第9章無窮級數(shù)CONTENTS常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)9.1常數(shù)項級數(shù)及其斂散性9.2冪級數(shù)9.3函數(shù)的冪級數(shù)展開9.4應用示例9.5數(shù)學實驗9.6泰勒是英國數(shù)學家，1685年8月18日出生于埃德蒙頓；1731年12月29日卒于倫敦.泰勒出生在富裕的家庭，經(jīng)常有音樂家、藝術家來往，使他自幼就受到了良好的音樂藝術上的感染與熏陶.他1705年進入劍橋大學圣約翰學院學習，1709年畢業(yè)并獲法學學士學位，隨后移居倫敦.由于他在英國《皇家學會會報》上發(fā)表了一系列高水平的論文而嶄露頭角.27歲時當選為英國皇家學會會員，1714年獲法學博士學位，1714—1718年任皇家學會秘書，這也是他的科研成果最多產(chǎn)的時期.為解決牛頓與萊布尼茨關于微積分發(fā)明權(quán)之爭的問題，他被任命為仲裁委員會委員.泰勒以微分學中將函數(shù)展開成冪級數(shù)的定理著稱于世.這條定理大致可以敘述為：函數(shù)在一個點的鄰域內(nèi)的值可以用函數(shù)在該點的值及各階導數(shù)值組成的冪級數(shù)表示出來.泰勒1715年出版了《增量法及其逆》，在本書中“他力圖搞清微積分的思想，但把自己局限于代數(shù)函數(shù)與代數(shù)微分方程”.這本書發(fā)展了牛頓的方法，并奠定了有限差分法的基礎.在這本書中載有現(xiàn)在微積分教程中以他的姓氏命名的單元函數(shù)的冪級數(shù)展開公式，這個公式是他通過對格雷戈里牛頓插值公式求極限而得到的.泰勒閱讀與欣賞用現(xiàn)在的標準衡量，證明有失嚴格，和他同時代人一樣，他沒有認識到處理無窮級數(shù)時，必須先考慮它的收斂性.對此，德國著名數(shù)學家克萊因（Klein）曾評注道：“無先例的大膽地通過極限”“泰勒實際上是用無窮下（微分）進行運算，同萊布尼茨一樣認為其中沒有什么問題.有意思的是，一個20多歲的年輕人，在牛頓的眼皮底下，卻離開了他的極限方法.”另外，泰勒定理的重要性最初并未引起人們的注意，直到1755年歐拉把泰勒定理用于他的微分學時才認識到其價值；稍后拉格朗日用帶余項的級數(shù)作為其函數(shù)理論的基礎，進一步確認了泰勒級數(shù)的重要地位.他把這一定理刻畫為微積分的基本定理.泰勒定理的嚴格證明是在定理誕生一個世紀之后，由柯西給出的.“泰勒級數(shù)”這個名詞大概是由瑞士數(shù)學家呂利埃（L’Huillier）在1786年首先使用的，特別是在“1880年，維爾斯特拉斯又把泰勒級數(shù)引進為一個基本概念，用現(xiàn)代術語來講，泰勒級數(shù)是解析函數(shù)芽”.泰勒也以函數(shù)的泰勒展開式而聞名于后世.泰勒對數(shù)學發(fā)展的貢獻，本質(zhì)上要比那個以他的姓氏命名的級數(shù)大得多，他涉及的、創(chuàng)造的但未能進一步發(fā)展的主要概念之多非常驚人.然而泰勒的寫作風格過于簡潔，從而令人費解.這也是他的許多創(chuàng)見未能獲得更高聲譽的一個原因.泰勒閱讀與欣賞9.1常數(shù)項級數(shù)的

概念和性質(zhì)視頻講解——無窮級數(shù)的概念9.1.1常數(shù)項級數(shù)的概念

9.1.1常數(shù)項級數(shù)的概念

9.1.1常數(shù)項級數(shù)的概念

9.1.1常數(shù)項級數(shù)的概念

9.1.1常數(shù)項級數(shù)的概念

9.1.1常數(shù)項級數(shù)的概念

9.1.1常數(shù)項級數(shù)的概念級數(shù)的和都存在嗎?如果不是,那么什么情況下,級數(shù)的和才存在?思考

9.1.1常數(shù)項級數(shù)的概念【例9-3】判定級數(shù)的斂散性.解

由例9-1知，等比級數(shù)和均收斂.又由性質(zhì)9.1知，級數(shù)收斂.再由性質(zhì)9.2知，級數(shù)收斂.【例9-4】已知級數(shù)收斂，證明級數(shù)是發(fā)散的.解用反證法，假設級數(shù)是收斂的.由性質(zhì)9.2可知，級數(shù)

是收斂的.而根據(jù)級數(shù)收斂的定義可知，級數(shù)是發(fā)散的.得出矛盾，于是假設不成立.故級數(shù)是發(fā)散的.9.1.1常數(shù)項級數(shù)的概念

9.1.1常數(shù)項級數(shù)的概念

9.1.1常數(shù)項級數(shù)的概念

9.1.1常數(shù)項級數(shù)的概念收斂級數(shù)去括號后所成的級數(shù)不一定收斂例如,

（1-1）＋（1-1）＋…收斂

1-1＋1-1＋…發(fā)散注意【例9-5】判斷下列級數(shù)的斂散性.解

（1）因為由性質(zhì)9.5知該級數(shù)發(fā)散.（2）因為由性質(zhì)9.5知該級數(shù)發(fā)散.9.1.1常數(shù)項級數(shù)的概念如果級數(shù)收斂，但級數(shù)發(fā)散，那么級數(shù)一定發(fā)散嗎？為什么？思考9.2常數(shù)項級數(shù)

及其斂散性

9.2.1正項級數(shù)

9.2.2正項級數(shù)的審斂法視頻講解——比較判別法

9.2.2正項級數(shù)的審斂法

9.2.2正項級數(shù)的審斂法

9.2.2正項級數(shù)的審斂法

9.2.2正項級數(shù)的審斂法視頻講解——比較判別法的極限形式

9.2.2正項級數(shù)的審斂法

9.2.2正項級數(shù)的審斂法【例9-11】判斷下列級數(shù)的斂散性.解（1）因為收斂，根據(jù)定理9.3可知，級數(shù)收斂.（2），由推論9.3可知，級數(shù)收斂.9.2.2正項級數(shù)的審斂法

9.2.2正項級數(shù)的審斂法視頻講解——比值判別法

9.2.2正項級數(shù)的審斂法

9.2.3交錯級數(shù)

9.2.3交錯級數(shù)

9.2.3交錯級數(shù)

9.2.4絕對收斂與條件收斂9.3冪級數(shù)

9.3.1函數(shù)項級數(shù)的概念

9.3.1函數(shù)項級數(shù)的概念

9.3.2冪級數(shù)及其收斂性

9.3.2冪級數(shù)及其收斂性

9.3.2冪級數(shù)及其收斂性3.冪級數(shù)的收斂半徑的求法定理9.9

對于冪級數(shù)，如果有，則它的收斂半徑為9.3.2冪級數(shù)及其收斂性

9.3.3冪級數(shù)的性質(zhì)9.4函數(shù)的

冪級數(shù)展開

9.4.1泰勒級數(shù)

9.4.1泰勒級數(shù)

9.4.1泰勒級數(shù)

9.4.1泰勒級數(shù)

9.4.1泰勒級數(shù)

9.4.1泰勒級數(shù)

9.4.1泰勒級數(shù)

9.4.1泰勒級數(shù)1.直接展開法利用麥克勞林公式將函數(shù)f（x）展開成冪級數(shù)的方法，稱為直接展開法.2.間接展開法從已知函數(shù)的展開式出發(fā)，利用冪級數(shù)的運算規(guī)則得到所求函數(shù)的展開式的方法稱為間接展開法.9.4.1泰勒級數(shù)9.5應用示例——投資費用問題

9.5.1問題提出

9.5.2解答過程

9.5.2解答過程9.6數(shù)學實驗九使用MATLAB求級數(shù)之和9.6.1實驗任務學習利用數(shù)學軟件MATLAB求級數(shù)之和.9.6.2實驗過程1.相關命令用MATLAB命令實現(xiàn)級數(shù)求和的命令說明如下表所示.9.6數(shù)學實驗九命令說明symsum（f,k,k1,k2）

9.6數(shù)學實驗九

操作實例2求級數(shù)的和.解

運行MATLAB，在命令行窗口中輸入;>>symsn>>f=1/（（3*n-2）*（