1.復(fù)數(shù)的乘法法則設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù),那么它們的積(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.兩個(gè)復(fù)數(shù)的積是一個(gè)確定的復(fù)數(shù).特別地,當(dāng)z1,z2都是實(shí)數(shù)時(shí),把它們看作復(fù)數(shù)時(shí)的積就是

這兩個(gè)實(shí)數(shù)的積.7.2.2復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算1|復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)必備知識(shí)清單破2.復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律對(duì)于任意z1,z2,z3∈C,有①交換律:z1z2=z2z1;②結(jié)合律:(z1z2)z3=z1(z2z3);③分配律:z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.復(fù)數(shù)的除法法則:(a+bi)÷(c+di)=

+

i(a,b,c,d∈R,且c+di≠0).由此可見(jiàn),兩個(gè)復(fù)數(shù)相除(除數(shù)不為0),所得的商是一個(gè)確定的復(fù)數(shù).2|復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)若記z=a+bi(a,b∈R)的共軛復(fù)數(shù)為

,則

=a-bi.對(duì)于z與

有如下性質(zhì):(1)兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱(chēng);(2)實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是它本身,即z=

?z∈R;(3)共軛復(fù)數(shù)的和為實(shí)數(shù),即z+

=2a∈R;(4)z·

=|z|2=|

|2=a2+b2;(5)

=

+

;(6)

=

.3|共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)

1.若z1,z2∈C,且

+

=0,則z1=z2=0,對(duì)嗎?2.若z∈C,則z2=|z|2,對(duì)嗎?3.若

>1,則z1>z2,對(duì)嗎?4.復(fù)數(shù)加減乘除的混合運(yùn)算法則是先乘除后加減嗎?知識(shí)辨析1.不對(duì).比如z1=1+i,z2=1-i,滿足(1+i)2+(1-i)2=0,但z1≠0,z2≠0.2.不對(duì).設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則z2=a2-b2+2abi,|z|2=a2+b2,當(dāng)ab≠0時(shí),z2≠|(zhì)z|2.3.不對(duì).比如z1=2+2i,z2=1+i,

=2>1,但z1,z2不能比較大小.4.是.復(fù)數(shù)加減乘除的混合運(yùn)算和實(shí)數(shù)一樣,先乘除后加減.一語(yǔ)破的1.兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算的一般步驟(1)按多項(xiàng)式的乘法展開(kāi);(2)將i2換成-1;(3)進(jìn)行復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算.常用公式:①(a+bi)2=a2-b2+2abi(a,b∈R);②(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R);③(1±i)2=±2i.1|復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算定點(diǎn)關(guān)鍵能力定點(diǎn)破2.兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算的一般步驟(1)在進(jìn)行復(fù)數(shù)除法運(yùn)算時(shí),通常先把(a+bi)÷(c+di)(a,b,c,d∈R)寫(xiě)成

的形式.(2)復(fù)數(shù)的除法的實(shí)質(zhì)是分母實(shí)數(shù)化,即分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)(若分母是純虛數(shù),則

只需同乘i).(3)將分子、分母分別進(jìn)行乘法運(yùn)算,并化簡(jiǎn).常用結(jié)論:

=-i;

=i;

=-i.3.復(fù)數(shù)的積、商的模兩個(gè)復(fù)數(shù)積、商的模等于它們模的積、商.證明如下(a,b,c,d∈R):(1)|(a+bi)(c+di)|=|(ac-bd)+(bc+ad)i|=

===|a+bi||c+di|.(2)

=

=

=

=

=

(c+di≠0).已知復(fù)數(shù)z=

,

是z的共軛復(fù)數(shù),則z·

等于

(

)A.

B.

C.1

D.2典例

A解析

解法一(利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求解):因?yàn)閦=

=

=

=

=

=-

+

,所以

=-

-

,所以z·

=

+

=

.解法二(利用共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)求解):因?yàn)閦=

,所以|z|=

=

=

=

,所以z·

=|z|2=

.計(jì)算復(fù)數(shù)的乘積要用到虛數(shù)單位i的乘方,有如下結(jié)論:i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,其中i0=1,i-n=

(n∈N).說(shuō)明:(1)上述公式說(shuō)明i的乘方運(yùn)算的結(jié)果具有周期性,且最小正周期是4,即有i4n+i4n+1+i4n+2

+i4n+3=0(n∈N).(2)n可推廣到整數(shù)集.2|in(n∈N)的周期性及其應(yīng)用定點(diǎn)計(jì)算:(1)

·

·

·…·

;(2)1+i+i2+i3+…+i2023.典例

解析

(1)因?yàn)?/p>

=i,所以原式=i·i2·i3·…·i10=i1+2+3+…+10=i55=i3=-i.(2)因?yàn)閕n+in+1+in+2+in+3=0,n∈N,所以1+i+i2+i3+…+i2023=1+i+i2+i3+(i4+i5+i6+i7)+(i8+i9+i10+i11)+…+(i2020+i2021+i2022+i2023)=0+0+0+…+0=0.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi),實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求解方法:(1)求根公式法①當(dāng)Δ≥0時(shí),x=

;②當(dāng)Δ<0時(shí),x=

(此時(shí),兩根互為共軛復(fù)數(shù)).(2)利用復(fù)數(shù)相等的定義求解設(shè)方程的根為x=m+ni(m,n∈R),將此根代入方程ax2+bx+c=0(a≠0),化簡(jiǎn)后利用復(fù)數(shù)相等

的定義求解.注意:根與系數(shù)的關(guān)系在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.3|復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的實(shí)系數(shù)一元二次方程根的問(wèn)題定點(diǎn)已知1+i是方程x2+bx+c=0(b,c∈R)的一個(gè)根.(1)求b,c的值;(2)試判斷1-i是不是方程的根.典例

解析

(1)∵1+i是方程x2+bx+c=0的根,∴(1+i)2+b(1+i)+