2/172026年高考第一次模擬考試數(shù)學(xué)·全解全析（考試時間：120分鐘，分值：150分）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意得，即，解得，即，所以.故選：C.2．復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，可得，所以，故選：A.3．已知直線；，：，設(shè)甲：；乙：，則甲是乙的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】，解得或1，故甲不能推出乙，乙能推出甲，故甲是乙的必要不充分條件．故選：B4．向量旋轉(zhuǎn)具有反映點與點之間特殊對應(yīng)關(guān)系的特征，在電子信息傳導(dǎo)方面有重要應(yīng)用.平面向量旋轉(zhuǎn)公式在中學(xué)數(shù)學(xué)中用于求旋轉(zhuǎn)相關(guān)點的軌跡方程具有明顯優(yōu)勢，已知對任意平面向量，把繞其起點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫做把點繞點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點.已知平面內(nèi)點，點，把點繞點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)后得到點，則點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意可知，把點繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到點，則，又，所以，所以點的坐標(biāo)為.故選：D.5．已知向量，不共線，且，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，兩邊平方得，解得，向量在向量上的投影向量為.故選：D6．在空間直角坐標(biāo)系中，若一條直線經(jīng)過點且以向量為方向向量，則這條直線可以用方程來表示.已知直線的方程為，則點到距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為直線的方程為，即為，可知直線經(jīng)過點且以向量為方向向量，可得，所以點到距離為.故選：B.7．已知雙曲線的左、右焦點分別為，以為直徑的圓與雙曲線在第二象限的交點為P，若直線與圓E∶相切，則該雙曲線的漸近線方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖所示，設(shè)直線與圓相切于點，且圓心，半徑=．因為以為直徑的圓過點P，所以，又圓E與直線的切點為M，所以，從而．由，得=，所以===b．又，所以，解得，因此該雙曲線的漸近線方程為．故選：C8．已知函數(shù)，，則圖象為如圖的函數(shù)可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】圖象關(guān)于原點對稱，則函數(shù)為奇函數(shù)；選項A，設(shè)，，，，，，不是奇函數(shù)，故選項A錯誤；選項B，設(shè)，，，，，，不是奇函數(shù)，故選項B錯誤；選項C，，，，而，在出無意義，故選項C錯誤；選項D，設(shè)，，，，，是奇函數(shù)，，符合已知圖像，，符合已知圖像，在上函數(shù)值從到1到0到到0，周而復(fù)始進(jìn)行，在上函數(shù)值恒大于0，的函數(shù)值在上函數(shù)值從到正數(shù)到0到負(fù)數(shù)到0，周而復(fù)始進(jìn)行，故選項D符合已知圖像，故選項D正確.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．下列說法正確的是（

）A．若隨機變量，則B．設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布，若，則C．對于隨機事件與，若，則事件與相互獨立D．一箱蘋果共有10個，其中有且個爛蘋果，從這箱蘋果中隨機抽取2個，恰有一個爛蘋果的概率為，則【答案】BC【詳解】對于A選項，由，可得，故A選項錯誤；對于B選項，由，故B選項正確；對于C選項，由，有，可得事件與相互獨立，故C選項正確；對于D選項，由，解得或6，故D選項錯誤．故選：BC10．2025年春晚舞臺上的燈光特效呈現(xiàn)出一種獨特的動態(tài)變化.某處燈光的亮度變化可以近似用三角函數(shù)來描述，這個三角函數(shù)的圖象如圖所示，則（

）A．的最小正周期為B．是奇函數(shù)C．的圖象關(guān)于點對稱D．若在上有且僅有兩個極值點，則【答案】ABD【詳解】根據(jù)圖象可知，，所以，即，又因為，所以，所以，A，的最小正周期為，故正確；B，，是奇函數(shù)，故正確；C，，當(dāng)時，，此時，所以的圖象不關(guān)于點對稱，故錯誤；D，時，，要使在上有且僅有兩個極值點，則，解得，即，正確．故選：ABD．11．在棱長為的正方體中，分別為的中點，點是正方體側(cè)面上的一動點（含邊界），則下列說法正確的是（

）A．異面直線與所成角的余弦值為B．當(dāng)點為棱的中點時，直線與直線平行C．若保持，則點在側(cè)面內(nèi)運動路徑的長度為D．過直線的平面截該正方體的內(nèi)切球所得截面圓的面積的最小值為【答案】AD【詳解】如圖，以正方體的頂點為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，∴，，，，，，，因分別為的中點，則，，則，，對于A，設(shè)與所成的角為，則，故A正確；對于B，，，則，，故不存在實數(shù)使得，故B錯誤；對于C，∵，∴點在側(cè)面的運動軌跡為平面與球截面的圓弧，球心到平面的距離為，∴圓弧的半徑，故在正方體側(cè)面的運動軌跡圓弧，其長度為，故C錯誤；對于D，易得該正方體的內(nèi)切球的球心，半徑，則向量，∴球心到直線的距離，∴球心到過直線的平面最大距離為，此時截面為面積最小的圓，圓的半徑，∴此時截面面積，故D正確.故選：AD.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知一個等差數(shù)列的項數(shù)為奇數(shù)，其中，，則項數(shù)為．【答案】19【詳解】設(shè)等差數(shù)列的項數(shù)為，則，，因此，解得，所以所求項數(shù)為.故答案為：1913．7個人站成兩排照相，前排3人，后排4人；其中甲乙兩人須相鄰，甲丙兩人不能相鄰（若兩人分站兩排視為不相鄰），則共有種不同安排方式．【答案】1056【詳解】依題意，分為兩類情況：當(dāng)甲站在每一排的兩端時，有4種站法，此時乙的位置確定，丙隨便排都與甲不相鄰，其他人隨便排，有種排列方式；當(dāng)甲不站在每一排的兩端時，有3種站法，此時乙和甲相鄰有兩個位置可選，丙和甲不相鄰有四個位置可選，剩下的人隨便站，有種排列方式；所以由分類加法計數(shù)原理，總共有種排列方式.故答案為：105614．如圖，的頂點平面，點在平面的同一側(cè)，且.若與平面所成的角分別為，則的面積的取值范圍為.【答案】【詳解】如圖，過C作直線l垂直于平面，因為與平面所成的角分別為，則點分別在如圖所示的兩個不同的圓周上運動，當(dāng)直線與軸在同一平面內(nèi)時，的面積可取最大最小值，于是，有，即，所以，即，所以的面積為，所以，故答案為:.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）在中，角所對的邊分別為，且滿足.(1)求;(2)若,設(shè)中邊上的高分別為,求的最大值.15．（13分）【詳解】（1）因為，所以；即即即得，即因為，即得到；又因為,所以.（2）因為分別為邊上的高，所以,所以；由正弦定理,所以，；所以；因為,，所以所以由余弦定理得，即；即，所以，即所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；所以；即當(dāng)且僅當(dāng)時，的最大值為.16．（15分）甲、乙兩位學(xué)生進(jìn)行答題比賽，每局只有1道題目，比賽時甲、乙同時回答這一個問題，若一人答對且另一人答錯，則答對者獲得10分，答錯者得分；若兩人都答對或都答錯，則兩人均得0分．根據(jù)以往答題經(jīng)驗，每道題甲答對的概率為，乙答對的概率為，且甲、乙答對與否互不影響，每次答題的結(jié)果也互不影響．(1)求在一局比賽中，甲得10分的概率；(2)設(shè)這次比賽共有4局，設(shè)為甲得0分的次數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)設(shè)這次比賽共有3局，若比賽結(jié)束時，累計得分為正者最終獲勝，求甲最終獲勝的概率．16．（15分）【解析】（1）設(shè)表示在一局比賽中甲得分，則“”表示甲答對且乙答錯的情況，根據(jù)獨立事件概率乘法公式，可得；（2）包含兩種情況：甲、乙都答對或甲、乙都答錯，甲、乙都答對的概率為，甲、乙都答錯的概率為，根據(jù)互斥事件的概率加法公式，可得，因為每局比賽甲得分的概率為，且每次答題的結(jié)果互不影響，所以.則，，，，，則的分布列為：01234則的數(shù)學(xué)期望；（3）甲最終獲勝有以下四種情況：①三局都得10分，其概率為，②兩局得10分，一局得分，其概率為，③兩局得10分，一局得分，其概率為，④一局得10分，兩局得分，其概率為，綜上可得，甲最終獲勝的概率為.17．（15分）如圖所示，在高為2的斜三棱柱中，設(shè)點在底面的射影為點，且四點構(gòu)成邊長為2的正方形.設(shè)分別為，的中點.(1)求直線與所成角的余弦值；(2)證明：平面.17．（15分）【解析】（1）以點為坐標(biāo)原點，以為軸?軸正方向，過點且垂直于底面的直線向上的方向為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，由四邊形是正方形，且頂點在底面的射影是點，棱柱的高為2，得，則，故.設(shè)直線與所成的角為，則，直線與所成角的余弦值為（2）由，，設(shè)平面的法向量為.由，得，由，得，取，得.由于，因此向量與共線，即平面，18．（17分）如圖，已知圓E：，點，P是圓E上任意一點．線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q，設(shè)動點Q的軌跡為C．(1)求動點Q的軌跡C的方程；(2)設(shè)動點Q的軌跡C分別與x軸交于點A，B，過點F作一條直線與交于M，N兩點，求四邊形AMBN面積的取值范圍．18．（17分）【解析】（1）連接，根據(jù)題意，，則，故的軌跡是以為焦點，長軸長為的橢圓，設(shè)橢圓方程為，則有，，則，的軌跡方程為.（2）由（1）可知，，當(dāng)直線的斜率為0時，不能構(gòu)成四邊形AMBN，不合題意當(dāng)直線的斜率不等于0時，直線過點，故設(shè)直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立，消去，得，韋達(dá)定理，得，四邊形AMBN的面積，令，則，代入，得，根據(jù)均值不等式，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，，當(dāng)時，，四邊形AMBN的面積的最大值為，則四邊形AMBN面積的取值范圍為，綜上所述，四邊形AMBN面積的取值范圍為.19．（17分）17世紀(jì)，牛頓在《流數(shù)法與無窮級數(shù)》一書中，給出了代數(shù)方程的一種數(shù)值解法：如圖所示，我們想要找到的根，即點的橫坐標(biāo)，則可以先在點附近取一個初始值，比如橫坐標(biāo)為處，然后在以為橫坐標(biāo)的點處作一條切線，并求出該切線與軸的交點，此時，我們會發(fā)現(xiàn)比初始值更接近點．如果重復(fù)這個過程，不斷繪制切線并計算其與軸的交點，依次迭代下去，我們將得到，根據(jù)給定的精確度，直到求得滿足精度的近似解為止．這就是牛頓迭代法（切線法）的原理．已知，取．(1)根據(jù)牛頓迭代法，求；(2)求與的關(guān)系式；(3)牛頓迭代法中蘊含了“以直代曲”的數(shù)學(xué)思想，直線常常取