北京市朝陽外國語學校2025-2026學年上學期八年級期中數(shù)學試卷一、選擇題（共24分，每小題3分）1．以下是清華大學、北京大學、上海交通大學、浙江大學的?；眨渲惺禽S對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．下列長度的三條線段，首尾順次相連能組成三角形的是（）A．2，3，6 B．4，4，8 C．5，9，14 D．6，12，133．將一副三角板按如圖所示的方式放置，圖中的大小等于（）A． B． C． D．4．計算是（）A．8 B． C． D．5．如圖，在平面直角坐標系中，△為等腰三角形，，軸，若，，則點的坐標為（）A． B． C． D．6．如圖，在中，、分別是、的中點，點在上，且，若，則為A． B． C． D．7．如圖，在△中，，，，直線垂直平分線段，若點為邊的中點，點為直線上一動點，則△周長的最小值為（）A．12 B．13 C．10 D．148．如圖，在△中，，過點作于點，過點作于點，連接，過點作，交于點．與相交于點，若點是的中點，則下列結(jié)論中正確的有個．①；②；③；④．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題（共24分，每小題3分）9．已知，，則的值為．10．如圖，在△中，，，為的中點，延長至點，使，連接和，則的大小為．11．如圖所示，，，，，，則．12．在△中，若，，則中線的最小整數(shù)值是．13．如圖，在四邊形中，，，，若平分，則四邊形的面積為．14．如圖，在中，，，，分別是，，上的點，且，，，則的度數(shù)是．（用含的代數(shù)式表示）15．如圖，等邊三角形中，、分別為、邊上的兩動點，與交于點，于點，若，則．16．如圖，已知△和△都是等腰三角形，，，交于點，連接．下列結(jié)論：①；②；③平分；④．其中正確結(jié)論是．三、解答題（共52分，17～24每小題5分，25～26每小題5分）17．（5分）計算：．18．（5分）如圖，分別交的邊、于、，交延長線于，若，，，求的度數(shù)．19．（5分）如圖，是上一點，，，．求證：平分．20．（5分）如圖，△中，、分別是、的外角，已知．（1）過點作直線，使，其中點在點的左側(cè)，點在點的右側(cè)．（尺規(guī)作圖，保留痕跡）（2）求的度數(shù)．21．（5分）如圖．在△中．，求作線段的中點．小明發(fā)現(xiàn)作線段的垂直平分線交于點，點即為所求．（1）使用直尺和圓規(guī)，依小明的思路作出點（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：連接．垂直平分，（填推理依據(jù)）．．，，．．．．點為線段的中點．22．（5分）如圖，在△中，直線是邊的垂直平分線，與邊交于點，與的平分線交于點，連接、，延長至點，求證：．23．（5分）如圖，在△中，，，是邊上一點，連接，，且，與交于點．（1）求證：；（2）當時，求證：平分．24．（5分）我們把過三角形的一個頂點且能將這個三角形分割成兩個等腰三角形的線段稱為該三角形的“等腰線段”，例如：等腰直角三角形斜邊上的中線為該三角形的“等腰線段”．（1）①如圖1，在△中，，，請你在這個三角形中畫出它的“等腰線段”，并標出所分得的各等腰三角形頂角的度數(shù)；②如圖2，等邊三角形（填“存在”或“不存在”“等腰線段”．（2）如圖3，，點在射線上，若△存在“等腰線段”，則的度數(shù)為．25．（6分）規(guī)定兩數(shù)，之間的一種運算，記作：如果，那么．例如：因為，所以．（1）根據(jù)上述規(guī)定，填空：；（2）若，，且，求的值；（3）①若，，，請你嘗試證明：；②進一步探究這種運算時發(fā)現(xiàn)一個結(jié)論：，，，結(jié)合①，②探索的結(jié)論，計算：．26．（6分）在中，，過點作射線，使（點與點在直線的異側(cè)），點是射線上一個動點（不與點重合），點在線段上，且．（1）如圖1，當點與點重合時，在圖中畫出線段．若，則的長為（用含的式子表示）；（2）如圖2，當點與點不重合時，連接．①求證：；②用等式表示線段，，之間的數(shù)量關系，并證明．北京市朝陽外國語學校2025-2026學年上學期八年級期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案BDCCCCAC二、填空題（共24分，每小題3分）9．已知，，則的值為12．10．如圖，在△中，，，為的中點，延長至點，使，連接和，則的大小為110．11．如圖所示，，，，，，則．12．在△中，若，，則中線的最小整數(shù)值是2．13．如圖，在四邊形中，，，，若平分，則四邊形的面積為20．14．如圖，在中，，，，分別是，，上的點，且，，，則的度數(shù)是．（用含的代數(shù)式表示）15．如圖，等邊三角形中，、分別為、邊上的兩動點，與交于點，于點，若，則．16．如圖，已知△和△都是等腰三角形，，，交于點，連接．下列結(jié)論：①；②；③平分；④．其中正確結(jié)論是①②④．三、解答題（共52分，17～24每小題5分，25～26每小題5分）17．（5分）計算：．【解答】解：．18．（5分）如圖，分別交的邊、于、，交延長線于，若，，，求的度數(shù)．【解答】解：因為，所以，因為，所以．19．（5分）如圖，是上一點，，，．求證：平分．【解答】證明：，，在△與中，，△△，，又，，平分．20．（5分）如圖，△中，、分別是、的外角，已知．（1）過點作直線，使，其中點在點的左側(cè)，點在點的右側(cè)．（尺規(guī)作圖，保留痕跡）（2）求的度數(shù)．【解答】解：（1）如圖，直線即為所求；（2），，，，．21．（5分）如圖．在△中．，求作線段的中點．小明發(fā)現(xiàn)作線段的垂直平分線交于點，點即為所求．（1）使用直尺和圓規(guī)，依小明的思路作出點（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：連接．垂直平分，（填推理依據(jù)）．．，，．．．．點為線段的中點．【解答】（1）解：如圖所示．（2）證明：連接．垂直平分，（垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等）．．，，．．．．點為線段的中點．故答案為：；垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等；．22．（5分）如圖，在△中，直線是邊的垂直平分線，與邊交于點，與的平分線交于點，連接、，延長至點，求證：．【解答】證明：如圖，作于點，于點，連接，直線是邊的垂直平分線，，平分，，，，在△和△中，，△△，．23．（5分）如圖，在△中，，，是邊上一點，連接，，且，與交于點．（1）求證：；（2）當時，求證：平分．【解答】證明：（1），，在△與△中，，△△，；（2）△△，，，，，，，，，，，平分．24．（5分）我們把過三角形的一個頂點且能將這個三角形分割成兩個等腰三角形的線段稱為該三角形的“等腰線段”，例如：等腰直角三角形斜邊上的中線為該三角形的“等腰線段”．（1）①如圖1，在△中，，，請你在這個三角形中畫出它的“等腰線段”，并標出所分得的各等腰三角形頂角的度數(shù)；②如圖2，等邊三角形不存在（填“存在”或“不存在”“等腰線段”．（2）如圖3，，點在射線上，若△存在“等腰線段”，則的度數(shù)為．【解答】解：（1）①如圖1，，當是的角的平分線時，，，，，是△的“等腰線段”；②等邊三角形不存在“等腰線段”；故答案為：不存在；（2）如圖，①當，時，則，是△的“等腰線段”，，②當，時，則，是△的“等腰線段”，，③如圖5，，綜上所述：若△存在“等腰線段”，則的度數(shù)為或或，故答案為：或或．25．（6分）規(guī)定兩數(shù)，之間的一種運算，記作：如果，那么．例如：因為，所以．（1）根據(jù)上述規(guī)定，填空：3；（2）若，，且，求的值；（3）①若，，，請你嘗試證明：；②進一步探究這種運算時發(fā)現(xiàn)一個結(jié)論：，，，結(jié)合①，②探索的結(jié)論，計算：．【解答】解：（1），．故答案為：3；（2）根據(jù)題意可知，，，；（3）①，，，，，，；②，，，，，．故答案為：3．26．（6分）在中，，過點作射線，使（點與點在直線的異側(cè)），點是射線上一個動點（不與點重合），點在線段上，且．（1）如圖1，當點與點重合時，在圖中畫出線段．若，則的長為（用含的式子表示）；（2）如圖2，當點與點不重合