期中重難點(diǎn)特訓(xùn)（18易錯(cuò)+8壓軸）

題型預(yù)覽

易錯(cuò)題型一、判斷生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象易錯(cuò)題型十四、找旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、對(duì)應(yīng)點(diǎn)

易錯(cuò)題型二、中心對(duì)稱圖形的識(shí)別易錯(cuò)題型十五、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

易錯(cuò)題型三、?元二次方程的定義易錯(cuò)題型十六、二次函數(shù)與方程、不等式關(guān)系

易錯(cuò)題型四、二次函數(shù)的識(shí)別易錯(cuò)題型十七、求關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)

易錯(cuò)題型五、解一元二次方程——直接開(kāi)平方法易錯(cuò)題型十八、求繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度的點(diǎn)的坐

易錯(cuò)題型六、解一元二次方程——配方法標(biāo)

易錯(cuò)題型七、公式法解一元二次方程壓軸題型一、韋達(dá)定理

易錯(cuò)題型八、換元法解一元二次方程壓軸題型二、二次函數(shù)圖象與各項(xiàng)系數(shù)關(guān)系

易錯(cuò)題型九、根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)壓軸題型三、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)綜合應(yīng)用

易錯(cuò)題型十、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系壓軸題型四、一元二次方程的實(shí)際綜合應(yīng)用

易錯(cuò)題型十一、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)壓軸題型五、二次函數(shù)中存在性問(wèn)題

易錯(cuò)題型十二、一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象綜合判壓軸題型六、實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù)綜合應(yīng)用

斷壓軸題型七、旋轉(zhuǎn)的綜合應(yīng)用

易錯(cuò)題型十三、二次函數(shù)圖象與各項(xiàng)系數(shù)符號(hào)壓軸題型八、坐標(biāo)系中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題（不含函數(shù)）

緊易錯(cuò)題型

易錯(cuò)題型一、判斷生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象

1.（24-25九年級(jí)上?廣東清遠(yuǎn)?期中）將圖中可愛(ài)的“小鴨子”圖片按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。后得到的圖片是

<）

2.（24-25九年級(jí)上?全國(guó)?課后作業(yè)）鐘表上的指針隨時(shí)間的變化而移動(dòng)，這可以看作是數(shù)學(xué)上的.

3.（24-25九年級(jí)上?全國(guó)?課后作業(yè)）請(qǐng)你舉出一些現(xiàn)實(shí)生活、生產(chǎn)中旋轉(zhuǎn)的實(shí)例，并指出旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)

角.

易錯(cuò)題型二、中心對(duì)稱圖形的識(shí)別

4.（2025?遼寧撫順?模擬預(yù)測(cè)）在下列四個(gè)圖案中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（）

5.（24-25九年級(jí)上?廣東廣州?階段練習(xí)）如圖所示的圖形中，都是由左邊變成右邊的圖形，分別進(jìn)行了平

移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱和中心對(duì)稱變換.其中進(jìn)行了中心對(duì)稱變換的是.，進(jìn)行了軸對(duì)稱變換的

是.（填序號(hào)）

FfeFHFHIFF

①②③（4）

6.（24-25九年級(jí)上?全國(guó)?課后作業(yè)）下列各圖案中，哪些是中心刈稱圖形？哪些是軸刈稱圖形？哪些既是

中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形？哪些既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形？

易錯(cuò)題型三、一元二次方程的定義

7.（24-25九年級(jí)上?江蘇南通?階段練習(xí)）下列關(guān)于x方程中，屬于一元二次方程的是（）

222

A.2x+3=8B.3（x-l）=xC.x-2xy-y=0D.x+x-6=0

8.（24-25九年級(jí)上?廣東廣州期中）若（加-1卜2-3'=。是關(guān)于K的一元二次方程，則〃7的取值范圍是

9.（25-26九年級(jí)上?全國(guó)?課后作業(yè)）已知關(guān)于x的一元二次方程（卅-1*+工+1=0有實(shí)數(shù)根，求加的取值

范圍.

易錯(cuò)題型四、二次函數(shù)的識(shí)別

10.（24-25九年級(jí)上?江蘇南通?期中）下列函數(shù)解析式中，一定為二次函數(shù)的是（）

A.y=x2+-B.s=2r-2t+\

x

C.y=ax2+bx+cD.=（x-l）'-x1

11.（2025九年級(jí)上?全國(guó)?專題練習(xí)）下列函數(shù)一定是二次函數(shù)的是.

,3

（T）y=ax2+bx+c；@y=—；=4x2-3x+l；@y=（/?-l）x2+bx+c⑤尸（x-3）2-x2

x

12.（24-25九年級(jí)上?安徽安慶?階段練習(xí)）已知二次函數(shù)y=&-2『-3x（x7）.

（1）將該函數(shù)表達(dá)式化為二次函數(shù)的一般形式；

（2）寫(xiě)出該二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).

易錯(cuò)題型五、解一元二次方程一一直接開(kāi)平方法

13.（24-25九年級(jí)上?山西大同?期中）一元二次方程（x+7『=81可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，其中一個(gè)是

x+7=9,則另一個(gè)是（）

A.x-7=-9B.x-7=9C.x+7=9D.x+7=-9

14.（24-25九年級(jí)上?廣東廣州?階段練習(xí)）方程父-16=0的解為.

15.（25-26九年級(jí)上?寧夏銀川?階段練習(xí)）按照指定方法解下列方程：

（1）（2X-1）2=9（用直接開(kāi)平方法）

⑵/―6X+2=0.（用配方法）

易錯(cuò)題型六、解一元二次方程一一配方法

16.（25?26九年級(jí)上?黑龍江佳木斯?階段練習(xí)）用配方法解方程W一6%+5=（）,配方后所得方程為（）

A.（x-3『=4B.（x+3『=4

C.（x-3）2=14D.（x+3）2=14

17.（24-25九年級(jí)上?廣東江門(mén)?階段練習(xí)）若關(guān)于x的一元二次方程/+6x+c=0配方后得到方程（X+3）2=8,

則c的值為一.

18.（25-26九年級(jí)上?河南安陽(yáng)?階段練習(xí)）下面是小聰同學(xué)用配方法解方程2/+4x-1=0的過(guò)程，請(qǐng)仔細(xì)

閱讀后，解答下面的問(wèn)題.

解：移項(xiàng)，得2/+4X=I,①

二次項(xiàng)系數(shù)化為1,得./+2x=g,②

配方，得/+2》+1=1,BP（X+1）2=1,③

由此可得x+l=±乎，④

.?小=-1+孝，x2⑤

整個(gè)解答過(guò)程從第步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是:請(qǐng)給出正確的解題過(guò)程.

易錯(cuò)題型七、公式法解一元二次方程

19.(24-25九年級(jí)上?河南周口?階段練習(xí))若工=上止嗟土區(qū)是某個(gè)一元二次方程的艱，則這個(gè)方

2

程是()

22

A..r+4x-3=0B.x-4.r-3=0

C.X2-4X+3=0D.X2+4X+3=0

20.(2025?安徽淮北?模擬預(yù)測(cè))關(guān)于T的方程41-12x+3=0有兩個(gè)根.記作％,工(為＞王)，則

21.(25-26九年級(jí)上?江西新余?階段練習(xí))解下列方程：

(1)|＞-2)2-9=0；

(2)2x2-6x+l=0;

易錯(cuò)題型八、換元法解一元二次方程

22.(24-25九年級(jí)上?河南周口?階段練習(xí))若關(guān)于x的一元二次方程加+以+e=0的解是西=2,x2=-4,

則關(guān)于y的一元二次方程＜y+l)2+Ky+l)+c=0的解是()

5

A.3=2，y2=-4B.yt=l,y2=~

C.必三3，三一3D.%三1，%三一3

23.(24-25九年級(jí)上?廣東佛山?期中)若(x+y)(x+y-2)-3=0,設(shè)P=(x+y),原式可化為

(x+)，P—2(x+j，)—3=0,即產(chǎn)=-2?一3=0，解得4=3,P2=-\,故x+V的值為3或一1.仿照上面的方法,

22

計(jì)算當(dāng)(/+〃)(/+〃_4)-5=0時(shí)，a+b的值為.

24.(24-25九年級(jí)上?湖南邵陽(yáng)?期中)請(qǐng)你先認(rèn)真閱讀下列材料，再參照例子解答問(wèn)題：

已知(x+y-3)(x+y+4)=-10,求工+N的值；

解：設(shè)工+則原方程可變形為(―3)(/+4)=-10.即/+/_2=0

.?.(/+2)(f-1)=0得6=-2,t2=1

x+y=-2或x+y=I

22

B^(x+/-2)(x+/-3)=12r求/+/的值.

易錯(cuò)題型九、根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)

25.（2025?寧夏中衛(wèi)?模擬預(yù)測(cè)）若拋物線y=〃W+2x-l與x軸有交點(diǎn)，則〃?的取值范圍是（）

A.m>-lB.且機(jī)工0

C.m>-ID.〃?>一1且加工（）

26.（24-25九年級(jí)上?福建福州?階段練習(xí)）一元二次方程/+》+相=0無(wú)實(shí)數(shù)根，則〃?的取值范圍是

27.（24-25九年級(jí)上?吉林?期中）已知關(guān)于x的一元二次方程V+3x+A-2=0有實(shí)數(shù)根.

（I）求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

（2）當(dāng)《取最大整數(shù)時(shí)，求方程的實(shí)數(shù)根.

易錯(cuò)題型十、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

28.（24-25九年級(jí)上?四川內(nèi)江?期中）已知一元二次方程3/-2%-1=0的兩根分別為7,/，則陽(yáng)+/=

（）

221

A.2B.—C.-D.—

333

29.（25-26九年級(jí)上?廣東廣州?階段練習(xí)）設(shè)”,6是方程.5-3x-2025=0的兩個(gè)根，則

a2-2a+h=.

30.（24-25九年級(jí)上?云南紅河?期中）已知關(guān)于x的一元二次方程--5?+2）》+，〃-1=0.

（1）求證：無(wú)論〃，取何值，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為司戶2，求2玉+2M-玉吃的值.

易錯(cuò)題型十一、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

31.（25?26九年級(jí)上?廣東?期中）對(duì)于y=2（x-3）2+2的圖象，下列敘述正確的是（）

A.當(dāng)x23時(shí)，y隨工的增大而增大B.頂點(diǎn)坐標(biāo)（-3,2）

C.當(dāng)x23時(shí)，y隨X的增大而減小D.對(duì)稱軸為y=3

32.（25-26九年級(jí)上?河南省直轄縣級(jí)單位?階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ad的圖象如圖

所示，小明在該平面直角坐標(biāo)系中乂畫(huà)了二次函數(shù)必二62，%=以二必二4』的圖象，則。，b,C,d的

大小關(guān)系是.（用連接）

33.（24-25九年級(jí)上?廣東廣州?期中）已知二次函數(shù)y=-（x-川『+〃/+1（"是常數(shù)）

⑴若〃7=-1,

①咳函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；

②當(dāng)-2WxW2時(shí)，該函數(shù)的最大值；

③當(dāng)1W3時(shí)，該函數(shù)的最大值為；

（2）當(dāng)-24x41時(shí)，該函數(shù)的最大值為4,則常數(shù)〃?的值為.

易錯(cuò)題型十二、一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象綜合判斷

34.（24-25九年級(jí)上?安徽合肥?期中）在同一平面直角坐標(biāo)系口，一次函數(shù)N=G+b和二次函數(shù)

y=-°丫2+bx+c的圖象可能為（）

35.（24-25九年級(jí)上?河南周口?階段練習(xí)）如圖是二次函數(shù)y=a/+云圖象的一部分，則一次函數(shù)y=

會(huì)什匕的圖象不經(jīng)過(guò)第象限.

36.（24-25九年級(jí)上?浙江臺(tái)州?期中）如圖，正比例函數(shù)乃=、與二次函數(shù)），*/.8的圖象相交于。（0,

0),A(4,4)兩點(diǎn).

⑴求b的值；

（2）當(dāng)力〈竺時(shí)，直接寫(xiě)出x的取值范圍.

易錯(cuò)題型十三、二次函數(shù)圖象與各項(xiàng)系數(shù)符號(hào)

37.（24-25九年級(jí)上?云南昭通?期中）已知，二次函數(shù)『="2+6+。的圖象如圖所示，則點(diǎn)P（dC）所在

的象限是（）

第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

38.（24-25九年級(jí)上?吉林白城?期中）已知二次函數(shù)歹=ad+6+c的圖像如圖所示，則點(diǎn)口必c）在第

象限.

39.（24-25九年級(jí)上?遼寧鞍山?階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQv中，拋物線），=/+刀-2與x軸交

（1）求頂點(diǎn)力的坐標(biāo).

（2）點(diǎn)P是拋物線上第三象限內(nèi)的一點(diǎn)，連接8P交力。于點(diǎn)Q,連接力〃.當(dāng)△彳夕。的面積比△BC。的面積

少1時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

易錯(cuò)題型十四、找旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、對(duì)應(yīng)點(diǎn)

40.（24-25九年級(jí)上?全國(guó)?課后作業(yè)）如圖，△48。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，則旋轉(zhuǎn)中心及旋轉(zhuǎn)角分

B.點(diǎn)O,AAOA'

C.點(diǎn)H,NAOBD.點(diǎn)O,ZAOC

41.（24-25九年級(jí)上?山東濱州?期中）如圖，在正方形網(wǎng)格中，△力3c繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度得到

“B'C,則旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)是.

42.（24-25九年級(jí)上?湖南永州?開(kāi)學(xué)考試）如圖，在△4?。中，=20°,ZJCB=30°,4B=2cm,LABC

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后與重合，且點(diǎn)。恰好成為力。的中點(diǎn).

（1）旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)并求出旋轉(zhuǎn)角=_度;

（2）求出NBAE的度數(shù)和AE的長(zhǎng).

易錯(cuò)題型十五、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

43.（24?25九年級(jí)上?云南昭通?期中）若拋物線歹=/一2.〃經(jīng)過(guò)點(diǎn)0,3）,則〃的值為（）

A.-4B.-2C.2D.4

44.（2025?廣東肇慶?模擬預(yù)測(cè)）拋物線歹=/+云+。如圖所示，則它的解析式是.

45.（24-25九年級(jí)上?四川瀘州?期中）如圖，已知二次函數(shù)歹=-.，+云+。的圖象與x軸交于力（-2,0）,8（1,0）

兩點(diǎn).

（1）求二次函數(shù)解析式；

（2）若點(diǎn)。在該二次函數(shù)的圖象上，且的面積為6,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

易錯(cuò)題型十六、二次函數(shù)與方程、不等式關(guān)系

46.（24-25九年級(jí)上?廣東廣州?期中）一次函數(shù)乂=〃a+〃（〃7±0）與二次函數(shù)月=分+加+”。。0）的圖象

如圖所示，則不等式"2+（力-〃）丫+。＞〃的解集為（）

C.-4<x<3D.x>3或x<-4

47.（24-25九年級(jí)上?廣東廣州?階段練習(xí)）拋物線y=-2。-3）?+4與），軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為

48.（25-26九年級(jí)上?廣東廣州?階段練習(xí)）已知二次函數(shù)y=x'+4x+3.

(1)在平面直角坐標(biāo)系X。)，中用“列表、描點(diǎn)、連線”的方法畫(huà)出該二次函數(shù)的圖象;

X??????

y??????

⑵若點(diǎn)4(0,凹)和點(diǎn)8。,必)都在此函數(shù)的圖象上，且弘＞%，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫(xiě)出/的取值范圍為

X???-4-3-2-10???

2

y=x+4x+3???30-103???

易錯(cuò)題型十七、求關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)

49.(24-25九年級(jí)上?廣西南寧?階段練習(xí))已知點(diǎn)力的坐標(biāo)為(2,-4),則點(diǎn)4關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為

()

A.(-2,4)B.(-2,-4)C.(2,-4)D.(2,4)

5().(2025?山西運(yùn)城?模擬預(yù)測(cè))扎染是一種民間傳統(tǒng)染色工藝，如圖，這是使用扎染工藝制作的手帕圖案,

將該圖案放在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)4(-3,啦)與點(diǎn)8關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則點(diǎn)8的坐標(biāo)為.

51.(2025?陜西西安?模擬預(yù)測(cè))如圖，已知力(0,4),8(-2,2),C(3,0).

（1）將△/IB。以原點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180。，畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的△4AG；

（2）連接力耳、便,則四邊形/比的面積為

易錯(cuò)題型十八、求繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度的點(diǎn)的坐標(biāo)

52.（2025?山東青島?模擬預(yù)測(cè)）如圖，△48C在直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，點(diǎn)力的坐標(biāo)為（1,2）,若

將△ABC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)。的時(shí)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)。，則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)力的時(shí)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

C.（卜3）D.（T2）

53.（24-25九年級(jí)上?陜西西安?階段練習(xí)）如圖，將等腰直角么力。"按如圖所示放置，然后繞。點(diǎn)逆時(shí)針

旋轉(zhuǎn)9（）。至的位置，點(diǎn)8的橫坐標(biāo)為近，則點(diǎn)H的坐標(biāo)為.

54.（24-25九年級(jí)上?河南周口?期中）正方形網(wǎng)格中（網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)是1）,△力8C的頂點(diǎn)

均在格點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)谒o的直角坐標(biāo)系中解答卜.列問(wèn)題:

⑴作出繞點(diǎn)力逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的△/嗎G:

（2）再作出△力4G關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱的嗎G；

（3）4的坐標(biāo)為4的坐標(biāo)為一，點(diǎn)c2的坐標(biāo)為一.

喳壓軸題型

壓軸題型一、韋達(dá)定理

1.（24-25九年級(jí)上?山東淄博?期中）知識(shí)回顧：

（1）對(duì)于一元二次方程a-+6x+c=0（30），當(dāng)從-4牝后0時(shí)，它的求根公式為—，求根公式不僅

可以由方程的系數(shù)求出方程的根，而且反映了根與系數(shù)之間的關(guān)系.若方程的兩個(gè)根為王，.，則滿足：

①%+&二—：②中占=—.（這也稱作韋達(dá)定理，是由16世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)的〕.請(qǐng)利用一

元二次方程的求根公式證明韋達(dá)定理；

知識(shí)應(yīng)用：

（2）已知一元二次方程2/-3》-1=0的兩根分為加，〃，求〃?2〃+m〃2的值.

2.（2025?北京?模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于x的方程。吊+〃/小+…+*工+〃布=0,有〃個(gè)實(shí)數(shù)根.某數(shù)學(xué)小組對(duì)根

與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行探究.

當(dāng)〃=2時(shí)，這一性質(zhì)也稱作韋達(dá)定理

設(shè)：該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為玉和9

有《（X_玉）（X72）=0，展開(kāi)得①

又由題知％Y+a2x+=0

故石+/=②

（1）請(qǐng)你補(bǔ)全證明過(guò)程；

（2）當(dāng)〃=3,求中?+再占+/七（用系數(shù)表示）；

（3）直接寫(xiě)出再由…/的值（用系數(shù)表示）.

3.（24-25九年級(jí)上?江蘇南通?期中）設(shè)一元二次方程a/+bx+c=0（aH0）的兩根為％,x2,由求根公式

1±可推出菁+,x,-x2=-,我們把這個(gè)命題叫做韋達(dá)定理.設(shè)。，夕是方程

2aaa

F—5x+3=0的兩根，請(qǐng)解決下列問(wèn)題：

（1）理解：填空：a+0=_,&/=_；

（2）應(yīng)用：求一+三的值；

ap

（3）拓展：對(duì)于任意實(shí)數(shù)。、力，定義=+若方程（入?2）-5=0的兩根記為〃7、〃，求/+〃2

的值.

4.（24-25九年級(jí)上?山東濟(jì)南?期中）請(qǐng)閱讀以下材料?：

①若與占是關(guān)于x的一元二次方程阮+。=°,工0）的兩個(gè)根，則方程的兩個(gè)根與士和系數(shù)。、Ac

h0

有如下關(guān)系：Xx=—,4G=一，把它們稱為一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系定理（韋達(dá)定理）.

1+2aa

②定義：已知斗￡關(guān)于x的一元二次方程ar2+bx+c=0（〃w0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，若凡<々<0,且

3<-<4,則稱這個(gè)方程為“限根方程”.如：一元二次方程/+小+30=0的兩根為萄=-10,X=-3,因

“22

為-10v-3v0,3<—<4,所以一元二次方程工2+13戈+30=0為“限根方程”.

一3

請(qǐng)解決下列問(wèn)題：

(1)判斷一元二次方程V+”+14=0是否為“限根方程”，并說(shuō)明理由；

⑵若關(guān)于x的一元二次方程2/+(￡+7卜+公+3=0是，，限根方程，，，且方程的兩根玉、占滿足

玉+々+再々=-1,求A的值；

(3)若關(guān)于x的一元二次方程Y+(1-，〃戶-〃?=0是“限根方程''，則m的取值范圍為(此小問(wèn)直接填空,

不寫(xiě)過(guò)程)

5.(2025?湖北黃石?模擬預(yù)測(cè))閱讀材料，解答問(wèn)題：

材料1

為了解方程卜2丫-13/+36=0,如果我們把/看作一個(gè)整體，然后設(shè)歹=/,則原方程可化為

/-13^+36=0,經(jīng)過(guò)運(yùn)算，原方程的解為工2=±2,玄4=±3.我們把以上這種解決問(wèn)題的方法通常叫做

換元法.

材料2

L2知實(shí)數(shù)〃滿足毋—m-1-0,?2—w—1—0?且/〃工〃，顯然m,"是方程--x-1-0的兩個(gè)不相等的

實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理可知/〃+〃=1,mn=-\.

根據(jù)上述材料，解決以下問(wèn)題：

(1)直接應(yīng)用：

方程/一5/+6=0的解為;

(2)間接應(yīng)用：

己知實(shí)數(shù)a,〃滿足；2/_7a2+1=0,2〃一7〃十|=0且a#b,求/十/的值；

(3)拓展應(yīng)用：

-1

已知實(shí)數(shù)〃?，〃滿足：一7—丁=7,一〃=7且〃>。,求一的值.

mmm

壓軸題型二、二次函數(shù)圖象與各項(xiàng)系數(shù)關(guān)系

1.（24-25九年級(jí)上?浙江麗水?期中）已知關(guān)于x的二次函數(shù)丁=仆2-2社+3。-2（。工0）,經(jīng)過(guò)點(diǎn)

力（看，必），8（%2，%）.

（1）若此函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)（2,4）,求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式：

（2）若王=3看時(shí)，乂=8=7時(shí)，求七的值；

⑶若0<a<3,當(dāng)王<占，且內(nèi)+&=4-1時(shí)，求證：乂>巴.

2.（24-25九年級(jí)上?河北邢臺(tái)?期中）已知拋物線歹=/+2〃次+4〃/（〃?為常數(shù)）與y軸的交點(diǎn)為。點(diǎn).

（1）若拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求機(jī)的值:

⑵若點(diǎn)力（西?。┖忘c(diǎn)8（4-項(xiàng),凹）在拋物線.上，求。點(diǎn)的坐標(biāo);

（3）當(dāng)2〃?WxW2m+3,與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的最小值為9,求此時(shí)的二次函數(shù)解析式.

3.（24-25九年級(jí)上?安徽蚌埠?階段練習(xí)）已知拋物線y=爾+入+c?的圖象如圖所示.

⑴判斷。、b、c及。-8+c的符號(hào)；

⑵求a+6+c的值；

（3）給出下列結(jié)論：①人<1；②〃<-2。；③F-b+c<0,其中正確的有（填序號(hào)）

4.（24-25九年級(jí)上?浙江溫州?期中）如圖，已知拋物線y=亦46+c（存0）的頂點(diǎn)。坐標(biāo)為（2,-I）,

且過(guò)點(diǎn)8（3,0）,與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)連結(jié)CD、CB,。。交x軸于點(diǎn)￡,求S/EB：S^ODE.

5.(24-25九年級(jí)上?江蘇南通?階段練習(xí))設(shè)〃國(guó)都是實(shí)數(shù)，且〃<夕.我們規(guī)定：滿足不等式的

實(shí)數(shù)x的所有值的全體叫做閉區(qū)間、表示為［八夕］.對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果它的自變量》與函數(shù)值V滿足：當(dāng)

“WxKg時(shí)，有pWy《q,我們就稱此函數(shù)是閉區(qū)間［p,q］上的“閉函數(shù)”.

(1)反比例函數(shù)."=￡20巴20是閉區(qū)間［1,2020］上的“閉函數(shù)”嗎？靖判斷并說(shuō)明理由；

x

(2)若一次函數(shù)7=h+力/工。)是閉區(qū)間口?,〃］上的“閉函數(shù)”，求此一次函數(shù)的解析式；

(3)若實(shí)數(shù)%"滿足c<d.且d>2,當(dāng)二次函數(shù)y=g/-2x是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”時(shí)，求c,4的值.

壓軸題型三、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)綜合應(yīng)用

1.(25-26九年級(jí)匕廣東廣州?階段練習(xí))如圖，已知拋物線丁=/+2》-3.

7,

(2)當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出x的取值范圍：.

2.(25-26九年級(jí)上?安徽合肥?階段練習(xí))若二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為1,則此二次函數(shù)可表示為

y=x2+px+q,我們稱［PM為此函數(shù)的特征數(shù)，如函數(shù)尸/+2工+3的特征數(shù)是［2,3］.

(1)若一個(gè)函數(shù)的特征數(shù)為,求此函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)探究下列問(wèn)題：

①若一個(gè)函數(shù)的特征數(shù)為［4,-1］,將此函數(shù)的圖象先向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，

求得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)的特征數(shù)；

②若一個(gè)函數(shù)的特征數(shù)為［2,-2］,問(wèn)此函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的平移，才能使得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)的特征

數(shù)為［8,4］?

3.(25-26九年級(jí)上?北京?階段練習(xí))如圖，已知二次函數(shù)^="2+瓜+6＞的圖象與工軸相交于力(一1,0),

8(3,0)兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C(0,-3),P是第四象限內(nèi)這個(gè)二次函數(shù)的圖象上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)

為加，過(guò)點(diǎn)P作PH*x軸于點(diǎn)、H,與BC交于點(diǎn)M.

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)洛線段U繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，0°,,點(diǎn)力的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為直接寫(xiě)出點(diǎn)H的坐標(biāo)，判斷點(diǎn)H是否落在拋物

線上，并說(shuō)明理由；

⑶求PM+28"的最大值；

4.(25-26九年級(jí)上?江蘇南通?階段練習(xí))已知拋物線y=/+2x+2.

（1）該拋物線的對(duì)稱軸是直線，如表中，機(jī)=_,〃=_;并在直角坐標(biāo)系內(nèi)描點(diǎn)畫(huà)出該拋物線的圖象:

X..........-3-2-101..........

y..........52n2m..........

（2）若?（。，乂），。（1,乃）是此拋物線上的兩點(diǎn),且乂〉必，請(qǐng)結(jié)合函數(shù)圖象直接寫(xiě)出實(shí)數(shù)〃的取值范圍

（3）怎樣平移拋物線），=/+2%+2可使所得拋物線恰好過(guò)點(diǎn)（2,2）,直接寫(xiě)出平移方法.（一種即可）

5.（25-26九年級(jí)上?新疆昌吉?階段練習(xí)）二次函數(shù)y=的圖像與直線y=2x-2交于點(diǎn)

（1）求4、〃?的值；

（2）寫(xiě)出二次函數(shù)的解析式，并在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)描點(diǎn)畫(huà)出該拋物線的圖像;

（3）該拋物線的對(duì)稱軸是_,頂點(diǎn)坐標(biāo)是」

（4）若該拋物線上兩點(diǎn)4（演,必）,8卜2，必）的橫坐標(biāo)滿足F>“2>0，則必_必.（比較大?。?

壓軸題型四、一元二次方程的實(shí)際綜合應(yīng)用

1.(25-26九年級(jí)上?江蘇南通?階段練習(xí))某快餐店銷售8兩種快餐,每份利潤(rùn)分別為12元、8元，每

天賣(mài)出份數(shù)分別為40份、80份.該店為了增加利潤(rùn)，準(zhǔn)備降低每份4種快餐的利潤(rùn)，同時(shí)提高每份8種

快餐的利潤(rùn).售賣(mài)時(shí)發(fā)現(xiàn)，在一定范圍內(nèi)，每份4種快餐利潤(rùn)每降1元可多賣(mài)2份，每份8種快餐利潤(rùn)每

提高1元就少賣(mài)2份，假設(shè)這兩種快餐每天銷售總數(shù)不變.

(1)設(shè)每份4種快餐利潤(rùn)降x元，則4種快餐可多賣(mài)份，8種快餐可少賣(mài)份；

(2)若該快餐店每天售出力、8兩種快餐的總利潤(rùn)達(dá)到1260元，則每份4種快餐利潤(rùn)應(yīng)降多少元？

2.(25-26九年級(jí)上?河北石家莊階段練習(xí))如圖，在矩形48co中，AB=5cm,AC=6cm,點(diǎn)。從點(diǎn)力

開(kāi)始沿邊48向終點(diǎn)8以lcm/s的速度移動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)。從點(diǎn)8開(kāi)始沿邊4c向終點(diǎn)C以2cm/s的速度移

動(dòng).如果P,。分別從片，8同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒.

(1)運(yùn)動(dòng)開(kāi)始后，當(dāng)，為何值時(shí)，尸。的長(zhǎng)度等于5cm?

(2)連接/C,當(dāng)，為何值時(shí),的面積等于8cm2?

3.(24-25九年級(jí)上?重慶合川?期中)2025年暑期，我區(qū)遭遇連續(xù)高溫和干旱，一居民小區(qū)的部分綠化樹(shù)

枯死.小區(qū)物業(yè)管理公司決定補(bǔ)種綠化樹(shù)，計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)小葉榕和香樟共50棵進(jìn)行栽種.其中小葉榕每棵680

元，香樟每棵1000元，經(jīng)測(cè)算，購(gòu)買(mǎi)兩種樹(shù)共需38800元.

(1)原計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)小葉榕、香樟各多少棵？

(2)實(shí)際購(gòu)買(mǎi)時(shí)，經(jīng)物業(yè)管理公司與商家協(xié)商，每棵小葉榕和香樟的售價(jià)均下降10〃?元(〃［工1())),且兩種

樹(shù)的售價(jià)每降低10元，物業(yè)管理公司將在原計(jì)劃的基礎(chǔ)上多購(gòu)買(mǎi)小葉榕2棵，香樟1棵.物業(yè)管理公司實(shí)

際購(gòu)買(mǎi)的費(fèi)用比原計(jì)劃多3600元，求物業(yè)管理公司實(shí)際購(gòu)買(mǎi)兩種樹(shù)共多少棵？

4.（24-25九年級(jí)上?全國(guó)?單元測(cè)試）已知：〃為實(shí)數(shù).

Pkq

?????????

316x3+262x2x6

416x4+262x3x7

516x5+262x4x8

616x6+262x5x9

716x7+262x6x10

?????????

根據(jù)上表中的規(guī)律，回答下列問(wèn)題:

⑴當(dāng)p為何值時(shí)，氏=38?

（2）當(dāng)〃為何值時(shí)，A與g的值相等?

5.（2526九年級(jí)上?內(nèi)蒙古呼和浩特?階段練習(xí)）綜合與實(shí)踐:

項(xiàng)H主題：花園規(guī)劃設(shè)計(jì)

在國(guó)慶假期期間，小明返回家鄉(xiāng)，協(xié)助爺爺在一-塊矩形的空地上規(guī)劃并建造一個(gè)花園.以下是小明對(duì)花園

規(guī)劃設(shè)計(jì)的過(guò)程.

活動(dòng)任務(wù)一：

爺爺要求小明構(gòu)思一種規(guī)劃方案，確?；▓@面積恰好占據(jù)矩形空地的一半，小明結(jié)合九年級(jí)所學(xué)知識(shí)，設(shè)

訂了甲、乙、丙、丁四種方案（其中陰影部分為花園），

（1）爺爺考慮之后，決定從甲、乙兩種方案中選擇一種進(jìn)行建造.

①若甲方案中花園周圍小路的寬為“m,則花園的長(zhǎng)可以表示為m,寬口」以表示為?。ㄓ煤?。

的代數(shù)式表示）：

②若乙方案中花園由橫縱兩條等寬的矩形花帶組成.若花園的寬為6m,則花園區(qū)域的面積可以表示為

m2（用含有人的代數(shù)式表示）

活動(dòng)任務(wù)二：

在綜合考慮了花園的美觀性和實(shí)用性之后，爺爺決定選擇“活動(dòng)任務(wù)一”中的甲方案進(jìn)行花園的建造.

（2）請(qǐng)計(jì)算花園周圍小路的寬度是多少？

活動(dòng)任務(wù)三：

為了保證花園的美觀，且防止家中的家禽進(jìn)入花園.爺爺決定在花園較長(zhǎng)的一側(cè)種植觀貨竹，觀賞竹種植

區(qū)域的長(zhǎng)為16m,另外三邊用籬笆圍起來(lái).

（3）若籬笆的總長(zhǎng)度為32米，為方便打理花園，需要在花園平行于觀賞竹區(qū)域的籬笆墻上裝一個(gè)2米寬的

門(mén)，如圖所示.如何設(shè)計(jì)，才能使籬笆圍成的面積為140m2?（注：要有解答過(guò)程）.

16m

12m

壓軸題型五、二次函數(shù)中存在性問(wèn)題

I.（2025?安徽安慶?模擬預(yù)測(cè)）拋物線M=/力小+〃的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)與拋物線必=-犬-的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)之

和為4.

（1）求〃的值；

（2）已知4（sj）為拋物線乂=/+7??/〃上一點(diǎn)，為拋物線），2=---〃狀上一點(diǎn).

（Z）若僅存在一個(gè)正數(shù)使得s+r=O,求P+夕的最大值；

（行）若〃=5+2,且當(dāng)1<S<2時(shí)，總有/+求〃?的取值范圍.

2.（24-25九年級(jí).上?江蘇南通?期中）如圖，已知拋物線y=-x：+2x+3,頂點(diǎn)為點(diǎn)P,與x軸交于點(diǎn)8、A,

與y軸交于點(diǎn)C.

備用圖

(I)則點(diǎn)月坐標(biāo)為=6坐標(biāo)為

(2)求△4C的面積；

(3)點(diǎn)。是直線力。上方拋物線上的點(diǎn)(不與尸重合)，是否存在點(diǎn)。，使得△D4C和△尸力。面積相等？若

存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)。的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由？

3.(2025?西藏拉薩?模擬預(yù)測(cè))如圖，關(guān)于方的二次函數(shù)》=/+瓜+。的圖象與x軸相交于點(diǎn)力(1,0)和點(diǎn)

B,與V軸相交于點(diǎn)C(0,3).

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式.

(2)求線段8c的長(zhǎng).

(3)在>軸上是否存在一點(diǎn)P,使△P8C為等腰三角形？直接寫(xiě)出點(diǎn)尸的坐標(biāo).

4.(25-26九年級(jí)上?廣東東莞?階段練習(xí))如圖，直線y=-*-2交x軸于點(diǎn)力，交y軸于點(diǎn)8,拋物線

y=a(x-h)2的頂點(diǎn)為力，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)4.

(1)求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式.

(2)若點(diǎn)在該拋物線上，求〃，的值?

(3)若點(diǎn)。(-4,〃)在拋物線上，求S,沏，.

(4)在對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)。，使以。，A,0,8為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出

點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

5.(24-25九年級(jí)上?云南昆明?期中)如圖，拋物線j，=-丁+及+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,11)且與工軸交于4、B,與y

軸交于點(diǎn)C(0,7),直線)，=r+7與拋物線交于點(diǎn)B與點(diǎn)C.

(1)求拋物線的解析式.

(2)若點(diǎn)。是第一象限拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接依、PC,設(shè)尸點(diǎn)橫坐標(biāo)為"△P8C的面積為S.是否存

在點(diǎn)〃使S有最大值？若存在，詩(shī)求出S的最大值和點(diǎn)〃的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

⑶記拋物線歹=-犬+樂(lè)+，與》軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為〃，求代數(shù)式7=1—』"I?-------的值.

n-4/7-8獷+4〃~+6〃-4

壓軸題型六、實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù)綜合應(yīng)用

1.(25?26九年級(jí)上?山東日照?階段練習(xí))某超市俏售櫻桃，已知櫻桃的進(jìn)儕為15元/千克，如果售價(jià)為20

元/千克，那么每天可售出250千克，如果售價(jià)為25元/千克，那么每天可售出200千克，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每

天的銷售量y(千克)與售價(jià)x(元/千克)之間存在一次函數(shù)關(guān)系.

(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若櫻桃的售價(jià)不得高于28元/千克，請(qǐng)問(wèn)售價(jià)定為多少時(shí)，該超市每天銷售櫻桃所獲的利潤(rùn)最大？最大

利潤(rùn)是多少元？

2.(25-26九年級(jí)上?江西南昌?階段練習(xí))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x+c的圖像與x

軸交于點(diǎn)力(-2,0)和3(4,0),與半軸交于點(diǎn)C.

⑴求。和c的值.

(2)若點(diǎn)力在該二次函數(shù)圖像上，且SJ80=2S“8C，求點(diǎn)力的坐標(biāo).

3.(2025?河北?模擬預(yù)測(cè))如圖，以儲(chǔ)水池的壩頂平臺(tái)。8所在直線為x軸，點(diǎn)。為原點(diǎn)建立平面直角坐

2

標(biāo)系.水池蓄水部分為拋物線L,y=l-x+bx^cf平行于x軸的水面尸。到x軸的距離為2米，儲(chǔ)水池最

低點(diǎn)處水深為3米.背水坡向上有一條拋物線形坡道G：y=-J(x+15/+9.

(1)求拋物線上的解析式；

(2)現(xiàn)對(duì)水池蓄水部分進(jìn)行修建，將拋物線L調(diào)整為虛線部分的拋物線V,最低點(diǎn)位置不變，求拋物線17上

水平寬的最大值.

4.(25-26九年級(jí)上?黑龍江綏化?階段練習(xí))如圖〃，攏I物線?交丫軸于點(diǎn)4(—3.0)和點(diǎn)兒交

J，軸于點(diǎn)。(。，3).

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式：

(2)若點(diǎn)。在拋物線對(duì)稱軸上，是否存在一點(diǎn)尸，使△PC8的周長(zhǎng)最??？若存在求出周長(zhǎng)的最小值；若不存在

說(shuō)明理由.

(3)如圖方，設(shè)點(diǎn)。是線段力。上論一動(dòng)點(diǎn)，作。。_Lx軸，交拋物線于點(diǎn)Q,求線段。。長(zhǎng)度的最大值.

5.(2025?陜西安康?模擬預(yù)測(cè))“河暢水清、岸綠景美”，被譽(yù)為陜西人民的“母親河”一渭河正逐漸被打造

成一條秀美景觀帶.為更好地形成“一河清水，兩岸秀色，三季有花，四季常青”的景觀，市政養(yǎng)護(hù)人員安排

了移動(dòng)噴灌裝置，移動(dòng)噴灌架噴射出的水流可以近似地看成拋物線.噴灌架為一坡地草坪噴水的平面示意

圖，如圖，噴水頭的高度(噴水頭距噴灌架底部的距離)是1m,當(dāng)噴射出的水流與噴灌架的水平距離為10m

時(shí)，水流達(dá)到最大高度6m.現(xiàn)將噴灌架置于坡地底部點(diǎn)。處，草坡上距離。的水平距高為15m的4處到水

平地面的距離為3m.

(1)求該拋物線形水流的解析式和水流的高度與斜坡鉛垂高度差的最大值.

(2)若到噴水頭水平距離為15m的力處及其右側(cè)種植有銀杏樹(shù)，臼于剛在樹(shù)干壓分涂抹過(guò)防蟲(chóng)藥物不能灌溉,

則應(yīng)將移動(dòng)噴灌裝置向左至少移動(dòng)多少米，才能避開(kāi)對(duì)銀杏樹(shù)的灌溉？

壓軸題型七、旋轉(zhuǎn)的綜合應(yīng)用

1.(24-25九年級(jí)上?全國(guó)?課后作業(yè))如圖，分別以正方形的邊和。C為直徑畫(huà)兩個(gè)半圓交于點(diǎn)

0,若正方形的邊長(zhǎng)為10cm,求陰影部分的面枳.

2.(24-25九年級(jí)上?寧夏石嘴山,階段練習(xí))如圖，在四邊形/18CO中，NDAB=30°,連接力C,將△力芯

繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，點(diǎn)。與點(diǎn)。重合，得到△￡3。，若46=5,力。=4

(1)求證：△4鳥(niǎo)后是等邊三角形;

(2)求線段/C的長(zhǎng)度.

3.(24-25九年級(jí)上?貴州畢節(jié)?期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，RS/JO8的兩條直角邊。4、。8分別在

x軸、V軸的負(fù)半軸上，且CM=4,OB=2,將RaZOB繞點(diǎn)。按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。，再把所得的圖形沿

x軸正方向平移2個(gè)單位，得△COD.

(1)寫(xiě)出點(diǎn)4、。的坐標(biāo)；

(2)求點(diǎn)力和點(diǎn)C之間的距離.

4.(24-25九年級(jí)上?貴州貴陽(yáng)?期中)如圖①，在△力8c中，4B=AC,/BAC=60°,。為8C邊上一點(diǎn)(不

與點(diǎn)氏C重合)，將線段力。繞點(diǎn)力逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到力E,連接EC,則:

E