2025-2026學年高二上學期期中考試數學試題一、單選題1．已知直線經過點，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．2．已知直線，則直線在軸上的截距為（

）A．4 B． C．6 D．3．若直線與直線垂直，則（

）A． B． C．1 D．24．圓心坐標為，且與軸相切的圓的方程為（

）A． B．C． D．5．已知橢圓的左右焦點分別為，點為坐標原點，點為橢圓上一點，點為中點，若的周長為6，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．6．已知雙曲線的兩條漸近線相互垂直，則（

）A． B． C．4 D．27．拋物線方程為，則此拋物線的準線為（）A． B． C． D．8．若關于的方程有且僅有兩個不同的實數根，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知點到直線的距離為3，則實數等于（

）A．0 B． C．3 D．210．已知曲線，則下列正確的有（

）A．若，則曲線的離心率為B．若，則是橢圓，其焦點在軸上C．若，則為雙曲線，其漸近線方程為D．若，則是圓，其半徑為11．已知圓，直線，則（

）A．直線恒過定點B．當時，圓上恰有三個點到直線的距離等于1C．直線被圓截得的最小弦長為D．若圓與圓恰有三條公切線，則三、填空題12．頂點為坐標原點，對稱軸為坐標軸，焦點在直線上的拋物線的標準方程為.13．已知，動點滿足，則動點的軌跡的方程為.14．若點、為橢圓的長軸頂點，過橢圓上任一不同于、的點作的垂線，垂足為點，若，則該橢圓的離心率為.四、解答題15．已知直線經過、兩點．(1)求直線的方程；(2)設直線，若，求實數的值．16．已知圓M過點(1)求圓M的方程；(2)過點的直線與圓M相交于D?E兩點，且，求直線的方程.17．已知橢圓的離心率為，短軸長為.(1)求C的方程；(2)若直線與C交于兩點，O為坐標原點，的面積為，求t的值.18．若拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合.(1)求拋物線的方程；(2)已知點，在曲線上是否存在一點，使點到點的距離與點到軸的距離之和取得最小值？若存在點，求出點的坐標以及的最小值.19．如圖，設雙曲線的左頂點為點，直線與雙曲線相交于A、B兩點，且A、B兩點均異于點.(1)求點的坐標，及雙曲線的離心率；(2)若線段AB的中點為，求直線的方程；(3)若以線段AB為直徑的圓恒過點，試判斷直線是否過定點？若過定點，求出該定點的坐標；若不過定點，請說明理由.

1．D借助斜率公式計算即可可得.【詳解】直線的斜率為.故選：D.2．D根據題意，令，求得，即可得到直線在軸上的截距，得到答案.【詳解】由直線的方程為，令，可得，解得，所以直線在軸上的截距為.故選：D.3．C利用兩條直線互相垂直列式求解.【詳解】由直線與直線垂直，得，所以.故選：C.4．D先根據已知條件得出圓心到軸的距離等于半徑，再利用圓心坐標和半徑得出圓的方程，最后對比判斷選項即可．【詳解】圓心坐標為，且圓與軸相切，圓的半徑等于圓心到軸的距離，圓的方程為：，故D正確．故選：D．5．B由中位線性質得出焦點的周長，從而求得半焦距，再由離心率的定義式計算可得．【詳解】因為為的中點，而是中點，所以，所以的周長是周長的一半，又的周長為6，所以周長是12，即，得，又，所以，．故選：B．6．B由題可得雙曲線漸近線方程為，再由直線斜率為-1可得答案.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，因為的兩條漸近線相互垂直，所以.，又，則.故選：B.7．D先化為標準拋物線形式，再由準線方程可得.【詳解】拋物線方程為，則，可得，拋物線的準線為.故選：D．8．A由題意可得方程有且僅有兩個不同的實數根，將方程根的情況轉化為一個半圓與一條直線交點的情況，再用數形結合，先求出相切時的斜率，再得到有兩個交點的情況.【詳解】關于的方程有且僅有兩個不同的實數根，所以，即方程有且僅有兩個不同的實數根，將方程轉化為：半圓與直線有兩個不同交點，當直線與半圓相切時，有，解得，所以半圓與直線有兩個不同交點時.直線一定過，由圖象知直線過時直線的斜率取最大值為1，.故選：A9．AB根據點到直線的距離公式計算即可.【詳解】依題意，即,解得或.故選：AB.10．ACD根據圓、橢圓、雙曲線的標準方程和幾何性質即可逐項判斷.【詳解】對于選項A：若，則C為雙曲線，，故A正確；對于選項B：若，則是橢圓，其焦點在x軸上，故B錯誤；對于選項C：若，則為雙曲線，其漸近線方程為，即，故C正確；對于選項D：若，則是圓,半徑為，故D正確.故選：ACD.11．ACD將直線方程變形，求出直線經過的定點，可判斷A；利用點到直線的距離公式進行計算，可判斷B；根據過定點的直線與圓相交時最小弦長計算方法計算可判斷C；利用圓心距與兩圓半徑之間的關系計算可判斷D.【詳解】對于A，直線的方程為，變形可得：，令，解得，所以直線恒過定點，故A正確；對于B，圓，其圓心為，半徑為，當時，直線的方程為，圓心到直線的距離為，由于，所以圓上只有2個點到直線的距離為1，故B錯誤；對于C，因為直線過定點，且點在圓內，則經過，兩點的直線與直線垂直時，直線被圓截得的弦長最小，此時圓心到直線的距離為，所以最小弦長為，故C正確；對于D，圓的方程，即，其圓心為，半徑為，需滿足，若圓與圓恰有三條公切線，則兩圓外切，則有，解得，故D正確.故選：ACD.12．或由直線方程求得與坐標軸的交點，根據已知焦點求得拋物線的標準方程，可得答案.【詳解】令得，令得，所以拋物線的焦點為或.當焦點為時，拋物線方程為；焦點為時，拋物線方程為.故答案為：或.13．設動點，根據兩點間距離公式，列方程即可求解.【詳解】設動點，則，即，整理得，故動點的軌跡的方程為.故答案為：.14．/不妨假設橢圓的焦點在軸上，設橢圓的標準方程為，設點，其中，且有，利用已知條件得出的值，再利用可求得該橢圓離心率的值.【詳解】不妨假設橢圓的焦點在軸上，設橢圓的標準方程為，設，設點，其中，則，，，由題意可得，所以，所以，因此該橢圓的離心率為.故答案為：.15．(1)(2)．（1）求出直線的斜率，利用點斜式求出直線方程；（2）根據直線垂直滿足的關系式得到方程，求出實數的值.【詳解】（1）直線經過、兩點，，直線，即：．（2）由，直線，，得，解得，即實數的值為．16．(1)(2)或（1）利用待定系數法求圓的方程；（2）由已知求出圓心到直線的距離，分斜率存在和不存在討論，再利用點到直線的距離公式，即可求出直線的斜率，進而得到直線的方程.【詳解】（1）設圓，則，解得，滿足，所以圓的方程為，即.（2）由（1）知，，半徑，設圓心到直線的距離為，則，即，解得，當直線的斜率不存在時，為，符合題意；當直線的斜率存在時，設，故，解得，此時直線的方程為，綜上，直線的方程為或.17．(1)(2)或（1）根據題意可得，進而解出即可求解；（2）聯立直線與橢圓方程，根據弦長公式及點到直線的距離公式表示出的面積，建立方程即可求解.【詳解】（1）由題意，得，解得，則橢圓C的方程為.（2）設，聯立，得，則，解得，且，所以，點到直線的距離為，

則，解得或，滿足，則或.18．(1)(2)存在，，的最小值為13【詳解】（1）由題意知，橢圓的右焦點為，則，，所以拋物線的方程為.（2）存在一點，使點到點的距離與點到軸的距離之和取得最小值，理由如下：如圖所示，根據拋物線的定義得，所以當三點共線時，點到點的距離與點到軸的距離之和取得最小值，此時點為直線與拋物線的交點，又直線的方程為，聯立，解得或（舍去），則點，此時最小，且最小值為，因此在曲線上存在一點，使點到點的距離與點到軸的距離之和取得最小值，且的最小值為13.19．(1)，(2