秘密★啟用前

高二年級(jí)質(zhì)量檢測(cè)

數(shù)學(xué)(北師大)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。

如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡

上。寫在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的。

1.2025×2024×2023可表示為

A.C2025B.C2823C.A2025D.A2025

2.直線x=cos75°的傾斜角為

A.0°B.90°C.75°D.25°

3.設(shè)F?,F?分別是橢圓C:的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，且|PF?|-|PF?|=

6,則

A.|PF?|=9B.|PF?|=6

C.|PF?|=8D.|PF?|=4

4.雙曲線C的一條漸近線方程為y=-2x,則C的焦距為

A.√6B.√10C.2√6D.2√10

5.(x-2y+3)?的展開式中xy3的系數(shù)為

A.480B.160C.-160D.-480

6.設(shè){a,b,c}是空間的一組單位正交基底，向量OA=a+3b+c,若m=a一b,n=a+b一

c,p=a-b+c,且{m,n,p)是空間的另一組基底，則OA=

A.—4m+2n+3pB.4m-2n+3p

C.4m+2n-3pD.4m+2n+3p

7.某司法部門安排甲、乙、丙、丁四人去富強(qiáng)、文明、民主三個(gè)社區(qū)進(jìn)行普法宣傳，要求每人

必須要去社區(qū)且只能去一個(gè)社區(qū)，且每個(gè)社區(qū)必須有人去宣傳，若甲去文明社區(qū)，乙不

數(shù)學(xué)(北師大)試題第1頁(yè)(共4頁(yè))

去富強(qiáng)社區(qū)，則不同的安排方法有

A.16種B.12種C.7種D.6種

8.已知A(2,0),B(-1,0),點(diǎn)P滿足|PA|=2|PB|,點(diǎn)Q在圓C:(x+1)2+(y-4)2=

1上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M在直線x-y-2=0上運(yùn)動(dòng)，則PM|+|QM|的最小值為

A.5√2-3B.6√2-3C.√73—3D.4√5-3

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

9.已知2a+b=(4,0、4)、b=(2,2,2),則下列正確的有

A.a=(1,-1.1)B.a//b

C.(2a+b)⊥(2a—b)D.cos≤a,

10.已知的展開式中常數(shù)項(xiàng)為35,a為實(shí)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的有

的展開式中各二項(xiàng)式系數(shù)之和為64

B.a=1

的展開式中各項(xiàng)的系數(shù)之和為0

的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第4項(xiàng)或第5項(xiàng)

11.已知雙曲線C的離心率為2,F?,F?分別為C的左、右焦點(diǎn)，O為

坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線E:y=k|x-2|,k∈[2,4],且E與C交于A,B兩點(diǎn)，則下列正確的有

A.a=1B.|AF?|+|BF?|>7

C.|AF?|+|BF?|的最大值為32D.△OAB面積的最小值為

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.兩平行直線7x-y-4=0與7x—my+6=0(m∈R)之間的距離為

13.甲、乙均在內(nèi)的5人坐在一排的5個(gè)座位上，若甲、乙相鄰，且甲、乙均不在這排座位的

兩端，則不同的坐法有種.

14.已知a=(aγ,a2,a?),b=(b?,b?,b?),定義d[a,b]=|a?-b?|+|a?-b?|+

|a?—b?|.若直四棱柱ABCD-A?B?C?D,的底面為矩形，AA?=2AB=4,BC=3,M

為側(cè)面CDD?C?(包含邊界)內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且|BM|=√10,則d[BM,AB]的最大值

為

數(shù)學(xué)(北師大)試題第2頁(yè)(共4頁(yè))

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

15.(13分)

在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的頂點(diǎn)B(—2,1),邊BC上的中線所在的直線方

程為2x-y-2=0,邊BC上的高所在的直線方程為x-y-1=0.

(1)求邊AB所在直線的一般式方程；

(2)求△ABC的面積.

16.(15分)

已知a?+a?x+a?x2+…+agx?=C(x+1)+C(x+1)2+…+C(x+1)?.

(1)求a?-ao+a?-a?+as-a?+a?—a?-ag的值；

(2)求ao-as的值.

17.(15分)

已知F為拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，直線l?:2x-y-4=0經(jīng)過(guò)F,且l?與C

相交于P,Q兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M(4,0)的動(dòng)直線l?與C相交于A,B兩點(diǎn).

(1)求拋物線C的方程；

(2)求的值；

(3)設(shè)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△ABF的面積為8√3,直線l?與y軸交于點(diǎn)N,證明：

|OM|=|ON|.

數(shù)學(xué)(北師大)試題第3頁(yè)(共4頁(yè))

18.(17分)

如圖，在四邊形ABCD中，BC//AD,∠ABC=90°,AB=BC=2,AD=2+√5,過(guò)C作

CE⊥AD,垂足為E,將△CDE沿CE翻折至△CPE,使點(diǎn)D落在點(diǎn)P的位置，AP=

√5.

(1)證明：平面PAB⊥平面PAE.

(2)已知P,A,B,C,E五點(diǎn)均在球O的球面上.

(i)求球O的表面積；

(ii)設(shè)點(diǎn)Q∈平面PAB,點(diǎn)Q∈平面PCE,若PQ=1,求平面OBQ與平面AEQ夾角

的余弦值.

19.(17分)

已知橢圓C1(a>b>0)的右頂點(diǎn)為A(2,0),上頂點(diǎn)為B,且|AB|=√7.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)若直線l:y=kx+m(k≠0)與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn)(P,Q兩點(diǎn)均異于點(diǎn)A).

(i)若∠PAQ=90°,求的值；

(ii)若,證明：經(jīng)過(guò)A,P,Q的圓Ω經(jīng)過(guò)兩個(gè)定點(diǎn).

數(shù)學(xué)(北師大)試題第4頁(yè)(共4頁(yè))

高二年級(jí)質(zhì)量檢測(cè)

數(shù)學(xué)(北師大)參考答案

1.C【解析】根據(jù)排列數(shù)公式可知，2025×2024×8.C【解析】設(shè)P(x,y),由|PA|=2|PB|得，

2023=A2025·√(x-2)2+y2=2√(x+1)2+y2,整理得

故選C.(x+2)2+y2=4,所以點(diǎn)P在以C?(-2,0)為圓

2.B【解析】因?yàn)橹本€x=cos75°垂直于x軸，所以心，半徑為2的圓上.

該直線的傾斜角為90°.點(diǎn)Q在圓C:(x+1)2+(y-4)2=1上運(yùn)動(dòng)，該圓

故選B.

的圓心為C(-1,4),半徑為1,

【解析】根據(jù)橢圓的定義可知，

3.A|PF?|+如圖，

|PF?|=2a=12,又|PF?|-|PF?|=6,解得

|PF?|=9,|PF?|=3.

故選A.

4.D【解析】C)可知，其

漸近線方程為,由題意可知，

所以b2=8,則c2=a2+b2=10,解得c=√10,所

以C的焦距為2√10.|MP|=|MC?|-2,|MQ|=|MC|-1,設(shè)圓C?

故選D.與圓C?關(guān)于直線x-y-2=0對(duì)稱，則

5.D【解析】(x-2y+3)?的展開式中xy3的系數(shù)MC?|=|MC?|,

為C?C3(一2)3·3=-480.連接CC?,則|PM|+|QM|=|MC?|-2+

故選D.MC|-1=|MC|+|MC?|-3≥|CC?|-3,當(dāng)

【解析】設(shè)

6.AOA=xm+yn+zp,C,M,C?三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值.

則OA=x(a—b)+y(a+b—c)+z(a-b+c)=

(一

(x+y+z)a+x+y-z)b+(z-y)c,設(shè)C?(x?,y?),則

又OA=a+3b+c,則,解得x=

解得即C?(2,—4),

-4,y=2,z=3,所以O(shè)A=-4m+2n+3p.

故選A.所以|CC?|=√(-1-2)2+(4+4)2=√73,則

7.C【解析】分兩種情況：①乙和甲都去文明社區(qū)，|PM|+|QM|的最小值為√73-3.

則有A2=2種安排方法；②甲去文明社區(qū)，乙去民故選C.

主社區(qū)，則有CC?-1=5種安排方法，根據(jù)分類加9.ACD【解析】由2a+b=(4,0,4),b=(2,2,2),得

法計(jì)數(shù)原理可知，不同的安排方法共有2+5=7a=(1,-1,1),A正確；

(種).假設(shè)b=λa,則(2,2,2)=(λ,一λ,λ),顯然λ無(wú)解，

故選C.所以a與b不平行，B錯(cuò)誤；

·數(shù)學(xué)(北師大)答案(第1頁(yè)，共6頁(yè))·

因?yàn)?a—b=(0,—4,0),所以(2a+b)·(2a—b)=

(4,0,4)·(0,-4,0)=0,則(2a+b)⊥(2a—b),C

所以|

正確；AF?|+|BF?|=|AF?|+|B?F?|=

因?yàn)閍·b=2-2+2=2,所以cos<a,b>=|AB。|=√1+t2·|y?—(-y?)|=√1+t2·

√Ly?+(一y2)]2-4y?·(一y?)=√1+t2.

,D正確。

故選ACD.

10.BC【解析】的展開式中各二項(xiàng)令1+t2=m,則,t2=m-1,,所以

式系數(shù)之和為C9+C+…+C=2?=128,A

錯(cuò)誤；

的展開式的通項(xiàng)為T,+1=

易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，

所以,則

令28-7r=0,解得r=4,所以(一1)?a3C=35,

30,所以|AF?|+|BF?|>7,B正確；

解得a=1,B正確；

由雙曲線的定義可知，|AF|=2a+|AF|=

令x=1,則展開式中各項(xiàng)的系數(shù)之和為(1-1)?=??

0,C正確；2+|AF?|,|BF?|=2a+|BF?|=2+|BF?|,

所以|AF?|+|BF?|=4+|AF?|+|BF?|≤

因?yàn)楦黜?xiàng)系數(shù)為(一1)'C,要使系數(shù)取得最大值，

4+30=34,故|AF?|+|BF?|的最大值為34,C

所以r必為偶數(shù)，則C為展開式中的最大系數(shù)，

錯(cuò)誤；

所以展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)，D錯(cuò)誤.

易知OA=(x?,y?),OB=(x?,y?),則cos<OA,

故選BC.

,所以

11.ABD【解析】C的sin2<OA,OB>=

離心率為2得，,解得a=1,A正確；

不妨設(shè)的縱坐標(biāo)比的縱坐標(biāo)大，曲線

ABE:y=則△OAB面積為·|OB|2·

k|x-2|,k∈[2,4],過(guò)焦點(diǎn)F?(2,0),因?yàn)镃的

漸近線方程為y=±√3x,而直線的

斜率k∈[2,4],所以延長(zhǎng)線段AF?與C的右支

交于點(diǎn)B?,由對(duì)稱性可知，B與B。關(guān)于x軸對(duì)

稱，設(shè)A(x?,y?),B(x?,y?),則B?(x2,-y?),

不妨設(shè)直線AB。的方程為x=ty+2,則∈

所以

由整理得(3

t2-1)y2+12ty+9=0,(ty?+2)y?-(-ty?+2)y?I=|yy?+(y?-

所以

·數(shù)學(xué)(北師大)答案(第2頁(yè)，共6頁(yè))·

φ=0時(shí)取等號(hào)，故的最大值為10.

因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以d[BM,AB]

15.解：(1)由解得(2分)

所以頂點(diǎn)A(1,0),(3分)

故△OAB面積的最小值為,D正確.

由兩點(diǎn)式方程可知，邊AB所在直線方程為

故選ABD.

12.√2【解析】由題意可知，m=1,所以兩直線之間,故邊AB所在直線的一般式方程為x+

的距離為3y-1=0.(6分)

(2)易知邊BC所在直線的斜率為—1,所以邊BC

13.24【解析】因?yàn)榧住⒁揖辉谶@排座位的兩端，所

所在直線的方程為y-1=-(x+2),即x+y+

以剩下的3個(gè)座位安排甲、乙，又甲、乙相鄰，所以

1=0,(7分)

有C!A2=4(種)坐法，還剩3人3個(gè)位置進(jìn)行全

排列，有A3=6(種)坐法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理

可知，不同的坐法有4×6=24(種).由

14.10【解析】如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CD,CB,

CC?所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐

所以邊BC的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為,(9分)

標(biāo)系，

則點(diǎn)D到邊AB的距離為d=

所以邊AB上的高為(11分)

又|AB|=√(-2-1)2+(1-0)2=√10,(12分)

故(13分)

則A(2,3,0),B(0,3,0),B?(0,3,4),設(shè)M(x。,

0,z。),0≤x?≤2,0≤z?≤4,則AB?=(-2,0,16.解：(1)令x=-1得，ao-a?+a2-a?+a一

4),BM=(x?,—3,z。),as+a?-a,+ag=0,(4分)

由|BM|=√10得，x?+9+z2=10,所以x?+故a?-a。+a?-a?+a?-a?+a?-a?-a?=0.

(6分)

z2=1,

(2)a。+a?x+a?x2+…+agx?=C(x+1)+

設(shè)x。=cosφ,zo=sin,故BM=

C3(x+1)2+…+C8(x+1)?=(x+2)?—1,

(cosφ,—3,sinφ),(8分)

根據(jù)新定義，d[BM,AB|]=|cosφ+2|+令x=0,則ao=2?-1=255,(10分)

|-3-0|+|sinφ-4|=cosφ+2+3+4-把(x+2)?按二項(xiàng)式定理展開，易得a?=C·23=

448,(13分)

所以a。-a;=255-448=-193.(15分)

因?yàn)?所,所以

17.解：(1)拋物線C:y2=2px(p>0)F

當(dāng)且僅當(dāng)

·數(shù)學(xué)(北師大)答案(第3頁(yè)，共6頁(yè))·

以F為原點(diǎn)，以FA,FP所在直線分別為x,之

由題意可知解得p=4,(2分)

軸，以過(guò)F平行于AB的直線為y軸，建立如圖

故拋物線C的方程為y2=8x.(3分)

所示的空間直角坐標(biāo)系F-xyz.

(2)將2x-y-4=0代入y2=8x,

得x2—6x+4=0,(4分)

設(shè)P(x?,y?),Q(x?,y?),則x?+x?=6,x?x?=

4,(5分)

由拋物線的定義可知，|PQ|=x?+x?+4=10,

(6分)

|PF|·|QF|=(x?+2)(x?+2)=x?x?+2(x?+

x2)+4=4+2×6+4=20,(8分)

(9分)則A(1,0,0),B(1,2,0),E(-1,0,0),P(0,0,

2).(6分)

(3)證明：易知?jiǎng)又本€l2的斜率不為0,設(shè)其方程

為x=ty+4,A(x?,y?),B(x?,y4),(i)因?yàn)樗倪呅蜛BCE為正方形，所以正方形

ABCE外接圓O?的圓心為正方形ABCE的中

整理得y2-8ty-32=0,(10分)心，則O?(0,1,0),

由球的性質(zhì)可知，00⊥平面設(shè)

則△=64t2+128>0,ABCE,O(0,1,

z0),球O的半徑為R,(7分)

y3+y?=8t,y?y4=-32,(11分)

所以O(shè)A=OP=R,

所以△ABF的面積為

即√(1一0)2+(0-1)2+(0一z。)2=

ly?-y?|=√(y?+y4)2-4y?y?=√64t2+128=

√(0一0)2+(0-1)2+(2—zo)2,

8√t2+2,(12分)

解得,故(8分)

由題意得，8√t2+2=8√3,解得t=±1,(13分)

所以直線l2的方程為x±y-4=0,則N(0,

士4),故|(15分)

OM|=|ON|.(9分)

18.解：(1)證明：因?yàn)椤螦BC=90°,CE⊥AD,所以

故球O的表面積為(10分)

AB//CE,(1分)

又CE⊥AE,CE⊥PE,且AE∩PE=E,AE,(ii)過(guò)P作PH//AB,易證平面PAB∩平面

PEC平面PAE,所以CE⊥平面PAE.(2分)PCE=PH,則Q∈PH,(11分)

則AB⊥平面PAE,(3分)設(shè)Q(0,t,2),則AE=(-2,0,0),EQ=(1,t,2),

又ABC平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAE.

(4分)

(12分)

(2)易知四邊形ABCE為矩形，又AB=BC=2,

設(shè)平面AEQ的法向量為m=(x?,y?,≈1),

所以四邊形ABCE為正方形，

取AE的中點(diǎn)為F,連接PF,因?yàn)镻E=PA=

則即取y?=2,

√5,所以PF⊥AE,

由(1)得平面ABCE⊥平面PAE,則PF⊥平面所以m=(0,2,—t);(13分)

ABCE.(5分)設(shè)平面OBQ的法向量為n=(x?,y?,z2),

·數(shù)學(xué)(北師大)答案(第4頁(yè)，共6頁(yè))·

所以

則即取

m2=0,

y?=5,所以n=(-3t-2,5,4(1-t)),(14分)

整理得(8分)

又PQ=1,解得t=±1,

當(dāng)時(shí)，則(一5,5,0),

t=1m=(0,2,-1),n=所以4k2+7m2+16km=0,即

所以4=0,

解得或(9分)

(15分)

當(dāng)t=-1時(shí)，則m=(0,2,1),n=(1,5,8),時(shí)，y=kx+m=k(x-2)A

所以(2,0),不合題意，

時(shí)，滿足題意.故的值

(16分)

(10分)

證明：設(shè)經(jīng)過(guò)的圓Ω的方程為

故平面OBQ與平面AEQ夾角的余弦值為(ii)A,P,Qx2+

y2+Dx+Ey+F=0,

或(17分)因?yàn)锳(2,0),所以4+2D+F=0,則F=-4—

2D,(11分)

19.解：(1)易知A(a,0),B(0,b),

則圓Ω的方程為x2+y2+Dx+Ey-4-2D=0,

根據(jù)條件得，解得a=2,b=√3,