專題與角有關(guān)的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題（4大題型）（專項(xiàng)訓(xùn)練）數(shù)學(xué)北師大

版2024七年級(jí)上冊(cè)

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、解答題

1.己知ZAO8=110°,ZCOD=40°.平分N'AOC.OF平分N6OD.

圖①

（I）如圖①，當(dāng)OB，OC重合時(shí)，求NAQE-NBO”的值；

⑵當(dāng)NC8從圖①所示位置繞點(diǎn)。以每秒3。的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，秒（0</<10）；在旋轉(zhuǎn)過(guò)

程中NAOE-N8O/的值是否會(huì)因，的變化而變化，若不發(fā)生變化，請(qǐng)求出該定值：若發(fā)生

變化，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2.【問(wèn)題情境】已知，NA（M=120。，ZCOD=40°,0E平分NAOC,OF平分NBOD.

【特例分析】（1）如圖1,當(dāng)《陽(yáng)、OC重合時(shí)，求ZAOE-N&W的值；

【深入探究】（2）如圖2,當(dāng)08、OC不重合，OC在0B的下方時(shí)，設(shè)/8OC=x,

ZAOE-/BOF的值是否會(huì)因?yàn)閤的變化而變化？若不發(fā)生變化，請(qǐng)求出該定值；若發(fā)生

變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；

【問(wèn)題解決】（3）在（2）的條件下，當(dāng)NCO/=12。時(shí)，求N8O七的度數(shù).

AEAE

3.在?次數(shù)學(xué)實(shí)踐探究活動(dòng)中，小明和他的同伴們將一個(gè)直角三角尺按如圖所示方式放置,

發(fā)現(xiàn)了其中的奧秘.

⑴如圖①，三角尺4?。的直角頂點(diǎn)P在直線上，點(diǎn)A，B在直線8的同側(cè).若NAPC=40。,

求一度數(shù).

⑵繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)三角尺ABP,使點(diǎn)A,B在直線C。的同側(cè)，如圖②，若PM平分工APC,PN

平分ZBPD,他們發(fā)現(xiàn)產(chǎn)N的度數(shù)為定值，請(qǐng)你求匕這個(gè)定值.

⑶繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)三角尺八8P,使點(diǎn)A,8在直線CO的異側(cè)，2M平分NAPC,PN平分ZBPD,

設(shè)N3PD=a,如圖③，探究NMPN的度數(shù).

答案第2頁(yè)，共60頁(yè)

4.如圖，Z4OB=90°,NDOE=40。角的頂點(diǎn)?；ハ嘀睾?，將NAQ8繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn).

(I)當(dāng)射線OB,。。重合時(shí)，ZAOE=。，

(2)在NAO8繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，若射線08,OO與。E中的某一條射線是另兩條射線所

夾角的角平分線，則NB0Z)的度數(shù)為；

⑶在NAOB繞點(diǎn)、。旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，若射線OB始終在/DOE的內(nèi)部.

①普于思考的小明發(fā)現(xiàn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，N4O￡-N8OD的值為定值，請(qǐng)你求出這個(gè)定值;

②作NB0D和NA0E的平分線QM，ON,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中AMON的值是否發(fā)生變化？若不

變，請(qǐng)求出這個(gè)定值，若變化，請(qǐng)求出變化的范圍.

5.BZAOB=ZCOD=9()°,0E平分N3OC.

(I)如圖，若NAOC=30。，則NOOE的度數(shù)是。；(直接寫(xiě)出答案)

⑵將(I)中的條件“NAOC=30?！备臑椤?AOC是銳角“，猜想NOOE與N4OC的關(guān)系，并

說(shuō)明理由.

Q)在NEOA,ZAOC,NEOB,NEOD中,哪些角是銳角？哪些角是直角？哪些角是鈍角？哪些

角是平角？并用把它們連接起來(lái)；

(2)/BOD是哪兩個(gè)角的和？

⑶寫(xiě)出/EOD、ZEOC,NQOC,Z.EOA中某些角之間的兩個(gè)等量關(guān)系；

(4)如果NEOD=NCO8,則N8O。的度數(shù)為。.

答案第4頁(yè)，共60頁(yè)

7.已知0為直線A8上一點(diǎn)，射線O。、OC、OE位于直線AB上方，在0E的左側(cè),

ZAOC=120。，Z/）OE=800..

（圖2）（圖3）

（1）如圖1,當(dāng)O力平分N/1O。時(shí)，求/EOB的度數(shù);

（2）點(diǎn)尸在射線。8上,若射線0產(chǎn)繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。（0<,<180且〃工60）,

ZFOA=3ZAOD.當(dāng)/。。石在NAOC內(nèi)部（圖2）和/。OE的兩邊在射線OC的兩側(cè)（圖

3）時(shí)，N">E和/EOC的數(shù)量關(guān)系是否改變，若改變，說(shuō)明理由，若不變，求出其關(guān)系.

8.如圖1,將一副三角板的直角頂點(diǎn)C疊放在一起.

D

E

(1)觀察分析：若NOCE=30。,則/AC4=,若Z4CA=145。,則/DCE=

⑵猜想探究：如圖2,若將兩個(gè)同樣的三角尺，60。銳角的頂點(diǎn)A重合在一起，請(qǐng)你猜想

N7M8與NC4E有何關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)拓展應(yīng)用：如圖3,如果把任意兩個(gè)銳角NAO8、NC8的頂點(diǎn)。重合在一起，已知

ZAOB=a,4COD=。(a、夕都是銳角)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出NA8與230。的關(guān)系.

9.在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課中，學(xué)生進(jìn)行操作探究，用一副三角板(其中NA4C=NAC4=45。，

NBAC=NEDF=90°,ZDFE=30°,/。所=600)按如圖1所示擺放，邊4C與政在同

一條直線MN上(點(diǎn)C與點(diǎn)E重合).如圖2,將三角板A8C從圖1的位置開(kāi)始繞點(diǎn)C以每

秒5。的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)邊與邊防重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)三角板A8C的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為「

秒.

(I)當(dāng)/為何值時(shí)，C4平分—Ob?

(2)當(dāng)t為何值時(shí)，ZACF=3乙BCD?

答案第6頁(yè)，共60頁(yè)

10.如圖，O為線段A/3上一點(diǎn)，NCOD=90。，。月為NGOQ的角平分線，定義。。與。4重

合時(shí)為初始位置，將NCOD繞著點(diǎn)。從初始位置開(kāi)始，以10。/秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，至0。

與。4重合時(shí)終止.

AOB

（備用圖1）

AOB

（備用圖2）

AOB

（備用圖3）

⑴當(dāng)“8從初始位置旋轉(zhuǎn)6秒，求此時(shí)NEO6的度數(shù)：

⑵當(dāng)ZCOD從初始位置旋轉(zhuǎn)至NEOB=120。時(shí)，求此時(shí)/的值；

⑶當(dāng)NCW從初始位置旋轉(zhuǎn)至N￡O3=m。時(shí)，y秒（用含有〃?的代數(shù)式直接表

示）.

11.【實(shí)踐操作】三角尺中的數(shù)學(xué)

(1)如圖1,將兩塊三角尺的直角頂點(diǎn)C疊放在一起，ZACZ)=ZECB=90°.

①若NEC。=38。，則NAC8=；若446=15()。，貝i]NECZ>=；

②猜想NACB與NECD的大小有何數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

(2)如圖2,若是將兩個(gè)同樣的含60。銳角的直角三角尺疊放在一起，其中60。銳角的頂點(diǎn)

A重合在一起，ZACD=ZAFG=90°.

①探究NG4C與ND4廠的大小有何數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

②若一開(kāi)始就將AADC與以柘完全重合(AF與AC重合)，保持AADC不動(dòng)，將..4尸G繞

點(diǎn)A以每秒10。的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為，.在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中〃為何值時(shí)AG1AC.

12.如圖①，把一副三角板拼在一起，邊。AOC與直線EF重合，其中NAO8=45。,

ZCOD=60°.此時(shí)易得N8OD=75。.

答案第8頁(yè)，共60頁(yè)

DD

①②③

(1)如圖②，三角板CO力固定不動(dòng)，將三角板AOA繞點(diǎn)O以每秒5。的速度順時(shí)針開(kāi)始旋轉(zhuǎn)，

在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，三角板AOA一直在NEOO的內(nèi)部，設(shè)三角板運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒.

①當(dāng)，=2時(shí)，/BOD=_。；

②當(dāng)，為何值時(shí)，NAOE=2/68?

(2)如圖③，在(1)的條件下，若OM平分NBOE,ON平分NAOO.

①當(dāng)ZAO￡=20°時(shí)，NMON=_°；

②請(qǐng)問(wèn)在三角板AO8的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，NMQV的度數(shù)是否會(huì)發(fā)生變化？如果發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)

明理由；如果不發(fā)生變化，請(qǐng)求出NM0V的度數(shù).

13.【問(wèn)題背景】如圖1,已知射線OC在NAO3的內(nèi)部，若NAOB,NAOC和/30C三

個(gè)角中有一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角度數(shù)的兩倍，則稱射線OC是NAO8的“量尺金線”.

圖1圖2

【問(wèn)題感知】

(1)一個(gè)角的平分線這個(gè)角的“量尺金線”；(填“是”或“不是”)

【問(wèn)題初探】

(2)如圖2,/加兩=60。.若射線也是小何利的“量尺金線”,則/。吶的度數(shù)為；

【問(wèn)題推廣】

(3)在(2)中，若/MPN=",0°<x<60°,射線P尸從PN位置開(kāi)始，以每秒旋轉(zhuǎn)3。的

速度繞點(diǎn)尸按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)NFPN首次等于180。時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為f(s).當(dāng)

「為何值時(shí)，射線是/fPN的“量尺金線”？(用含1的式子表示出，即可)

14.【問(wèn)題初探】

在一個(gè)角的內(nèi)部，從頂點(diǎn)畫(huà)一條射線，得到三個(gè)角，若其中有一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍，則

稱這條射線是已知角的“奇妙線

例如：圖1中ZA"=2N6OC,則射線OC是的“奇妙線”.

(1)一個(gè)角的角平分線這個(gè)角的“奇妙線”；(填“是''或"不是'')

【類比分析】

(2)如圖2,若NMPN=60。，在NMPN內(nèi)部畫(huà)一條射線PQ,使PQ是NMPN的“奇妙線”，

求NMPQ的度數(shù)；

【變式拓展】

(3)如圖3,若NMPN=60。，旦射線PQ繞點(diǎn)P從PN位置開(kāi)始以每秒10。的速度逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)，同時(shí)射線加以每秒6。的速度也繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線〃Q與射線重合時(shí)全部

停止運(yùn)動(dòng).設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為/秒，請(qǐng)直接寫(xiě)出，為何值時(shí)，射線PQ是的“奇妙線”.

答案第10頁(yè)，共60頁(yè)

15.［閱讀理解］定義：在一條直線同側(cè)的三條具有公共端點(diǎn)的射線之間若滿足以下關(guān)系，其

中?條射線分別與另外兩條射線組成的角恰好滿足2倍的數(shù)量關(guān)系，則稱該射線是另外兩條

射線的“雙倍和諧線”，如圖1,點(diǎn)P在直線/上，射線外，PS,P7位于直線/同側(cè)，若PS

平分/即兀則有NRPT=2NRPS,所以我們稱射線/次是射線尸S,P7的“雙倍和諧線”.

圖1圖2備用圖

［遷移運(yùn)用］

（1）如圖1,射線P7（選填“是”或“不是”）射線尸S,m的“雙倍和諧線”；射線PS

（選填"是''或"不是”）射線PR,pr的“雙倍和諧線”；

⑵如圖2,點(diǎn)O在直線MN上，OAA.MN,乙4。3=40°,射線OC從ON出發(fā)，繞點(diǎn)。以

每秒4。的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒，當(dāng)射線OC與射線OA重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止.

①當(dāng)射線。4是射線。8,OC的“雙倍和諧線”時(shí)，求I的值；

②若在射線OC旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，NAOB繞點(diǎn)、O以每秒2。的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，且在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，

射線OD平分NAOB,當(dāng)射線OC位于射線OO左側(cè)且射線OC是射線OM,OD的“雙倍和

諧線”時(shí)，求NCCW的度數(shù).

二、單選題

16.生活情境?水車圖①中的水車是一種古老的提水灌溉工具，圖②是它的示意圖，水車的

主體是一個(gè)圓形，且被等分成了8份，三角形Q4B是水車的支架，408=60。.水車的支

架固定不動(dòng)，水車的主體可繞著圓心。旋轉(zhuǎn).在圖②中，若OC平分則NBQD的

度數(shù)為（）

圖①圖②

A.5°B.15°C.20°D.無(wú)法確定

17.題目：“一塊含30。角的直角三角板A8C和一塊含上5。角的直角三角板3r歸拼成如圖1

所示的圖案后，三角板BDE固定不動(dòng)，將三角板A8C繞頂點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)一周，如圖2.當(dāng)

時(shí)（注：乙均指圖中不超過(guò)18（）。的角），求旋轉(zhuǎn)角々的度數(shù).”

對(duì)于其答案，甲答：a=105°,乙答：。二285。，則正確的是（）

A.只有甲答的對(duì)

B.只有乙答的對(duì)

C.甲、乙答案合在一起才完整

D.甲、乙答案合在一起也不完整

18.如圖1,一副二角板的兩個(gè)直角重疊在一起，乙4=30",ZC=45°.△CO〃固定不動(dòng),

答案第12頁(yè)，共60頁(yè)

VAO8繞著。點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。。（0。＜。＜180。），若VAOB繞著。點(diǎn)旋轉(zhuǎn)圖2的位置，若

N8OQ=60。，則NAOC的度數(shù)為（）

A.150°B.120°C.60°D.30°

19.定義：若兩個(gè)角的度數(shù)差的絕對(duì)值等于60。，則稱這兩個(gè)角互為“優(yōu)角”，其中一個(gè)角是

另一個(gè)角的“優(yōu)角如Na=100。,N〃=40。，|Na—N.=60。，則Na和4互為“優(yōu)角”.如

圖，4408=120。，射線。。平分/AQ8,N￡O/在/AO3的內(nèi)部.若NEO9=60。，則圖

20.一副三角板ABC、DBE,如圖1放置，（NO=30。、NB4C=45。），將三角板。跳:繞

點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖2所示，且。。＜/。8七＜90。，有下列四個(gè)結(jié)論：

圖1圖2

①在圖I的情況下，在NDBC內(nèi)作/DBF=NEBF,則B4平分NOB/；

②在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若8必平分N￡＞84,BN平濟(jì)NEBC,NM8N的角度恒為定值;

③在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，兩塊三角板的邊所在直線夾角成90。的次數(shù)為3次；

④ZDBC+ZAI3E的角度恒為1050.

其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

三、填空題

21.如圖，小明利用一副直角三角板繞著直角頂點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)，當(dāng)他旋轉(zhuǎn)至?xí)r,

N84O的度數(shù)為度.

22.如圖，已知4。4=180。,乙4。。=110。，現(xiàn)將射線繞點(diǎn)。順時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，射線

08.0C保持不動(dòng)，當(dāng)射線04與射線08重合時(shí)停止旋轉(zhuǎn).當(dāng)三條射線構(gòu)成的角中有兩個(gè)角

相等（重合除外）時(shí)，射線0A旋轉(zhuǎn)的角度為.

23.定義：從一個(gè)角的頂點(diǎn)引一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)角，并且這兩個(gè)用的度數(shù)之比為

1:2,這條射線叫做這個(gè)角的三分線.顯然，一個(gè)角的三分線有兩條.如N4OB=120。，0C,

是2474的兩條三分線，以點(diǎn)。為中心，將NC8按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)〃。（〃<90）得到

ZCOD,當(dāng)Q4恰好是NC'OD’的三分線時(shí)，〃的值為.

24.一副直角三角板按如圖①放置，點(diǎn)8、O、。在同一直線上，N8="=90。，ZAO8=45。,

ZCOD=60°,VAOB和ACOD同時(shí)以相同的速度繞點(diǎn)0分別向逆時(shí)針?lè)较蚝晚槙r(shí)針?lè)较?/p>

旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)NAO8和NC8的平分線在同一直線上時(shí)，這兩個(gè)三角形都旋轉(zhuǎn)了。.

答案第14頁(yè)，共60頁(yè)

QO

B夕i~o~

圖①圖②

25.定義：如果一個(gè)角內(nèi)部的一條射線將這個(gè)角分成兩個(gè)角，其中一個(gè)角是另一個(gè)角的〃倍，

那么我們將這條射線稱為這個(gè)角的〃+1分位線.例如：如圖1,/MOP=4/NOP,則。P為

NMON的5分位線；4N0Q=44MOQ,則也是4QN的5分位線.

(1)如圖2,點(diǎn)A、。、4在同一條直線上，OC為一條射線，OP,OQ分別為ZAOC與/BOC

的3分位線，"COP>/POA,4COQ>4QOB),Z4OC=150°,則NPOQ=；

(2)如果點(diǎn)A、。、8在同一-條直線上，OC為一條射線，已知射線。W、ON分別為NAOC

與N3OC的5分位線，R/MON=960,則NAOC=.

四、解答題

26.已知。為直線A5上的一點(diǎn)，ZCOE=90°,AB工MN.

圖①圖②圖③

(I)如圖①，以。為觀察中心，射線0A表示正北方向，ON表示正東方，若/CONE。,則

射線OE的方向是」若將射線OC、射線OE繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)至如圖②所示的位置，另一條射線

0/恰好平分NCQM.若NEOF=20。，求乙40/的度數(shù)；

(2)若將射線OC、射線OE繞點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)至如圖③所示的位置，射線O尸仍然平分NCQM,

/CON與NAO尸之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.

27.如圖，點(diǎn)。為直線AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作射線OC,使N8OC=135。，將一個(gè)含45。角

的直角三角尺的一個(gè)頂點(diǎn)放在點(diǎn)。處，斜邊。W與直線AB重合，另外兩條直角邊都在直線

4B的下方.

(I)將圖1中的三角尺繞著點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，如圖2所示，此時(shí)N80M=_；在圖2中，

是否平分NCCW?請(qǐng)說(shuō)明理由；

⑵緊接著將圖2中的三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置所示，使得"V在NAOC的

內(nèi)部，請(qǐng)?zhí)骄浚号cNCQN之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(3)將圖1中的三角板繞點(diǎn)O按每秒5。的速度沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，第

，秒時(shí)，直線ON恰好平分銳角NAOC,貝卜的值為一(直接寫(xiě)出結(jié)果)

答案第16頁(yè)，共60頁(yè)

28.如圖1,把一副三角板拼在一起，邊OA,OC與直線EP重合，其中NAO8=45。,

ZCOZ)=60°,此時(shí)易得N8OD=75。.

(I)如圖2,三角板CO。固定不動(dòng)，將三角板AO8繞點(diǎn)。以每秒5。的速度順時(shí)針開(kāi)始旋轉(zhuǎn)，

在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，三角板A03一直在NEO力的內(nèi)部，設(shè)三角板AO8運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒.

①當(dāng)1=3時(shí)，NBOD=。；

②當(dāng)f為何值時(shí)，ZAOE=4NBOD?

(2)如圖3,在(1)的條件下，若平分/BOE,OV平分NAOQ.

①當(dāng)NAOE=30。時(shí)，AMON=°；

②請(qǐng)問(wèn)在三角板AO8的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，NMON的度數(shù)是否會(huì)發(fā)生變化？如果發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)

明理由；如果不發(fā)生變化，請(qǐng)直接寫(xiě)出NMCW的度數(shù).

29.如圖1,大課間的廣播操展讓我們充分感受到了一種整體的圖形之美，東東和北北想從

數(shù)學(xué)角度分析如何能讓班級(jí)同學(xué)們的廣播操做得更好，他們搜集了標(biāo)準(zhǔn)廣播操圖片進(jìn)行討論,

如圖2,為了方便研究，定義兩手手心位置分別為A,B兩點(diǎn),兩腳腳跟位置分別為C,D

兩點(diǎn)，A,B,C,E,。在同一平面內(nèi)，O為定點(diǎn),且OE垂直水平線/,將手腳運(yùn)動(dòng)看

作繞點(diǎn)。進(jìn)行旋轉(zhuǎn)：

(1)填空：如圖2,A,O,6三點(diǎn)共線，且NAOC=N6OC,則乙4OC=°；

(2)第三節(jié)腿部運(yùn)動(dòng)中，如圖3,東東發(fā)現(xiàn)，雖然A,0,8三點(diǎn)共線，卻不在水平方向上，

3

且乙M)D:/BOC=5:3,求乙40(7--/80。的度數(shù)：

5

⑶第四節(jié)體側(cè)運(yùn)動(dòng)中，如圖4,北北發(fā)現(xiàn)，兩腿張開(kāi)，0E平分NCOD,且NCO/)=30。，

開(kāi)始運(yùn)動(dòng)前4,。，8三點(diǎn)在同一水平線上，04,08同時(shí)繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，3旋轉(zhuǎn)速

度為25。人，03旋轉(zhuǎn)速度為50"s,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為zs,當(dāng)04旋轉(zhuǎn)到與OC重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止.在

運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，請(qǐng)幫助北北用等式表示NA0E與N80Q的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

30.【概念學(xué)習(xí)】定義：從/『(45。＜/。＜90。)的頂點(diǎn)出發(fā)，在角的內(nèi)部作一條射線，若該

射線將Na分得的兩個(gè)角中有一個(gè)角與Na的和為90°,則稱該射線為Na的“分余線”.

圖1圖2

⑴如圖1,408=80。，ZAOC=70°,則射線OC的“分余線”；(填：“是”

或“不是”)

答案第18頁(yè)，共60頁(yè)

⑵若OC平分且OC為的“分余線”，求—AOA的度數(shù)；

(3)如圖2,408=160。，在一人可內(nèi)部作射線OC,0M,使QW為N4O。的平分線，在

N3OC的內(nèi)部作射線0V.使N8ON=2NCON.當(dāng)OC為NMON的“分余線”時(shí)，/BOC=

_____度.

31.【新定義】已知射線OC在—AO4的內(nèi)部，若NAO8,—AOC和—4OC三個(gè)角中有一

個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角度數(shù)的兩倍，則稱射線OC是一〃陽(yáng)的“量尺金線

(I)如圖1,若NAOB中OC是NAOB的“量尺金線”，目.ZAOC>NBOC,則NAOB與NBOC

的數(shù)量關(guān)系為二

0B

圖1

(2)如圖2,若OC平分ZAQ8,試說(shuō)明射線OC是2A04的“量尺金線”;

OB

圖2

(3)如圖3,NMPN=60。.若射線PQ是NM7W的“量尺金線”，求NQPN的度數(shù).

M

N

圖3

32.新定義：如圖I,已知射線OP在NMON的內(nèi)部，圖中共有3個(gè)角：4MON,NMOP和

NPON,若其中有--個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角的度數(shù)的兩倍，則稱射線0P是乙WON的"立信

線

⑴一個(gè)角的平分線這個(gè)角的“立信線”；（填“是''或"不是”）

（2）如圖2,若NMQV=60c,射線OP繞點(diǎn)。從ON位置開(kāi)始.以每秒10。的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，

當(dāng)OP與OV首次成180。時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線。。旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為/秒.求當(dāng)/為何值時(shí)，射線OP

是/MON的“立信線”；

⑶如圖3,射線ON為ZP0D的“立信線”,且/DON=2ZNOP.射線。4、OB分別為/MOP、

NNOD的平分線，請(qǐng)猜想NAOB、/NOP、NMOZ）會(huì)有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理曰；

答案第20頁(yè)，共60頁(yè)

33.【定義概念】

如圖，已知NAO/3,在-4cM內(nèi)部畫(huà)射線OC,得到三個(gè)角，分別為—AOC,NBOC,NAQB,

若這三個(gè)角中有一個(gè)角是另外一個(gè)角的2倍，則稱射線。。為一人OA的“幸運(yùn)線”，例如：圖

中/8OC=2NAOC,射線OC為NAOB的一條“幸運(yùn)線”.（本題中所研究的角都是大于0。且

小于180。的角.）

［閱讀理解］

（1）一個(gè)角的平分線這個(gè)角的“幸運(yùn)線”.（填“是”或“不是”）

［初步應(yīng)用1

（2）若2408=45。，射線。。為-408的“幸運(yùn)線”，求NAOC的度數(shù);

【解決問(wèn)題】

（3）如圖，己知N/UM=60。，射線OM從Q4出發(fā)，以每秒20。的速度繞點(diǎn)0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，

同時(shí)，射線。V從03出發(fā)，以每秒15。的速度繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為犬秒

（0</<9）,若QW,ON,0A三條射線中，一條射線恰好是以另外兩條射線為邊的角的“幸

運(yùn)線”，直接寫(xiě)出所有/的值.

OB

備用圖

《專題與角有關(guān)的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題（4大題型）（專項(xiàng)訓(xùn)練）數(shù)學(xué)北師大版2024七年級(jí)上冊(cè)》參

考答案

題號(hào)1617181920

答案BCBBC

1.（1）35°；

（2）不變，NAOE—N80/=35。是定值，見(jiàn)解析.

【分析】本題考看了角度的計(jì)算以及角的平分線的定義，理解角度之間的和差關(guān)系是解題的

關(guān)鍵.

乙AOEwBO/的值是定值，

（1）首先根據(jù)角平分線的定義求得NAOE=；NAOB=1X1I00=55O,

LL

ZI3OF=-ZCOD=1x4（F=20°,然后求解即可；

22

（2）首先由題意可得NBOC=3/。，再根據(jù)角平分線的定義得出

4OC=NAOB+3產(chǎn)=110°+3/，^BOD=Z.COD+3/°=40°+3r°,然后由角平分的定義解

答即可.

【詳解】（1）解：YOE三分，AOC,O/平分N8OZ）.

???Z.AOE=-Z/4Ofi=-xll0°=55o,匕BOF=-Z.COD=1x40°=20°,

2222

???ZAOE-ZBOF=55°-20°=35°；

（2）解：ZAOE-N3O”=35。是定值.理由如下：

由題意：ZBOC=3t0,

則ZAOC=ZAOB+3/。=110°+3/°,NBOD=NCOD+3/°=40。+3/°,

???。石平分/4OC,OF平分/BOD,

Z/AOE=^ZAOC=^（110o+3ro）=55o+|/°,

ZBOF=iZBOD=1（40c+3/°）=20°+|/°,

/AOE-N8O/=（55。+｝。）一’20。+|/=350.

JNAOE-N3O廠的值是定值，定值為35。.

2.（1）40°；（2）不會(huì)變化，定值為40。；（3）52°

【分析】本題考查了角度的計(jì)算以及角的平分線的性質(zhì)，理解角度之間的和差關(guān)系是關(guān)鍵.

（1）首先根據(jù)角平分線的定義求得和NBOF的度數(shù),然后根據(jù)NAOE-N8O/求解:

答案第22頁(yè)，共60頁(yè)

(2)根據(jù)角平分線的定義得出：乙4OE=g乙4℃=5(120。+力=60。+；工,

NAOE-4B0F=60°+1A-[20°+1x)=40°,然后代入求值即可:

，\乙)

(3)根據(jù)NCOF=12。，ZCOD=40°,求出NDO尸=40。-12。=28。，根據(jù)角平分線的定義

求出N88=N8O尸=28。，ZEOC=-ZAOC=68°,根據(jù)角度間的關(guān)系，求出結(jié)果即可.

2

【詳解】解：(1)?：OE立分NAOC,O尸平分NBOD：N/UM=120。，ZCOD=40°,

ZAOE=-ZAOC=-x]20°=60°,/BOF=-/BOD=1x40°=20°,

2222

ZAOE-ABOF=600-20°=40°；

(2)NAOE-N4O/的值是定值；理由如下:

,//BOC=x,

???ZAOC=ZAO?4-ZBOC=120°+X,ZBOD=40°+x,

?「OE平分NAOC,OF平分/BOD,

???ZAOE=-Z/tOC=-x|120°+x)=60°+-x,

22'72

ZBOF=-ZBOD=-x(40o+x)=20°+-x

22v72f

:.ZAOE-NBOF=60°+-x-f20°+-xl=40°.

2I2J

???N4OE-NH。/的值是定值，定值為40。；

(3)VZCOF=12°,ZCOD=40°,

???ZZX>F=40o-12°=28°,

,/平分NBOD,

/./BOD=NBOF=28°,

ABOC=ABOD-Z.COF=28°-12°=16°,

???ZAOC=ZAOB+/LBOC=12()°+16°=136°,

七平分/AOC,

???NEOC」4OC=68。，

2

???/BOE=NEOC-NBOC=68°-16°=52°.

3.⑴N8尸0=50。

(2)NMPN=135。

(3)4MPN=135°

【分析】本題考查角的和差，角平分線的定義.

(1)根據(jù)/外。=180。-乙婷3-44/>。即可求解；

(2)由ZAP8=90?？傻玫絑APC+N8QD=90。，根據(jù)角平分線的定義，可得

ZAPM+NBPN=45。,進(jìn)而根據(jù)角的和差即可求解：

(3)由N8P￡>=a,44。8=90。求得乙4尸￡)=90。一。，ZAPC=90°+a,根據(jù)角平分線的

定義可得/4尸河=45。+'。，ZDPN=-a,最后根據(jù)4/*7=/4月3+/4尸八+/。卬即

22

可求解.

【詳解】(1)解：???ZAPB=90。，ZAPC=40°

NBPO=180。一ZAP8-Z4PC=180°-90。-40。=50°；

(2)解：VZAP/?=90°,

，ZAPC+/BPD=180°-ZAPB=90°,

?.?PM平分NA尸C,PN平分NBPD,

NAPM=/CPM=-ZAPC,/BPN=ZDPN=1NBPD

22

AAPM+NBPN=-ZAPC+-/BPD=-(ZAPC+NBPD)=-x90°=45°,

222、72

AMPN=ZAPM+ZAPB+/BPN=450+90°=135°：

(3)解：?:乙BPD=a,ZAP/?=90°,

...ZAPD=ZAPB—NBPD=90。一a,

???ZAPC=180o-ZAPD=180°-(90o-a)=90°+a,

尸M平分NAPC,

:.NAPM=|ZAPC=^(90°+a)=45°+ga,

?/PN平■令NBPD,

：.ZDPN=-NRPD=-a,

22

NMPN=/APM+NAPO+NOPN=45°+,。+900-a+1a=135。.

22

4.(1)50

(2)20?；?0?；?0。

⑶①50。；②NMON度數(shù)不發(fā)生變化，為定值65。，理由見(jiàn)解析

【分析】本題主要考查了幾何圖形中角度的計(jì)算，角平分線的定義：

答案第24頁(yè)，共60頁(yè)

(I)直接根據(jù)角之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可；

(2)分當(dāng)08是NDOE的角平分線時(shí)，當(dāng)O力是N80E的角平分線時(shí)，當(dāng)OE是N8OD的

角平分線時(shí)，三種情況討論求解即可；

(3)①NAQE=900-NBOEZBOD=400-ZBOE,則

ZAOE-ZBOD=90°-乙BOE-40°+ZBOE=50°；②先由角平分線的定義得到

ZEON=45°--ZBQE,ZBOM=200--ZBOE,再由

22

ZMON=ZEON+ZBOE+ZBOM即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)解：???4OA=90。，ZDOE=40°,

，當(dāng)射線04,重合時(shí)，ZAOE=ZAOB-ZD()E=5()°,

故答案為：50；

(2)解：如圖2-1所示，當(dāng)OB是NOOE的角平分線時(shí)，則NBOQ=!NOOE=20。；

如圖2-2所示，當(dāng)OQ是N8OE的角平分線時(shí)，則N8OD=N￡QE=40。；

如圖2-3所示，當(dāng)。石是的角平分線時(shí)，則NBOO=2N">E=80°；

綜上所述，N8O。的度數(shù)為20?；?0?；?0。；

H

E

圖2-3

(3)解：①如圖所示，：NAO8=90。，ZZX)E=40°,

/.NAOE=90°-NBOE,/BOD=40°-NBOE,

，NAOE-NBOD=90°-/BOE-40°+/BOE=50°:

A

u

②NMON度數(shù)不發(fā)生變化，為定值65。，理由如下：

???408=90。，ZDOE=40°,

:.ZAOE=90°-NBOE,ZBOD=40°-Z13OE,

,：OM,ON分別是ZBOD和NAOE的平分線，

???/EON=-ZAOE=45°--ZBOE,/BOM=-ZBOD=20°--ZBOE,

2222

/MON=/EON+ZBOE+4BOM=45°--ABOE+ZBOE+20°--ABOE=65°.

22

5.(1)60

(2)NQOE=45Q+；N4OC,理由見(jiàn)解析

【分析】本題主要考查了幾何圖形中角度的計(jì)算，角平分線的定義：

(1)先根據(jù)角之間的關(guān)系得到/反七=60。，再由角平分線的定義得到NCOE=3(T,則

NDOE=NCOD-NCOE=g

(2)仿照(1)求解即可.

【詳解】(1)解：VZA()C=300,ZAOA=90。，

NBOC="OB-ZAOC=60。,

???OE平分NBOC,

答案第26頁(yè)，共60頁(yè)

ZCOE=-ZBOC=30°,

2

*/ZCOD=90°,

ZZX9E=Z.COD-ZCOE=60°,

故答案為：60；

(2)解：ZDOE=45G+-ZAOC,理由如下：

,/ZAOB=90°,

???ZBOC=ZAOB-ZAOC=9()。-ZAOC,

*/OE平分N3OC,

ZCOE=-ZBOC=45°--ZAOC,

22

,/ZCOD=90°,

NDOE=ZCOD-Z.COE=90°45°+-/AOC=45°+-2Aoe.

22

6.(l)NEOD是銳角，NAOC是直角，NEO8是鈍角，NEQ4是平角，

^EOD<ZAOC<ZEOB<ZEOA

(2)ZBOD=NBOC+NCOD

(3)ZEOC=ZEOD+ZDOC,ZEOA=2ZEOC(答案不唯一)

(4)90

【分析】本題考查銳角、直角、鈍角、平角的定義，角度之間的和差關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合的

數(shù)學(xué)思想是解決問(wèn)題的關(guān)灌.

(1)根據(jù)銳角、直角、鈍角、平角的定義，結(jié)合圖形即可求解；

(2)根據(jù)圖形即可求解；

(3)根據(jù)圖形即可求解；

(4)由題意可知/改比>+/。0力=90°,結(jié)合NEOD=N8B,即可得

Z.COB+4COD=乙BOD=90P.

【詳解】(1)解：由圖可知，NEOO是銳角，N4O。是直角，NEO8是鈍角，NEOA是平

角，

則ZEOD<ZAOC<ZEOB<ZEOA；

(2)由圖可知，ZBOD=ZBOC+ZCOD；

(3)由圖可知，/EOC=*OD+^DOC,4EOA=24EOC(答案不唯一)

(4)VZEOC=90°,

，ZEOD+ZCOD=90°,

又；/EOD=/COB,

：.ZCOH+4COD=ZBOD=90°,

故答案為：90.

7.(1)40°

(2)不改變，NEOF=2NEOC,理由見(jiàn)解析

【分析】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)以及角的有關(guān)計(jì)算，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)角的和

差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算.

(1)利用角平分線和圖形尋找出角之間的關(guān)系即可得到結(jié)論；

(2)分兩種情況，找出角之間的關(guān)系即可求出結(jié)論.

【詳解】(1)解：???0。平分/49。，

，ZCOD=-ZAOC=60°,

2

???ZDOE=8(F.

/.ZCOE=/DOE—NCOD=20°,

???ZA<9F=Z40C+ZCO￡=1200+200=140°,

???/BOE=180°-ZAOE=40°；

(2)解：①NDOE在—AOC內(nèi)部時(shí).

令ZAOD=x。，則NOOF=2x°,ZEOF=80°-2.r°,

:.ZEOC=120°-(A-°+2d+80°-2x°)=40。-x°,

:?/EOF=2/EOC；

②乙DOE的兩邊在射線OC的兩側(cè)時(shí).令ZAOD=x。,

則NOOb=2x0,ZDOC=120°-x°,ZEOF=2x°-80°,

AEOC=80°-(120°-^)=y5-40°,

/.乙EOF=24EOC.

綜上可得，/OE和NEOC的數(shù)量關(guān)系不改變，/EOF=2NEOC.

8.(1)150°；35°；

(2)^DAB+ZC4E=I8O°.理由見(jiàn)解析.

(3)乙AOD+N6OC=a+/3,埋由見(jiàn)解析.

答案第28頁(yè)，共60頁(yè)

【分析】(I)根據(jù)三角板的特點(diǎn)及角度和差求解即可；

(2)根據(jù)三角板的特點(diǎn)及角度和差求解即可；

(3)根據(jù)角度和差求解即可；

本題考查了角的運(yùn)算，熟練掌握角度和差運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)由題意可得：ZACD=ZBCE=90°,

,/ZDCE=30°,

???Z4CE=Z/?CD=60°,

，ZACB=NBCE+ZACE=900+60°=150°,

同理：ZACB=ZBCE+ZACE=145°,

/.ZACE=55°,

???ZDCE=35°

故答案為：150°,35°：

(2)ZDAB+ZCAE=\^00,理由：

由題意可知：/BAE=NDAC=90。,

???ZDAE+ZE4C=ZE4C+ZG4B=90°,

???ZDAE+ZE4C+Z.EAC+Z.CAB=180°,

*/NDAB=ZDAE+ZEAC+ZEAC,

二^DAB+/CAE=180°：

(3)4AoD+NBOC=a川理由：

YZAOB=ZAOC+NCOS=a,々COD=NCOB+NBOD=R,

：.ZCOD+ZAOB=NCOB+Z.BOD+ZAOC+/COB=a+fl,

VZAOD=/BOD+ZAOC+NCOB,

???ZAOD+ZBOC=a+fl.

9.(1)/為21

(2)，為22.5秒或24.75秒

【分析】本題考查了三角板有關(guān)的角度計(jì)算，角平分線的定義，

(1)根據(jù)角平分線的定義可得乙4。尸=(/。。/，從而得到三角板ABC旋轉(zhuǎn)的角度，再結(jié)

合三角板A8C運(yùn)動(dòng)的速度即可解題；

(2)根據(jù)ZAb=3N8CD出現(xiàn)的情況分類討論，再根據(jù)43=3/86將4c。與

/DCF-ZACB的結(jié)果關(guān)琰即可求解.

【詳解】（1）解：如圖1,

圖1

/.ZACF=-Z.DCF=-x60°=30°,

22

???旋轉(zhuǎn)的角度為180°-45°-30°=105°,

.?./=105-5=21(秒)，

答：當(dāng)/為21時(shí)，C4平分/ZX*.

(2)解：由題可知：當(dāng)ZAb=3NBC。時(shí)會(huì)出現(xiàn)以下兩種情況:

①如圖2,

圖2

由圖可得：

ZLACF-/BCD=(/DCF-ZACD)一(ZAC8-ZACD)=ZDCF-Z4CB=60°-45°=15°,

又一.NAB=3NBCD,

:.3NBCD-NBCD=\50,/BCD=75°,

???旋轉(zhuǎn)的角度為180。一60。一7.5°=112.5°,

=112.54-5=22.5(秒)，

②如圖3,

答案第30頁(yè)，共60頁(yè)

B

圖3

由圖可得：

ZACF+/BCD=（ZDCF-N4C7））+（N4C。一ZACH）=ZDCF-ZACB=60°-45°=15°,

又ZACF=3/BCD,

3NBCD+/BCD=15°,/BCD=3.75°,

???旋轉(zhuǎn)的角度為180°-60。+3.75。=123.75°,

.?1=123.75+5=24.75（秒），

答：當(dāng)/為22.5秒或24.75秒時(shí)，ZACF=3ABCD.

10.（1）75°

⑵L5

「27

⑶/=-----+—

102

【分析】本題考查了解一元一次方程，角平分線的定義，幾何圖形中的角度計(jì)算；

（1）根據(jù)角平分線的定義可得NQOE=：NCOO=45。，根據(jù)題意得乙40。=6乂10。=60。，

進(jìn)而根據(jù)補(bǔ)角的定義求得/80Q,根據(jù)/反羽=NK8+N/X?A,即可求解；

（2）根據(jù)（1）的方法得出/反出兒）+NZX出=45。+（90-10/）。，將N反必=120。代

入，解一元一次方程，即可求解；

（3）根據(jù)（2）可得NEO8=NEOD+NZX出=45。+（90-10/）0,將/反犯=〃介代入，解關(guān)

于/的一元一次方程，即可求解.

【詳解】（1）解：???/。。。=90。，OE為NCOD的角平分線，

???/DOE=-ZCOD=45°,

2

??,NCOD從初始位置旋轉(zhuǎn)6秒，

，ZAOC=6x10°=60°,

/.ZAOD=ZAOC+COD=60o+90o=150°,

，/DOB=180°-ZAOD=30°,

/.Z.EOB=NEOD+NDOB=450+30°=75°,

(2)解：VZCOD=90°,?！隇镹COQ的角平分線，

JZ.DOE=-Z.COD=45°,

2

??,NCOD從初始位置旋轉(zhuǎn)i秒，

???ZAOC=rxlO°=10f°,

JZAOD=ZAOC+COD=10r°+90°,

ZDO^=180°-ZAOD=(90-10/)°,

???ZEOB=AEOD+ZDOB=45°+(90-10r)°,

,/ZEOB=120°,

；?45+90—10"120,

解得：z=1.5；

(3)解：由(2)可得NEO3=NEOD+NZX由=45。+(90-10/)。，

4EOB=[$、

工45+90-10/=/〃，

AJJZHm27

解得iFT

故答案為：--+y.

11.(1)①142。；30。；②ZAC8+NE6I80。，理由見(jiàn)解析；(2)①/647+/八4尸=120。，

理由見(jiàn)解析；②f為3秒或21秒

【分析】本題考查了三角板中角度的計(jì)算、垂直的定義，仔細(xì)觀察圖形，根據(jù)圖形得出各角

之間的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵.

(1)①根據(jù)角的和差關(guān)系即可求解；②根據(jù)角的和差關(guān)系即可得出結(jié)論；

(2)①根據(jù)角的和差關(guān)系即可得出結(jié)論；②