專題03相似形（3知識(shí)&8題型&4易錯(cuò)&6方法清單）

知識(shí)清單

【清單01】比例線段

1.成比例線段：在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例

線段。

2.比例的性質(zhì)

1）比例的重要性質(zhì)：

②把線段A8分成兩條線段4c和4C,使AC2=A4?BC,叫做把線段A/3分割，。叫做線段4,的分割點(diǎn)。

3.平行線分線段成比例

平行線分線段成比例定理：兩條宜線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。

推論：平行于三角形?邊的直線與其他兩條直線相交，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例。

【清單02】相似三角形的相關(guān)概念、判定和性質(zhì)

1）相似三角形的概念：對(duì)應(yīng)角相笠，對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形是相似三角形。

三角形相似具有傳遞性。

2）相似比的概念：相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比。相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比是有順序的。

3）相似三角形的判定

判定1：如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等,那么這兩個(gè)三角形相似。

判定2：如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等,并且夾角相篁，那么這兩個(gè)三角形相似。

判定3：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)形與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形相似。

判定4：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形都相似（此知識(shí)常用，用時(shí)需要證明）。

4）相似三角形的性質(zhì)

①對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等;

②拓展：對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比，對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比。

⑶相似三角形周長的比等于相似比,面積的比等于相似比的平方。（相似多邊形周長比等于相似比，相似

多邊形的面積比等于相似比的平方。）

【清單03】圖形的位似變換

1、位似的概念及性質(zhì)

（1）兩個(gè)多邊形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，象這樣的兩個(gè)圖形叫做位

似圖形,這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心。這時(shí)的相似比又稱為位似比。

（2）相似圖形與位似圖形的區(qū)別與聯(lián)系：1、區(qū)別：①位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn),相似圖形沒有；②

位似圖形的對(duì)應(yīng)邊互相平行,相似圖形沒有。2、聯(lián)系：位似圖形是特殊的相似圖形。

（3）位似圖形是特殊的相似圖形，故具有相似圖形的一切性質(zhì)。

（4）位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離比笠壬相似比。

2、利用位似變換作圖（放大或縮小圖形）

利用位似變換可以把一個(gè)圖形放大或縮小，若位似比大于1,則通過位似變換把原圖形放大；若位似比小于

1,則通過位似變換把原圖形縮處。

畫位似圖形的一般步驟：①確定位似中心;②連線并延長（分別連接位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)并延

長）;③根據(jù)相似比確定各線段的長度；④順次連接上述仝點(diǎn)，得到圖形。

期中?？碱}型清單

【題型一】判斷是否是成比例線段

［例I］下列各組數(shù)中，不成比例的是（）

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】成比例線段

故選：B.

【變式11】下列各組的四條線段a,b,c,d是成比例線段的是（）

【答案】。

【知識(shí)點(diǎn)】成比例線段

【分析】此題考查了比例線段，根據(jù)比例線段的定義即如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘

積，則四條線段叫成比例線段，對(duì)選項(xiàng)一一分析，即可得出答案.

故選：D.

【變式12］下列四條線段成比例的是（）

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】成比例線段

【分析】此題考查了比例線段，理解成比例線段的概念，根據(jù)比例線段的概念，讓最小的和最大的相乘,

另外兩條相乘，看它們的積是否相等即可得出答案.

???四條線段不成比例;

???四條線段不成比例;

，四條線段成比例；

???四條線段不成比例.

故選：C.

【題型二】比例的性質(zhì)

【答案】I

【知識(shí)點(diǎn)】比例的性質(zhì)

故答案為：g

【答案】77

【知識(shí)點(diǎn)】比例的性質(zhì)

故答案為：-17.

【答案】|

【知識(shí)點(diǎn)】比例的性質(zhì)

【分析】本題考查了分式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確設(shè)出未知數(shù)是解題關(guān)鍵.

直接利用已知條件設(shè)出相應(yīng)未知數(shù)，進(jìn)而代入化簡即可.

故答案為：

【題型三】由平行判斷成比例的線段

【知識(shí)點(diǎn)】由平行判斷成比例的線段

【分析】本題考查平行線分線段成比例：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.利用平行

線分線段成比例定理解決問題即可.

觀察四個(gè)選項(xiàng)，選項(xiàng)人正確，符合題意,

故選：A.

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】由平行判斷成比例的線段

【分析】本題考查了平行線分線段成比例，根據(jù)夾在平行線中的線段是對(duì)應(yīng)線段，即可求解.

【詳解】解：依題意，。廠的對(duì)應(yīng)線段是CE,

故選：C.

【知識(shí)點(diǎn)】利用平行四邊形的性質(zhì)求解、由平行判斷成比例的線段

【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理解決問題即可.

故選：D.

【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì).理解性質(zhì)是關(guān)鍵.

【題型四】由平行截線求相關(guān)線段的長或比值

3

【答案】y

【知識(shí)點(diǎn)】由平行截線求相關(guān)線段的長或比值

【知識(shí)點(diǎn)】由平行截線求相關(guān)線段的長或比值

12

故答案為：—.

【答案】y

【知識(shí)點(diǎn)】由平行截線求相關(guān)線段的長或比值

【題型五】利用相似三角形的性質(zhì)求解

【答案】1:22:1

【知識(shí)點(diǎn)】利用相似三角形的性質(zhì)求解

【分析】本題考杳求相似比，掌握相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比等于相似比是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比等于相似比解答即可.

故答案為：1:2；2:1.

【答案】1:3

【知識(shí)點(diǎn)】利用相似三角形的性質(zhì)求解

故答案為：1:3.

【知識(shí)點(diǎn)】利用相似三角形的性質(zhì)求解

【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的面積比等于相似比的平方.求出三個(gè)相似三角

形的相似比是解決本題的關(guān)鍵.

?,D,產(chǎn)是A8的三等分點(diǎn)，

故答案為：6；

D,尸是A8的三等分點(diǎn)，

【題型六】求位似圖形的坐標(biāo)

【知識(shí)點(diǎn)】利用相似三角形的性質(zhì)求解、求位似圖形的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)

【知識(shí)點(diǎn)】求位似圖形的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)

【分析】本題考查了利用位似求對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).利用位似圖形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)乘以J或-求出

結(jié)果即可.

【知識(shí)點(diǎn)】求位似圖形的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)

【分析】此題考查了求位似圖形的對(duì)應(yīng)坐標(biāo).注意根據(jù)題意求得其位似比是關(guān)鍵.

???位似比為：3:4,

【題型七】在平面直角坐標(biāo)系中作位似圖形

【知識(shí)點(diǎn)】平移（作圖）、在坐標(biāo)系中畫位似圖形、利用網(wǎng)格求三角形面積

【分析】本題考查作圖平移變換、位似變換、三角形的面積,熟練掌握平移和位似的性質(zhì)是解答木題的關(guān)

鍵.

（1）根據(jù)平移的性質(zhì)作出A、4、c,,順次連接即可得出答案；

（2）根據(jù)位似的性質(zhì)作出&、B；、G,順次連接即可得出答案；

（3）利用割補(bǔ)法求三角形的面積即可.

故答案為：（1,0）.

故答案為：10.

【知識(shí)點(diǎn)】在坐標(biāo)系中畫位似圖形、求位似圖形的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)

【分析】本題主要考查作圖一位似變換，解題的關(guān)鍵是熟練掌握位似變換的定義及性質(zhì).

（1）根據(jù)題目的敘述，正確地作出圖形，然后確定各點(diǎn)的坐標(biāo)即可；

（2）根據(jù)（1）中變換的規(guī)律，口】可寫出變化后點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)尸的坐標(biāo).

)

（3）寫出點(diǎn)A、%的坐標(biāo).

【答案】（1）見詳解

（2）見詳解

【知以點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形、畫軸對(duì)稱圖形、在坐標(biāo)系中國位似圖形

【分析】本題考查了位似變換，軸對(duì)稱作圖，掌握位似變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

（1）分別作出三頂點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，再順次連接即可得：

（2）根據(jù)位似性質(zhì)找到B2,G，分別連接起來即可得到答案;

（3）根據(jù)（2）圖即可得4、生的坐標(biāo).

【題型八】相似三角形的判定和性質(zhì)的綜合問題

【答案】（1）見解析

（2）8

【知識(shí)點(diǎn)】直角三角形的兩個(gè)銳角互余、斜邊的中線等于斜邊的一半、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合

【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)，

（2）根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得答案.

【答案】（1）證明見解析

（2）4

【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、根據(jù)矩形的性質(zhì)求線段長、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合

【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，勾股定理：

（2）若正方形的邊長為4,求AG的長.

【答案】（1）見解析

(2)3X/5

【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、根據(jù)正方形的性質(zhì)證明、用勾股定理解三角形

【分析】本題主要考查正方形的性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練運(yùn)用相似三角形的判定和性質(zhì)是解

題關(guān)鍵.

D

C

E

圖(2)

（2）如圖（2）,若E為BC中點(diǎn).

【答案】（1）9

【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、利用矩形的性質(zhì)證明、斜邊的中線等于斜邊的一半、全等三角

形綜合問題

DC交上點(diǎn)、M,

【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中

線，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確作輔助線構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考常

考題型.

高頻易錯(cuò)歸因清單

【題型一】相似三角形動(dòng)點(diǎn)中求時(shí)間多解問題易錯(cuò)問題

A.3秒或4.8秒8.3秒C.4.5秒D.4.5秒或4.8秒

【答案】A

故選：A

【答案】2秒或0.8秒

【分析】本題考查了相似三角形的判定：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.利用時(shí)

間表示相應(yīng)線段長和利用相似比列方程是解決此題的關(guān)鍵.分兩種情況，利用相似三角形的判定建立方程

求解即可；

故答案為：2秒或0.8秒.

【題型二】相似三角形動(dòng)點(diǎn)中求線段長多解問題易錯(cuò)問題

257

【答案】4或』

【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握分類討論的數(shù)

學(xué)思想.

圖⑴

根據(jù)直角三角形的直角不確定，分情況求解.

圖(2)圖(3)

綜上所述，3M的氏為4或925或7;

44

故答案為：4或弓25或:7.

44

???點(diǎn)。始終在邊AC上,

???分兩種情況：

【題型三】由平行截線求相關(guān)線段的長或比值易錯(cuò)問題

???￡)是4c的中點(diǎn),

故答案為：—.

A

【題型四】相似三角形與幾何圖形綜合易錯(cuò)問題

【例4】（2425九年級(jí)下?遼寧撫順?階段練習(xí)）新定義：如果從一個(gè)平行四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)向不過該頂點(diǎn)

的對(duì)角線作垂線，垂線交平行四逅形的邊于另一點(diǎn)，且該點(diǎn)為所在邊的中點(diǎn)，那么這個(gè)平行四邊形叫做

“垂中平行四邊形”，垂足叫做“垂中點(diǎn)

①請(qǐng)畫出以為邊的垂中平行四邊形，使得E為垂中點(diǎn)，點(diǎn)A在垂中平行四邊形的邊上；（不限定畫圖

工具，不寫畫法及證明，在圖上標(biāo)明字母）

【答案】（1）1，相

②根據(jù)①中的三種情況討論：

第三種情況無交點(diǎn)，不符合題意.

???廣為AO的中點(diǎn)，

故答案為：I；y/V7:

（3）解：①第一種情況：

延長的交AO于點(diǎn)尸，

:?廣為A。的中點(diǎn)；

圖1

第二種情況：

故A為8歹的中點(diǎn);

延長C4、DF交于點(diǎn)G,

連接RA，

若按照?qǐng)D3作圖，則：沒有交點(diǎn)，不存在PE（不符合題意）

【變式41】（2425九年級(jí)下?山東青島?自主招生）【問題發(fā)現(xiàn)】矩形里的有趣“十字架”

【模型建立】如何證明這個(gè)猜想呢？

在同學(xué)們陷入深思時(shí)，組長小林提議道：“我們可以先找一種特殊情況探究它，然后再將探究方法推廣到

一般情況呀！”于是，在他的提議下，同學(xué)們一致認(rèn)為可以先將足G分別移動(dòng)到頂點(diǎn)A、。處，如圖②所

示.

（1）在圖②所示的情況下，你能幫小組成員們證明一下他們的猜想嗎？

（2）你能在圖①中添加輔助線，并對(duì)輔助線進(jìn)行描述，以方便小組成員繼續(xù)證明一般性的規(guī)律嗎？

【模型應(yīng)用】

【拓廣延伸】

【答案】（1）能，過程見詳解（2）見詳解（3）I（4）y

【詳解】解：（1）能，過程如下：

如圖所示:

圖①

（3）如圖所示:

圖③

方法技巧速通清單

【題型一】相似三角形中（雙）A字型模型

方法技巧總結(jié)：

字模型圖形（通常只有一個(gè)公共頂點(diǎn)）的兩個(gè)三角形有一個(gè)“公共角”（是對(duì)應(yīng)角）再有一個(gè)角相

等或夾這個(gè)公共角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，就可以判定這兩個(gè)三角形相似.

字模型條件：如圖，DE//BCx結(jié)論：△泥=泥.

BC

⑴求正的值;

LJL

(2)求OE的長.

【答案】⑴g

(2)3

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì).

【答案】(1)證明見解析

(2)10

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握對(duì)應(yīng)邊成比例是解題關(guān)犍.

(1)根據(jù)兩邊成比例且夾角相等，可證明兩個(gè)三角形相似；

(2)根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求解即可.

(1)求黑AC1的值;

AF

【答案】⑴(

Q)(；

⑶器

【分析】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握是是解決問題的關(guān)鍵.

【題型二】相似三角形中(雙)8字型模型

方法技巧總結(jié)：

“8”字模型圖形的兩個(gè)三角形有“對(duì)頂角”，再有一個(gè)角相等或夾對(duì)頂角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例就可以判定這

兩個(gè)三角形相似.

ABOAOB

“8”字模型條件：如圖1,AB//CD,結(jié)論：△AOBsac。。^CD=OC='OD-

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線等分線段定理，掌握相似三角形的判定利性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

(2)求。廠的長.

【答案】(1)見解析

(2)利用相似三角形的性質(zhì)，代入計(jì)算得結(jié)論.

本題主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的判定定埋和相似三角形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

【答案】(1)見解析

(2)3

(3)15

【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注

意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件.

【題型三】相似三角形中母子型模型

方法技巧總結(jié)：

“母子”模型的圖形（通常有一個(gè)公共頂點(diǎn)和另外一個(gè)不是公共的頂點(diǎn)，由于小三角形寓于大三角形中，恰

似子依母懷），也是有一個(gè)“公共角”，再有一個(gè)角相等或夾這個(gè)公共角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例就可以判定這兩

個(gè)三角形相似.

“母子”模型（斜射影模型）條件：如圖，NC=/ABD；結(jié)論：〉A(chǔ)BDsXACB,AB2=ADAC.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

【分析】本題考查相似三角形的性質(zhì)與判定、重心的性質(zhì),

圖1圖2

【答案】（1）①見解析；②見解析

???E為的中點(diǎn),

【答案】（1）見解析：

【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，平行線的性質(zhì)與判定，解題的

關(guān)鍵是熟練掌握并運(yùn)用相關(guān)知識(shí).

（3）同理（2）考慮點(diǎn)。在線段BC上時(shí)、。在線段8c的延長線上時(shí)、點(diǎn)。在線段C8的延長線上時(shí)三種

情況即可.

【洋解】解：（1）證明：如圖①，

（2）解：方法一：

方法二：

（3）解：點(diǎn)。為直線8Ck的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)。小與B、C重合），有三種情況：

（/）當(dāng)點(diǎn)。在線段5c上時(shí)，如圖④所示：

（〃）當(dāng)點(diǎn)。在線段8c的延長線上時(shí)，如圖⑤所示：

（/〃）當(dāng)點(diǎn)。在線段C3的延長線上時(shí)，如圖⑥所示:

【題型四】相似三角形中的手拉手模型

方法技巧總結(jié)：

1.模型構(gòu)造條件：在矩形A8CO中，若分別以矩形的一組鄰邊：如AB、AD）為邊，向外（或向內(nèi)）作兩

個(gè)相似三角形（如,且對(duì)應(yīng)先與矩形內(nèi)角重合（NBAE=/D4F）,連接對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)（如

BF、DE）,則構(gòu)成“手拉手”相似模型，核心是“共頂點(diǎn)、等夾角、鄰邊相似”。

2.核心結(jié)論：一是對(duì)應(yīng)線段成比例且夾角等于矩形內(nèi)角，即（矩形鄰邊比），且N

BGD=90。（G為BF與DE交點(diǎn)、），因相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，結(jié)合矩形內(nèi)角90°可推導(dǎo)；二是衍生相

似，如△84GS/\OCG,由核心比例關(guān)系和對(duì)頂角相等可證。

3.應(yīng)用關(guān)鍵：解題時(shí)先定位矩形的“共頂點(diǎn)”（通常為直角頂點(diǎn)），識(shí)別相似三角形的“拉手邊”（矩形

鄰邊），再利用“線段比例+夾角90°”結(jié)論，快速求解線段長度、角度或證明垂直關(guān)系，需注意內(nèi)外作

三角形時(shí)結(jié)論一致性，僅圖形位置不同。

【例4】【問題呈現(xiàn)】

【類比探究】

【變式41】（2025?山東聊城?三模）綜合與實(shí)踐

觀察發(fā)現(xiàn)：

探索猜根：

（2）依然成立，見解析

延長交M于點(diǎn)M,如圖，

圖2

記W7與M交于點(diǎn)P