任意角與弧度制【九大題型】

總覽題型解讀

【題型1］任意角的概念

【題型2】弧度制與南度制的互化

【題型3】終邊相同的角

【題型4】象限角與軸線角

【題型5】區(qū)域角的衰示

【題型6】關(guān)于某條線對稱的2個角的表示

【題型7】〃等分角的象限問題

【題型8】扇形的弧長及面積公式

【題型9】扇形中的最值問題

題型匯編知識梳理與?？碱}型

【題型1］任意角的概念

基礎(chǔ)知識1

任意角的概念

①角的概念：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)所成的圖形.

②角的分類

名稱定義圖示

正角一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的漸

負(fù)角一條射線繞其端點按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

零角一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)形成的角-----A（8）

③任意角的概念：任意角指的是不僅包括通常的0。到360。之間的角，還包括了正角、零角和負(fù)角。

在實際生活中，經(jīng)常會遇到角的旋轉(zhuǎn)量不在［0。,360。］這個區(qū)間的情況，為了描述這種現(xiàn)實狀況，角

的概念被推廣到了任意角

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/〃典型例題/

【例題】時鐘走了3小時20分,則時針?biāo)D(zhuǎn)過的角的度數(shù)為，分針轉(zhuǎn)過的角的度數(shù)為

/〃鞏固練習(xí)/

【鞏固練習(xí)1】如圖，射線繞頂點。逆時針旋轉(zhuǎn)45。到OB位置，并在此基礎(chǔ)上順時針旋轉(zhuǎn)120。

到達(dá)OC位置.，貝I」N/1OC=.

【鞏固練習(xí)2】時針走了lh20min,則分針轉(zhuǎn)過的角是

【題型2】弧度制與角度制的互化

基礎(chǔ)知識

(1)弧度制的概念

①弧度制定義：以弧度為單位來度量角的單位制：

②1孤度的角：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角.(1弧度記作1rad)

③規(guī)定：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零，/是以角夕作為

r

圓心角時所對圓弧的長，廠為半徑.

(2)角度制與弧度制的換算

角度化弧度弧度化角度

360°=2nrad2nrad=360°

18O°=7tradnrad=180°

2/16

/

1°=----rad=O.01745rad1rad=。之57.30。

180jsoj

）。=度數(shù)

度數(shù)x/—=弧度數(shù)弧度數(shù)X

1801180,

//典型例題/

【例題1］（多選題）將下列角度與弧度進行互化正確的是（）

771

A.-71=1530°-105°

B.71

6

197r

C.10°=—D.-855°=-

184

【例題2］（23-24高一上?浙江?階段練習(xí)）若一圓弧長等于其所在圓的內(nèi)接正三角形的邊長，則此圓

弧所對的圓心角。的弧度數(shù)為（）

nit八廠_

A.-B.-C.>/3D.2

32

/〃鞏固練習(xí)/

【鞏固練習(xí)11225"的角化成弧度制為.

【鞏固練習(xí)2】經(jīng)過2小時，鐘表上時針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為.

【鞏固練習(xí)3】已知扇形的半徑是3,弧長為6,則扇形圓心角的弧度數(shù)是.

【鞏固練習(xí)4】要在半徑。4=6cm的圓形金屬板上截取一塊扇形板，使其弧月8的長為2兀cm,則

圓心角NAOB的弧度數(shù)是.

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【題型3】終邊相同的角

基礎(chǔ)知識

終邊相同的角：所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合

S=｛0/?=a+h360",后EZ｝,即任一與角a終邊相同的南，都可以表示成角a與整數(shù)個周角的

和

/力典型例題/

【例題1】下列各角中，與1850。角終邊相同的角是（）

A.40°B,50°C.320°D.-400°

【例題2】設(shè)集合M=4XX=45O+"X180O,〃WZ1,N=1x1=45。+^、180。,〃wZ|那么（）

24

A.M=NB.N^M

C.MQND.MCN=0

/〃鞏固練習(xí)/

【鞏固練習(xí)1】將-885?；癁樯?60。+。（0。4a<360。次€書的形式是

【鞏固練習(xí)2］與-457。角終邊相同的角的集合是.

【鞏固練習(xí)3】已知集合4=｛即，為銳角｝,8=｛0夕為小于90。的角｝,。=｛9|夕為第一象限角｝,

為小于90。的正角｝,則下列等式中成立的是（）

A.A=BB.B=CC.A=CD.A=D

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【題型4】象限角與軸線角

基礎(chǔ)知識

象限角：把南放在平面直角坐標(biāo)系中，使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，

那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個角

不屬于任何一個象限

(1)象限角的集合表示

象限角象限角a的集合表示

第一象限角{a|jt-360o<a<Jt-360o4-90°,”￡Z}

第二象限角同片360°+90°<?<JI-360°+180°,%￡Z}

第三象限角{360。+180°<a<A-360o+270°,kGZ}

第四象限角{砒?360。+270。360。+360。，左￡Z}

(2)軸線角的集合表示

角?終邊的位置.角?的集合表示

在x軸的非負(fù)半軸上{a\a=k360°,k^Z}

在X軸的非正半軸上{a|a=Q3600+180。,k^Z}

在y軸的非負(fù)半軸上{?|?=^360°+90°,1WZ}

在y軸的非正半軸上{?|a=^-36004-270°,k《Z}

在X軸上{a\a=k\S00,k^Z}

在y軸上{a|a=%1800+90。，k^Z]

在坐標(biāo)軸上

{a\a=k-900tkSZ)

//典型例題/

【例題1](多選)下列命題中錯誤的是()

A.三角形的內(nèi)角必是第一、二象限角

B.始邊相同而終邊不同的角一定不相等

C.第四象限角不一定是負(fù)角

D.鈍角比第三象限角小

5.16

［例題2】-2024。的終邊在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【例題3】（2024?湖北黃岡?期中）若角。滿足a=^+g（kWZ）,則。的終邊一定在（）

A.第一象限或第二象限或笫三象限

B.第一象限或第二象限或第四象限

C.第一象限或第二象限或x軸非正半軸上

D.第一象限或第二象限或y軸非正半軸上

【例題4】若。是第二象限角，則（）

A.一。是第一象限角B.￡是第--或第三象限角

C.g+a是第二象限角D.2a是第三象限角或2a是第四象限角或2a的終邊

在y軸負(fù)半軸上

/〃鞏固練習(xí)/

【鞏固練習(xí)1】在平面直角坐標(biāo)系中，給出下列命題：①小于楙的角一定是銳角；②鈍角一定是第

二象限的角；③終邊不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命題的個數(shù)是

（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【鞏固練習(xí)2】等是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【鞏固練習(xí)3】已知。是銳角，那么2a是（）.

A.第一象限角B.第二象限角

C.小于180。的正角D.第一或第二象限角

6.16

［鞏固練習(xí)4】己知a是銳角，則（）

A.180"+a是第三象限角B.2a是小于180°的正角

C.2a是第一或第二象限角D.5是銳角

【題型5】區(qū)域角的表示

基礎(chǔ)知識

解答此類題目應(yīng)先在0°?360°上寫出角的集合，再利用終邊相同的角寫出符合條件的所有角的集

合，如果集合能化簡的還要化成最簡.本題還要注意實線邊界與虛線邊界的差異.

_?_■—?一,一?一?一?一?一,一?一?一?一?一?一?一?一,一?一?一?一?一?一?一?一?

/力典型例題/

【例題1］已知集合{。|〃?360。+45。4。4-360。+90。,462},則圖中表示角。的終邊所在區(qū)域正

確的是（）

【例題2】若角。的終邊落在如圖所示的陰影部分內(nèi)，則角。的取值范圍是（）

,冗兀、一/2九7it.八.2兀.7n,、八

A.(―,—)B.(―,—)C.f--++kit](kGZ)

633636

D.[2A^+—,2A-n+—](A^Z)

36

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/〃鞏固練習(xí)/

【鞏固練習(xí)1】集合+4尿+],A”Z中的角所表示的范圍（陰影部分）是（

)

【鞏固練習(xí)2】（2024?高一?山西朔州?期末）集合｛4-180y院上180。+60°,丘2｝中的角所表示的

【鞏固練習(xí)3】（2024?高一?廣西欽州?階段練習(xí)）集合以|加80?！??！队?0。+45。,女￡2｝中用表示的

范圍（用陰影表示）是圖中的：）

【鞏固練習(xí)4】（23-24高一上?河北承德?期末）已知角。的終邊落在陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界），角儀

8.'16

的終邊和。相同，則角a的集合為()

A.〈a—+2kit<a<—+2kn.k€Zr

■63（

,?

nknnkit.

B.Jct—+—<a<—+——,ksZ\

6232

C.<a—+lai<a<—+kii,keZ-

63

7C3kn,，瓦3kn,_

D.cc—i----<a<--1----.AeZ<

6232

【鞏固練習(xí)5】如圖，用弧度表示頂點在原點,

的角的集合（不包括邊界）.

【題型6】關(guān)于某條線對稱的2個角的表示

1核心?技巧/

①若角。與角夕的終邊關(guān)于x軸對稱，則。與尸的數(shù)量關(guān)系為：a+〃=2E,ZeZ；

②若角a與角尸的終邊關(guān)于y軸對稱，則a與尸的數(shù)量關(guān)系為：a+/?=(2A+l)兀,〃eZ；

③若角a與角〃的終邊在一條直線上，則a與〃的數(shù)量關(guān)系為：a=/7+A/i,AeZ；

TT

④若角。與角夕的終邊關(guān)于y=x軸對稱，則a與夕的數(shù)量關(guān)系為：a+4=2?+,

⑤若角a與角〃的終邊關(guān)于^二工軸對稱，則。與夕的數(shù)量關(guān)系為：。+夕=2〃乃一］

9/16

/〃典型例題/

【例題1】在平面直角坐標(biāo)系中，若角a與夕的終邊關(guān)于V軸對稱，則角。與月之間的關(guān)系滿足

（）.

A.a+。=RB.<z+/?=2k^（kGZ）

C.a+0=ke.Z）D.a+￡=（2"+1）兀（左wZ）

TT

【例題2]。的終邊與多的終邊關(guān)于直線N=x對稱，則。的取值集合為______.

6

/〃鞏固練習(xí)/

【鞏固練習(xí)1】（21-22高一上,陜西寶雞?期中）若角。和耳的終邊關(guān)于直線x+j，=O對稱，且

a=-g,則角〃的集合是_________.

6

【鞏固練習(xí)2]a是一個任意角，則。的終邊與3萬-a的終邊（）

A.關(guān)于坐標(biāo)原點對稱B.關(guān)于x軸對稱

C.關(guān)于y軸對稱D.關(guān)于直線>'=x對稱

【鞏固練習(xí)3】直角坐標(biāo)系X。中，以原點。為頂點，以x軸正半軸為始邊，那么，角乃一。的終邊

與。的終邊關(guān)于對稱；角a的終邊與。的終邊關(guān)于對稱.

【題型7】〃等分角的象限問題

土心■螃/

如何確定角終邊所在象限

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法1分類討論法：利用已知條件與出。的范圍（用攵表示），由此確定一的范圍，在對〃進行分類

n

a

討論，從而確定一所在象限。

n

法2幾何法：先把各象限分為〃等份，再從x軸的正方向的上方起，逆時針依次將各區(qū)域標(biāo)上1、

Of

2、3、4……則。原來是第幾象限的角，標(biāo)號為幾的區(qū)域即角一終邊所在的區(qū)域。

n

/［J典型例題/

【例題1】（多選）如果2夕是第四象限角，那么夕可能是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【例題2】已知。是第三象限角，試確定2a終邊所在位置..

【例題3】已知角a的終邊在第四象限，確定下列各角終邊所在的象限：

（Dy；（2）2?；（3凈（4）3a.

/〃鞏固練習(xí)/

［鞏固練習(xí)1］（高一上?湖北式漢?期末）角〃是第二象限的角，則葭所在的象限為（）

A.第一、三象限B.第二、三象限C.第一、四象限D(zhuǎn).第三、四象限

【鞏固練習(xí)2］（高一上?河南新鄉(xiāng)?期末）是第四象限角”是“券是第二或第四象限角”的（）

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A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【鞏固練習(xí)3】角。的終邊在第三象限，那么彳的終邊不可能在的象限是第象限

A.—B.二C.三D.四

【鞏固練習(xí)4】已知〃終邊在第四象限，則2a終邊所在的象限為.

【題型8】扇形的弧長及面積公式

基礎(chǔ)知識

一、扇形弧長與面積的基本公式

已知扇形的半徑為R,圓心角為6

弧長公式：1=0R

面積公式：S=-lR=-0R2

22

二、應(yīng)用弧度制解決問題的方法

(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意前的單位必須是弧度.

(2)求扇形面積最大值的問題時，常轉(zhuǎn)化為二次圖數(shù)的最值問題.

(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形.

/[J典型例題/

【例題1】已知扇形的圓心角是60°,半徑為2,則扇形的面積為()

A.60B.120C.-D.—

33

【例題2】(23-24高一上?浙江寧波?開學(xué)考試)如下左圖中，。。的半徑為20,則陰影部分的面積

為.

A

【例題3】（23?24高一上,湖北,期末）以等邊三角形每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點

間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形弧就是勒洛三角形.如圖上右，已知中間正三角形的邊長為

2,則該勒洛三角形的面積與周長之比為.

/“鞏固練習(xí)/

【鞏固練習(xí)1】（23-24高一上?浙江嘉興?期末）一個扇形的弧長和面積都是與，則這個扇形的半徑

為.

【鞏固練習(xí)2】（2024?高一?江蘇揚州?期中）已知扇形的圓心角為2rad,弧長為2cm,則該扇形的面

積為cm?.

【鞏固練習(xí)3】（2024?高一?天津?期末）磚雕是我國古建筑冊刻中的重要藝術(shù)形式，傳統(tǒng)磚雕精致細(xì)

膩、氣韻生動、極富書卷氣.如圖所示，一扇環(huán)形磚雕，可視為將扇形OCO截去同心扇形。力8所得

圖形，已知。l=0.1m,J￡>=0.4m,408=125。，則該扇環(huán)形磚雕的面積為m2.

C

【鞏固練習(xí)4】（23-24高-上,江蘇鹽城?期末）古代文人墨客與丹青手都善于在紙扇上題字題畫，題

字題畫的部分多為扇環(huán).已知某扇形的扇環(huán)如圖所示，其中外弧線的長為72cm,內(nèi)弧線的長為18cm,

連接外弧與內(nèi)弧的兩端的線段均為185n，則該扇形的中心角的弧度數(shù)為.

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【題型9】扇形中的最值問題

/核心?技巧/

扇形中的最值問題一般結(jié)合基本不等式和二次函數(shù)來進行求解

相關(guān)結(jié)論及其推導(dǎo)：設(shè)扇形周長C,面積S,圓心角。，半徑r

1、已知扇形周長C為定值，面積取得最大值時圓心角。的大小為定值。=2

【證明】：C=（6+2）r,

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)廠=一時也即。=2時，面積取援大值.

4

2、已知扇形面積S為定值，當(dāng)周長C取得最小值時，半徑r=

OS）s

【證明】lr=2S,C=2r+/=2rH--->4\fs,當(dāng)且僅當(dāng)2〃=——=時取等

rr

/力典型例題/

【例題1】（23?24高一上?湖北?階段練習(xí)）若一個扇形的面積為4兀，則當(dāng)半徑為時扇形的周

長最小.

【例題2】（23-24高一上?湖北?階段練習(xí)）若一個扇形的面積為4兀，則當(dāng)半徑為時扇形的周

長最小.

【例題3】（23?24高一上?江蘇南京?期末）（多選）已知扇形的半徑為人弧長為/.若其周長的數(shù)值為

面積的數(shù)值的2倍，則下列說法正確的是（）

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A.該扇形面積的最小值為8

B.當(dāng)扇形周長最小時，其圓心角為2

C.廠+2/的最小值為9

D1.4/的最小值為:1

廣r