中考幾何模型

專(zhuān)題03一線三垂直模型構(gòu)造全等三角形

【專(zhuān)題說(shuō)明】

一線三垂直問(wèn)題，通常問(wèn)題中有一線段繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90。，或者問(wèn)題中有矩形或正方形的情況下考慮，作輔

助線，構(gòu)造全等三角形形或相似三角形，建立數(shù)量關(guān)系使問(wèn)題得到解決。

【知識(shí)總結(jié)】

過(guò)等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)或者正方形直角頂點(diǎn)的一條直線。

過(guò)等腰直角三角形的另外兩個(gè)頂點(diǎn)作該直線的垂線段，會(huì)有兩個(gè)三角形全等（AAS）

常見(jiàn)的兩種圖形:

圖1圖2

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1、如圖，在直角梯形48c。中，AD//BC.ABVBC^D=2,803,設(shè)/8CZ＞a,以。為旋轉(zhuǎn)中心，將腰。C

繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至DE..

當(dāng)a=45。時(shí)，求△口￡）的面積.

當(dāng)a=30。時(shí)，求的面積

當(dāng)0。＜。＜90。，猜想△￡4。的面積與a大小有無(wú)關(guān)系，若有關(guān)，寫(xiě)出△口￡＞的面積S與a的關(guān)系式，若無(wú)

關(guān)，請(qǐng)證明結(jié)論.

解析：?:AD〃BC,DGLBC

：.NG力產(chǎn)=90。

又；ZEDC=90°

AZ1=Z2

在△CGQ和AEFD中

ZDGC=ZDFE

Z1=Z2

CD=DE

:?△DCGq4DEF

:,EF=CG

?：AD〃BCIBLBC,

AD=2,BC=3

：,BG=AD=2

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???CG=1,EF=\,的面積與a無(wú)關(guān)

2、如圖，向△力8。的，外側(cè)作正方形出心旦正方形力CFG,過(guò)力作力〃_L4C于〃，4/的反向延長(zhǎng)線與EG

交于點(diǎn)P，求證：BC=2AP

BHC

解析：過(guò)點(diǎn)G作GMVAP于點(diǎn)M過(guò)點(diǎn)E作ENtAP交AP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N

E

???四邊形AC下G是正方形

：,AC=AG^CAG=90°

:.^CAH+ZACH=90°

:.ZACH=ZGAM

在△4C”和△G4K中

ZAHC=ZGMA

NACH=NGAM

AC=GA

:.fCg^GAM

:?CH=AM"H=GM

同理可證△48〃絲△￡>!",4EPNQ2GPM：.NP=MP

/.BC=BH+CH=AN+AM=AP+PN+AP-PM=2AP

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3、已知：在△48C中，ZBAC=90°,AB=AC,4E是多點(diǎn)4的一條直線，且于。，CE_L4￡于點(diǎn)

￡當(dāng)直線力￡處于如圖1的位置時(shí)，有BO=O￡+C旦請(qǐng)說(shuō)明理由.當(dāng)直線4E處于如圖2的位置時(shí)，則4。、

DE、CE的關(guān)系如何？請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析：(1)*：BD1AE,CE1AE

，NBDA=N4EC=9。。

：,NABD+/BAD=90。

*//歷1C=9O。

ZBAJ)+ZEAC=90°

:.ZABD=ZEAC

在AABD和△(??!￡中

N/DB=NCE4=90。

N/iBD=NEAC

AB=CA

???MBD//XCAEIAAS)

AD=CE,BD=AE

?:幺E=AD+DE

：.BD=DE+CE

(2)在△44。和△C/K中

/幺DB=NCE4=900

AB=CA

???△ABD/ACAE(AAS)

：.AD=CE.BD=AE

*：AE=DE-AD

：,BD=DE-CE.

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4、如圖，在△48。中，N48C=45。,點(diǎn)尸是△48C的高40、BE的交點(diǎn),已知CO=L,AF=2,則線段8C

的長(zhǎng)為（）

解析:???力。是△力8c的高

???408=90。

,/NABC=45。

，NB4D=45。

???NABC=NBAD

：,AD=BD

*：ZCAD+ZAFE=90°,NC/O+/G90。，/AFE=NBFD

???NAFE=NC

在△8。Q和△力。C中

NCAD=NFBD

AD=BD

NBDF=NADC

:.△BDFQAADCCASA)

：.DF=CD=4

/.AD=AF^-DF=2+4=6=BD

???8C=4O+CD=6+4=10

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5、如圖所示，直線a經(jīng)過(guò)正方形48CZ）的頂點(diǎn)4分別過(guò)頂點(diǎn)8,。作。￡_La于一點(diǎn)凡若DE=4,BF=3,

則的長(zhǎng)為（）

解析：???力88是正方形，：.AB=AD,ZABC=ZBAD=90°

VZBAF+ZABF=ZBAF+ZDAE,：?/ABF=/DAE

在AAFB和△4￡/)中，NABF=/DAE,/4FB=/AED/B=AD

???AAFB^AAED

，月F=DE=4,BF=AE=3

：,EF=AF+AE=4+3=1

6、如圖，矩形48co中，E在4）上，且EFLEC,EF=EC,DE尸2,矩形的周長(zhǎng)為16,則月E的長(zhǎng)是（）

解析：???矩形月8CO中，EFA.EC,

；?NDEC+NDCE=90。,ZDEC+ZAEF=90°,:?NAEF=NDCE,

又,：EF=EC,:,△AEF%ADCE(AAS),：.AE=CD

???矩形的周長(zhǎng)為16,即28+2/7)=16,

???8+40=8

.：,AD-2+AD=S

AD=5

：.AE=AD-DE=5-2=3.

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7、如圖，在△48。中，N力=90。，48=4C,N48。的平分線8。交/。于O,C￡_L8。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,求

證：CE^BD

解析：延長(zhǎng)CE、8/相交于點(diǎn)尸.

???NEBF=NACF.

又?：AB=AC,NB心NCAF

:,小ABD安4ACF(ASA)

：.BD=CF

在和在中，NEBF=/CBE,BE=BE,ZCEB=ZFEB

???△BCEgABFEIASA)

：.CE=EF

：..CE^CF=^BD

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【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

1、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰有兩個(gè)頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，求第三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).

解析:

⑴過(guò)點(diǎn)B作BDlx軸于點(diǎn)

??.NBCD+/DBC=90。

由等腰可知，BC=4C,N4cB=90°

/.Z5CD+ZJC0=90o

???ZDBC=ZACO

iEABCD和△C/O中

ZBDC=ZAOC

NDBC=NACO

BC=AC

/.△5CD^AC/4O

：,CD=OA,BD=OC

(2)的證明方法一樣

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2、已知點(diǎn)尸為N￡4/平分線上一點(diǎn)，PBUE于點(diǎn)B,PCA^F于C,點(diǎn)M、N分別是射線力￡、Z/上的

點(diǎn).

如圖1,當(dāng)點(diǎn)"在線段4?上，點(diǎn)N在線段/4C的延長(zhǎng)線上，且尸M=PM求證8W=CN.

在（I）的條件.下，直接寫(xiě)出線段4”、CN與/C的數(shù)量關(guān)系

解析：

(1);點(diǎn)。為/以產(chǎn)平分線上一點(diǎn)，P于民PCJ_月少于C,

：,PB=PC

在RtAPBM和RtAPCN中

PB=PC

PM=PN

:?RMBM/R3CN

:.RM=CN

(2)在R1APBA和R/APCJ中

PB=PC

AP=AP

；?RMB償R(APG4

二?AB=AC

???AM+CN-AM+BM-AB-AC

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3、如圖，在△48。中，AB=AC=2,NB=/C=40。，點(diǎn)。在線段8c上運(yùn)動(dòng)(。不與8c重合)，連接4Z),

作ZADE=40°tDE交線段AC于點(diǎn)E.

當(dāng)DC等于多少是，△/4。g△￡>("?請(qǐng)證明你的結(jié)論.

解析：

???ZZ?=40°

I.NBAD+NBD力=140°

N4DE=4。。

；?NCDE+NBD4=140。

/.4BAD=/CDE

在△力8。和△￡)(?￡：中

N8=NC

ZBAD=ZCDE

AB=DC

：,△ABgADCE

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4、如圖，在△力8c中，/B=4C,N4=9()。，點(diǎn)。在線段4C上，NBDE4NC,BE上DE,垂足為E,DE與AB

交千點(diǎn)尸，求證：BE^DF.

解析：過(guò)點(diǎn)。做。G〃彳C交8E的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G

8E與O”的延長(zhǎng)線交于G點(diǎn)，如圖，

'：DH//AC,NBDH=/C=45。

.：?〉HBD為等腰直角三角形

:.HB=IID,而N￡8尸=22.5。

???NEO84NC=22.5。

:,DE平分NBDG

WDELBG,???BE=GE,即BE等BG

*/ZDFH+4FDH=Z.G+/FDH=90。,ZDFH=ZG

/GBH=9。。-NG,NFDH=9。。-NG

???2GBH=/FDH

/(；/DHI

在△8GH和△。/77中，,/(；"〃=/#7"/,:?△BGHQADFH(AA5),：..BG=DF.

HU1)1/

：,BE=^FD

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5、已知在等腰直角△力8C中，N84C=90。，是力。邊上的點(diǎn)，4FJ_BE交BC于點(diǎn)、D、如果AE=CD

證明:BF平分N4BC

證明:AB+AE=BC

解析:(1)作力C的垂線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,易證BAEW4ACM(AS.A)得CM=4E=CD

A/

：?/M=NCDM=/AEB=NBAD,AB=BD,二8廠平分乙48。(等腰三角形三線合一)

(2)AB+AE=BD+DC=BC

【鞏固提升】

1、如圖，AB上BD于點(diǎn)、B,CDLBD于點(diǎn)、D,P是BD上一點(diǎn),且4P=PC/P_LPG求證：△ABPWdPDC

解析：?:AP1PC,：,N4PB+NCPD=90。,

?:月BLBD于點(diǎn)B,CDLBD于點(diǎn)

。,，/8=/止90°

/.NCPD+NPCD=90°,；?NAPB=/PCD,又AP=PC,：.△力8尸名△尸。C

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2、如圖，二次函數(shù)1N+bx+c的圖象與％軸交于點(diǎn)力（.1,0）和點(diǎn)8（3,0）,與），軸交于點(diǎn)N,?以力8

為邊在x軸上作正方形48CQ,點(diǎn)夕是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接CP,過(guò)點(diǎn)尸作CP的垂線與y軸交于點(diǎn)￡。

（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段08（點(diǎn)〃不與O,8重合）上運(yùn)動(dòng)至何處時(shí)，線段O月的長(zhǎng)有最大值？并求出這個(gè)最大

值；

（3）在第四象限的拋物線上任取一點(diǎn)M,連接MM請(qǐng)問(wèn)：的面積是否存在最大值？若存在

（2）通過(guò)同?角的余角相等得NEP0=/PC4,NEOP=/P8C-90。,得△EPOs/\p（；8,所以］中正,設(shè)

13139

OE=y,QP=x,則產(chǎn)—x=_—（x--）2+—（0<r<3）

444216

I39

又?<0,所以當(dāng)x=時(shí)，0￡有最大值為。

4216

⑶過(guò)點(diǎn)M作MG//y軸，交BN于點(diǎn)G,

設(shè)M（也〃尸-2〃?-3）。由N、B兩點(diǎn).可求得直線BN的解析式：

Y=x-3,可得G（嘰〃?-3）,

一I3327

貝ijGM=-m1+3m?所以54MB卡—>（-加+3〃?）x3=-—（加--）2+—.

2228

315

當(dāng)"（,-）時(shí)，△8WV的面積取得最大值。

24

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3、如圖，直線產(chǎn)?3x+3與x軸、y軸分別交于48兩點(diǎn)，拋物線產(chǎn)與直線產(chǎn)。分別交卜軸的正半

軸干點(diǎn)。和第一象限的點(diǎn)P，連接尸4,得4PCBgABOA(0為坐標(biāo)原點(diǎn))。若拋物線與x軸正半軸交點(diǎn)為

點(diǎn)F,設(shè)M是點(diǎn)C,F間拋物線上的.一點(diǎn)(包括端點(diǎn))，其橫坐標(biāo)為利

(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)和拋物線的解析式；

(2)當(dāng)，〃為何值時(shí)，△河4月的面積S取得最小值和最大值？請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)求滿足NM尸0=/尸0力的點(diǎn)M的坐標(biāo)。

解析：(1)由△尸可得尸C=O8=3,8C=O%=1,所以P(3,4),(0,4).將P(3,4),C(0,4)代

入解析式得，b=3,c=4,所以拋物線產(chǎn)?/+3%+4。

(2)過(guò)點(diǎn)A/作MNJ_x軸..，垂足為M則“41也=5梯形代入整理得；卡-(吁3)

2

II

2+5,又知，03彩4,且。=-一<0,所以當(dāng)加=3時(shí)，有最大值為5,當(dāng)m=0時(shí)，面積最小為一。

22

(3)此間分兩種情況①當(dāng)M點(diǎn)在OP左側(cè)，當(dāng)NMPO=NPO力時(shí)，M點(diǎn)與P里合，此時(shí)M(0,4).②當(dāng)M

點(diǎn)在O尸的右側(cè)，當(dāng)NMPO=N〃O彳時(shí)，有PG=OG,設(shè)G(x,0)

25

(4)由勾股定理得PG2=(x-3)斗16,所以爐=(六3)2+16,解得X=L，這樣可求得尸M的解析式：

6

24HM)2412*1

Y=--x+二口與y=-x1+3x+4建立方程組可求得;W(—,—)

?749

24⑵

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4、如圖，線段48=8,射線8GLi8,尸為射線8G上一點(diǎn)，以ZP為邊作正方形4PCQ,且點(diǎn)C、。與點(diǎn)8

在兩側(cè)，在線段。尸上取一點(diǎn)E,使N&4P=NB4P,直線“'與線段相交于點(diǎn)尸(點(diǎn)少與點(diǎn)AB不

重合)。

(1)求證：△AEPqACEP；

(2)判斷C尸與48的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.；

(3)求的周長(zhǎng)。

解析：(1)???四邊形4PCO是正方形，QP是對(duì)角線，，根據(jù)S/S可證△4EPg/\C￡P(guān)。

(1)過(guò)C作CN人BP交BP于點(diǎn)、N,這樣就構(gòu)造出一線三垂直基本圖形，由41S容易證△力8尸且△PNC,???

NPAB=NCPN；：AAEPqACEP,：.NP4E=NPCE

(2)又NEAP=NBAP,：.NCPN=NPCE,：.CF〃BN,

(3)f：BG1AB,：，CFLAB.

(4)b的周長(zhǎng)=4七+4戶(hù)'+EF；

又AE=CE,￡E+EF=PN+PB,PB=CN=FB,PN=AB

:.^AEF的周^=AB+FB+AF'=2AB=16.

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5、如圖，在四邊形力8EG中，46=10,BF=4,N8=60。，設(shè)4E=x,AG=y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式。

解析：過(guò)點(diǎn)尸作尸。垂足為D,

???/8=60。出尸=4,工DF=2\3,08=2

??"。=8,由4E=x得。E=8-x。由一線三垂直，知叢AEGS^DFE、：.=’