第9題雙紐線綜合問題（一題多解）【遼寧省名校聯(lián)盟2025屆高三12月聯(lián)合檢測】如圖，曲線C稱為“雙紐線”，其對稱中心在坐標(biāo)原點O，且C上的點滿足到點，和的距離之積為定值，則（

）A．若，點在曲線C上B．若，曲線C的方程為C．若，曲線C上點的縱坐標(biāo)的最大值為1D．若點在上，則

直接根據(jù)定義驗證可判定A項；利用兩點距離公式化簡計算軌跡方程即可判定B項；結(jié)合B的結(jié)論及判別式法并驗證特殊情況可判定C項；利用平方式的意義及軌跡方程的變形可判定D項.易知原點在曲線上，．對于A項，當(dāng)時，設(shè)曲線與軸正半軸相交于點，則，解得，故A項正確；對于B項，設(shè)曲線上任意一點坐標(biāo)為，則，得，則，所以，即，故B項錯誤；對于C項，由，得，則，所以，即，得，由方程有解得，所以，即，當(dāng)時，，故C項正確；對于D項，角度一、由，得，所以點在上時成立，故D項正確．角度二、由曲線C的方程得，．故選ACD項．（2024·河北石家莊·模擬預(yù)測）1．如圖，曲線C過坐標(biāo)原點O，且C上的動點滿足到兩個定點，的距離之積為9，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．若直線與曲線C只有一個交點，則實數(shù)k的取值范圍為C．周長的最小值為12D．面積的最大值為【答案】AD【分析】求解曲線方程后，利用過原點求得，可判斷A；聯(lián)立方程組，結(jié)合其解唯一求出k的范圍，可判斷B；利用基本不等式求解的范圍，即可求解周長范圍，判斷C；根據(jù)面積公式，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可判斷D.【詳解】由定義，即，即，該曲線過原點，所以，又，所以，故選項A正確；故方程為，所以曲線C的方程為，直線與曲線：必有公共點，因此若直線與曲線只有一個交點，則只有一個解，即只有一個解為，即時，無解，故，即實數(shù)的取值范圍為，故B錯誤；由，僅當(dāng)時等號成立，此時點P在的垂直平分線上，故點P與原點O重合，不能形成三角形，所以，所以周長，等號取不到，故C錯誤；，當(dāng)且僅當(dāng)，等號成立，此時點P的縱坐標(biāo)為，方程可化為，令，則方程，由判別式，可得，故面積能取到最大值，故D正確.故選：AD【點睛】方法點睛：已知直線與曲線交點個數(shù)求參數(shù)值(取值范圍)問題，通常將直線方程代入曲線方程轉(zhuǎn)化為一元方程根的情況研究，再結(jié)合方程類型變形建立不等式，通過解不等式確定參數(shù)范圍，但也要注意變形過程中的等價處理.如復(fù)合方程通過整體換元轉(zhuǎn)化為簡單方程來研究時，不能忽視求解新元的范圍；高次方程因式分解轉(zhuǎn)化為低次方程來研究時，要注意幾個低次方程之間的重根討論；分式方程化為整式方程研究時，分母是否為0的分類討論；無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程時，被開方數(shù)的限制條件等.（24-25高三上·河南·開學(xué)考試）2．雙紐線是卡西尼卵形線的一類分支，在數(shù)學(xué)曲線領(lǐng)域占有至關(guān)重要的地位，同時也具有特殊的有價值的藝術(shù)美.它既是形成其它一些常見的漂亮圖案的基石，也是許多藝術(shù)家設(shè)計作品的主要幾何元素.雙紐線的圖形輪廓像阿拉伯?dāng)?shù)字中的“8”，如圖曲線是雙紐線，下列說法正確的是（

）A．曲線的圖象關(guān)于原點對稱B．曲線經(jīng)過7個整點（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）C．曲線上任意一點到坐標(biāo)原點的距離都不超過3D．若直線與曲線只有一個交點，則實數(shù)的取值范圍為【答案】ACD【分析】選項A，由曲線上任一點關(guān)于原點的對稱點適合曲線方程可判斷；選項B，利用換元法轉(zhuǎn)化為二次方程，通過判別式得出范圍，再賦值求解整點的坐標(biāo)即可；選項C，利用已知方程變形，根據(jù)有界性結(jié)合兩點間距離公式可判斷；選項D，聯(lián)立直線y＝kx與曲線C研究方程根的情況即可．【詳解】A項，設(shè)曲線上任意一點，則坐標(biāo)滿足曲線方程，即方程成立，可得成立，即點關(guān)于原點的對稱點也適合曲線方程，所以曲線的圖象關(guān)于原點對稱，故A正確；B項，方程可化為，令，則方程，由判別式，可得，若是整數(shù)，則.令，，解得或3或，有三個整點，，；令，，解得或5，此時無整點；所以曲線共經(jīng)過3個整點，故B錯誤；C項，設(shè)曲線C上任一點，當(dāng)為原點時，到原點的距離為，滿足題意；當(dāng)不為原點時，，則由可得，，所以點到原點的距離，且；綜上，曲線C上任一點到原點的距離都不超過3，故C正確；D項，直線恒過原點，且曲線C經(jīng)過，則直線與曲線至少一個公共點，又與曲線C只有一個公共點，故除原點外無其他公共點.聯(lián)立，消得，當(dāng)時，方程僅一解，滿足題意；當(dāng)時，當(dāng)時，方程恒成立，即恒有一解，當(dāng)時，方程化簡得，即當(dāng)時，方程無解，滿足題意；綜上，，解得或，故D正確.故選：ACD.【點睛】方法點睛：已知直線與曲線交點個數(shù)求參數(shù)值(取值范圍)問題，通常將直線方程代入曲線方程轉(zhuǎn)化為一元方程根的情況研究，再結(jié)合方程類型變形建立不等式，通過解不等式確定參數(shù)范圍，但也要注意變形過程中的等價處理.如復(fù)合方程通過整體換元轉(zhuǎn)化為簡單方程來研究時，不能忽視求解新元的范圍；高次方程因式分解轉(zhuǎn)化為低次方程來研究時，要注意幾個低次方程之間的重根討論；分式方程化為整式方程研究時，分母是否為0的分類討論；無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程時，被開方數(shù)的限制條件等.對于C項，由軌跡方程消元結(jié)合基本不等式可判定或消元后利用二次函數(shù)的性質(zhì)計算即可.對于C，角度一、當(dāng)時，曲線C的方程為，，，當(dāng)時，可取“＝”，曲線C上點的坐標(biāo)最大值為1；角度二、由得，令，，縱坐標(biāo)最大值為1．3．“臉譜”是戲曲舞臺演出時的化妝造型藝術(shù)，更是中國傳統(tǒng)戲曲文化的重要載體．如圖，“臉譜”圖形可近似看作由半圓和半橢圓組成的曲線C．半圓的方程為，半橢圓的方程為．則下列說法正確的是（

）A．點A在半圓上，點B在半橢圓上，O為坐標(biāo)原點，OA⊥OB，則△OAB面積的最大值為6B．曲線C上任意一點到原點的距離的最大值與最小值之和為7C．若，P是半橢圓上的一個動點，則cos∠APB的最小值為D．畫法幾何的創(chuàng)始人加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：橢圓中任意兩條互相垂直的切線，其交點都在與橢圓同中心的圓上．稱該圓為橢圓的蒙日圓，那么半橢圓擴充為整個橢圓：后，橢圓的蒙日圓方程為【答案】ABD【分析】選項A，易得，，從而判斷；選項B根據(jù)橢圓的性質(zhì)解決橢圓中兩點間距離問題；選項C由橢圓定義可得到|PA|、|PB|之和為定值，由基本不等式可以得到、|PB|乘積的最大值，結(jié)合余弦定理即可求出cos∠APB的最小值；選項D中分析蒙日圓的關(guān)鍵信息，圓心是原點，找兩條特殊的切線，切線交點在圓上，求得圓半徑得圓方程．【詳解】解：對于A，因為點A在半圓上，點B在半橢圓上，O為坐標(biāo)原點，OA⊥OB，則，，則，當(dāng)位于橢圓的下頂點時取等號，所以△OAB面積的最大值為6，故A正確；對于B，半圓上的點到點的距離都是，半橢圓上的點到點的距離的最小值為，最大值為，所以曲線C上任意一點到原點的距離的最大值與最小值之和為7，故B正確；對于C，是橢圓的兩個焦點，在△PAB中，，由余弦定理知：，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以cos∠APB的最小值為，故C錯誤；對于D，由題意知：蒙日圓的圓心O坐標(biāo)為原點(0，0)，在橢圓：中取兩條切線：和，它們交點為，該點在蒙日圓上，半徑為此時蒙日圓方程為：，故D正確．故選：ABD．4．2021年3月30日，小米正式開始啟用具備“超橢圓”數(shù)學(xué)之美的新logo.設(shè)計師的靈感來源于曲線C：.其中星形線E：常用于超輕材料的設(shè)計.則下列關(guān)于星形線說法正確的是（

）A．E關(guān)于y軸對稱B．E上的點到x軸、y軸的距離之積不超過C．E上的點到原點距離的最小值為D．曲線E所圍成圖形的面積小于2【答案】ABD【分析】A由、均在曲線上即可判斷；B應(yīng)用基本不等式即可判斷；C由，結(jié)合立方和公式及B的結(jié)論即可判斷；D根據(jù)與圖形的位置關(guān)系判斷.【詳解】若在星形線E上，則也在E上，故E關(guān)于y軸對稱，A正確；由，則當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，B正確；由，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故E上的點到原點距離的最小值為，C錯誤；曲線E過，，由，則在所圍成的區(qū)域內(nèi)部，而所圍成的面積為2，故曲線E所圍成圖形的面積小于2，D正確.故選：ABD【點睛】關(guān)鍵點點睛：應(yīng)用基本不等式有，由及立方和公式求兩點距離，利用與圖形的位置判斷面積大小.對于C項，利用等面積法表示焦點三角形，結(jié)合正弦函數(shù)的值域計算并驗證即可.對于C項，解焦點三角形，設(shè)，，，則，∴縱坐標(biāo)最大值為1，此時．（24-25高三上·廣東·開學(xué)考試）5．到兩個定點的距離之積為大于零的常數(shù)的點的軌跡稱為卡西尼卵形線.設(shè)和且，動點滿足，動點的軌跡顯然是卡西尼卵形線，記該卡西尼卵形線為曲線，則下列描述正確的是（

）A．曲線的方程是B．曲線關(guān)于坐標(biāo)軸對稱C．曲線與軸沒有交點D．的面積不大于【答案】ABD【分析】由已知，利用兩點間距離公式，可得動點的軌跡方程，即可判斷A；由對稱性代入即可判斷B；在的軌跡方程中令，可解出，即可判斷C；由三角形的面積公式，即可判斷D.【詳解】設(shè)，由，得，化簡得，故A正確；該方程中把改為或把改為方程均不變，故B正確；在方程中，令得，當(dāng)時，或，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故C不正確；，故D正確.故選：ABD.6．2022年卡塔爾世界杯會徽正視圖近似伯努利雙紐線．伯努利雙紐線最早于1694年被瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利用來描述他所發(fā)現(xiàn)的曲線．定義在平面直角坐標(biāo)系中，把到定點，距離之積等于的點的軌跡稱為雙紐線，已知點是時的雙紐線上一點，下列說法正確的是（

）A．雙紐線是中心對稱圖形B．C．雙紐線上滿足的點有2個D．的最大值為【答案】ABD【分析】A.先由雙紐線的定義得到方程，將替換方程中的判斷；B.由求解判斷；C.由方程令求解判斷；D.由，結(jié)合余弦定理判斷.【詳解】由到定點的距離之積等于的點的軌跡稱為雙紐線，則雙紐線的方程為，將替換方程中的，方程不變，故雙紐線關(guān)于原點成中心對稱，故A正確；由等面積法得，則，所以，故B正確；令，得，解得，所以雙曲線上滿足的點有一個，故C錯誤；因為，所以，由余弦定理得，所以，所以的最大值為，故D正確.故選：ABD.對于C項，借助軌跡方程結(jié)合柯西不等式可判定；對于D項，聯(lián)立曲線軌跡方程與，由平方式的意義確定，結(jié)合圖形的幾何意義可判定.對于C，∴，即取等條件為即，此時，滿足，∴選項D，有即聯(lián)立得，有故曲線在及直線中間有（24-25高二上·四川南充·期中）7．中國結(jié)是一種傳統(tǒng)的民間手工藝術(shù)，帶有濃厚的中華民族文化特色，它有著復(fù)雜奇妙的曲線.用數(shù)學(xué)的眼光思考可以還原成單純的二維線條，其中的“”對應(yīng)著數(shù)學(xué)曲線中的雙紐線.在平面上，把到兩個定點，距離之積等于()的動點軌跡稱為雙紐線.已知雙紐線：，是曲線上的一個動點，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．曲線上滿足的點有且只有一個B．曲線經(jīng)過4個整點（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）C．若直線與曲線只有一個交點，則實數(shù)的取值范圍為D．曲線上任意一點到坐標(biāo)原點的距離都不超過3【答案】AD【分析】由推得，代入曲線C方程求解即可判斷A；結(jié)合方程，求解整點坐標(biāo)可判斷B；聯(lián)立方程組，結(jié)合解的唯一性求出的取值范圍，判斷C；結(jié)合方程以及距離公式可判斷D【詳解】若曲線C上點P滿足，則點P在的垂直平分線上，即y軸上，故，代入曲線C方程得，解得，所以這樣的點僅有一個，故A正確；令，則，解得，令，則，解得，令，則，解得，故曲線C經(jīng)過整點只能是，故B錯；易知直線與曲線C：一定有公共點，若直線與曲線C只有一個交點，則只有一個解，即只有一個解為，即時，無解故，即實數(shù)的取值范圍為，故C錯；由可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，曲線上任意一點到坐標(biāo)原點的距離，故D對；故選：AD利用參數(shù)方程結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可判定D項，再根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及二次函數(shù)的性質(zhì)可判定C項.設(shè)曲線C上點，由，∴化簡得令，則，∴∵，∴，∴或此時，∴，故D正確C：當(dāng)時，，y最大，則，∴，當(dāng)時，，故C正確.（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）8．2021年3月30日，小米正式開始啟用具備“超橢圓”數(shù)學(xué)之美的新logo（如圖所示），設(shè)計師的靈感來源于曲線：．當(dāng)，，時，下列關(guān)于曲線的判斷正確的有．①曲線關(guān)于軸和軸對稱②曲線所圍成的封閉圖形的面積小于8③曲線上的點到原點的距離的最大值為④設(shè)，直線交曲線于、兩點，則的周長小于8【答案】①②③【分析】確定，在曲線上，①正確，曲線在一個長為，寬為的矩形內(nèi)部，②正確，利用三角換元計算得到③正確，確定橢圓在曲線內(nèi)，④錯誤，得到答案.【詳解】曲線：，對①：取曲線上點，則，在曲線上，故曲線關(guān)于軸和軸對稱，正確；對②：取，，取，，故曲線在一個長為，寬為的矩形內(nèi)部，故其面積小于，正確；對③：設(shè)曲線上一點為，則，設(shè)，到原點的距離的平方為，，，當(dāng)時，距離平方有最大值為，故距離的最大值為，正確.對④：對于曲線和橢圓，設(shè)點在上，點在上，，故，所以，設(shè)點在上，點在上，，所以，即，故橢圓在曲線內(nèi)(除四個交點外)，如圖：設(shè)直線交橢圓于兩點，交軸于，為橢圓的兩個焦點，由橢圓的定義可知：，，所以的周長為8，由圖可知，的周長不小于8，錯誤；故答案為：①②③【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了超橢圓的概念，對稱性，最值問題，意在考查學(xué)生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中確定橢圓在曲線內(nèi)，再利用橢圓的知識求解是解題的關(guān)鍵.9．Cassini卵形線是由法國天文家Jean-DominiqueCassini(1625-1712)引入的.卵形線的定義是：線上的任何點到兩個固定點，的距離的乘積等于常數(shù).是正常數(shù)，設(shè)，的距離為，如果，就得到一個沒有自交點的卵形線；如果，就得到一個雙紐線；如果，就得到兩個卵形線.若，.動點滿足.則動點的軌跡的方程為；若和是軌跡與軸交點中距離最遠(yuǎn)的兩點，則面積的最大值為.【答案】；【分析】設(shè)，代入，化簡即可得到動點的軌跡的方程；進而求出，的坐標(biāo)，然后將問題轉(zhuǎn)化為求點的縱坐標(biāo)的最大值，再利用面積公式求解即可．【詳解】解：設(shè)，，，即，動點的軌跡的方程為：；令，可得，解得或，所以，由對稱性，只考慮第一象限的部分，為定值，面積最大時，即點的縱坐標(biāo)最大，又，，令，則，因為，所以，，令，當(dāng)時，取得最大值，即，，，面積的最大值為．故答案為：；．【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二空解題的關(guān)鍵是利用第一空求出的動點的軌跡方程，求出點的縱坐標(biāo)的平方的表達式，然后構(gòu)造函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出點的縱坐標(biāo)的最大值，從而面積的最大值可求．（24-25高三上·云南·階段練習(xí)）10．如圖，曲線是一條“雙紐線”，其上的點滿足：到點與到點的距離之積為4，則下列結(jié)論正確的是（

）A．點在曲線上B．點在上，則C．點在橢圓上，若，則D．過作軸的垂線交于兩點，則【答案】ACD【分析】由“雙紐線”定義判斷A；由“雙紐線”定義得到，再計算判斷B；由“雙紐線”定義和橢圓定義判斷C；設(shè)，由勾股定理得到，再解方程判斷D.【詳解】對于A，，由定義知，A正確；對于B，由點在上，得，化簡得，解得，，B錯誤；對于C，橢圓的焦點坐標(biāo)恰好為與，則，由，得，則，，C正確；對于D，設(shè)，則，而，則，又，則，化簡得，解得，，因此1，，D正確.故選：ACD（2024·遼寧鞍山·二模）11．在平面直角坐標(biāo)系中，定義為點到點的“折線距離”．點是坐標(biāo)原點，點在直線上，點在圓上，點在拋物線上．下列結(jié)論中正確的結(jié)論為（

）A．的最小值為2 B．的最大值為C．的最小值為 D．的最小值為【答案】BCD【分析】對A，根據(jù)折線距離的定義，寫出，利用絕對值放縮和絕對值不等式，可判斷對錯；對B，根據(jù)折線距離的定義，寫出，利用基本（均值）不等式可判斷對錯；對C：利用圓的參數(shù)方程，結(jié)合折線距離的定義，寫出，利用絕對值放縮和絕對值不等式，結(jié)合三角函數(shù)的最值，可判斷對錯；對D：利用拋物線的參數(shù)方程，，結(jié)合折線距離的定義，寫出，利用絕對值放縮和絕對值不等式，結(jié)合二次函數(shù)的值域，可判斷對錯.【詳解】對A：設(shè)，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“”）.故A錯；對B：設(shè)，則.則，故B對；對C：設(shè)，，則（當(dāng)且僅當(dāng)，時取“”）.故C對；對D：設(shè)，，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“”）.故D正確.故選：BCD【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵之一是對“折線距離”的理解，根據(jù)新定義，寫出折線距離；關(guān)鍵之二是含有絕對值的式子的處理，可根據(jù)絕對值的放縮和絕對值不等式，去掉絕對值的符號再求相關(guān)最值.（23-24高二上·福建莆田·期中）12．小明同學(xué)在完成教材橢圓和雙曲線的相關(guān)內(nèi)容學(xué)習(xí)后，提出了新的疑問：平面上到兩個定點距離之積為常數(shù)的點的軌跡是什么呢？又具備哪些性質(zhì)呢？老師特別贊賞他的探究精神，并告訴他這正是歷史上法國天文學(xué)家卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運行規(guī)律時發(fā)現(xiàn)的，這類曲線被稱為“卡西尼卵形線”．在老師的鼓勵下，小明決定先從特殊情況開始研究，假設(shè)、是平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)的兩個定點，滿足的動點P的軌跡為曲線C，從而得到以下4個結(jié)論，其中正確結(jié)論的為（

）A．曲線C既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形B．動點P的橫坐標(biāo)的取值范圍是C．的取值范圍是D．的面積的最大值為【答案】ABD【分析】設(shè)，由題設(shè)可得曲線C為，將、、代入即可判斷；令，由在上有解，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求P的橫坐標(biāo)的取值范圍判斷；由②分析可得，進而求范圍判斷；由基本不等式、余弦定理確定范圍，再根據(jù)三角形面積公式求最值判斷.【詳解】令，則，所以，則，將、、代入上述方程后，均有，所以曲線C既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，正確；令，則，對于，對稱軸為，所以在上遞增，要使在上有解，只需，所以，即，可得，正確；由，由中，，所以，其中負(fù)值舍去，綜上，，又，即，所以，則，錯誤；由，僅當(dāng)時等號成立，的面積，而，所以，所以的面積的最大值為，正確.故選：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：,通過換元，構(gòu)造，利用根的分布求P的橫坐標(biāo)、的取值范圍.13．已知兩定點，（），動點與、的距離比（且），那么點的軌跡是阿波羅尼斯圓，若其方程為，則下列說法正確的是（

）A．B．C．若，則最小值為D．若滿足點的軌跡方程，則【答案】ACD【分析】設(shè),由,得,與對比,可得且,求解即可判斷A，B；對于C，，利用三角形三邊關(guān)系定理即可判斷；對于D，等價于，根據(jù)的判別式的符號即可判定【詳解】設(shè),由(且),得所以所以又的軌跡方程為,所以且,解得(舍去)或,所以,所以,所以,故A正確B錯誤對于C，連接交圓于當(dāng)且僅當(dāng)、、三點共線時取等號，故C正確對于D，的判別式因為滿足，故設(shè)則（其中為第四象限角，）所以所以在上恒成立故D正確故選:ACD（24-25高二上·江蘇常州·階段練習(xí)）14．到兩定點距離之積為常數(shù)的點的軌跡稱為卡西尼卵形線.已知兩定點，動點滿足，設(shè)的軌跡為曲線，則下列命題錯誤的是（

）A．曲線過原點 B．的橫坐標(biāo)最大值是2C．的縱坐標(biāo)最大值是 D．【答案】BC【分析】對于A，由題求出的軌跡方程，令，計算即可判斷；對于B，求出橫坐標(biāo)的取值范圍，即可判斷；對于C，化簡方程可得，即可判斷；對于D，令，將化為，結(jié)合構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，即可判斷.【詳解】由題意知動點滿足，，故，即，即，則，對于A，當(dāng)時，，即曲線過原點，A正確；對于B，由，得，則，解得，即的橫坐標(biāo)最大值是，B錯誤；對于C，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即的縱坐標(biāo)最大值是1，C錯誤；對于D，若，即，令，則，即，設(shè)，，即在上單調(diào)遞增，故，即成立，故成立，D正確，故選：BC（2024·廣東廣州·二模）15．雙曲線具有如下性質(zhì)：雙曲線在任意一點處的切線平分該點與兩焦點連線的夾角.設(shè)為坐標(biāo)原點，雙曲線的左右焦點分別為，右頂點到一條漸近線的距離為2，右支上一動點處的切線記為，則（

）A．雙曲線的漸近線方程為B．雙曲線的離心率為C．當(dāng)軸時，D．過點作，垂足為【答案】ACD【分析】由題意求出b的值，即可求得雙曲線漸近線方程，判斷A；根據(jù)離心率定義，求出離心率，判斷B；利用雙曲線定義可判斷C；由題意結(jié)合角平分線性質(zhì)推出，K為的中點，進而結(jié)合三角形中位線以及雙曲線定義求得，判斷D.【詳解】對于A，由雙曲線可知，右頂點，其漸近線方程為，右頂點到一條漸近線的距離為2，不妨取漸近線，則，解得，故雙曲線的漸近線方程為，A正確；對于B，由于，故雙曲線的離心率為，B錯誤；對于C，，當(dāng)軸時，將代入中，得，即得，由于P在雙曲線右支上，故，C正確；對于D，連接并延長交的延長線于E，由題意知，為的角平分線，結(jié)合，可知，K為的中點，而O為的中點，故，D正確，故選：ACD【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了雙曲線知識的綜合應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是選項D的判斷，解答時要結(jié)合題中所給性質(zhì)，利用角平分線性質(zhì)推出K為的中點，即可結(jié)合雙曲線定義求得答案.（23-24高二上·河北邯鄲·期末）16．法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日發(fā)現(xiàn)：橢圓的兩條互相垂直的切線的交點軌跡是以橢圓中心為圓心的圓（稱為橢圓的蒙日圓）.已知橢圓的左?右焦點分別為，左?右頂點分別為，點是橢圓上異于的動點，點是該橢圓的蒙日圓上的動點，則下列說法正確的是（

）A．該橢圓的蒙日圓的方程為B．存在點使的面積為25C．使的點有四個D．直線的斜率之積【答案】ACD【分析】利用設(shè)直線方程，聯(lián)立橢圓方程，結(jié)合判別式為0，求出蒙日圓方程判斷A；求出的面積的最大值，即可判斷B；判斷以為直徑的圓與橢圓的交點個數(shù)，即可判斷C；設(shè)，求出的表達式，結(jié)合橢圓方程化簡，求出其值，判斷D.【詳解】因為橢圓方程為，故，當(dāng)橢圓的兩條互相垂直的切線，一條斜率不存在，另一條斜率為0時，切線分別經(jīng)過長軸端點和短軸端點，此時切線的交點為；當(dāng)橢圓的兩條互相垂直的切線斜率均存在時，設(shè)兩切線交點為，切點為，切線方程設(shè)為，聯(lián)立，整理得，由于直線與橢圓相切，故，即，由于兩切線的斜率即為該方程的兩個根，即，又因為，則，即，此時兩切線交點的軌跡方程為，而也適合該方程，故該橢圓的蒙日圓的方程為，A正確；

當(dāng)Q點位于圓與y軸的交點處時，取到最大值，最大值為,即不存在點使的面積為25，B錯誤；由于，故以為直徑的圓的方程為，而橢圓的短半軸長為，故圓與橢圓有四個交點，正確；由題意知，設(shè)，則，故，故，D正確.故選：ACD.17．卵圓是常見的一類曲線，已知一個卵圓的方程為：，為坐標(biāo)原點，點，點為卵圓上任意一點，則下列說法中正確的是.①卵圓關(guān)于軸對稱②卵圓上不存在兩點關(guān)于直線對稱③線段長度的取值范圍是④的面積最大值為【答案】①③④【分析】利用點和均滿足方程，即可判斷①；設(shè)和都在卵圓上，再解即可判斷②；利用兩點間的距離公式表示，然后利用導(dǎo)數(shù)研究其最值，即可判斷③；利用三角形的面積公式表示出，然后利用導(dǎo)數(shù)研究其最值，即可判斷④.【詳解】對于①，設(shè)是卵圓上的任意一個點，因為，所以點也在卵圓上，又點和點關(guān)于軸對稱，所以卵圓關(guān)于軸對稱，故①正確；對于②，設(shè)在卵圓上，關(guān)于直線對稱的點也在卵圓上，則，解得或，所以卵圓上存在兩點關(guān)于直線對稱，故②錯誤；對于③，由，得，所以，又，所以，設(shè)點，則，令，則，令，則或，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，又，且，所以，即，所以，故③正確；對于④，點，，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上遞減，在上遞增，所以，此時的面積取得最大值，故④正確.故答案為：①③④.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查了圓錐曲線的新定義問題，解決此類問題的關(guān)鍵在于理解新定義的本質(zhì)，把新情境下的概念、法則、運算化歸到常規(guī)的數(shù)學(xué)背景中，運用相關(guān)的數(shù)學(xué)公式、定理、性質(zhì)進行解答.18．對于曲線，若存在非負(fù)實常數(shù)和，使得曲線上任意一點有成立（其中為坐標(biāo)原點），則稱曲線為既有外界又有內(nèi)界的曲線，簡稱“有界曲線”，并將最小的外界成為曲線的外確界，最大的內(nèi)界成為曲線的內(nèi)確界．（1）曲線與曲線是否為“有界曲線”？若是，求出其外確界與內(nèi)確界；若不是，請說明理由；（2）已知曲線上任意一點到定點，的距離之積為常數(shù)，求曲線的外確界與內(nèi)確界．【答案】（1）曲線不是“有界曲線”，理由見解析；曲線是“有界曲線”，其外確界為3，內(nèi)確界為1；（2）當(dāng)時，曲線的外確界與內(nèi)確界分別為，；當(dāng)時，曲線的外確界與內(nèi)確界分別為，；當(dāng)時，曲線的外確界與內(nèi)確界分別為，．【分析】（1）由外確界與內(nèi)確界的概念，結(jié)合曲線方程，數(shù)形結(jié)合得答案；（2）由題意求出曲線的方程，進一步得到的范圍，把轉(zhuǎn)化為含有的代數(shù)式，分類討論得答案．【詳解】（1）的圖象為開口向右的拋物線，拋物線上的點到原點的距離的最小值為，無最大值，∴曲線不是“有界曲線”；∵曲線的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓，如圖：由圖可知曲線上的點到原點距離的最小值為，最大值為，則曲線是“有界曲線”，其外確界為，內(nèi)確界為；（2）由已知得：，整理得：