專題04橢圓（期中復習講義）

.明?期中考情.

核心考點復習目標考情規(guī)律

橢圓的定義理解并掌握橢圓的定義，培養(yǎng)數(shù)學抽象的基礎必考點，常出現(xiàn)在

核心素養(yǎng).小題

橢圓及其標準方掌握橢圓的標準方程及其推導過程，提升基礎必考點，常出現(xiàn)在

程數(shù)學運算的核心素養(yǎng).小題或者大題第（1）問，

計算能力是關鍵

橢圓的簡單幾何1、掌握橢圓的幾何性質(zhì)，掌握。也c,e的幾高頻易錯點，常出現(xiàn)在

性質(zhì)何意義及a"c之間的相互關系,培養(yǎng)數(shù)小題，特別是離心率的

學抽象的核心素養(yǎng).求法是高頻考點

2、嘗試利用橢圓的方程研究橢圓的幾何性

質(zhì),提升數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

直線與橢圓的位掌握利用根的判別式判斷直線與橢圓位置基礎必考點，常出現(xiàn)在

置關系關系的方法,會判斷直線與橢圓的位置關大題

系,培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng).

橢圓的弦長公初步探尋弦長公式有關知識，能運用直線重難必考點，利用韋達

式、中點弦問題與橢圓的位置關系解決相關的弦長、中點定理、點差法突破弦長

弦何題,提升數(shù)學運算與邏輯推理的核心公式以及面積問題、中

素養(yǎng).點弦問題

.記?必備知識.

區(qū)知識點01橢圓的定義

1、桶圓的定義：平面內(nèi)一個動點尸到兩個定點片、鳥的距離之和等于常數(shù)|+|尸乙|=2a>|F,F2|）,

這個動點。的軌跡叫橢圓.這兩個定點（片，用）叫橢圓的焦點，兩焦點的距離（|片區(qū)|）叫作橢圓的焦距.

說明：

若（|可|十|P「2卜尸閶），P的軌跡為線段片小

1/102

若(歸耳|十|P-2卜忻行|)，P的軌跡無圖形

2、定義的集合語言表述

集合尸二團。大+|桃=2。>但閭}.

惶知識點02橢圓的標準方程

1、橢圓標準方程的推導

(1)怎樣建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担?/p>

以經(jīng)過點片、巴的直線為工軸，城段的垂直平分為y軸建立直角坐標系工Or，如圖L

(2)橢圓可以看作是哪些點的集合？用坐標如何表示？

設點〃(xj)是橢圓上任一點，橢圓的焦距為2c(c>0).

焦點F、,F2的坐標分別是(-c,0),(c,0),

又設M與片，用的距離的和等于常數(shù)2a.

由橢圓的定義，橢圓就是集合P=IM||/W陰+|歷用=2〃}

因為|MG|=J(X+C)2+y2,"|=去”)2+「,所以+c)2+J?+&X-0)2+?。?2。

(3)遇到根式怎么辦？兩個根式在同一側(cè)能不能宜接平方？

即J(x+c>+_/=2a-7(x-c)2+y2

兩邊平方得(x+c)2+y2=4a2-4ciy](x-c)2+y2+(x-c)2+y2整理得a^x-c)2+y2=a2-ex

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再平方并整理得（"-c2）x2+a2y2=Q2（/-c2）兩邊同除以/（/一/）得二

，a~a~-c~

考慮。>c>0,應有/一c?>0,故設〃=/-，，就有0+烏=1.

a"h~

3、橢圓標準方程的求解

（1）利用待定系數(shù)法求橢圓標準方程的步驟

①定位：確定焦點在那個坐標軸上：

②定量：依據(jù)條件及/=〃+/確定〃力,0的值；

③寫出標準方程.

【常用結(jié)論】

22

①求橢圓方程時，若沒有指明焦點位置，一般可設所求方程為1+匕=1（〃?>0,〃>0,用工〃）：

陽n

②當橢圓過兩定點時，常設橢圓方程為4，+By2=l（/>0,3>0,且彳/B）,將點的坐標代入，解方程組

求得系數(shù).

醫(yī)知識點03點與橢圓的位置關系

1、根據(jù)橢圓的定義判斷點P（x0,%）與橢圓的位置關系，有如下結(jié)論:

|崢|+|Mg|<2ao點P在橢圓內(nèi)部：

|ME|+|MR|=2ao點P在橢圓h：

3/102

|崎|+|g|>2〃。點P在橢圓外部.

2、對于點P（x°,為）與橢圓的位置關系，有如下結(jié)論:

點P（%,打）在橢圓外。竺+￡>1；

a~h'

點p（%,券）在橢圓內(nèi)0"<1；

a~n~

點PC%,%）在橢圓上。黑+粵=1;

a"b'

限知識點04橢圓的焦點三角形

1、定義：橢圓上一點與橢圓的兩個焦點組成的三角形通常稱為“焦點三角形

2、兩個性質(zhì)

障知識點05橢圓的簡單幾何性質(zhì)

焦點的位置焦點在X軸上焦點在y軸上

生

圖形OL\Iff.,x

\fry

->

標準方程=+二二1(a>b>0)4+1=1(a>b>0)

a2b2a~b2

范圍-a<x<a,-b<y<b-b<x<b,-a<y<a

4(一/0),4(。，°)，4(0,-a)a?。)

頂點

Bi(0,-b),B式0,b)4(-6,0)B2s,0)

軸長短軸長=26,長軸長=2a

焦點也,0)(0,±c)

焦距1根l=2c

對稱性對稱軸：x軸、了軸對稱中心：原點

離心率e=-,ee(0,l)

a

4/102

注：離心率：橢圓焦距與長軸長之比：e=^=>e=^l-(-)2.(0<e<l)

當e越接近1時，c越接近。，橢圓越扁：

當e越接近o時:c,越接近0,橢圓越接近圓；

當且僅當。=6時，圖形為圓，方程為』+/=/

【常用結(jié)論】

①與橢圓二十二=\(a>b>0)共焦點的橢圓方程可設為：「￡—+"-=1(〃?>-b2)

a~h~a~+〃zh~+m

②橢圓=+E=i的圖象中線段的幾何特征(如下圖)：

a2b2

(1)\PFx\+\PF2\=2a；

(2)\BF]=\BF2\=at\OF]=\OF2\=c,14M=履卻=777^：

(3)|4片|二|4月二〃一0,|4用二|4用=〃+0,a-c<\PF]\<a+c；

限知識點06直線與橢圓的位置關系

1、位置關系的判斷

直線》=履+m與橢圓二十二?=1(Q>b>0)的位置關系

a'b'

y=kx+w,

聯(lián)立卜2V消去y得一個關于X的一元二次方程.

la2b2

①A>0=直線和橢圓相交=直線和橢圓有兩個交點(或兩個公共點)；

②A=0=直線和橢圓相切=直線和橢圓有一個切點(或一個公共點)：

③Ac00直線和橢圓相離=直線和橢圓無公共點.

2、直線與橢圓相交的弦長公式

(1)定義：連接橢圓上兩個點的線段稱為橢圓的弦.

(2)求弦長的方法

①交點法：將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出兩交點的坐標，然后運用兩點間的距離公式來求.

②根與系數(shù)的關系法：

5/102

若直線/：y=履+人與圓錐曲線相交與/、B兩點,A（七,必）,B&2,必）則：

弦長|/卻=）（再一工2尸+3—丁2'=J（匹-。2）2+（5—優(yōu)尸=Jl+1|修一￡|

弦長-刃

這里1再-占I，I乂-%I，的求法通常使用韋達定理，需作以下變形:

IX1一電1=J（X|+%）2-；

I必一乃卜+歹2）2-4「仍

3、解決直線與圓錐曲線相交問題的常用步驟：

（1）得出直線方程，設交點為川I，必），3（X2,為）；

（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關于x（或y）的一元二次方程；

（3）寫出根與系數(shù)的關系：

（4）將所求問題或題中關系轉(zhuǎn)化為關于耳+/，再吃的形式；

（5）代入求解.

醫(yī)1知識點07中點弦問題與點差法

1、若橢圓與直線/交于兩點，〃為中點，且3〃與勺”斜率存在時，則%出?K°M二一土：（焦點在

G-

X軸上時），當焦點在y軸上時，kAB-Koy--

百

￡+F-

證明：設/（再,必），8（修，為），歷（小，咒）則橢圓,a~K

學+-

?■zr

兩式相減得立空■=-￡■

/2"一芭’（/

22

X1+X2X2-X,a

2

破?重難題型.

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國題型一橢圓的定義及其辨析

解I題I技I巧

(1)對橢圓定義的三點說明

①橢圓是在平面內(nèi)定義的，所以"平面內(nèi)''這一條件不能忽視.

②定義中到兩定點的距離之和是常數(shù)，而不能是變量.

③常數(shù)2〃必須大于兩定點間的距離，否則軌跡不是橢圓，這是判斷一曲線是否為橢圓的限制條件.

(2)橢圓定義的兩個應用

①若|MR|+|MF2|=2a(2Q|FF2|>0),則動點M的軌跡是橢圓.

②若點M在橢圓上，則|MFi|+|MF2|=2a.

1+.=1的兩焦點分別為G,

1.(24-25高二下?陜西咸陽?期末)已知橢圓6,點尸為橢圓上任意一點,

則歸用+|P用的值為()

A.2B.3C.4D.6

【答案】D

【分析】根據(jù)橢圓的定義，即可求得答案.

【詳解】由于橢圓《+乙=1，故橢圓長半軸長為。=3,

49

故|P制+|「鳥|=2。=6,

7/102

故選：D

2.（24-25高二下?遼寧撫順?開學考試）已知平面內(nèi)兩個定點6（-3,0）,5（3,0）,動點尸滿足|尸耳\+\PF2|=10,

則點尸的軌跡為（）.

A.橢圓B.線段

C.雙曲線D.拋物線

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，由橢圓的定義，即可得到結(jié)果.

【詳解】因為E，工為平面內(nèi)兩個不同定點，且|￡鳥|=6,

|尸￡1+1尸旦|=10>6,

則動點P的軌跡是以耳，鳥為焦點的橢圓.

故選：A

3.（25-26高二上?全國?課后作業(yè)）方程/丁丁+而用衰7=1表示的曲線為（）

A.圓B.橢圓C.線段D.不表示任何圖形

【答案】D

【分析】結(jié)合橢圓的定義求解即可.

【詳解】由題可得：方程左邊的幾何意義是點P（xj）到點4&0），點8（7,0）的距離?之和，

即伊旬+|尸網(wǎng)=]

因為|4卻=2,所以|市|+|尸網(wǎng)<|28|,

所以滿足點P（xj）的軌跡不存在，即方程不表示任何圖形.

故選：D.

4.（24-25高二上?山東煙臺?期末j已知片,用分別為橢圓C:9+?=l的左、右焦點，直線y=2x與C交于

兩點、4B,則平行四邊形片片8鳥的周長為（）

A.4拒B.8C.8x/2D.16

【答案】C

【分析】由題意，根據(jù)橢圓的定義計算直接得出結(jié)果.

【詳解】由題意知，〃=2收，由橢圓的定義知，

8/102

四邊形力片4鳥的周長為|力用+|"；|+|防+|網(wǎng)=4a=8&.

5.35高二上?江蘇南京?期末）已知橢圓。磊+皋1的左、右焦點分別F修點P在C上，3歷,

則小環(huán)鳥內(nèi)切圓半徑為（）

A.1B.2C.4D.5

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，利用橢圓的定義求出6的面積,進而求出其內(nèi)切圓半徑.

【詳解】橢圓c：二十亡=1的長軸長2。=14,焦距2c?=2,49-24=10,

4924

則|歷|+|"|=2"14,由助_L在，得|PG|2+|pE|2=（2c）2=ioo,

則…設內(nèi)切圓半徑為「，由心內(nèi)手”2吐白叼呷,

得（14+10>=48,所以r=2.

3題型二判斷方程是否表示橢圓

解?題?技?巧

9/102

Q、根據(jù)橢圓焦點位置求橢圓方程中的參數(shù)取值范圍時,考慮含x\y2項對應的分母都大于0,然后根據(jù)焦；

:點所在坐標軸確定對應分母的大小.：

:2、由橢圓的標準方程可以確定焦點坐標或求參數(shù)的值（或取值范圍）.1

：（1）求橢圓的焦點坐標時，若方程不是標準方程，則應先將其化為標準方程，確定屋方的值和焦點所在的j

:坐標軸，再利用關系式蘇=〃+炭求出c,即可寫出焦點坐標.，

i（2）已知方程求參數(shù)的值（或取值范圍）時,需注意:對于方程衿T,當m>n>0時，方程表示焦點在x軸上；

:的橢圓;當n>m>0時，方程表示焦點在y軸上的橢圓.特別地，當n=m>0時,方程表示圓心在原點的圓.，

1.（23-24高二上?云南昆明?月考）方程_□+/_=1表示橢圓的充要條件是（）.

4+62-m

A.-4<m<2B.或

C.-4<?n<-lD.tn>-1

【答案】B

【分析】借助橢圓的標準方程與充要條件的定義計算即可.

【詳解】若上+上=1表示橢圓，

4+〃？2-m

4+w>0

則《2—nj>0,解得-4<〃?<一1或一1<<2.

4+〃?工2-m

故選：B.

2.（25-26高二上?江蘇南通?月考）若方程工一=1-上一表示焦點在歹軸上的橢圓，則實數(shù)小的取值范圍

6-mm-4

是（）

A.[4,5]B.（4,6）C.[5,+8）D.（5,6）

【答案】D

【分析】將題目所給方程轉(zhuǎn)化為橢圓的標準方程的形式，結(jié)合題設條件，列出方程組，即可求解.

【詳解】橢圓方程上=1-上=上+上=1,

6-mw-46-mm-4

上式表示焦點在y軸上的橢圓，

6-ni>0

則，zn-4>0,解得5<機<6,

-4>6-w

故選：D.

10/102

3.（2025高二上?全國?專題練習）是“曲線二十工=1表示橢圓”的（）

t\-t

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】利用充分條件和必要條件的判斷以及橢圓方程的特征求解即可.

7>0

【詳解】曲線。告=1表示橢圓等什1-/>0,解得0</<1且L

2

t^\-t

所以“o<x1”是“曲線二+￡=1表示橢圓”的必要不充分條件.

t\-t

故選：B.

4.（24-25高二上?河南漂河?期末）若方程二-上=1表示焦點在N軸上的橢圓，則實數(shù)〃的取值范圍為

mm-2

（）

A.0</??<1B.C.\<m<2D.0<m<2

【答案】A

【分析】根據(jù)條件，利用橢圓方程的標準形式，即可求解.

【詳解】由《一工=1,即二一上=],

mm—2m2-m

由題有2>0,所以0<加<1,

故選：A.

5.（24-25高二上?浙江紹興?期中）若方程〃必甘表示焦點在x軸上的橢圓，則〃?，〃的一組可能取值

是（）

A./〃=2,〃=1B.rn=\,n=2

C.m=\,n=—D.rn=—n=-

22t4

【答案】B

【分析】根據(jù)橢圓的方程類型列不等式求解見〃的關系即可得結(jié)論.

UZ_i

【詳解】方程爾2+"=1轉(zhuǎn)化為了十1一1

mn

若方程表示焦點在X軸上的橢圓，則所以〃

mn

11/102

則用，〃的一組可能取值是m=1,〃=2.

故選：B.

包題型三點與橢圓的位置關系

解|題|技|巧

根據(jù)橢圓的標準方程判斷點P（xo,yo）與橢圓［以#=1（。*>0）為例］的位置關系有兩種方法

（I）直接利用下面的結(jié)論:

①點P（xo,yo）在橢圓外=用1>1;

②點P（xo,yo）在橢圓上=黑=1;

③點P（xo,yo）在橢圓內(nèi)。算<1.

（2）先由橢圓的標準方程求出再利用下面的結(jié)論:

①|(zhì)PFI|+|PF2|V2AC點P在橢圓內(nèi);

②|PFi|+|PF2|=2a=點P在橢圓上;

③|PFi|+|PF2|>2a3點P在橢圓外.

1.（23-24高二上?河南南陽?月考）點（1」）與橢圓《+己=1的位置關系為（）

259

A.點在橢圓上B.點在橢圓內(nèi)

C.點在橢圓外D.不確定

【答案】B

【分析】將點代入橢圓即可求解.

【詳解】由于導“，所以（1,1）在異卷=1內(nèi)，

故選：B

2.若點?（1,-。）在橢圓/一廣=2的內(nèi)部，則實數(shù)。的取值范圍為（）

2a

A.（-2,+<?）B.,2,-；卜卜同

C.（-2,0）D.1-2,+8

\乙）I2z

【答案】B

【分析】由點在橢圓內(nèi)部.列出不等式求解即可.

12/102

【詳解】由點P（l,一。）在橢圓f-或=2的內(nèi)部,

2a

可得：1--<2,且2"0,

2a

解得：-2<?；蛞?

22

所以實數(shù)。的取值范圍為12,彳卜卜；,0）,

故選：B

3.（24-25高二上?全國?課堂例題）已知直線〃次+沙-5=0與圓/+/=5沒有公共點，則點。（叫〃）與橢圓

上+亡=1的位置關系是（）

75

A.在橢圓內(nèi)B.在橢圓外

C.在橢圓上D.不確定

【答案】A

【分析】由直線與圓沒有公共點得〃，+/<5,再利用放縮法得尤+日<1,可判斷點與橢圓的位置關系.

75

【詳解】???直線加r+利-5=0與圓/+/=5沒有公共點，

.??圓心（0,0）到直線的距離d=/：>石，即疝+/<5,

\Jm'+〃'

0<z/r<5,

pm2tr22nT2n.

乂丁——+一<——+—<1,

7555

.?.點/>（〃],〃）在橢圓內(nèi)部.

故選：A.

4.（24-25高二上?全國?課前預習i若點尸（0,1）在焦點在x軸上的橢圓看+廿=1內(nèi)部，則，〃的取值范圍

5m

是.

【答案】（1,5）

【分析】根據(jù)橢圓焦點在工軸上互得0<加<5,再根據(jù)點尸（0,1）在橢圓片+片=1內(nèi)部列式求解.

5m

【詳解】因為橢圓個+上=1的焦點在x軸上，則0vw<5,

5m

又因為點尸（0,1）在橢圓工+匕=1內(nèi)部,則￡+，,解得1<相<5,

5m5m

所以機的取值范圍是（1,5）.

13/102

故答案為：(1,5),

3

5.(24-25高二上?四川南充?月考j直線"+丁-2=0與橢圓1恒有公共點,則實數(shù)，〃的取值范圍

6m

是____________

【答案】［4,6)U(6,+8)

【分析】求出宜線所過定點的坐標，分析可知，定點在橢圓內(nèi)或橢圓上，結(jié)合橢圓方程可得出關廠實數(shù)"的

不等式組，由此可解得實數(shù)/〃的取值范圍.

【詳解】直線方程可化為丁=-6+2,故該直線恒過定點(0,2),

因為直線2=0與橢圓工+己=1恒有公共點，

6m

陽

m

則點(0,2)在橢圓內(nèi)或橢圓匕所以，加>0,解得加24且〃?工6,

加工6

所以，實數(shù)，〃的取值范圍是［4,6)IJ(6,M).

故答案為：［4,6)U(6,”).

該題型四橢圓的標準方程

解|題|技|巧

橢圓標準方程的求解i

1、利用待定系數(shù)法求橢圓標準方程的步驟?

①定位：確定焦點在那個坐標軸上；i

②定量：依據(jù)條件及/=/>2+02確定〃也。的值；，

③寫出標準方程.

X2v21

2、求橢圓方程時，若沒有指明焦點位置，一般可設所求方程為L+L=l(〃?>0,〃>0,〃?w〃)；

mn

3、當橢圓過兩定點時，常設橢圓方程為4^+8)5=1(力〉0,8〉0,且4工8),將點的坐標代入，解1

方程組求得系數(shù).|

1.(23-24高二上?河南開封?期中j已知橢圓C的焦點在x軸上，長軸長是短軸長的3倍，且經(jīng)過點？(3.0),

則。的標準方程為()

14/102

Ay-

C.Y=1D.-y-+4/=l

【答案】A

【分析】根據(jù)橢圓上的點及橢圓的長短軸關系即可求得橢圓方程.

【詳解】由題可知，，所以《,,

。=31a=3

且橢圓C的焦點在x軸上，則橢圓C的標準方程為總+/=]

故選:A.

2.(24-25高二下?云南昭通?期中)已知橢圓的兩個焦點坐標分別是(-2,0),(2,0),并且經(jīng)過點

則它的標準方程為()

A.—+/=1B.—+^-=1C./+匕=1D.三+工=1

5-1065610

【答案】B

【分析】根據(jù)條件設出橢圓的標準方程，再代點列方程組求系數(shù)即可.

【詳解】因為橢圓的焦點在x軸上，所以設它的標準方程為W+]=l(a>b>0)，

b’

a2=b2+4

所以"2，解得上=101=6,

-1

〔/b2

所以橢圓的標準方程為4+。=1.

106

故選：B.

3.(24-25高二上?江西?月考)已知焦點在x軸上的橢圓G與橢圓G：三+己=1的離心率相同，且C的長

軸長比其短軸長大4,則G的標格方程為()

【答案】C

【分析】求出橢圓G的離心率，設橢圓G的標準方程為「+《=1(%>4>0),根據(jù)已知列方程即可.

22

【詳解】設焦點在X軸上的橢圓G：5+與=1(%>?>0),

a\b\

由已知得2a1一物=4,即4-/>[=2①,

又橢圓j今片1的離心率為甲L號所以呼二

①②聯(lián)立解得q=6,4=4,

所以橢圓G的標準方程為（+（=1.

故選：C.

4.（23-24高二上?廣東江門?期末）阿基米德（公元前287年一公元前212年）不僅是著名的物理學家，也

是著名的數(shù)學家，他利用“逼近法''得到橢圓的面積除以圓周率兀等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若

橢圓。的對稱軸為坐標軸，面積為46兀，且兩焦點與短軸的一個端點構(gòu)成直角三角形，則橢圓C的標準方

程為（）

x2y2.nx2y2.十y2x2,

A.+—1D.十一1,或十一1

848484

，，2，,,

y~x~y._ey~x~.

C.—+—=1D.—+—=1,或」+二=1

424242

【答案】B

【分析】由題意，焦點的位置進行分類討論設出橢圓的方程，由題意列出方程求出力,〃，然后得到橢圓的

方程即可.

【詳解】由題意，當橢圓的焦點在工軸上時，可設橢圓的方程為￡+E=i,

crb“

因為橢圓的兩焦點與短軸的一個端點構(gòu)成直角三角形，所以b=c.

又。2=〃+。2=2〃,所以a=&b①.

由橢圓的Ihj積為46/it，可得abjr=4及乃，即ab=46②,

聯(lián)立①②，解得/=8,從=4所以橢圓的標準方程為工+二=1,

84

當橢圓的焦點在V軸上時,同理，可得橢圓的標準方程匕+工=1,

84

綜上，橢圓C的標準方程為三十二=1或廿+工=1.

8484

故選:B

5.已知橢圓。：捺+，=1（"40）的左、右焦點分別為0入，左右頂點分別為KN,過6的直線/交C

于從B兩點（異于點M”）,月8的周長為4石，且直線4W與4N的斜率之積為則橢圓C的標準

16/102

方程為（）

2。-2，

Aky~.Dxy~.

A.—+==1B.—+—=1

3234

C.—+^-=1D.—+^=1

128124

【答案】A

【分析】根據(jù)橢圓的定義即可求得。，設力a，y），由求得b,進而求解.

【詳解】由△力不？的周長為4G.由橢圓的定義得4a=4G，解得4=百，

所以必-百,0）,N（瓜0）,設/（4乂）,則江+普=1,可得"1一十）,

21

則上.左=」______乂一:,_bII--3-〃)7解得二=2,

"""再+百X.-V3%；-3%：-333

所以橢圓C的方程《十乙=1，

32

故選:A.

6.已知橢圓氏二十y=1（4＞力＞0）的右焦點為尸（2,0）,過點尸的直線交橢圓上于九B兩點,若線段力8

a~b2

42

的中點坐標為,則橢圓E的標準方程為()

33

x~y~.

AA.—+—=1B.

27363627

D.

c/卜918

【答案】C

【分析】利用中點坐標公式和點差法可求得±的值，結(jié)合c=2可得出的值，進而得解.

a-

【詳解】設點彳（對必）、8（吃,%）,則”的中點為“X+X2為+必

2'2?}

x+x2_48

{x+x

2-3i2=y

則，可得

M+F4,

=二M+%=一§

23

若直線48工x軸，則線段48的中點在x軸上，不合題意;

故直線”“的斜率存在‘且二點

17/102

2

K

+M-

F

la2K

由于力、8兩點都在橢圓￡上，則，2

2M

+-

aF

兩式相減得』igMMf）（,M+力=0,即山=_齊21二與

22

ab乂+必匕x}-x2

0-（二］?,,

因為居M在直線48上，故句=*=1'故號=一/■，即4=3，

2—"T

33

a~=8

所以7-5,解得?

3一2ul_A〃=4'

所以橢圓E的標準方程為工+二=1.

84

故選:C.

2題型五橢圓中的焦點三角形問題

?I

解I題I技I巧

焦點三角形的求解思路i

1、關于橢圓的焦點三角形問題，可結(jié)合橢圓的定義|尸用+|尸周=2°,利用這個關系式便可求出結(jié)果，|

因此回歸定義式求解橢圓的焦點三角形的常用方法；:

2、在橢圓中，焦點三角形引出的問題很多，在處理這些問題時，經(jīng)常利用定義結(jié)合正弦定理、余弦定1

理及勾股定理來解決，還經(jīng)常用到配方法、解方程及把「用?|P周看成一個整體等.i

I........—....1

1.（24-25高二上?山東煙臺?期末）已知斗心分別為橢圓C：:+《=l的左、右焦點，直線y=2x與。交于

兩點48,則平行四邊形力￡4鳥的周長為（）

A.472B.8C.8及D.16

【答案】C

【分析】由題意，根據(jù)橢圓的定義計算直接得出結(jié)果.

【詳解】由題意知，a=20，由橢圓的定義知，

四邊形4月5瑪?shù)闹荛L為|/|+|盟|+|明|+|即|=4a=85歷.

故選：C

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2.（25-26高二上?四川?期中）已知橢圓方程上+己=1,過左焦點6的直線與橢圓交于/出兩點，連接

43

4F?BF〉則三角形力的周長為（）

A.8B.10C.12D.14

【答案】A

【分析】根據(jù)橢圓的定義求解即可.

【詳解】橢圓方程二十乙=1,得：“2=4,則。一2.

43

由橢圓的定義得?6|+|力聞=2。=4,忸用+|叫|=4,

所以△相用的周長為HM+M用+忸用=?聞+|力用+忸用+忸引=8.

故選：A.

3.（24.25高二上?四川成都?期末）已知P為橢圓。4+?

1上一點，耳工分別是橢圓C的左、右焦點.若

點P的橫坐標為百，則aPEB的面積為（）

A.￡B.2五C.2百D.4

【答案】C

【分析】有題意點p的橫坐標為也，代入橢圓方程即可計算點p的縱坐標y,由其叼a=；x|K鳥|x|M即可

得解.

19/102

【詳解】因為u（+q=l,所以c=2,又因為點P的橫坐標為萬所以,jlnj，2=3=M=5

所以點尸的縱坐標為土百，所以昌=；x恒周X3=；X2CX?=26.

故選：C.

4.（24-25高二下,安徽滁州?期末）設耳尼為橢圓。：5+1=1的兩個焦點，點。在。上，若麗花=0,

84

則|啊|叫=（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

1M|+|?周=2。=4后,,1,

【分析】根據(jù)題意可知時,可得，?1,，然后可求“訃叫.

［附I+1貨「=|6閭12=布=16

【詳解】?.?希?用=0,

PF、上PF?,

又橢圓c：:+4=i,

84

J附1+附1=24=4&

吶2=|耳聞2=4/=16'

附H明T（陷1+1明）2-（網(wǎng)J|P瑪「）］=8.

故選：D.

5.若點〃在橢圓C:二+仁=1上，”，鳥分別為橢圓。的左右焦點，且/《尸落=60',則”;桃的面枳為（）

43

A.73B.3C.4D.1

【答案】A

【分析】利用橢圓定義得到|戶用+|尸周=2。=4,再利用余弦定理得到|P用尸乙「-|尸片|尸周=2、兩者聯(lián)

立解出|歷||「國=4,再利用三角形面積公式求出面積即可.

【詳解】由橢圓的標準方程C:《+己=1，可得。=2,6=百，所以歸耳|十歸修=2”4,

43

又因為c?=/一〃=1=>c=1,即|E&|=2c=2,

因為5=60,

在A片尸E，根據(jù)余款定理可得儼I儼用22儼用儼用cos600■忻E「，

20/102

即|P用2+|尸聞2Tp用p聞=22n|P用2+|尸閭2=4+|閔|?聞,

又因為（儼用+|尸引丫=42=歷]廣+*/2+2「6|陀1=16,所以|P/P周二4,

所以5.人=；|尸國|尸昭sin/月產(chǎn)￡=；X4X*=7L

故選:A

6.（25-26高二上?全國?單元測試）已知￡,乙是橢圓C:卷+卷=1的兩個焦點，『為C上一點，且A西鳥的

2

內(nèi)切圓半徑為:，若P在第一象限，則『點的縱坐標為（）

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