【第一講：集合】總覽總覽題型梳理【知識點(diǎn)清單】1．描述法表示集合【知識點(diǎn)的認(rèn)識】一般地，設(shè)A是一個集合，我們把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x所組成的集合表示為{x|P（x）}，這種表示集合的方法稱為描述法．【解題方法點(diǎn)撥】明確描述對象：要清楚集合中包含的元素以及不包含的元素．理解描述條件：描述條件要準(zhǔn)確、簡潔，通常用文字或符號來表示集合中的元素特征．統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)：確保描述的方法能夠唯一確定一個集合，避免模糊或歧義的描述．2．元素與集合關(guān)系的判斷【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、元素與集合的關(guān)系：一般地，我們把研究對象稱為元素，把一些元素組成的總體稱為集合，簡稱集．元素一般用小寫字母a，b，c表示，集合一般用大寫字母A，B，C表示，兩者之間的關(guān)系是屬于與不屬于關(guān)系，符號表示如：a∈A或a?A．2、集合中元素的特征：（1）確定性：作為一個集合中的元素，必須是確定的．即一個集合一旦確定，某一個元素屬于還是不屬于這集合是確定的．要么是該集合中的元素，要么不是，二者必居其一，這個特性通常被用來判斷涉及的總體是否能構(gòu)成集合．（2）互異性：集合中的元素必須是互異的．對于一個給定的集合，他的任何兩個元素都是不同的．這個特性通常被用來判斷集合的表示是否正確，或用來求集合中的未知元素．（3）無序性：集合于其中元素的排列順序無關(guān)．這個特性通常被用來判斷兩個集合的關(guān)系．3．判斷元素與集合的屬于關(guān)系【知識點(diǎn)的認(rèn)識】元素與集合的關(guān)系：一般地，我們把研究對象稱為元素，把一些元素組成的總體稱為集合，簡稱集．元素一般用小寫字母a，b，c表示，集合一般用大寫字母A，B，C表示，兩者之間的關(guān)系是屬于與不屬于關(guān)系，符號表示如：a∈A或a?A．【解題方法點(diǎn)撥】明確集合定義：了解集合的定義及其包含的元素范圍．驗(yàn)證條件：檢查元素是否滿足集合的定義條件．符號表示：用∈表示元素屬于某集合，用?表示元素不屬于某集合．4．判斷兩個集合的包含關(guān)系【知識點(diǎn)的認(rèn)識】如果集合A中的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A?B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個元素不屬于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A?B；【解題方法點(diǎn)撥】1．按照子集包含元素個數(shù)從少到多排列．2．注意觀察兩個集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性質(zhì)來判斷兩個集合之間的關(guān)系．4．有時借助數(shù)軸，平面直角坐標(biāo)系，韋恩圖等數(shù)形結(jié)合等方法．5．集合的包含關(guān)系的應(yīng)用【知識點(diǎn)的認(rèn)識】如果集合A中的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A?B，讀作“A包含于B”（或“B包含于A”）．【解題方法點(diǎn)撥】1．按照子集包含元素個數(shù)從少到多排列．2．注意觀察兩個集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性質(zhì)來判斷兩個集合之間的關(guān)系．4．有時借助數(shù)軸，平面直角坐標(biāo)系，韋恩圖等數(shù)形結(jié)合等方法．6．求集合的交集【知識點(diǎn)的認(rèn)識】由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A∩B．符號語言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B實(shí)際理解為：x是A且是B中的相同的所有元素．當(dāng)兩個集合沒有公共元素時，兩個集合的交集是空集，而不能說兩個集合沒有交集．運(yùn)算性質(zhì)：①A∩B＝B∩A．②A∩?＝?．③A∩A＝A．④A∩B?A，A∩B?B．【解題方法點(diǎn)撥】解答交集問題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用求交集的方法是：①有限集找相同；②無限集用數(shù)軸、韋恩圖．7．集合的交并補(bǔ)混合運(yùn)算【知識點(diǎn)的認(rèn)識】集合交換律A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．集合結(jié)合律（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．題型題型分類知識講解與?？碱}型【題型1：元素與集合之間的關(guān)系】例題精選例題精選【例題1】（2025·黑龍江牡丹江·模擬預(yù)測）已知集合，且，則等于（

）A．－3或－1 B．-3 C．1 D．3【例題2】（2025·河南·一模）已知集合，若且，則（

）A． B．C． D．【例題3】（2024·廣東河源·模擬預(yù)測）已知集合，，若且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2024·遼寧·模擬預(yù)測）已知集合，且，則（

）A． B． C． D．【相似題2】（2024·山東濟(jì)南·二模）已知集合的元素之和為1，則實(shí)數(shù)a所有取值的集合為（

）A．{0} B．{1} C．{－1，1} D．{0,-1，1}【相似題3】（23-24高三上·廣東惠州·階段練習(xí)）集合，若且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【題型2：集合間的基本關(guān)系】例題精選例題精選【例題1】（2025·浙江杭州·模擬預(yù)測）設(shè)全集，集合，則（

）A． B． C． D．【例題2】（2025·江西景德鎮(zhèn)·模擬預(yù)測）滿足的集合的個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．7 D．8【例題3】已知集合，，，則、、的關(guān)系滿足（

）A． B． C． D．相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）已知集合，若，則a的值可以是（

）A． B． C．1 D．4【相似題2】（2024·山西·三模）設(shè)集合是4與6的公倍數(shù)，，則（

）A． B． C． D．【相似題3】多選題（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知集合，，集合滿足，則（

）A．， B．集合可以為C．集合的個數(shù)為7 D．集合的個數(shù)為8【題型3：集合的運(yùn)算】例題精選例題精選【例題1】（2025·四川廣安·模擬預(yù)測）已知集合，，則等于（

）A． B． C． D．【例題2】（2025·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知集合，則（

）A． B．C． D．【例題3】（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知全集，集合，，則（

）A．或 B．或C． D．相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2025·天津和平·三模）設(shè)全集，集合，，（

）A． B．C． D．【相似題2】（2025·重慶·模擬預(yù)測）已知集合，，則（

）.A． B．C． D．【相似題3】多選題（2025·河南·三模）已知全集，集合，，，若，則（

）A．的取值有個 B．C． D．所有子集的個數(shù)為【題型4：集合中的參數(shù)問題】例題精選例題精選【例題1】（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知，，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【例題2】（2024·全國·二模）已知集合，集合，則滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【例題3】（2024·河南·二模）已知集合，若集合有15個真子集，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（20-21高一上·浙江嘉興·階段練習(xí)）若集合，，則能使成立的所有a組成的集合為（

）A． B． C． D．【相似題2】（2024·江蘇常州·三模）集合，，若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為．【相似題3】（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)集合.若且，則.【題型5：韋恩圖的應(yīng)用】例題精選例題精選【例題1】（2025·山東棗莊·二模）已知全集為，集合是的兩個子集，若，則下列運(yùn)算結(jié)果為的子集的是（

）A． B．C． D．【例題2】（24-25高三下·湖南長沙·階段練習(xí)）若集合、、滿足：，則（

）A． B． C． D．【例題3】（2025·廣東佛山·模擬預(yù)測）已知全集，集合，，且，則（

）A． B．C． D．相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（24-25高三上·云南昆明·階段練習(xí)）如圖所示，集合是全集的三個真子集，則圖中陰影部分表示的集合是（

）A． B．C． D．【相似題2】（23-24高一上·湖南長沙·期末）已知全集為U，集合M，N滿足，則下列運(yùn)算結(jié)果為U的是（

）．A． B．C． D．【相似題3】多選題（2022·福建泉州·模擬預(yù)測）已知集合均為的子集，若，則（）A． B．C． D．【題型6：集合中的新定義問題】例題精選例題精選【例題1】（2025·云南玉溪·模擬預(yù)測）如圖所示的Venn圖中，A，B是非空集合，定義集合為陰影部分表示的集合.若集合，集合，則集合（

）A．B．C．或D．或【例題2】（2025·北京·模擬預(yù)測）集合的所有三個元素的子集記為記為集合中的最大元素，則（

）A．10 B．40 C．45 D．50【例題3】多選題（2025·湖北黃岡·模擬預(yù)測）對于集合、，定義運(yùn)算：且，.若，，則（

）A． B．C． D．相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知集合，若集合，且M中的所有元素之和為奇數(shù)，稱M為A的奇子集，則A的所有“奇子集元素之和”的總和為.【相似題2】（2025·湖北·模擬預(yù)測）已知集合，，、是的非空子集.記集合除以的余數(shù).若正整數(shù)滿足：存在非空集合、，使得兩兩的交集為空集，且，則稱為“好的”.(1)設(shè)，，當(dāng)時，求，并直接判斷是否為“好的”；(2)證明：是“好的”，是“好的”；(3)求所有“好的”正整數(shù).【相似題3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合，若對任意的，，有或，則稱集合為完美集合．(1)分別判斷集合與是否為完美集合；(2)當(dāng)時，若，求完美集合；(3)若集合為完美集合，記，求證：．課后針對訓(xùn)練課后針對訓(xùn)練一、單選題1．（2023·全國甲卷·高考真題）設(shè)全集,集合，（

）A． B．C． D．2．（23-24高二下·浙江溫州·期中）設(shè)集合，若，則（

）A． B． C． D．3．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）若全集是實(shí)數(shù)集，集合，，則如圖陰影部分表示的集合為（

）A． B． C． D．4．（2025·黑龍江吉林·模擬預(yù)測）已知集合，，則（

）A． B． C． D．5．（2025·福建福州·模擬預(yù)測）已知集合，則（

）A． B． C． D．6．（2025·福建漳州·模擬預(yù)測）下列集合中表示空集的是（

）A． B．C． D．7．（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）若集合，則（

）A． B． C． D．8．（2023·山東青島·三模）已知全集，集合A，B滿足，則下列關(guān)系一定正確的是（

）A． B． C． D．9．（2023·福建漳州·模擬預(yù)測）已知是全集，集合，滿足，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A． B． C． D．10．（2023·福建龍巖·二模）若全集，集合，則圖中陰影部分表示的集合為（

）

A． B． C． D．11．（2023·福建·模擬預(yù)測）已知集合，，全集，則以下集合（

）是空集A． B． C． D．12．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合，，若中有2個元素，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．13．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知集合，，若，則（

）A．-3 B．-1 C．1 D．314．（2025·福建泉州·一模）（

）A． B． C． D．15．（2021·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知為全集