專題01相似三角形的八大模型（舉一反三專項訓(xùn)練）

【浙教版】

題型歸納

【題型1“A字”相似模型】

【題型2“8字“相似模型】

【題型3"一線三等角“相似模型】

【題型4"射影定理”模型】

【題型5“飛魚”模型】

【題型6“手拉手”相似模型】

【題型7“十字架"相似模型】

【題型8"對角互補型"相似模型】

舉一反三

模型一A字模型

（一）模型特征

類型正Z字”形

條件在△4“。中，DE〃BC

A

A

圖示

BC

結(jié)論△ADES“BC

（二）模型拓展

拓展方向由正"字”相似模型向斜7字”相似模型拓展

類型斜Z”字形（共角）斜7"字形（共角共邊）

在△力中，D是48上的點，E是4c上的在△力8C中，。是44上的

條件

點，NAED=/B或/ADE=/ACB點，NACD=/B或

試卷第1頁，共20頁

ZADC=ZACB

AA

/\A

圖示

BCBC

結(jié)論△ADErc△人CB△/!DCs"CB

模型二8字模型

（一）模型特征

類型正“8字”形

條件AC與8。交于點0,AB//CD（或一組內(nèi)錯角相等）

AB

圖示

D工C

結(jié)論△AOBSACOD

（二）模型拓展

拓展方向由正“8字”相以模型向斜“8字”相似模型拓展

類型斜“8字”形（瑚蝶形）燕尾形

AC與BD交于點0,

B，D分別是4E,CE上的一點，AD與BC交于點

條件/A=ND或

F,/力=/C或NABF=NCDF

NB=NC

圖示

D"

結(jié)論“OBS.DOC“BFs.CDF

模型三一線三等角模型

試卷第2頁，共20頁

（一）模型特征

類

同側(cè)一線三等角異側(cè)一線三等角

型

兩個三角形在直線異側(cè)，點尸在區(qū)1的延長線上，

條兩個三角形在直線同側(cè)，點P在線

Zl=Z2=Z3（Nl,N2居兩邊，/3跨中

件段力〃上，/1=/2=/3

間）

V

1

AAPAB

銳角一線三等角

銳角?線三等角

CC

K/

圖

1H

示

APBL

一線三垂直T

c

C

V,

BWA/C

APB

鈍角一線三等角D

鈍夕b?線三等角

結(jié)

△CAPs^PBD△CAPsJBD

論

（二）模型拓展

拓展方向由一線三垂直的一般情況到特殊情況

條件/1=/2=/3=90。

DD

圖示

P[E}BAEPB

試卷第3頁，共20頁

結(jié)論△ACPs^BED

模型四射影定理模型

模型特征

條件△48c是直角三角形，/B4c=90。,AD1BC

A

圖示

BADxC

①ADBAS^DACnAD'BDCD；②^DBA^LABC=>AB2=BDBC；

結(jié)論

③ADACSAABC=>AC2=CDBC

模型五飛魚模型

（一）模型特征

條

①48：8C=l：〃i；②DE：CD=1："；③〃'：OF=l：x；?EF\BF=\\y

件

/1

I

圖

示

CL)E

結(jié)從上述4個關(guān)系式中，任選兩個作為已知條件，可求出另外兩個的值.例如，己知

AB1DE1AFn+\

論—=—,—=-,則nI—=——

BCmCDnDFm

（二）模型拓展

拓展方向“飛魚”模型常見的輔助線作法

G____/、AA^\

過點A作輔助線過點E與點A輔助線作法一樣

CL>ECDEG

試卷第4頁，共2（）頁

A/t

過點B作輔助線過點。與點B輔助線作法一樣/L

C（71DEC/L)E

(3j

為

過點C作輔助線乂

<7DEC、、DL

、N、

、、、

/iA

乂m

過點F作輔助線

(:GL)ECDLE

模型六手拉手模型

（一）模型特征

條

在a/BC中，點。，￡分別在邊AB,AC上，DE//BC,將繞點力旋轉(zhuǎn)

件

圖

示

AD在內(nèi)

日布不約聲.交占

SADEs"BC,"DBs"EC；②兩條拉手線8Q,"相交于點R則

結(jié)

ZBFC=ZBAC:

論

③兩條拉手線4Q,CE相交于點E則4B,C,b四點共圓

（二）模型拓展

拓展方向公共角為直角的“手拉手?”模型應(yīng)用

條件在△力8C中，DE//BC,/8力。=90。，將“?！昀@點力旋轉(zhuǎn)

試卷第5頁，共2（）頁

①AADESAABCOADBSAAEC；②BD_LC￡：

③連接8E,CD,BE2+CD2=BC2+DE\

④S四邊形*D￡=—BD-CE

模型七十字架模型

模型特征

類

作單垂線構(gòu)直角三角形相似作雙垂線構(gòu)直角三角形相似

型

條ABJ.BC,DE1AF,DM上BC,

FBtBC,DE1CF,DM上BC

件FN1AB

D

圖

示

aBEMC°EML

結(jié)①ABCFS^MDE；②

c……DEDMEM

DEDMEM①ANFAS^MDE；②---=----=----

論7JAFFNAN

CF~BC~BF

模型八對角互補模型

模型特征

試卷第6頁，共20頁

結(jié)論△CDMSKEN

【題型1“A字”相似模型】

【例1】

1.如圖，在Rt△力5。中，乙4cB=90。,AC=BC=6,。是力4上一點，點￡在〃C上,

連接CO,AE交于點、F,若NCYE=45。，BD=2AD,則CE=.

【變式1-1】

2.如圖，在中，點。、E分別在48、4C上，￡ADE=NC,如果40=3,LADE

的面積為9,四邊形BOEC的面積為16,則/C的長為.

【變式1-2】

（24-25九年級上?陜西咸陽?期末）

3.如圖，在o/lBC。中，4。為口48。。的對角線，請用尺規(guī)作圖法在4。的延長線.上找

點￡，使得4s△EC4.（保留作圖痕跡，不寫作法）

（22-23八年級下?江蘇無錫?期中）

4.如圖，尸為。43C。的邊力。上的一點，E,b分別為PB,PC的中點，&PEF、

△尸。C,△46的面積分別為S,S],S2.若S=3,則，+￡的值是（）

試卷第7頁，共20頁

【題型2“8字”相似模型】

【例2】

5.如圖1,448C中，AB=AC,點。在84的延長線上，點后在5C上，DE=DC,點/是

。上與4C的交點.

(1)求證：乙BDE=UCD；

(2)若DE=2DF,過點E作EGI/AC交AB于點G,求證：AB=2AG；

(3)將“點。在胡的延長線上，點E在8C上”改為“點。在48上，點后在。8的延長線

上”，“點尸是。￡與4。的交點''改為"點尸是的延長線與4C的交點”，其它條件不變,

如圖2.

①求證：ABBE=ADBC;

②若DE=4DF,請直接寫出SAABC：SADEC的值.

【變式2-1]

6.如圖，七為口力8c。的邊CO延長線上的一點，連接交4C于點。交力。于點

F.求證：BO2=EOFO.

【變式2-2]

7.如圖，四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，點R為DE的中點，BR分別交

試卷第8頁，共20頁

AC、CD于點P、Q.

(1)求證：△PCQs^RDQ；

(2)求BP：PQ：QR的值.

【變式2?3】

8.如圖，在平行四邊形/AC。中，E為。C邊的中點，連接力￡,若力￡的延長線和3C的

延長線相交于點F.

(1)求證：BC=CF；

(2)連接,4。和總相交「點為G,若具小。的面積為2,求平行四邊形,45。的面積.

【題型3"一線三等角“相似模型】

【例3】

9.如圖，四邊形/次第是矩形，點P是對角線力C上一動點(不與4、C重合)，連接P8,

過點P作PE上PB,交DC于點E,已知力。=3,AC=5.設(shè)力。的長為x.

(\)AB=；當(dāng)％=1時，求方的值；

PF

(2)試探窕：二是否是定誼?若是，請求出這個值；若不是，請說明理由;

試卷第9頁，共20頁

(3)當(dāng)△0CE是等腰三角形時，請求出工的值.

【變式3-1]

(24-25九年級上?河北唐山?期末)

10.如圖，在△力3C中，AB=AC,點。,七分別在邊上，NADE=NABC.

(1)求證：AABDSADCE、

(2)如果48=8,BC=6,AE=1,求。C的長.

【變式3-2】

11.如圖，ABA.BC,DC1BC,七是8C上一點，使得力E_LO￡；

(1)求證：AABESAECD；

(2)若/8=4,AE=BC=5,求CO的長；

(3)當(dāng)A/E力SAECQ時，請寫出線段力。、AB.C。之間數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【變式3-3】

12.在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，直線48與)軸交于點兒與x軸交于點8.

04=2,“。臺的面積為2.

試卷第1()頁，共2()頁

(1)如圖1,求直線48的解析式.

(2)如圖2,線段。4上有一點C,直線4C為P=H-2A(AYO),4)_Ly軸，將4c繞點8順時

針旋轉(zhuǎn)90。，交力。于點Z),求點。的坐標(biāo).(用含左的式子表示)

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接OO,交直線BC于點E,若3WNBDO=45。,求

點￡的坐標(biāo).

【題型4"射影定理”模型】

【例4】

(23-24九年級上?甘肅張掖?期中)

13.射影定理：如圖①，在中，NACB=90。,如果COJ.4A,垂足為。，那么有

下列結(jié)論：?CD2=ADBD;@AC2=ABADX@BC':=ABBD.

AK_______________P

①②

(1)請你證明射影定理中的結(jié)論③，^BC2=ABBD.

【結(jié)論運用】請直接使用射影定理解決下面的問題.

(2)如圖②，在正方形/I8C。中，。是對角線力C'、80的交點，點E在邊CO上，過點。

作垂足為E連接。尸.求證：NBOF=NBED.

【變式4-1】

14.如圖，在^ABC中，/ACB=9(T,CD1AB,垂足為D,下列結(jié)論不正確的是()

試卷第11頁，共20頁

A.NACD=/BB.CDAB=ACBDC.CD2=BDADD.CB2=BDAB

【變式4-2】

15.如圖，A43C中，Z5CJ=90°,CD工AB于點、D,4BED-EB=ED,連接

AE,若BC=3五,則AJBE的面積為_.

【變式4-3】

（24-25九年級上?江蘇揚州,階段練習(xí)）

16.如圖，在矩形中，〃。=2石，對角線4C與8。相交于點O,過點。作4C的垂

線，交力C于點E,AE=3CE,則。6的值為

【題型5“飛魚”模型】

【例5】

（2023?浙江麗水?一模）

17.如圖，已知正方形力8c0的邊長為2,點E是3c的中點，連結(jié)力￡,點尸在4?上，且

EF=CE,連結(jié)C尸并延長交于點G.則8G的長是（）.

試卷第12頁，共2（）頁

【變式5-1]

18.如圖，AABC中，ZBAC=9O°,AlB=AC,延長CA至點D,使AD=AC,點E是

BC的中點，連接DE交AB于點F,則AF：FB的值為（）

X

BEC

2V2

A.yB.—r41n

2323

【變式5-2]

（2023?安徽合肥?三模）

19.已知：△49C中，D為BC邊中點,過點。的直線交力8延長線于時，交力C于N,記

空=加，.則…=（）

AMAN

A

M

3

A.2B.-C.yD.1

2

【變式5-3]

（2023?四川成都?三模）

20.已知正方形48CQ的邊長為6,動點反尸分別在邊上運動，連接

試卷第13頁，共20頁

Bl

圖1圖2

（1）如圖1，過B作BG工EF交邊AD于點、G,交EF于點”.

i）若G為力。的中點，，為8G的中點，求力上的長；

ii）探索線段力反。G,C/之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的結(jié)論并證明.

（2）如圖2,將四物形E8CF沿所翻折得到四邊形與力。相交千點兒調(diào)整點月

和點尸的位置使得線段BC始終經(jīng)過頂點D.

i）若點。到E尸的距離。。二而，求。。的長；

ii）點8'到力。的距離是否存在最大值？若存在，請直接寫出這個最大距離；若不存在，請

說明理由.

【題型6“手拉手”相似模型】

【例6】

（23-24九年級下?山東煙臺?期末）

21.【基礎(chǔ)鞏固】

（1）如圖1，△片8c和AADE是直角三角形，一銳角頂點重合于點A,

ZABC=ZADE=90°,NACB=NAED,求證：?ESABAD；

［嘗試應(yīng)用】

（2）如圖2,在?△ABC和RhEOC中，直角頂點重合于點C,N4C3=N￡CQ=90°,點。

試卷第14頁，共20頁

在上，/BAC=/DEC,且一-=連接力上，若50=1,求力E的長;

AB5

【拓展提高】

(3)如圖3,在田中,NC4B=90。，點D為邊BC上一點,BD=1CD,E為月C延

長線上一點，Z￡=Z^C=30%過點力作力。，力。，交EB的延長線于點。.請直接寫出當(dāng)

AC

的值.

【變式6-1]

22.如圖，四邊形48C。和四邊形4EFG均為正方形，連接CF,DG,則空=()

CF

A?旦B.正C.&D.正

3232

【變式6-2]

(2023?上海黃浦一模)

23.如圖，在矩形處?8中，過點。作對角線4C的垂線，垂足為E,過點E作8E的垂線,

交邊4。于點凡如果"=3,RC=5,那么。E的長是

【變式6-3】

24.如圖所示，在R△力8C中，ZABC=90°,AB=3,BC=4,在RaMPN中,

NMPN=90。，點、P在AC上,PM交AB于點E,PN交BC于點F.當(dāng)PE=2PF時,AP

的值為（）.

試卷第15頁，共20頁

A

A.1B.2C.3D.4

【題型7“十字架"相似模型】

【例7】

25.如圖，在正方形力88中，AB=2M.E,尸分別為8C,CQ的中點，連接力￡、

BF，AE交BF于點、G,將△5C廠沿即翻折得到48月產(chǎn)，延長Q交助延長線于點0,連

接。。，則的面枳是（）

C.20D.15

【變式7-1]

（24-25九年級下?湖北黃石?階段練習(xí)）

26.如圖，在矩形力灰]。中，點E為射線8c上一動點，連接將△HAE沿/￡翻折，使

點8落在點E處，AE交BD于點、G.

圖2圖3

試卷第16頁，共20頁

⑴如圖1,當(dāng)點E在邊上，點尸在〃力邊上時，若力8=3,BE=1.5,求而的值；

(2)如圖2,當(dāng)點E在8。邊上，點尸在8。邊上時，若48=2,且=E。時，求8尸的長；

(3)如圖3,當(dāng)點E在線段BC的延長線上，將&ABE沿AE翻折后，EF恰好經(jīng)過點D,當(dāng)/招=3,

3c=5時,求EG的長.

【變式7?2】

(2024?吉林四平?模擬預(yù)測)

27.某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動中，對多邊形內(nèi)兩條互相垂直的線段做了如下探究：

【觀察猜想】

(1)如圖①所示，在正方形488中，點E,尸分別是力民力。上的兩點，連接。瓦CE,

EDLCF,求證：DE=CF；

【類比探究】

(2)如圖(2)所示，在矩形4BCQ中，4)=7,CD=4,點E是力。上的一點，連接

CF

CE、BD,且CE_L&),則——的值為__________；

BD

【拓展延伸】

(3)如圖③所示，在四邊形/1BCO中，乙4=NB=90。.點E為AB上一點,連接OE,過

DF

點C作。后的垂線交的延長線于點G,交力。的延長線于點F.若48=6,力。=4,則受

Cb

的值為.

【變式7-3]

(2025?湖北武漢?模擬預(yù)測)

28.某班甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行了一次用正方形紙片折疊探究相關(guān)數(shù)學(xué)問題的課題學(xué)習(xí)活

動.

活動情境：

如圖2,將邊長為8cm的正方形紙片48C。沿EG折疊(折痕EG分別與48、OC交于點

試卷第17頁，共20頁

E、G）,使點8落在/。邊上的點尸處，門V與。。交于點時處，連接所與￡G交于點P.

所得結(jié)論：

當(dāng)點尸與力。的中點重合時：（如圖1）甲、乙、丙三位同學(xué)各得到如下一個正確結(jié)論（或

結(jié)果）：

甲：△4EF的邊/E=cm,EF=cm；

乙：△QM的周長為16cm；

丙：EG=BF.

你的任務(wù)：

飛［G\'MIG

EEB

ffil圖2

（1）填充甲同學(xué)所得結(jié)果中的數(shù)據(jù)；

（2）當(dāng)點/在力。邊上除點力、力外的任何一處（如圖2）時：

①試問乙同學(xué)的結(jié)果是否發(fā)生變化？請證明你的結(jié)論；

②直接寫出S（S為四邊形力EG。的面積）的最大值是多少？

【題型8"對角互補型"相似模型】

【例8】

（22-23九年級上?浙江金華?階段練習(xí)）

29.定義：若四邊形有一組對角互補，一組鄰邊相等，且相等鄰邊的夾角為直角，像這樣的

圖形稱為“直角等鄰對補”四邊形，簡稱"直等補'’四邊形.

備用圖

根據(jù)以上定義，解決下列問題:

試卷第18頁，共2（）頁

(1)判斷正方形二直等補“四邊形：菱形「直等補'’四邊形.(填“是”或“不是”)

(2)如圖1,在所給的網(wǎng)格中，畫出符合條件的“直等補”四邊形力2。尸；

⑶如圖2,己知四邊形N8CQ是“直等補”四邊形，AB=BC=5,CD=I,AD>AB,點

8到直線力。的距離為BE.

①求BE的長;

②若A/、N分別是力用、力。邊上的動點，求AMNC周長的最小值.

【變式8-1]

(24-25九年級上?浙江杭州?階段練習(xí))

30.如圖，點G是△力4。的重心，連接BG,作N3GO,使N8G。與N/4C互補，GQ交邊

于點。，80=6,CD=4,則8G的長為.

【變式8-2]

(2)【嘗試應(yīng)用】如圖②，在平行四邊形力4。>中，點E在8c上，與NC互補，

BE=2,EC=4,求力上的長；

(3)【拓展提高】如圖③，在菱形月5。中，石為其內(nèi)部一點，nN石。與ZC互補，點尸在

8上，EF//AD,>AD=2EF,AE=3,CF=1,求。E的長.

【變式8-3]

32.用一條直線截三角形的兩邊，若所截得的四邊形對角互補，則稱該直線為三角形第三條

邊上的逆平行線.如圖1,OE為AJ4C的截線，截得四邊形4CE。，若N8力E+NC=18(T,

則稱QE為邊3C的逆平行線；如圖2,已知A//BC中，AB=AC,過初邊上的點。

作DE//BC交于忠E,過點上作邊44的逆平行線上廠，交邊于點尸.

試卷第19頁，共2()頁

AAA

(1)求證：OE是邊4c的逆平行線.

(2)。點是A48c的外心，連接CO,求證：CO上FE.

(3)已知/B=5,BC=6,過點/作邊/IC的逆平行線尸G,交邊力8于點G.

①試探索為何值時，四邊形NG/E的面積最大，并求出最大值；

②在①的條件下，比較初+8GJ8大小關(guān)系.(氣、)或=")

試卷第20頁，共2()頁

1.2

【分析】過。作?！ù怪绷于〃點，過。作。G||力E交BC于G點，先利用解直角三角形

求出CO的長，其次利用“CQGSACB。，求出CG的長，得出4G的長，最后利用

△BDGs^AE,求出BE的長，最后得出答案.本題考查勾股定理，等腰直角三角形性質(zhì)及

相似三角形的判定與性質(zhì)綜合，解題關(guān)鍵在r正確作出輔助線，利用相似三角形的性質(zhì)得出

對應(yīng)邊成比例求出答案.

【詳解】解：如圖：過。作。〃垂直4C于〃點，過。作OG〃/1E交4C于G點，

在。G〃ZE中,AC=BC=6,

AB=>JAC2+BC2=6x/2?

又BD=2AD,

力。=2夜，

在等腰直角三角形力中，AH=DH=2,

CH=6-2=4,

在RtaC“。中，CD=dCH、DH。=2石，

「DG//AEf

Z.CFE=ZCDG=45°,NB=45°,

4CDG=Z5,

又4DCG=/BCD,

:ACDGS^CBD,

.CD_CG

"'CB~CD，

:.CD2=CGCB,

即20=6CG,

:.CG=—,

3

10Q

BG=BC-CG=6--=-,

33

答案第1頁，共47頁

又：DG〃AE,

.,.△BDGS&BAE,

又???BD=2AD,

二一BD=一BG=-2,

BABE3

Q

又8G、，

BE=BGx—=4,

2

.-.CE=6-4=2,

故答案為：2.

2.5

【分析】由MDE=A,ZDAE=ZCAB,根據(jù)相似三角形的判定得到△DAE-4CAB,根據(jù)

相似的性質(zhì)得SADAE：SMAB=(那J，然后把三角形面積代入計算即可.

【詳解】解：??2ADE=NC,

而上DAE=4CAB,

.?.△DAE-ACAB,

???SaDAE：SACAB=

\,AC

vAADE的面積為9,四邊形BDEC的面積為16,

??.△ABC的面積=9+16=25：

/坐2=2,

\AC)25

??.AC=5.

故答案為5.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：有兩組角分別相等的兩三角形相似；相似三

角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等，相似三角形面積的比等于相似比的平方.

3.見解析.

【分析】本題考查了尺規(guī)作圖-作一個角等于已知角，相似三角形的判定，以。4為邊，作

NBCE=NBDC,交8。延長線于點E,則點￡即為所求，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：以C3為邊，作=交8。延長線于點E,則點七即為所求，如

答案第2頁，共47頁

圖:

V/BCE=ZBDC,NCBE=NDBC,

:.△CDBs^ECB.

4.B

［分析］過P作尸。平行于OC,由。。與48平行，得到產(chǎn)。平行于,可得出四邊形PQCD

與尸都為平行四邊形，進(jìn)而確定出與△PCQ面積相等，△PQB與A/BP面積相

等，再由"'為△APC的中位線，利用中位線定理得到為3c的一半，且￡尸平行于,

得出△戶"與△尸8C相似，相似比為1：2,面積之比為1：4,求出APBC的面積，而ZXPBC

面積=力00面積+68。面積，即為△PQC面積+△/>.面機即為平行四邊形面積的?半，

即可求出所求的面枳.

【詳解】解：過P作PQ//DC交BC于點Q,由。。〃,48,得到夕?！?8,

???四邊形P。。。與四邊形APQB都為平行四邊形，

/.^PDC^CQP,蛇?PB,

S^PDC~S.CQP>S^ABP=S,QPB,

?；E尸為APCB的中位線,

EF//BC.EF=-BC

2t

MPEFSAPBC,且相似比為1：2,

：?SdPEF：S^PBC=1:4,S△尸印=3,

：,SdPBc=S.CQP+S^QPB=S.p0c+S“8P=S|+52=12,

故選：B.

答案第3頁，共47頁

【點睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的

判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)健.

5.(1)見解析；(2)見解析；(3)①見解析；②16:15.

【分析】(1)運用等腰三角形的性質(zhì)及三角形的外角性質(zhì)就可解決問題.

(2)如圖1,證明△OC/1三aKOG(44S),得心EG,根據(jù)等腰三角形的判定得：

DG=AB,由平行線分線段成比例定理得：絲=空=2,由此可得結(jié)論；

DrAD

(3)①如圖2,作輔助線，構(gòu)建三角形全等，證明△QC4三(力45),得D4=EG,再

證明△/C8?△GK8,列比例式可得結(jié)論；

②如圖3,作輔助線，構(gòu)建八48。和△OCE的高線，先得名=照=4，設(shè)則

EGDG4

EG=AD=4a,DG=\6a,根據(jù)47/IIPQ,W—="7>設(shè)PZA3力，AH=4h,根據(jù)

AHAB16a4

EGWAC,同理得空=段=冬=1，設(shè)3。沙，3C=4y，利用二角形面積公式代入可得結(jié)論.

ABBC16?4

【詳解】(1)證明：?.?力。=%從

?:DC=DE,

?'-z.DCE=z.DEC,

???Z-ACD+UCB=LB+乙BDE,

.kBDE=ACD；

(2)證明：如圖1,

v￡GIMC,

:?乙D4C=cDGE,乙BEG=^ACB,

由(1)知：Z-DCA=Z-BDE,

?:DC=DE,

???△OC4三△EOG(AAS),

???AD=EG,

答案第4頁，共47頁

,:乙B=UCB=LBEG,

???EG=BG=AD,

：.DG=AB,

-DE=2DF,AFWEG,

、

-D--E-=--D-G--=2,

DFAD

；.DG=2AD=2AG,

:.AB=DG=2AG；

(3)解：①如圖2,過點E作EGIMC,交力4的延長線于點G,

則有乙1=NG,

,-AB=AC,CD=DE,

:?乙4cB=，4BC,乙DCE=^DEC,

:,Z~ACD+乙DCE=cEDG+乙DEC,

:&CD"EDG,

在△。。和△EOG中，

ZACD=ZEDG

NA=/G

CD=DE

；ADCA三4EDG(AAS).

；.DA=EG,

?MCIIEG,

:.△ACBMGEB,

ACBC

'~EG~~BE，

-EG=AD,AC=AB,

答案第5頁，共47頁

，4B?BE=AD?BC；

②如圖3,過/H乍力〃18c于〃，過。作QP18C于P,則4/IIPQ,

-AFWEG,

AFADDF

：,~EG~~DG~~DE'

,：DE=4DF,

AFAD

,，~EG~~DG~4,

設(shè)AF=a,則EG=AD=4a,DG=16a,

,:UCB=ABC,

:.乙GBE=LBEG,

??.BG=EG=4a,

:.BD=12a,

-AHWPD,

PDBD\2a3

AHAB16a4'

設(shè)PD=3h,AH=4h,

vEGIMC,

BG_BE_4a=1

"=5C=l6^=4'

設(shè)BE=y,BC=4y,

14v,4/716yh

，S44BC=-BC?AH==--=8M

222

15y3h15

S^DCE=—CE*PD=---=—yh,

222-

^S^ABCzS^DEC=Syh：—yh=\6：15.

【點睛】本題是二角形的綜合題，考言了相似二角形的判定與性質(zhì)、全等二角形的判定與性

答案第6頁，共47頁

質(zhì)、平行線分線段成比例、等腰三角形的性質(zhì)和判定等知設(shè)，第三問有難度，利用參數(shù)表示

各線段的長是本題的關(guān)鍵，綜合性較強.

6.見解析

【分析】由48〃。。得有OE：OB=OCtOAx由力4c得

△力。少?△C08,有08：OF=OC：0A,進(jìn)而得出40?二七。..

【詳解】證明：-AB//CD,

：.4AOBs〉COE.

：.0E：OB=OC：OAx

-AD//BC,

:XOFFCOB.

.-.OB：OF=OC：OA.

；.OB：OF=OE：OB、RO2=EOFO.

【點睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握證線段的乘積相等，通常

轉(zhuǎn)化為比例式形式，再證明所在的三角形相似，屬于中考?？碱}型.

7.（1）見解析；（2）BP:PQ:QR=3:1:2

【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NPC0=NR。。，再根據(jù)/P。。=/火，即可證明

XPCQs4RDQ；

pc1

（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得==再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得

RE2

P0PCPC1

7玄=右=,=3,從而可得QR=2PQ,再根據(jù)8P=PH=PQ+QR=3PQ,即可求解.

5//\UKKE,L

【詳解】解：（1）???PC〃DR,

ZPCQ=ZRDQ.

又???APQC=4RQD.

:ZCQsXRDQ.

（2）?.?四邊形48co和四邊形4C￡Q都是平行四邊形，

BC=AD=CE,AC//DE.

PC1

:.PB=PR,——=".

RE2

又,:點R是DE中點，

???DR=RE.

（）△PCQSXA

由1知Z。。，

答案第7頁，共47頁

PQPCPC_\

''~QR~~DR~~RE~2,

：.QR=2PQ.

又vBP=PR=PQ+QR=3PQ,

；.BP:P0：2R=3:1:2.

【點睛】本題考杳了相似三角形的問題，掌握平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)以及判

定定理是解題的關(guān)鍵.

8.(1)證明見解析；(2)24.

【分析】(1)根據(jù)E是邊OC的中點，可以得到。￡=C￡,再根據(jù)四邊形力8c。是平行四

邊形，可以得到a1QE=N￡C/,再根據(jù)N/EQu/CEb,即可得到“。原^氏戶，則答案

可證；

(2)先證明^CEG?AZBG,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出=8,嬰=笑=:，進(jìn)而得

GCCE2

+

出S.BGC=4,由S^C~SgABG^&BCG得^^ABC=12,則答案可解.

【詳解】(1)證明：?.?四邊形/8c。是平行四邊形，

AAD//BC,AD=BC,

："ADE=NECF,

???點E為。。的中點，

DE—CE,

在△/i￡)￡和△￡■(#中

ZDE=NECF

<DE=CE

/AED=NCEF

.^ADE^ECF(ASA),

AD-CF,

：.BC=CF；

(2)?.?四邊形力AC'Q是平行四邊形，點上為OC的中點，

AB//DC,AB=2EC,

："GEC=/ABG,NGCE=/GAB,

：?KEG~dBG,

?.?△G￡C'的面積為2,

答案第8頁，共47頁

vtkCEG?AABG

AGAB1

???=—,

GCCE2

,e,SdBGC=5S“8G=5X8=4，

?■,S?BC=S"BG+S&8CG=8+4=12

?q-=2x12=24.

,,aoABCD~2"8c

【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì),

解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

3

9.(1)4,-

⑵是,1

7、

(3)1或4

PFPN

【分析】(1)作PM，4"于A/交CD于N.由ABMPskPNE,推出—=--,只要求出

PN、8M即可解決問題:

PF

(2)結(jié)論：號的值為定值.證明方法類似(1):

CFRC9

(3)連接8E交力。于人在川△"尸中，cosNBC尸=三二今，代入數(shù)據(jù)求得CF=J,

BCAC5

進(jìn)而即可求解.

【詳解】(1)解：作PM_Ln8于M交。。于N.

.??四邊形48CD是矩形,

圖1

BC=AD=3,AC=5,ZABC=90°,

AB=ylAC2-BC2=^52-32=4?

答案第9頁，共47頁

34

在Rt△nPM中，P4=1,PM=-,AM=~

BM=AB-AM=——,

5

?；MN=AD=3,

:.PN=MN-PM=J

5

』PMB=ZPNE=NBPE=90°,

，BPM+ZEPN=90°,4EPN+々PEN=90°,

/.NBPM=/PEN,

:.△BMPSAPNE,

1-2

53

I-641

5

3

故答案為4,4，

4

（2）結(jié)論：繪的值為定值.

1D

3443

理由：由4=x,可得PW=-x.AM=-x,BM=4一一x,PN=3—一x

5555

?:叢BMPS^PNE,

???"PC=NECP,

;NBPE=NBCE=90。,

NBPC=NBCP,

BP=BC,

/.4七垂直平分線段尸C,

答案第10頁，共47頁

在Rf.BCF中,cos/BC尸===竺，

BCAC

.CF3

..—=—,

??35?

*1Q

:.PC=2CF=—

5

x=PA=5=—.

55

7

綜上所述，x的值為

【點睛】本題屬于四邊形綜合題、考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理

以及等腰三角形的構(gòu)成條件等重要知識，同時還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度較大.

10.(1)見解析

(2)OC的長為2或4.

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

(1)由等腰三角形的性質(zhì)可得=由外角的性質(zhì)可得/4力。=/。?！?可得結(jié)論;

(2)根據(jù)△力BOs/xocE,得至4組=要，進(jìn)而求出解即可.

ABBD

【詳解】(1)證明：.?9=*,

Z5=ZC,

NADC=NABC+NBAD=ZADE+ZCDE，AADE=NABC

:.NBAD=NCDE,

AABDsADCE.

(2)解：'：AC=AB=AE=7t

:.CE=AC-AE=\,

?;"BDs")CE,

BD=BC-CD=6-CD,CE=AC-AE=8-7=1

CDCE,CD

——=——,即Hr——=---1--,

ABBD86-CD

解得CO=2或CO=4,

。。的長為2或4.

11.(1)證明見解析

答案第11頁，共47頁

(2)CZ)=|

(3)線段4)、AB.CO之間數(shù)量關(guān)系：AD=AB+CD,理由見解析.

【分析】此題主要