浙江省鎮(zhèn)海市鎮(zhèn)海中學2026屆高二數(shù)學第一學期期末調(diào)研模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若連續(xù)拋擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m，n，則點P(m，n)在直線x＋y＝4上的概率是()A. B.C. D.2．直線的一個法向量為（）A. B.C. D.3．已知橢圓C：（）的長軸的長為4，焦距為2，則C的方程為（）A B.C. D.4．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.5．數(shù)學家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱為三角形的歐拉線已知的頂點，則的歐拉線方程為（）A. B.C. D.6．下列函數(shù)求導運算正確的個數(shù)為（）①；②；③；④.A.1 B.2C.3 D.47．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，的面積為10，則的值為（）A. B.C. D.8．已知動點的坐標滿足方程，則的軌跡方程是（）A. B.C. D.9．已知點A、是拋物線：上的兩點，且線段過拋物線的焦點，若的中點到軸的距離為3，則（）A.3 B.4C.6 D.810．經(jīng)過點作圓的弦,使點為弦的中點，則弦所在直線的方程為A. B.C. D.11．已知點P(5，3，6)，直線l過點A(2，3，1)，且一個方向向量為，則點P到直線l的距離為()A. B.C. D.12．如圖所示，已知是橢圓的左、右焦點，為橢圓的上頂點，在軸上，，且是的中點，為坐標原點，若點到直線的距離為3，則橢圓的方程為（）A B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線：（）的焦點到準線的距離為4，過點的直線與拋物線交于，兩點，若，則______14．已知橢圓的兩個焦點分別為，，，點在橢圓上，若，且的面積為4，則橢圓的標準方程為______15．已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C：﹣y2＝1（a＞0）的左、右焦點，點P是雙曲線C上的任意一點（不是頂點），過F1作∠F1PF2的角平分線的垂線，垂足為H，O是坐標原點．若|F1F2|＝6|OH|，則雙曲線C的方程為____16．的展開式中所有項的系數(shù)和為_________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等差數(shù)列中，首項，公差，且數(shù)列的前項和為（1）求和；（2）設，求數(shù)列的前項和18．（12分）已知正項等比數(shù)列的前項和為，滿足，.記.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設數(shù)列前項和，求使得不等式成立的的最小值.19．（12分）在平面直角坐標系中，已知點.點M滿足.記M的軌跡為C.（1）求C的方程；（2）直線l經(jīng)過點，與軌跡C分別交于點M、N，與直線交于點Q，求證：.20．（12分）已知（1）若函數(shù)在上有極值，求實數(shù)a的取值范圍；（2）已知方程有兩個不等實根，證明：（注：是自然對數(shù)的底數(shù)）21．（12分）已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率等于，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點.（1）求橢圓的標準方程；（2）已知直線與橢圓交于、兩點，、是橢圓上位于直線兩側(cè)的動點，且直線的斜率為，求四邊形面積的最大值.22．（10分）如圖，在正三棱柱中，，，，分別為，，的中點（1）證明：（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】利用分布計數(shù)原理求出所有的基本事件個數(shù)，在求出點落在直線x+y=4上包含的基本事件個數(shù)，利用古典概型的概率個數(shù)求出.解：連續(xù)拋擲兩次骰子出現(xiàn)的結(jié)果共有6×6=36，其中每個結(jié)果出現(xiàn)的機會都是等可能的，點P（m，n）在直線x+y=4上包含的結(jié)果有（1，3），（2，2），（3，1）共三個，所以點P（m，n）在直線x+y=4上的概率是3:36=1:12,故選D考點：古典概型點評:本題考查先判斷出各個結(jié)果是等可能事件，再利用古典概型的概率公式求概率，屬于基礎題2、B【解析】直線化為，求出直線的方向向量，因為法向量與方向向量垂直，逐項驗證可得答案.【詳解】直線的方向向量為，化為，直線的方向向量為，因為法向量與方向向量垂直，設法向量為，所以，由于，A錯誤；，故B正確；，故C錯誤；，故D錯誤；故選：B.3、D【解析】由題設可得求出橢圓參數(shù)，即可得方程.【詳解】由題設，知：，可得，則，∴C的方程為.故選：D.4、D【解析】根據(jù)題意參變分離得到，求出的最小值，進而求出實數(shù)a的取值范圍.【詳解】由題意得：在上恒成立，即，其中在處取得最小值，，所以，解得：，故選：D5、D【解析】根據(jù)題意得出的歐拉線即為線段的垂直平分線，然后求出線段的垂直平分線的方程即可.【詳解】因為，所以線段的中點的坐標，線段所在直線的斜率，則線段的垂直平分線的方程為，即，因為，所以的外心、重心、垂心都在線段的垂直平分線上，所以的歐拉線方程為.故選：D【點睛】本題主要考走查直線的方程，解題的關鍵是準確找出歐拉線，屬于中檔題.6、A【解析】根據(jù)導數(shù)的運算法則和導數(shù)的基本公式計算后即可判斷【詳解】解：①，故錯誤；②，故正確；③，故錯誤；④，故錯誤.所以求導運算正確的個數(shù)為1.故選：A.7、A【解析】由同角公式求出，根據(jù)三角形面積公式求出，根據(jù)余弦定理求出，根據(jù)正弦定理求出.【詳解】因為，所以，因為，的面積為10，所以，故，從而，解得，由正弦定理得：.故選：A.【點睛】本題考查了同角公式，考查了三角形的面積公式，考查了余弦定理，考查了正弦定理，屬于基礎題.8、C【解析】此方程表示點到點的距離與到點的距離之差為8，而這正好符合雙曲線的定義，點的軌跡是雙曲線的右支，，的軌跡方程是，故選C.9、D【解析】直接根據(jù)拋物線焦點弦長公式以及中點坐標公式求結(jié)果【詳解】設，，則的中點到軸的距離為，則故選：D10、A【解析】由題知為弦AB的中點，可得直線與過圓心和點的直線垂直，可求的斜率，然后用點斜式求出的方程【詳解】由題意知圓的圓心為，，由，得，∴弦所在直線的方程為，整理得.選A.【點睛】本題考查直線與圓的位置關系，直線的斜率，直線的點斜式方程，屬于基礎題11、B【解析】根據(jù)向量和直線l的方向向量的關系即可求出點P到直線l的距離.【詳解】由題意，，，，，，到直線的距離為.故選：B.12、D【解析】由題設可得，直線的方程為，點線距離公式表示到直線的距離，又聯(lián)立解得即可得出答案.【詳解】且，則△是等邊三角形，設，則①，∴直線方程為，即，∴到直線的距離為②，又③，聯(lián)立①②③，解得，，故橢圓方程為.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、15【解析】易得拋物線方程為，根據(jù)，求得點P的坐標，進而得到直線l的方程，與拋物線方程聯(lián)立，再利用拋物線定義求解.【詳解】解：因為拋物線的焦點到準線的距離為4，所以，則拋物線：，設點的坐標為，的坐標為，因為，所以，則，則，所以直線的方程為，代入拋物線方程可得，故，則，所以故答案為：1514、【解析】由題意得到為直角三角形．設，，根據(jù)橢圓的離心率，定義，直角三角形的面積公式，勾股定理建立方程的方程組，消元后可求得的值.【詳解】由題可知，∴,又，代入上式整理得，由得為直角三角形又的面積為4，設，，則解得所以橢圓的標準方程為15、8x2﹣y2＝1【解析】延長F1H與PF2，交于K，連接OH，由三角形的中位線定理和雙曲線的定義、垂直平分線的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的a，b，c的關系，可得雙曲線方程【詳解】解：延長F1H與PF2，交于K，連接OH，由題意可得PH為邊KF1的垂直平分線，則|PF1|＝|PK|，且H為KF1的中點，|OH|＝|KF2|，由雙曲線的定義可得|PF1|﹣|PF2|＝|PK|﹣|PF2|＝|F2K|＝2a，則|OH|＝a，又|F1F2|＝6|OH|，所以2c＝6a，即c＝3a，b＝＝2a，又雙曲線C：﹣y2＝1，知b＝1，所以a＝，所以雙曲線的方程為8x2﹣y2＝1故答案為：8x2﹣y2＝116、##0.015625【解析】賦值法求解二項式展開式中所有項的系數(shù)和.【詳解】令得：，即為展開式中所有項的系數(shù)和.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式與求和公式，即可求解；（2）根據(jù)題意，求出，結(jié)合等差數(shù)列求和公式，即可求解.【小問1詳解】根據(jù)題意，易知；.【小問2詳解】根據(jù)題意，易知，因為，所以數(shù)列是首項為2，公差為的等差數(shù)列，故18、（1），.（2）5.【解析】(1)根據(jù)數(shù)列的遞推公式探求出其項間關系，由此求出的公比，進而求得，的通項公式.(2)利用(1)的結(jié)論結(jié)合錯位相減法求出，再將不等式變形，經(jīng)推理計算得解.【小問1詳解】解：設正項等比數(shù)列的公比為，當時，，即，則有，即，而，解得，又，則，所以，所以數(shù)列，的通項公式分別為：，.【小問2詳解】解：由(1)知，，則，則，兩式相減得：于是得，由得：，即，令，，顯然，，，，，，由，解得，即數(shù)列在時是遞增的，于是得當時，即，，則，所以不等式成立的n的最小值是5.19、（1）（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)已知得點M的軌跡C為橢圓，根據(jù)橢圓定義可得方程；（2）直線的方程設為，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理及線段長公式進行計算即可.【小問1詳解】由橢圓定義得，點M的軌跡C為以點為焦點，長軸長為4的橢圓，設此橢圓的標準方程為，則由題意得，所以C方程為；【小問2詳解】設點的坐標分別為，由題意知直線的斜率一定存在，設為，則直線的方程可設為，與橢圓方程聯(lián)立可得，由韋達定理知，所以，，又因為，所以又由題知，所以，所以，所以，得證.20、（1）（2）證明見解析.【解析】（1）利用導數(shù)判斷出在上單增，在上單減，在處取得唯一的極值，列不等式組，即可求出實數(shù)a的取值范圍；（2）記函數(shù)，把證明，轉(zhuǎn)化為只需證明，用分析法證明即可.【小問1詳解】，定義域為，.令，解得：；令，解得：所以在上單增，在上單減，在處取得唯一的極值.要使函數(shù)在上有極值，只需，解得：，即實數(shù)a的取值范圍為.【小問2詳解】記函數(shù).則函數(shù)有兩個不等實根.因為，，兩式相減得，，兩式相加得，.因為，所以要證，只需證明，只需證明，只需證明，.證.設，只需證明.記，則，所以在上2單增，所以，所以，即，所以.即證.【點睛】導數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系；(2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；(3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題；(4)利用導數(shù)證明不等式21、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)離心率的定義以及橢圓與拋物線焦點的關系，可以求出橢圓方程；（2）根據(jù)題意，可以利用鉛錘底水平高的方法求四邊形APBQ的面積，即是要利用韋達定理算出.【小問1詳解】由題意，即；拋物線，焦點為，故，所以橢圓C的標準方程為：.【小問2詳解】由題意作圖如下：設AB直線的方程為：，并設點，，聯(lián)立方程：得：，∴……①，……②，；由于A，B兩點在直線PQ的兩邊（如上圖），所以，即，將①②帶入得：，解得；即由題意直線PQ的方程為，聯(lián)立方程解得，，∴；將線段PQ看做鉛錘底，A，B兩點的橫坐標之差看做水平高，得四邊形APBQ的面積為：，當且僅當m=0時取最大值，而，所以的最大值為.22、（1）證明見解析（2）【解析