模塊二函數(shù)與導(dǎo)數(shù)（測試）(考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)是（

）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)C．既非奇函數(shù)也非偶函數(shù) D．既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)【答案】C【解析】作出函數(shù)圖象如圖：由于，所以函數(shù)圖象不關(guān)于原點(diǎn)對稱，由圖可知函數(shù)函數(shù)圖象不關(guān)于軸對稱，故為非奇非偶函數(shù)，故選：C2．若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，設(shè)，所以區(qū)間上是減函數(shù)且恒大于，且，且，解得實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C3．函數(shù)的圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】的定義域?yàn)镽，，故為偶函數(shù)，排除B，D；當(dāng)時(shí)，，排除C.故選：A.4．函數(shù)在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的封閉圖形的面積為（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】因?yàn)椋瑒t，可得，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為2，則切線方程為，其與x軸交點(diǎn)為，所以切線與兩坐標(biāo)軸圍成的封閉圖形的面積為.故選：B.5．函數(shù)，若存在，使有解，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】若存在，使得有解，即．設(shè)，，則．令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以．故的取值范圍為．故選：A6．若函數(shù)在上有小于0的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值；當(dāng)時(shí)，由，得；由，得，因此為的極值點(diǎn)，則，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B7．已知函數(shù)，曲線y=fx與y=gx有兩個(gè)交點(diǎn)Ax1,yA． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)x>0時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，所以當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)為奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)0,1對稱，函數(shù)，所以函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)的圖象也關(guān)于點(diǎn)0,1對稱.則兩點(diǎn)也關(guān)于點(diǎn)0,1對稱，所以，則，故選：D.8．若定義域均為的函數(shù)，滿足：，且，使得，則稱與互為“親近函數(shù)”.已知與互為“親近函數(shù)”，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，，均在上為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，且，故是的唯一零點(diǎn)，要使和互為“親近函數(shù)”，則存在，使得，即在內(nèi)存在零點(diǎn)，所以方程有解，令，則，故，易知不是此方程的解；當(dāng)時(shí)，有，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，，故的取值范圍是．故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．設(shè)，函數(shù)，則下列說法正確的有（

）A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù) B．點(diǎn)為函數(shù)圖象的對稱中心C．存在a，使得函數(shù)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn) D．函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn)【答案】BD【解析】由題意，，，因?yàn)閷Γ?，所以點(diǎn)為函數(shù)圖象的對稱中心，故B正確；函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，①當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)函數(shù)是上的減函數(shù)，則函數(shù)沒有極值點(diǎn)，又，，所以由零點(diǎn)存在性定理可知，此時(shí)函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，則方程有唯一解，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)是上的減函數(shù)，則函數(shù)沒有極值點(diǎn)，又，，所以由零點(diǎn)存在性定理可知，此時(shí)函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，由，得，即，因?yàn)椋苑匠逃袃蓚€(gè)不相等的根，不妨設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，此時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，又時(shí)，，時(shí)，，所以由零點(diǎn)存在性定理可知，此時(shí)函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn)；綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，故A錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有極值點(diǎn)，且有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且至少有一個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤，D正確；故選：BD.10．設(shè)，定義在R上的函數(shù)滿足，且，，則（

）A． B．C．為偶函數(shù) D．【答案】ABD【解析】對于A，令，，得，因?yàn)?，所以，故A正確；對于B，令，代入可得，因?yàn)?，，所以，從而，故B正確；對于C，令，代入得，又因?yàn)閷?，恒成立且不恒?，所以，從而得為奇函數(shù)，又不恒等于0，故C錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)椋?，所以為的周期，所以，故D正確．故選：ABD．11．已知函數(shù)，下面關(guān)于的方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，說法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，原方程有6個(gè)根B．當(dāng)時(shí)，原方程有6個(gè)根C．當(dāng)時(shí)，原方程有4個(gè)根D．不論取何值，原方程都不可能有7個(gè)根【答案】ABC【解析】令，則方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)等價(jià)于函數(shù)的圖象與直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，由于，所以作出函數(shù)的圖象如下，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與直線交點(diǎn)只有1個(gè)，故方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為1個(gè)；當(dāng)或時(shí)，函數(shù)的圖象與直線交點(diǎn)有2個(gè)，故方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為2個(gè)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與直線交點(diǎn)有3個(gè)，故方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為3個(gè)；方程，可化為，對AB，當(dāng)時(shí)，，方程有3個(gè)不等實(shí)數(shù)根，分別記為，且，從而有1個(gè)實(shí)數(shù)根，有3個(gè)不等實(shí)數(shù)根，有2個(gè)不等實(shí)數(shù)根，所以方程有6個(gè)不等實(shí)數(shù)根，AB正確；當(dāng)時(shí)，有2個(gè)實(shí)數(shù)根，分別為，從而方程有1個(gè)實(shí)數(shù)根，方程有3個(gè)不等實(shí)數(shù)根，所以方程有4個(gè)不等實(shí)數(shù)根，C正確；當(dāng)時(shí)，，方程有3個(gè)不等實(shí)數(shù)根，分別為，方程有2個(gè)不等實(shí)數(shù)根，方程有3個(gè)不等實(shí)數(shù)根，方程有2個(gè)不等實(shí)數(shù)根，則方程有7個(gè)不等實(shí)數(shù)根，D錯(cuò)誤；故選:ABC.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，可得，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，所以當(dāng)時(shí)，.故答案為：.13．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則.【答案】3【解析】由知，即，所以函數(shù)的定義域?yàn)橛珊瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，且恒成立，即，所以，整理得，所以，故故答案為：314．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)f'x在定義域均為R且是偶函數(shù)，其函數(shù)圖象為不間斷曲線且則不等式的解集為.【答案】【解析】因?yàn)椋?又因?yàn)?，用代替得?所以，當(dāng)時(shí)，，所以.所以Fx在0,+∞又Fx為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對稱，在上單調(diào)遞減.設(shè)，則，則，又，所以，根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，且圖象不間斷，在上單調(diào)遞減，在0,+∞上單調(diào)遞增，所以.即.所以不等式的解集為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分）已知定義域?yàn)榈膯握{(diào)減函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.(1)求的值；(2)求的解析式；(3)若對任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)是定義在的奇函數(shù)，所以.（2）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，，所以.（3）由題，函數(shù)是定義域?yàn)閱握{(diào)減函數(shù)，且為奇函數(shù)，所以由，可得，即，所以，所以恒成立，因?yàn)樵跁r(shí)有最小值，最小值為，所以，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.16．（15分）某公園有一塊如圖所示的區(qū)域，該場地由線段、、及曲線段圍成.經(jīng)測量，，米，曲線是以為對稱軸的拋物線的一部分，點(diǎn)到、的距離都是50米.現(xiàn)擬在該區(qū)域建設(shè)一個(gè)矩形游樂場，其中點(diǎn)在曲線段上，點(diǎn)、分別在線段、上，且該游樂場最短邊長不低于30米.設(shè)米，游樂場的面積為平方米.

(1)試建立平面直角坐標(biāo)系，求曲線段的方程；(2)求面積關(guān)于的函數(shù)解析式；(3)試確定點(diǎn)的位置，使得游樂場的面積最大.【解析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為軸、軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，設(shè)曲線所在的拋物線方程為，，點(diǎn)，在拋物線上，則，解得，，所以曲線段所在的拋物線方程為.（2）因?yàn)辄c(diǎn)在曲線段上，，，所以，∴，.（3）∵，，令，解得，當(dāng)時(shí)，f'x>0，當(dāng)時(shí)，f所以時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，因此，當(dāng)時(shí)，是極大值也是最大值，即當(dāng)點(diǎn)在曲線段上且到的距離為米時(shí)，游樂場的面積最大.17．（15分）已知函數(shù)的極小值為2，，.(1)求的值；(2)比較并證明與0的大小；(3)求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)并進(jìn)行證明.【解析】（1），當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)無極值；當(dāng)時(shí)，則時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的極小值為，所以；（2）由（1）得，則，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以；（3），，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，因?yàn)?，所以，又，所以函?shù)在上有唯一零點(diǎn)，因?yàn)?，所以，所以，由?）得，所以函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，綜上所述，函數(shù)有個(gè)零點(diǎn).18．（17分）已知函數(shù)，其中．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處切線的方程；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)若，證明對任意，恒成立．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，，則，則曲線在點(diǎn)處切線的方程為，整理得；（2），令，有，，由且，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上，當(dāng)時(shí)，在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（3）由，故在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，若，則，符合要求；若，則，則，則要證，只需證，即只需證，令，，，則，由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，由，由對勾函數(shù)性質(zhì)可知，故恒成立，即在上單調(diào)遞增，故，即有，即得證.19．（17分）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.(1)求，的值.(2)若正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，證明：（ⅰ）；（ⅱ）.【解析】（1），由題