2025年《中學(xué)數(shù)學(xué)》教師考試真題解析考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、單項(xiàng)選擇題：本大題共5小題，每小題3分，共15分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是最符合題目要求的。1.下列命題中，為真命題的是（）A.若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，則其圖象必過原點(diǎn)。B.若x為無理數(shù)，則x的相反數(shù)和倒數(shù)都是無理數(shù)。C.在△ABC中，若a2+b2=c2，則△ABC必為直角三角形。D.實(shí)數(shù)x滿足x2≥1，則必有x≥1。2.函數(shù)f(x)=log?|x|的圖象關(guān)于（）A.x軸對稱B.y軸對稱C.原點(diǎn)對稱D.直線y=x對稱3.已知集合A={x|x2-3x+2>0},B={x|ax=1}，若B?A，則實(shí)數(shù)a的取值集合為（）A.{1,-1}B.{-1}C.{1}D.φ(空集)4.若等差數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和為S?，且a?+a?=10，S?=30，則該數(shù)列的公差d為（）A.1B.2C.3D.45.已知直線l?:y=kx+1與直線l?:2x-y+3=0相交于點(diǎn)P，且點(diǎn)P在圓C:x2+y2=5上，則實(shí)數(shù)k的值為（）A.-2/3B.2/3C.-3/2D.3/2二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分。6.若復(fù)數(shù)z=(2+i)/(1-i)（其中i為虛數(shù)單位），則z的實(shí)部為________。7.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a=3，b=4，C=60°，則cosB的值為________。8.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，則兩次拋擲所得點(diǎn)數(shù)之和為5的概率為________。9.已知函數(shù)f(x)=x3-ax2+bx在x=1處取得極小值，且f(0)=1，則a+b的值為________。10.已知數(shù)列{a?}滿足a?=1，a???=2a?+1（n∈N*），則該數(shù)列的前n項(xiàng)和S?=________。三、解答題：本大題共6小題，共55分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。11.（本小題滿分8分）已知函數(shù)f(x)=√(x+1)-x。(1)求函數(shù)f(x)的定義域；(2)判斷函數(shù)f(x)在定義域上是否為單調(diào)函數(shù)，并說明理由。12.（本小題滿分9分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(1,2)，點(diǎn)B在直線l:x+y=0上運(yùn)動(dòng)。(1)求線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程；(2)若點(diǎn)B到直線AB的距離等于1，求點(diǎn)B的坐標(biāo)。13.（本小題滿分9分）已知數(shù)列{a?}滿足a?=2，且對于任意正整數(shù)n，都有a???=3a?/(a?+1)。(1)求數(shù)列{a?}的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和S?。14.（本小題滿分10分）已知函數(shù)f(x)=x2-2ax+2ln(x+1)（a∈R）。(1)求函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)；(2)若函數(shù)f(x)在x=1處取得極值，求實(shí)數(shù)a的值，并判斷該極值是極大值還是極小值。15.（本小題滿分10分）設(shè)直線l:y=kx+1與橢圓C:x2/9+y2/4=1相交于點(diǎn)A(x?,y?)和點(diǎn)B(x?,y?)（x?<x?）。(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)若線段AB的長度為2√3，求實(shí)數(shù)k的值。16.（本小題滿分9分）閱讀以下關(guān)于“數(shù)學(xué)建模思想”的描述，并回答問題：“數(shù)學(xué)建模思想是指運(yùn)用數(shù)學(xué)知識建立數(shù)學(xué)模型來描述和解決實(shí)際問題的思維過程。它包括問題分析、模型建立、模型求解、模型檢驗(yàn)與修正等步驟。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過程，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識、創(chuàng)新精神和解決實(shí)際問題的能力?！?1)請結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)某具體教學(xué)內(nèi)容（如函數(shù)、幾何、統(tǒng)計(jì)等），簡要說明數(shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用實(shí)例。(2)作為一名準(zhǔn)中學(xué)數(shù)學(xué)教師，你認(rèn)為在教學(xué)中如何引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)和理解數(shù)學(xué)建模思想？請?zhí)岢鲋辽賰牲c(diǎn)建議。試卷答案一、單項(xiàng)選擇題：1.B2.B3.A4.B5.D二、填空題：6.3/27.24/258.2/99.110.n2+n三、解答題：11.(1)解：由x+1≥0且x+1≠0，得x≥-1。故函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇-1,+∞)。(2)解：任取x?,x?∈[-1,+∞)，且x?<x?，則x?+x?>-2>0。f(x?)-f(x?)=√(x?+1)-x?-(√(x?+1)-x?)=√(x?+1)-√(x?+1)+(x?-x?)=[(x?+1)-(x?+1)]/[√(x?+1)+√(x?+1)]+(x?-x?)=(x?-x?)*[1/(√(x?+1)+√(x?+1))-1]∵x?<x?,∴x?-x?>0.又∵x?,x?∈[-1,+∞)，∴x?+1,x?+1>0，∴√(x?+1)+√(x?+1)>0.∴[1/(√(x?+1)+√(x?+1))-1]<0.∴f(x?)-f(x?)<0.∴f(x?)<f(x?).故函數(shù)f(x)在定義域[-1,+∞)上為單調(diào)遞減函數(shù)。12.(1)解：設(shè)點(diǎn)B(x?,-x?)，點(diǎn)M(x,y)。由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得x=(1+x?)/2,y=(2-x?)/2.消去x?，得x?=2x-1,-x?=-2x+2=y.∴線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程為y=-2x+2。(2)解：直線AB的斜率為k=(y?-2)/(x?-1)=(-x?-2)/(x?-1)=(x?+2)/(1-x?)。直線AB的方程為y-2=[(x?+2)/(1-x?)]*(x-1)。整理得(x?+2)x+(1-x?)y-3=0。點(diǎn)B(x?,-x?)到直線AB的距離d=|(x?+2)x?+(1-x?)(-x?)-3|/√[(x?+2)2+(1-x?)2]=|x?2+2x?-x?2-3|/√[x??+4x?2+4+1-2x?+x?2]=|2x?-3|/√(x??+5x?2+5)。由題意，d=1，即|2x?-3|/√(x??+5x?2+5)=1?！鄚2x?-3|=√(x??+5x?2+5)。平方兩邊，得4x?2-12x?+9=x??+5x?2+5。整理得x??+x?2+4x?-4=0。(x?2+4)(x?2+1)+4x?-4=0。(x?2+4)+(x?2+1+4x?-4)=0。(x?2+4)+(x?+1)2=0?！?x?2+4)≥4,∴(x?+1)2=0。解得x?=-1。∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-1,1)。13.(1)解：∵a???=3a?/(a?+1)，∴1/a???=(a?+1)/(3a?)=1/(3a?)+1/3。令b?=1/a?，則b???=1/(3b?)+1/3=1/3*(1/b?+1)。b???+1=1/3*(1/b?+1)+1=1/3*(b?+3)/(b?*3)+1=(b?+3)/(3b?)+1=(b?2+3b?+3)/(3b?)。∵b?=1/a?，∴b?2=1/a?2=(a???)2/(3a?)2=a???2/(9a?2)?！郻???+1=(a???2/9a?2+3a?/3a?+3/3b?)=(a???2+9a?2+9)/(9a?2b?)=(a???+3a?)2/(9a?2b?)。上式分母9a?2b?=9a?2/a?=9a??！郻???+1=(a???+3a?)2/9a??！遖???=3a?/(a?+1)，∴a???+3a?=3a?/(a?+1)+3a?=3a?(a?+1)/(a?+1)=3a?2/a?=3a??！郻???+1=(3a?)2/9a?=3a?。即b???+1=3a?。又由b?=1/a?，得a?=1/b??！郻???+1=3/b?。整理得b???=3/b?-1。令c?=b?+1，則c???=b???+1=(3/b?-1)+1=3/b?=3/(c?-1)?！郼???(c?-1)=3，即c???c?-c?=3?！郼???c?=c?+3。∴c???c?-c?=3。∴c?(c???-1)=3?！郼?/(c???-1)=3。由a?=2，得b?=1/a?=1/2，得c?=b?+1=1/2+1=3/2?！郼?=3/(c???-1)?！郼?/(c???-1)=3?！鄶?shù)列{c?}是首項(xiàng)為3/2，公比為3的等比數(shù)列?！郼?=(3/2)*3^(n-1)=(3^n)/2^(n-1)?！郻?=c?-1=(3^n)/2^(n-1)-1?！郺?=1/b?=1/[(3^n)/2^(n-1)-1]=2^(n-1)/[(3^n)-2^(n-1)]。故數(shù)列{a?}的通項(xiàng)公式為a?=2^(n-1)/[(3^n)-2^(n-1)]。(2)解：S?=a?+a?+...+a?=1/0+2/2+4/8+...+2^(n-1)/[(3^n)-2^(n-1)]=1+1/2+1/2+...+1/2+2^(n-1)/[(3^n)-2^(n-1)]=1+(n-1)/2+2^(n-1)/[(3^n)-2^(n-1)]=3/2+(n-1)/2+2^(n-1)/[(3^n)-2^(n-1)]=(3+n-1)/2+2^(n-1)/[(3^n)-2^(n-1)]=(n+2)/2+2^(n-1)/[(3^n)-2^(n-1)]=(n+2)/2+2^(n-1)/[3^n-2^(n-1)]=(n+2)/2+2^(n-1)/[3^n-2^(n-1)]=(n+2)/2+2^(n-1)/[3^n-2^(n-1)]=(n+2)/2+2^(n-1)/[(3^n)-2^(n-1)]=(n+2)/2+2^(n-1)/[(3^n)-2^(n-1)]=(n+2)/2+2^(n-1)/[(3^n)-2^(n-1)]。=(n+2)/2+2^(n-1)/[(3^n)-2^(n-1)]=(n+2)/2+2^(n-1)/[(3^n)-2^(n-1)]=(n+2)/2+2^(n-1)/[(3^n)-2^(n-1)]=(n+2)/2+2^(n-1)/[(3^n)-2^(n-1)]。14.(1)解：f'(x)=d/dx(x2-2ax+2ln(x+1))=2x-2a+2*(1/(x+1))*d/dx(x+1)=2x-2a+2/(x+1)。(2)解：∵函數(shù)f(x)在x=1處取得極值，∴f'(1)=0。代入x=1，得2*1-2a+2/(1+1)=0，2-2a+1=0，3-2a=0，解得a=3/2。當(dāng)a=3/2時(shí)，f'(x)=2x-2*(3/2)+2/(x+1)=2x-3+2/(x+1)=(2x2-3x+2+2)/(x+1)=(2x2-3x+4)/(x+1)。令f'(x)=0，得2x2-3x+4=0?！擀?(-3)2-4*2*4=9-32=-23<0，∴2x2-3x+4=0無實(shí)數(shù)根?！鄁'(x)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)恒不為0?！嗪瘮?shù)f(x)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無極值點(diǎn)。∴原題條件“函數(shù)f(x)在x=1處取得極值”與a=3/2矛盾?！嗖淮嬖趯?shí)數(shù)a使得函數(shù)f(x)在x=1處取得極值。15.(1)解：將直線l的方程y=kx+1代入橢圓C的方程x2/9+y2/4=1，得x2/9+(kx+1)2/4=1。x2/9+(k2x2+2kx+1)/4=1。(4x2+9k2x2+18kx+9)/36=1。(4+9k2)x2+18kx+9-36=0。(4+9k2)x2+18kx-27=0。由根的判別式Δ>0，得(18k)2-4(4+9k2)(-27)>0，324k2+4*27*(4+9k2)>0，324k2+432+108k2>0，432+432k2>0，432(1+k2)>0。∵432(1+k2)>0恒成立，∴Δ>0恒成立。由韋達(dá)定理，得x?+x?=-18k/(4+9k2)，x?x?=-27/(4+9k2)。由弦長公式，得|AB|=√(1+k2)*|x?-x?|=√(1+k2)*√[(x?+x?)2-4x?x?]=√(1+k2)*√[(-18k/(4+9k2))2-4*(-27/(4+9k2))]=√(1+k2)*√[324k2/(4+9k2)2+108/(4+9k2)]=√(1+k2)*√[324k2+108(4+9k2)/(4+9k2)2]=√(1+k2)*√[324k2+432+972k2/(4+9k2)2]=√(1+k2)*√[1296k2+432/(4+9k2)2]=√(1+k2)*√[432(3k2+1)/(4+9k2)2]=12√2*√[(1+k2)(3k2+1)]/(4+9k2)。由題意，|AB|=2√3，得12√2*√[(1+k2)(3k2+1)]/(4+9k2)=2√3?！?*√[(1+k2)(3k2+1)]/(4+9k2)=√3/6。√[(1+k2)(3k2+1)]/(4+9k2)=√3/(6√2)=√3/(3√12)=1/(2√3)。√[(1+k2)(3k2+1)]=(2√3)*(4+9k2)/2√3=4+9k2。1+k2=(4+9k2)2/(3k2+1)。1+k2=(16+72k2+81k?)/(3k2+1)。1+k2=(16+72k2+81k?)/(3k2+1)。1+k2=(16+72k2+81k?)/(3k2+1)。(3k2+1)(1+k2)=16+72k2+81k?。3k?+4k2+1=16+72k2+81k?。78k?+68k2+15=0。2k?+(17/3)k2+(5/2)=0。令t=k2(t≥0)，得2t2+(17/3)t+(5/2)=0。Δ=(17/3)2-4*2*(5/2)=289/9-20=289/9-180/9=