜線為n軸建

立空間直角坐標(biāo)系，求得平面8EF的一個法得量，利用向量法可求線面角的正弦值.

_____________EDDF1

【詳解】(1)AE=yjBE2-AB2=V13-9=2,DF=n因為。尸=1，所以:高=*=彳，

AEFC2

所以4C//EF,4Ca平面&Er,E/u平面B^EF,

所以AC〃平面用石戶.

(2)如圖所示：以。為坐標(biāo)原點，以O(shè)A所在直線為x軸，以DC所在直線為)，軸，以。R所在直

線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則三棱錐BEF的體積V=15AB￡FDD1=lx|xDD,=^,解得DD.=3

?Jn乙

則5(3,3,0),B、(3,3,3),E(l,0,0),尸(0,1,0)顧=(0,0,3),可=(工3,3),EF=(-1,1,0),

設(shè)平面片EF的法向量為n=(x,y,z),

nEB}=2x+3y+3z=0

則得1=(3,3,-5),

ii-EF=-x+y=0

卜?麗||-15|5J43

設(shè)直線8片與平血出七戶所成角為凡則,116=%=^=—」cu=*，

同用3x79+9+2543

所以直線BB、與平面B.EF所成角的正弦值也.

43

3.（2025?山東濟寧?模）底面為菱形的四棱錐F—AGC￡>中，AC與3。交丁點。，平面依￡>_1_平

面ABCD，平面PAC±平面ABCD.

（1）證明：PO_L平面48c。；

（2）若04=207）=2,直線QC與平面尸3c所成角的正弦值為華，求平面PAC與平面夾角的

余弦值.

【答案】⑴證明過程見解析

嗚

【分析】（1）由面面垂直得到線面垂直，進而得到ACJLPO,BD工PO,故PO_L平面A3CD：

（2）建立空間宜角坐標(biāo)系，寫出點的坐標(biāo)，設(shè)P（0,0,7）,1>0,根據(jù)線面角的正弦值得到方程，求

出，=3,求出兩個平面的法向量，根據(jù)面面角夾角余弦公式求出答案.

【詳解】（1）因為四邊形488為菱形，所以ACJL8。，

因為平面Z7?r>_L平面A38,30為交線，ACu平面A3CZ）,

所以人。_1_平面心￡>.

因為POu平面P8。，所以AC_LPO,

因為平面B4CL平面ABC。，AC為交線，3Ou平面AAC力，

所以BOJ■平面PBO,

因為尸Ou平面P8O,所以BO_LPO,

因為ACn3￡）=O,AC,RDABCD,

所以POJ?平面ABC。；

(2)由(1)知，AC,PO,8O兩兩垂直，

以。為坐標(biāo)原點，QAOB，OP所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

OA=2OD=2,則。(0,—1,0),C(-2,0,0),A(0」，°)，DC=(-2,1,0),

設(shè)P(0,0"),r>0,則麗=(0,1,T),CB=(2,1,0),

設(shè)平面依C的一個法向量為in=(x,yz),

m-PB=(x,y,z)(O,l,T)=y-fz=0

所CB=(x,y,z)(2,l,0)=2x+y=0

令z=1得y=2/,x=t,故/n=(-r,2r,l),

國?網(wǎng)"TIxJ(T『+4/+l15

化簡得,=；，負(fù)值舍去，則而=，；」』

LI，

平面尸4c的?個法向量為方=(01,0),

設(shè)平面尸AC與平面尸4c夾角為仇

cos。一Icos諭n\--^1-12J__2

1'1二飛’

9

所以平面PAC與平面P8C夾角余弦值為j.

4.(2025?天津河?xùn)|?一模)在如圖所示的幾何體中，四邊形A8CD是正方形，四邊形AQPQ是梯形,

PD//QA,ZPDA=ZPDC=-,且AD=PO=2QA=2.

⑴求證：QB〃平面PDC；

⑵求平面與平面P8Q所成角的大小；

⑶己知點〃在棱尸。上，且異面直線與/歸所成角的余弦值為拽，試確定點〃的位置.

15

【答案】（1）證明見解析

嗚

⑶點〃為靠近。的四等分點

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合線面平行的判定，可得答案;

（2）由題意建立空間直角坐標(biāo)系，求得兩平面的法向量，利用面面角的向量公式，可得答案;

（3）由（2）的空間直角坐標(biāo)系，表示出直線的方向向量，利用線線角的向量公式，建立方程，可

得答案.

【詳解】（1）取的中點為E，連接QECE,如卜圖:

-PD,由AQ='p。，則AQ=DE,

22

因為AQ//P。，所以四邊形4OEQ是平行四邊形，則QE〃A。，且QE=4D,

因為在正方形ABC。中，A0//8C且AD=8C,即。石〃4c且QE=3C,

所以四邊形BQEC為平行四邊形，則80/CE,

因為3Q<z平面POC,CEu平面PDC,所以3Q//平面PQC.

7T

(2)由NPO4=NPOC=2,1)II)PD1AD,PD1CD,

2

在正方形ABC。"。AO_L8，所以ZM/X7,Z）P兩兩垂直,

以。為原點，分別以QADGQP所在直線為乂軸，建立空間宜角坐標(biāo)系，如下圖:

則0(020),尸(0,0,2),8(220),0(2,0,1),

可得赤=(2,0,0),守=(0,-2,2),Q5=(0,2,-1),0?=(-2?0,1),

力-CB=2x)=0

設(shè)平面PC8的法向量為"=（N，X，zJ,則＜

nCP=-2yl+2zl-01

令R=1,則％=0,馬=1,所以平面QCE的一個法向量及二（0,1,1）；

m-QB=2y2-z2=0

設(shè)平面P8Q的法向最為而=（毛,外,z2）,則

mQP=-2X2+Z2=0

令吃=1，則％=5=2,所以平面MQ的一個法向量加=（1J2）,

設(shè)平面CM.與平面PBQ的所成角為9,

川cos”同同——7T

則郎*麗一標(biāo)標(biāo)TE,由eco,g，則e=?.

L6

設(shè)DH=〃?0,2],則“(0,0,〃)M(2,0,0),P(0,0,2),B(220),

可得777=(-2,0,〃),方=(22—2),

設(shè)異面直線A"與P8所成角為1，

則c-M/T+。心I_7+

川畫網(wǎng)一行x而彳一15'

整理可得6必一25〃+24=0,解得〃=衛(wèi)叵三叵亙=冬1

2x612

QQaOQ，3、

即4=士,％=2,由()<二<2<2,則〃=2,即"0,0,=,

23232k2；

故點”為靠近產(chǎn)的四等分點.

5.(2025?山東淄博?一模)如圖，棱長為2的正方體人BS-ABCR中，HQ分別是棱CR,棱3c

的中點，動點M滿足?！?4。4+〃?！?lt;,其中4,〃wR,則下列結(jié)論正確的是()

A.若4+〃=1,則CMJ.OB

B.若a=4,則三棱錐科一人加。的體積為定值

C.若〃=提0工2工1,則直線與直線3。所成角的最小值為60。

D.若動點M在三棱錐C-OP。外接球的表面上，則點例的軌跡長度為拒加

【答案】ABD

【分析】以。為坐標(biāo)原點，。八，。心。。所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可證

明CM_L力片判斷A,若2=〃，點M在直線0A,可得體積為定值判斷B；上求得直線PM與直線BC

所成角的最小值判斷C；確定外接球的球心，進而軌跡的周長判斷D.

【詳解】以。為坐標(biāo)原點，QAQCOA所在直線為坐標(biāo)軸建".如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則D(0,0,0),A(2,0.0),D,(0,0,2),用(2,2,2),C(0,2,0),

所以方4=(2,0,0),西=(0,0,2),

所以方+〃?！?42,0。+〃(0,0,2)=(2九0,2〃)，即M(2九0,2以)，

所以CM=(22,-2,2//),又璃=(2,2,2),

所以函?函=2%-2+(-2>2+2"-2=44—4+4〃=4(/1+〃)-4=0,

所以◎?_!_函，所以CM_LQB「故A正確；

因為a=〃，DM=^DA+pDD^,所以點M在宜線0A上，

乂因為A^〃AB〃DC,AiB]=AB=DCf所以四邊形4。。片是平行四邊形，

所心用C,乂人力0平面8/C,用Cu平面旦AC,所以八。//平面片AC,

所以“到平面用4c的距離為定值，又△4AC的面積為定值，

所以三棱錐片-4MC的體積為定值，故B正確：

點。為CC的中點，坐標(biāo)為(021),點:M的坐標(biāo)為(22,0,1),

向最，0=(2九一2,0),向量前=(一2.0.0),

設(shè)直線與直線8C所成的角為巴

8小四困一卜例_/_1

|PAfj-|^c|74Z2+4-2V/l2+l07

又因為0W2W1,當(dāng)4=1時，(8S0)a=￡，

即直線?”與直線5c1所成角的最小值為45°，故c錯誤;

因為三棱錐c-OPQ即為三棱錐P?CDQ,又底面Z8Q是直角三角形,

過。。的中點N作ON_L平面CB,O是三棱錐C-DPQ外接球的球心,

因為PCJL平面S2,所以O(shè)N=；PC=；,又DQ=h+，=5

所以三棱錐C-OPQ外接球的半徑r=圖+S岑

因為點M在平面AOQA內(nèi)，又在三棱錐外接球的表面上,

所以”的軌跡是平面斗。DA截三棱錐C-DPQ外接球的截面圓,

=顯,

又易得0到平面AA的距離為1，所以截面圓的半徑為

~T,

所以M的軌跡的周長為2冗咚二缶，故D正確.

故選：ABD.

題型05空間幾何體的距離問題

1.（2025?福建泉州?一模）如圖，四棱臺ARR-EFGH中，底面八8c。是邊長為4的菱形,

HD=HG=2,AE=2五,FA=FC.

（2）證明：平面ABC。：

⑶若該四棱臺的體積等于生畫，且用＞尸8,求直線8。到平面APG的距離.

3

【答案】（1）證明見解析

⑵證明見解析

⑶孚

【分析】（1）根據(jù)棱臺的性質(zhì)得到平面A8co〃平面EFG”,然后利用面面平行的性質(zhì)定理得到

BD//HF,然后根據(jù)樓臺和菱形的性質(zhì)得到尸”=。/,即可得至IJ/7A//7,最后證明線面平行即可;

（2）利用勾股定理得到根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到H_L4C,然后證明線面垂直即可;

(3)解法一：根據(jù)棱臺的體積公式列方程，得到=然后建系，利用空間向量的方法求距

離；

解法二：根據(jù)棱臺的體積公式列方程，得到N84O=g,然后構(gòu)建平面A產(chǎn)G_L平面SDW,利用面面

垂直的性質(zhì)定理得到MK為直線5。到平面4FG的距陽，然后利用等面積求距離.

【詳解】⑴

連結(jié)AC*。，交于點/,連結(jié)/7,則/為AC/。的中點，

由四棱臺A8C￡>—￡R3H,得平面ABC?！ㄆ矫鍱FG”，

乂平面平面ABCD=BD，平面BDHF^EFGH=HF,

所以BD//HF,

因為/為AC,8。的中點，所以尸〃=。/=：8￡>,

所以四邊形由7為平行四邊形，W