專題02有理數(shù)的乘除法重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（12大題型+15道拓展培優(yōu)）題型一兩個(gè)有理數(shù)的乘法運(yùn)算題型二多個(gè)有理數(shù)的乘法運(yùn)算題型三有理數(shù)乘法的實(shí)際應(yīng)用題型四利用乘法運(yùn)算律進(jìn)行巧算題型五倒數(shù)、絕對值和相反數(shù)的綜合運(yùn)算題型六有理數(shù)的除法運(yùn)算題型七有理數(shù)的除法應(yīng)用題型八有理數(shù)乘除的混合運(yùn)算題型九與有理數(shù)乘除有關(guān)的新定義問題題型十有理數(shù)乘除法中的多結(jié)論問題題型十一有理數(shù)乘除法中的程序計(jì)算題型十二利用有理數(shù)的乘除法化簡含絕對值的分?jǐn)?shù)知識(shí)點(diǎn)1：有理數(shù)的乘法1.有理數(shù)的乘法有理數(shù)乘法法則：（下列法則中a、b為正有理數(shù)，c為任意有理數(shù)）兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，積的絕對值兩乘數(shù)的絕對值的積。任何數(shù)同0相乘，都得0。即：=ab；=ab；=-ab；；=-ab；；。有理數(shù)乘法的運(yùn)算步驟：先確定積的符號(hào)，再確定積的絕對值。多個(gè)有理數(shù)相乘：幾個(gè)不是0的數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，積為正數(shù)；負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，積為負(fù)數(shù)，即“奇負(fù)偶正”。幾個(gè)數(shù)相乘，如果其中有因數(shù)為0，那么積等于0。多個(gè)有理數(shù)相乘的運(yùn)算步驟：先用上面的方法確定符號(hào)，再將各乘數(shù)的絕對值相乘作為積的絕對值。2.有理數(shù)乘法運(yùn)算律乘法交換律：一般地，有理數(shù)乘法中，兩個(gè)數(shù)相乘，交換乘數(shù)的位置，積不變。即：。乘法結(jié)合律：一般地，有理數(shù)乘法中，三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，積不變。即：。乘法分配律：一般地，有理數(shù)乘法中，一個(gè)數(shù)同兩個(gè)數(shù)的和相乘，等于把這個(gè)數(shù)分別與這兩個(gè)數(shù)相乘，再把積相加。即：。知識(shí)點(diǎn)2：倒數(shù)1）倒數(shù)的概念：乘積是的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)。2）倒數(shù)的性質(zhì)：（1）倒數(shù)是成對出現(xiàn)的，單獨(dú)一個(gè)數(shù)不能稱為倒數(shù)。（2）沒有倒數(shù)。（3）互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)的乘積一定是，即，互為倒數(shù)，則；反之亦然．3）求一個(gè)非零有理數(shù)的倒數(shù)，把它的分子和分母顛倒位置即可。（1）非零整數(shù)可以看作分母為的分?jǐn)?shù)后再求倒數(shù)；（2）帶分?jǐn)?shù)一定要先化成假分?jǐn)?shù)之后再求倒數(shù)。知識(shí)點(diǎn)3：有理數(shù)的除法1）有理數(shù)除法法則1：除以一個(gè)不等于的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。即：，()。有理數(shù)除法法則2：兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，且商的絕對值等于被除數(shù)的絕對值除以除數(shù)的絕對值的商。除以任何一個(gè)不等于的數(shù)，都得。2）有理數(shù)除法的運(yùn)算步驟：先將除法換成乘法，然后確定積的符號(hào)，最后求出結(jié)果。有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算：先將除法換成乘法，然后確定積的符號(hào)，最后求出結(jié)果?！窘?jīng)典例題一兩個(gè)有理數(shù)的乘法運(yùn)算】【例1】（24-25七年級上·全國·單元測試）計(jì)算：(1)(2)(3)1．（24-25七年級上·全國·隨堂練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．2．（24-25七年級上·全國·隨堂練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．3．（24-25七年級上·全國·隨堂練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．【經(jīng)典例題二多個(gè)有理數(shù)的乘法運(yùn)算】【例2】（24-25七年級上·全國·單元測試）計(jì)算：(1)(2)1．（24-25七年級上·全國·隨堂練習(xí)）用簡便方法計(jì)算：(1)；(2)．2．（24-25七年級上·全國·隨堂練習(xí)）用乘法運(yùn)算律，將下列各式進(jìn)行簡便計(jì)算：(1)；(2)(3)；(4)．(5)(6)．3．（24-25七年級上·全國·隨堂練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)．【經(jīng)典例題三有理數(shù)乘法的實(shí)際應(yīng)用】【例3】（23-24七年級上·安徽淮北·階段練習(xí)）某水果種植基地種植一種優(yōu)質(zhì)黃桃，2020年黃桃總產(chǎn)量為，2021年增產(chǎn)，2022年引進(jìn)先進(jìn)管理技術(shù)以及種植面積的逐步擴(kuò)大，每年黃桃的產(chǎn)量增產(chǎn)，若2022年后該地黃桃增產(chǎn)量不變，則該基地黃桃產(chǎn)量突破的年份是（

）A．2022年 B．2023年 C．2024年 D．2025年1．（23-24七年級下·湖北武漢·開學(xué)考試）小明步行每分鐘行60米，小華騎自行車每分鐘行160米，二人同時(shí)同地相背而行5分鐘后，小華立即調(diào)頭來追甲，再經(jīng)過（

）分鐘小華可追上小明．A． B． C．10 D．112．（2024七年級·全國·競賽）如圖所示為中國行政區(qū)劃地圖中某五個(gè)行政區(qū)域的示意圖，現(xiàn)對圖中、、、、這五個(gè)部分用四種不同的顏色染色，相鄰的部分不能用相同的顏色，不相鄰的部分可以用相同的顏色，則不同的染色方法共有種．

3．（23-24七年級上·河北承德·期中）某自行車廠一周計(jì)劃生產(chǎn)輛自行車，平均每天生產(chǎn)輛，由于各種原因?qū)嶋H每天生產(chǎn)量與計(jì)劃量相比有出入，如下表是某周的生產(chǎn)情況（超產(chǎn)為正、減產(chǎn)為負(fù)）：星期一二三四五六日增減(1)根據(jù)記錄可知前三天共生產(chǎn)______輛；(2)產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn)______輛；(3)該廠實(shí)行計(jì)件工資制，每輛車元，超額完成任務(wù)每輛獎(jiǎng)元，少生產(chǎn)一輛扣元，那么該廠工人這一周的工資總額是多少？【經(jīng)典例題四利用乘法運(yùn)算律進(jìn)行巧算】【例4】（23-24七年級上·山東淄博·開學(xué)考試）請用適當(dāng)?shù)姆椒ㄓ?jì)算：(1)(2)(3)(4)(5)1．（24-25七年級上·全國·單元測試）用簡便方法計(jì)算：(1)(2)(3)2．（23-24七年級上·吉林·階段練習(xí)）用簡便方法計(jì)算：．3．（24-25七年級上·全國·隨堂練習(xí)）用簡便方法計(jì)算：(1)；(2)．【經(jīng)典例題五倒數(shù)、絕對值和相反數(shù)的綜合運(yùn)算】【例5】（23-24七年級上·廣東珠海·期中）已知a、b互為相反數(shù)，m、n互為倒數(shù)，x絕對值為3，求的值A(chǔ)．0 B． C．0或 D．0或1．（23-24七年級上·四川廣安·期末）若a的絕對值為7，b的倒數(shù)為，則的值為（

）A．5 B．9 C．或9 D．5或2．（23-24七年級上·河北石家莊·階段練習(xí)）已知一種運(yùn)算滿足，；．例如：．（1）．（2）如圖，數(shù)軸上從左至右排列著三個(gè)數(shù)b，c，a，其中c為最大的負(fù)整數(shù)，a的絕對值為3，且在原點(diǎn)右側(cè)，b到c的距離為2，則（填“>”“<”或“=”），計(jì)算．3．（23-24七年級上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·期末）已知，互為相反數(shù)，，互為倒數(shù)，的絕對值等于，是數(shù)軸上原點(diǎn)表示的數(shù)．(1)分別直接寫出，，，的值；(2)的值是多少？【經(jīng)典例題六有理數(shù)的除法運(yùn)算】【例6】（24-25七年級上·全國·隨堂練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．1．（24-25七年級上·全國·隨堂練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)．2．（23-24七年級上·云南昆明·開學(xué)考試）計(jì)算下面各題，怎樣簡便就怎樣算(1)(2)(3)(4)3．（24-25七年級上·全國·隨堂練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．【經(jīng)典例題七有理數(shù)的除法應(yīng)用】【例7】（23-24七年級上·浙江紹興·期末）甲乙丙三位同學(xué)合乘一輛滴滴車去順路的三個(gè)地點(diǎn)，事先約定三人根據(jù)路程分?jǐn)傑囐M(fèi)，甲在全程的四分之一處下車，甲下車時(shí)，乙離下車點(diǎn)還有一半的路程，丙坐完全程．已知乙支付了18元車費(fèi)，則三人一共支付多少車費(fèi)？（

）A．36元 B．48元 C．63元 D．81元1．（2024七年級·全國·競賽）在2018的左邊添加一個(gè)數(shù)字，右邊添加一個(gè)數(shù)字，組成一個(gè)六位數(shù)，且能被45整除，則的最大值是（

）A．10 B．35 C．56 D．812．（23-24七年級上·貴州遵義·期中）有兩個(gè)正數(shù)、，滿足，規(guī)定把大于或等于且小于或等于的所有數(shù)記作，，例如大于或等于0且小于或等于5的所有數(shù)記作，如果在中，在中，那么的一切值所在范圍是．3．（23-24七年級上·山東濱州·期末）有筐白菜，以每筐千克為標(biāo)準(zhǔn)，超過或不足的千克數(shù)分別用正、負(fù)數(shù)來表示，記錄如下：與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的差值（單位：千克）筐數(shù)(1)筐白菜中，最重的一筐比最輕的一筐重多少千克？(2)與標(biāo)準(zhǔn)重量比較，筐白菜總計(jì)超過或不足多少千克？每筐白菜的平均質(zhì)量是多少千克？(3)若白菜每千克售價(jià)元，則出售這筐白菜可賣多少元？（結(jié)果精確到十分位）【經(jīng)典例題八有理數(shù)乘除的混合運(yùn)算】【例8】（24-25七年級上·全國·隨堂練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．1．（20-21七年級上·吉林長春·期中）計(jì)算：．2．（2022七年級上·全國·專題練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)．3．（22-23七年級上·甘肅平?jīng)觥るA段練習(xí)）計(jì)算下列各題．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．【經(jīng)典例題九與有理數(shù)乘除有關(guān)的新定義問題】【例9】（23-24七年級上·河北石家莊·階段練習(xí)）若定義一種新的運(yùn)算，例如：，計(jì)算的結(jié)果為（

）A． B． C． D．1．（23-24七年級上·山東濱州·期末）對于任意非零實(shí)數(shù)a，b，定義運(yùn)算“※”如下：，則的值為（

）A． B． C． D．2．（23-24七年級上·廣西防城港·期中）對于任意的有理數(shù)，定義新運(yùn)算：，如．試計(jì)算：．3．（23-24七年級上·安徽蕪湖·期中）對于有理數(shù)a、b，定義新運(yùn)算：“”，．(1)計(jì)算：________；________；________（填“>”或“=”或“<”）；(2)我們知道：有理數(shù)的加法運(yùn)算和乘法運(yùn)算滿足交換律，那么，由（1）計(jì)算的結(jié)果，你認(rèn)為這種運(yùn)算：“”是否滿足交換律？若滿足，請說明理由；若不滿足，請舉例說明．【經(jīng)典例題十有理數(shù)乘除法中的多結(jié)論問題】【例10】（23-24六年級下·黑龍江哈爾濱·期末）若有理數(shù)a、b在數(shù)軸上表示的點(diǎn)的位置如圖所示．下列結(jié)論：①；

②；

③；④；

⑤；

⑥．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)1．（23-24六年級下·黑龍江哈爾濱·期中）下列說法：①若數(shù)a的絕對值等于a，則a是正數(shù)；②若，則a、b、c互為相反數(shù)；③若兩個(gè)數(shù)的和為正數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是正數(shù)；④若兩個(gè)數(shù)的商為，則這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)；⑤除以一個(gè)數(shù)等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)；⑥幾個(gè)數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定．其中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（23-24六年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）下列各說法中，正確的個(gè)數(shù)有（

）①若，則一定是負(fù)數(shù)；②一個(gè)正數(shù)一定大于它的倒數(shù)；③除以一個(gè)數(shù)，等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)；④若，則；⑤若，則且；A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．（23-24七年級上·山東臨沂·期末）已知有理數(shù)，數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的有（

）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【經(jīng)典例題十一有理數(shù)乘除法中的程序計(jì)算】【例11】（23-24七年級上·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）如圖所示的程序框圖，如圖所示的運(yùn)算程序中，若開始輸入的值為100，我們發(fā)現(xiàn)第1次輸出的結(jié)果為50，第2次輸出的結(jié)果為25，…，第2023次輸出的結(jié)果為（

）

A．1 B．2 C．4 D．81．（23-24七年級上·山東濟(jì)南·期中）如圖所示運(yùn)算程序中，若開始輸入的值為48，我們發(fā)現(xiàn)第1次輸出的結(jié)果為24，第2次輸出的結(jié)果為12，…第2017次輸出的結(jié)果為（）A．3 B．6 C．4 D．22．（21-22七年級上·山東濟(jì)南·期中）如圖所示，在這個(gè)數(shù)據(jù)運(yùn)算程序中，若開始輸入的x的值為2，結(jié)果輸出的是1，返回進(jìn)行第二次運(yùn)算則輸出的是﹣4，…，則第2021次輸出的結(jié)果是．3．（23-24七年級上·河南周口·階段練習(xí)）哥哥在電腦中設(shè)置了一個(gè)有理數(shù)運(yùn)算程序：輸入數(shù)及運(yùn)算符號(hào)，再輸入，得運(yùn)算式：．(1)求的值；(2)弟弟在運(yùn)行該程序時(shí)，屏幕顯示“該操作無法運(yùn)行”，請你推測弟弟輸入的數(shù)據(jù)可能是什么情況？【經(jīng)典例題十二利用有理數(shù)的乘除法化簡含絕對值的分?jǐn)?shù)】【例12】（23-24七年級上·四川宜賓·期末）下列說法正確的有（

）①對于任意有理數(shù)，代數(shù)式有最大值1；②10條直線兩兩相交，最多有90個(gè)交點(diǎn)：③已知a、b、c是非零的有理數(shù)，且時(shí)，則的值為1或；④規(guī)定，如果，，，那么．A．①② B．①②③ C．③④ D．①③④1．（23-24七年級上·重慶渝中·期末）已知，，若，則x的最大值與最小值的乘積為（

）A． B． C．6 D．242．（23-24八年級下·河南駐馬店·階段練習(xí)）已知，，則的值是．3．（23-24七年級上·江蘇泰州·階段練習(xí)）【總結(jié)提煉】小明學(xué)習(xí)了絕對值的性質(zhì)后，有這樣的思考和總結(jié)：當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則．【解決問題】（1）若，則．（2）若，則．【拓展提升】（3）若，計(jì)算：_________．1．（22-23七年級上·山西長治·階段練習(xí)）若a是非零自然數(shù)，則下面（

）算式結(jié)果最小A． B． C． D．2．（22-23七年級上·湖北襄陽·期末）下列說法正確的有（

）①最大的負(fù)整數(shù)是；②有理數(shù)分為正有理數(shù)和負(fù)有理數(shù)；③數(shù)軸上表示有理數(shù)的點(diǎn)一定在原點(diǎn)的左邊；④幾個(gè)數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定．A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)3．（23-24六年級下·黑龍江哈爾濱·期末）若有理數(shù)a、b在數(shù)軸上表示的點(diǎn)的位置如圖所示．下列結(jié)論：①；

②；

③；④；

⑤；

⑥．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)4．（23-24七年級上·江西南昌·開學(xué)考試）從和為55的10個(gè)不同的非零自然數(shù)中，取出3個(gè)數(shù)后，余下的數(shù)之和是55的，則取出的3個(gè)數(shù)的積最大等于（

）A．280 B．270 C．252 D．2165．（21-22七年級上·浙江臺(tái)州·期末）若，且，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則6．（24-25七年級上·全國·課堂例題）7．計(jì)算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．7．（22-23七年級上·浙江杭州·期中）若，，且，則．8．（23