蘇科版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第1章《一元二次方程》解答題專題訓(xùn)練

1.用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝幸辉畏匠蹋?/p>

(1)X2-2X-15=0：

(2)(x+4)2-5(x+4)=0.

2.解方程：

(1)X2+2X-2=0；

(2)(x-2)2=(2x7)(2-x).

3.已知關(guān)于x的一元二次方程=0.

(1)當(dāng)機(jī)取何值時(shí)，這個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？

(2)若x=l是這個(gè)方程的一個(gè)根，求機(jī)的值和另一根.

4.先閱讀，后解題.

已知〃，+2m+〃2-6〃+10=0,求m和〃的值.

解：將左邊分組配方：Cm2+2m+\)+(M-6〃+9)=0.即(m+1)2+(M-3)2=().

,/(m+1)22o,(〃-3)22()，且和為o,

:.(/?+1)2=0且(〃-3)2=0,.?.〃？=-1,〃=3.

利用以上解法，解下列問(wèn)題：

(1)已知：/+4%+/-2)45=0,求x和y的值.

(2)已知mb,c?是△研。的三邊長(zhǎng)，滿足a2+62=M+6。-25且△"C為直角三角形,

求c.

5.已知關(guān)于x的一元二次方程x2-（2h4）x+Z-2=0.

（1）求證：無(wú)論々為何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：

（2）若該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根修，X2,滿足歲-X2=-2A+3.求A的值.

6.已知a是方程*-202以+1=0的一個(gè)根.求:

（1）2/-4040。-3的值：

（2）代數(shù)式2019葉零6的值.

7.已知關(guān)于x的方程（3-2。）x+a-3=0.

（1）求證：無(wú)論。為何實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根.

（2）如果方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根M，必當(dāng)W1-X2尸得時(shí)，求出。的值.

8.已知關(guān)于x的一元二次方程/+（2zn-l）x+/-1=0有實(shí)數(shù)根.

（1）求〃，的取值范圍；

（2）若該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為xi，X2.且xj+x?2=9,求m的值.

9.已知關(guān)于x的方程，-（2//I+1）x+m（1）=0

（1）求證：無(wú)論〃，為何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）設(shè)方程的兩根分別為XI，X2,且XI，分別是一個(gè)菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)，已知菱形

的面積為6,求m的值.

10.已知關(guān)于x的一元二次方程x2-4工+機(jī)-1=0有xi，X2兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

（1）求，〃的取值范圍；

（2）若Xi=l,求X2及加的值：

（3）是否存在實(shí)數(shù)相，滿足〃？⑺-2）（X2-2）=-4?若存在，求出實(shí)數(shù)小的值；若

不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

11.關(guān)于x的一元二次方程F-mx+2m-4=0.

（1）求證：無(wú)論，〃為何值，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）在直角三角形/6C中，NC=90",斜邊。=2赤，兩直角邊的長(zhǎng)m力恰好是方

程/-加工+2/〃-4=0的兩根，求m的值.

12.己知△44C的兩邊力8,4C的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程F-2（/?-1）x+w2-2/?=0

的兩個(gè)根，第三邊8C的長(zhǎng)是10.

（1）求證：無(wú)論〃取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

（2）當(dāng)〃為何值時(shí)：△X8C為等腰三角形？并求△18。的周長(zhǎng).

（3）當(dāng)〃為何值時(shí)，△力6c是以4c為斜邊的直角三角形？

13.已知關(guān)于x的方程心斗（k+\）x+區(qū)=0有實(shí)根.

4

（1）當(dāng)k=4時(shí)，求解上述方程；

（2）求女的取值范圍：

（3）是否存在實(shí)數(shù)4,使方程兩根的倒數(shù)和為1?若存在，請(qǐng)求出A的值；若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

14.如圖，利用一面墻（埼E/最長(zhǎng)可利用28〃?），圍成一個(gè)矩形花園Z8CZ）,與墻平行的一

邊4c上要預(yù)留寬的入口（如圖中"N所示，不用砌墻），現(xiàn)有砌6（）〃?長(zhǎng)的墻的材料.

（1）當(dāng)矩形的長(zhǎng)為多少米時(shí)，矩形花園的面積為300〃產(chǎn)；

（2）能否圍成面積為480//的矩形花園，為什么？

15.某網(wǎng)店以每袋8元（一袋十個(gè)）的成本價(jià)購(gòu)進(jìn)了一批口罩，二月份以一袋14元的價(jià)格

銷售了256袋，三、四月該口罩十分暢銷，銷售量持續(xù)走高，在售價(jià)不變的基礎(chǔ)上，四

月份的銷售量達(dá)到400袋.

（1）求三、四這兩個(gè)月銷售量的月平均增長(zhǎng)率；

（2）為回饋客戶.該網(wǎng)店決定五月降價(jià)促銷.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn).在四月份銷量的基礎(chǔ)上，該

口罩每袋降價(jià)1元，銷售量就增加40袋，當(dāng)II罩每袋降價(jià)多少元時(shí)，五月份可獲利192（）

元？

16.某商場(chǎng)將進(jìn)貨價(jià)為30元的臺(tái)燈以40元售出，平均每月能售出600個(gè)，調(diào)查表明：售價(jià)

在40元至60元范圍內(nèi)，這種臺(tái)燈的售價(jià)每上漲1元，其銷售量就將減少10個(gè)，設(shè)該商

場(chǎng)決定把售價(jià)上漲x（0<x<20）元.

（1）售價(jià)上漲x元后，該商場(chǎng)平均每月可售出個(gè)臺(tái)燈（用含x的代數(shù)式表示）；

（2）為了實(shí)現(xiàn)平均每月10000元的銷售利潤(rùn)，這種金燈的售價(jià)應(yīng)定為多少元？這時(shí)應(yīng)進(jìn)

臺(tái)燈多少個(gè)？

17.某工廠及時(shí)引進(jìn)了1條口罩生產(chǎn)線生產(chǎn)口罩，開工第一天生產(chǎn)300萬(wàn)個(gè)，第三天生產(chǎn)

432萬(wàn)個(gè)，若每天生產(chǎn)口罩的個(gè)數(shù)增長(zhǎng)的百分率相同，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：

（1）每天增長(zhǎng)的百分率是多少？

（2）經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，一條生產(chǎn)線最大產(chǎn)能是90（）萬(wàn)個(gè)，天，如果每增加I條生產(chǎn)線，每條

生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能將減少30萬(wàn)個(gè)/天.現(xiàn)該廠要保證每天生產(chǎn)口罩3900萬(wàn)個(gè)，在增加產(chǎn)

能同時(shí)又要節(jié)省投入佗條件下（生產(chǎn)線越多，投入越大），應(yīng)該增加幾條生產(chǎn)線？

18.某飲料批發(fā)商店平均每天可售出某款飲料?300瓶，售出1瓶該款飲料的利潤(rùn)是1元.經(jīng)

調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若該款飲料的批發(fā)價(jià)每降低（）.1元，則每天可多售出10（）瓶.為了使每天獲得

的利潤(rùn)更多，該飲料批發(fā)商店決定降價(jià)x元.

（1）當(dāng)x為多少時(shí)，該飲料批發(fā)商店每天賣出該款飲料的利潤(rùn)為400元？

（2）該飲料批發(fā)商店每天賣出該款飲料的利潤(rùn)能達(dá)到600元嗎？若能，請(qǐng)求出大的值，

若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

19.如圖，在△48C中，NB=90°,AB=5cm,8C=7c/〃，點(diǎn)尸從點(diǎn)力開始沿邊向點(diǎn)

B以\cmls的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿3c邊向點(diǎn)、C以2aMs的速度移動(dòng).若P,Q

兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，P,0兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).求：

（1）幾秒后，△P8。的面積等于4cm2?

（2）幾秒后，PQ的長(zhǎng)度等于2dlsc帆？

（3）△PB。的面積能否等于7C〃?2?說(shuō)明理由.

20.某校購(gòu)買了松樹樹苗和紫薇樹苗共100株，其中松樹樹苗每株30元，紫薇樹苗每株25

元，此次購(gòu)買兩種樹苗共計(jì)花費(fèi)2700元.

（1）求此次購(gòu)買的兩種樹苗各多少株？

（2）今年三月份，受市場(chǎng)影響商家降低了兩種樹苗的售價(jià)，且降價(jià)相同.經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)與

去年三月份相比，兩種樹苗的售價(jià)每降低1元，松樹樹苗的銷售量會(huì)增加2株，紫薇樹

苗的銷售量會(huì)增加3株.若該校今年購(gòu)進(jìn)這兩種樹苗總計(jì)花費(fèi)較去年增加了50元，求今

年三月份兩種樹苗的售價(jià).

參考答案

1.(1),：X2-2X-15=0,

:.(x-5)(x+3)=0,

?'?x-5=0或x+3=0,

/?xi=5,X2=-3；

(2)??,(x+4)2-5(x+4)=0,

:.(x+4)(x+4-5)=0,

/.x+4=0或x-1=0,

/.xi=-4,X2=l.

2.解：(1)W+2x-2=0,

/+2x=2,

(x+1)2=3,

x+l=±

;

xp-l+Vs?x2=-l-V3

(2)(x-2)2=(2r-1)(2-x),

(x-2)2+(2x-1)(x-2)=0,

(x-2)(x-2+2x-1)=0,

(x-2)(3x-3)=0,

x-2=0或3x-3=0,

Xi=2,X2=1?

3.解：(1)???關(guān)于x的一元二次方程f-2x+m-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,

b2-44c=4-4加+4>0,

即w<2.

(2)當(dāng)x=l時(shí)，1-2+w-1=0,

:?m=2,

???F-2X+1=0,

解得人1=42=1.

即另一根是1.

4.解：(1)V?+4x+/-2>H-5=0,

:.(f+4x+4)+(/-2y+\)=0,即(x+2)2+(y-1)2=0,

V(x+2)2-0,(j-1)22o,且和為0,

，(/2)2=0且(y-l)2=0,

/.x=-2,y=1；

(2)???。2+82=8。+6力-25,

方程變形為(〃-4)2+(力-3)2=0,

■:(a-4)220,(6-3)220,

，a=4,6=3,

VAJ5C為直角三角形，

.??當(dāng)。=4,b=3是直角邊時(shí)，則c=7a2+b2=5；

22

當(dāng)。=4是斜邊，b=3是直角邊時(shí)，則c=Va-b=V7;

.*.<?=5或c=VV.

5.(1)證明：VA=[-(2R1)]2-4X|X(k-2)

=4乒+4a1-4H8

=4爐+9>0,

???無(wú)論片為何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

(2)解：由根與系數(shù)的關(guān)系得出XI+X2=2A+1,x\xi=k-2,

Vxi-X2=-263,

:.(XI-X2)2=4A--\2k+9,

:.Cx\+x2)2-4.VIX2=4^-12H9,

???(2H1)2-4(it-2)=4爐-12H9,

解得4=().

6.解：(1)??力是方程F-2020x+l=0的一個(gè)根，

."2=20204-1,

：.a2=2020a-1,

???2/-4040a-3

=2(20204-1)-4040a-3

=4040?-2-4040。-3

=-5；

(2)原式=202()4-1-2019。+2020

2020a~l+l

-a2-H

a

2020a-H-l

a

=2020-1

=2019.

7.(1)證明：①當(dāng)。=0時(shí)，方程為3x-3=0,是一元一次方程，有實(shí)數(shù)根；

②當(dāng)。羊0時(shí)，方程是一元二次方程，

???關(guān)于x的方程(3-2a)"a-3=0中，△=(3-2a)2-4a(a-3)=9>0,

J無(wú)論。為何實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根.

(2)解；如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根xi，蟲，貝4力+”2=巨3,劉叮2=空3,

aa

???M?X2尸率

?I/2a-3\2.a-3_3

(丁)—4vX丁一亍

解得a=±2.

故〃的值是-2或2.

8.解：(1),?,關(guān)于人的元二次方程/十(2//i-1)八十〃J-I=0有實(shí)數(shù)根，

A20，即(2ni-1)2-4(//r-1)20，

整理得：-4〃?+520,

解得：立；

4

(2)???該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為Xl,X2，

AXI+X2=1-2w?x\xi=nr-1,

VXI2+X22-9,

/.(xi+x2)2-2X\X2=9,即(1-2m)2-2("--1)=9,

整理得：-2〃？-3=0,即(m-3)(m+1)=0,

解得：機(jī)=3(舍去)或加=-1,

則tn的值為-1.

9.(1)證明：VA=[-C2m+l)]2-4w(z/z+1)=4w2+4w+l-4nr-4m=1>0,

:.A>0,

Ax2-(2〃?+I)x+m(zn+1)=0總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

(2).??方程x2-(2m+l)x+m(m+1)=0的兩根分別為xi，xi，

.\xi*X2=m(ni+\)>

???xi,X2分別是一個(gè)菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)，已知菱形的面積為6,

/?--XI*X2=69

2

/.—/zz(m+1)=6,

2

解得m=-4或加=3,

當(dāng)膽=-4時(shí)，x\=-3,X2=-4,不符合題意，舍去，

當(dāng)〃7=3時(shí)，.叫=3,以=4符合題意，

???〃？的值為3.

10.解:(1)???方程有實(shí)數(shù)根,

AA=16-4(m-1)20.

解得mW5.

(2)依題意：XI+X2=4,X]■且xi=l

則：X2=3,〃?=4；

(3)Vw(xi-2)(X2-2)=-4,

-=_

.'.m[x1X22(x1+x2)+4]4,

m(m-1-8+4)=-4,

m2_5m+4=0,

叫T，m2=4.

11.(1)證明：\*a=1,b=~ni,c=2m-4,

A=(-〃])2-4(2m-4)

=nr-8M+16

—(〃L4)220,

則無(wú)論，〃為何值，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

(2)解：:兩直角邊的長(zhǎng)〃，〃恰好是方程/-加T+2〃L4=0的兩根，

；?a+b=m,ah=2m-乙,

??"2心

???根據(jù)勾股定理得:a2+b2=c2,即(a+b)2-2ab=20,

Aw2-2(2w-4)=20,即ni2-4w-12=0,

解得：〃[=-2(舍去)或加=6,

則m的值為6.

12.(1)證明：???△=[-2(Z?-1)]2-4(w3-2/7)=4>0,

，無(wú)論x取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

(2)解：由(1)得，無(wú)論x取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,

???第三邊4c的長(zhǎng)是10,

當(dāng)△/AC為等腰三角形時(shí)，x=1()為一元二次方程的一個(gè)根，

當(dāng)x=10時(shí)，100?20(〃?1)+M?2〃=0,

解得〃=12或1(),

①當(dāng)〃=12時(shí)，方程變?yōu)?，-22%+120=0,

設(shè)等腰三角形的底為〃；，

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，m+IO=22,

.??△48。的周長(zhǎng)為：10+10+12=32；

②當(dāng)〃=10時(shí)，方程變?yōu)?8x+80=0,

設(shè)等腰三角形的底為〃，

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，10+〃=18,

解得〃=8,

，△力8。的周長(zhǎng)為10+10+8=28；

綜上，當(dāng)〃=12時(shí)，△/IBC是等腰三角形，此時(shí)△48。的周長(zhǎng)為32；

當(dāng)〃=10時(shí)，ZX/B。是等腰三角形，此時(shí)的周長(zhǎng)為28；

(3)解：,.IB,力。的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程x2-2(M-1)x+n2-2n=Q的兩個(gè)根,

：.AB+AC=2(?-1),AB*AC=n2-In,

???△/BC是以BC為斜邊的直角三角形，且8C=10,

:.AB2+AC2=BC2,

K|J4(n-1)2-2(〃2-2〃)=100,

解得〃=8或-6,

當(dāng)〃=8時(shí)，AB+AC=2X(8-1)=14,符合題意，

當(dāng)〃=-6時(shí)，AB+AC=2X(-6-1)=-14,不合題意，

綜上，〃=8時(shí)，是以為斜邊的直角三角形.

13.解：(1)k=4,方程化為:4X2+5X+1=0,

(4x+1)(x+1)=0,

4x+i=0或x+l=0,

所以Kl=-—?X2=-1；

4

(2)當(dāng)％=0時(shí)，方程化為x=(),方程有實(shí)數(shù)解；

當(dāng)女#()時(shí)，根據(jù)題意得△=a+i)2_4AxKeo,

4

解得人》?且k*o,

2

綜上所述，k的取值范圍為g-A；

2

(3)不存在.

理由如下：

設(shè)方程的兩根分別為4、b，

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得。+力=-紀(jì)L帥=工,

k4

V—+—=1,

ab

即史”=1,

ab

a+b=ab,

.k+l1

k4

解得k=.金

5

?.?42■工且k￥0,

2

???不存在實(shí)數(shù)上使方程兩根的倒數(shù)和為1.

14.解：（1）設(shè)BC'=m7,則,4=60f+2.6,

2

依題意得：x?處?2=300,

2

整理得：/-62什600=0,

解得：Xi=12,X2=50.

又???墻E戶最長(zhǎng)可利用28〃?，

：,x=\2.

答:當(dāng)矩形的長(zhǎng)8c為12”時(shí),矩形花園的面積為300序.

（2）不能圍成面積為480〃/的矩形花園，理由如下：

設(shè)BC=ym,則48=60-y+2機(jī),

2

依題意得：刀6°一丫+2=480,

2

整理得：r-62^960=0,

解得：yi=30,”=32.

又???墻斯最長(zhǎng)可利用28加，

???川=30,”=32均不符合題意,舍去，

???不能圍成面積為480勿2的矩形花園.

15.解：（1）設(shè)三、四這兩個(gè)月銷售量的月平均增長(zhǎng)率為x,

依題意，得：256（1+j）2=400,

解得：xi=0.25=25%,x2=-2.25（不合題意，舍去）.

答：三、四這兩個(gè)月銷售量的月平均增長(zhǎng)率為25%.

（2）設(shè)口罩每袋降價(jià)p元，則五月份的銷售量為（400+40v）袋，

依題意，得：（14-廠8）（400+40v）=1920,

化簡(jiǎn)，得：-12=0?

解得：巾=2,/=-6（不合題意，舍去）.

答：當(dāng)口罩每袋降價(jià)2元時(shí)，五月份可獲利1920元.

16.解：（1）售價(jià)上漲x元后，該商場(chǎng)平均每月可售出（600-I0x）個(gè)臺(tái)燈.

故答案為：（60070x）.

（2）依題意，得：（40-30+x）（600-10A）=10000,

整理，得：x2-50x+400=0,

解得：xi=10,12=40（不合題意，舍去），

.??40+x=50,600-I0.X=500.

答：這種臺(tái)燈的售價(jià)應(yīng)定為50元，這時(shí)應(yīng)進(jìn)臺(tái)燈500個(gè).

17.解：（1）設(shè)每天增長(zhǎng)的百分率是x,

依題意得：300（1+x）2=432,

解得：xi=0.2=20%,X2=-2.2（不合題意，舍去）.

答：每天增長(zhǎng)的百分率是20%.

（2）設(shè)應(yīng)該增加），條生產(chǎn)線，則每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能為（900-30p）萬(wàn)個(gè)/天，

依題意得：（900?30y；（1+y）=3900,

整理得：f-29>100=0,

解得：yi=4,"=25.

又???要節(jié)省投入，

；?y=4.

答：應(yīng)該增加4條生產(chǎn)線.

18.解?：（1）???該飲料批發(fā)商店決定降價(jià)x元，

，售出1瓶該款飲料的利潤(rùn)是（17）元，平均每天可售出300+」-XI0（）=（300+100（h）

0.1

瓶.

依題意得：（1?x）（300+1000X）=400,

整理得：1（）/-女+1=0,

解得：Xi=0.2,X2=O.5.

答：當(dāng)x為0.2或0.5時(shí)，該飲料批發(fā)商店每天賣出該款飲料的利潤(rùn)為400.

（2）該飲料批發(fā)商店每天賣出該款飲料的利潤(rùn)不能達(dá)到600元，理