2025-2026人教版八上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量評(píng)價(jià)3考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題3分，共36分）1.若分式有意義，則x的取值范圍是（）A.x≠2 B.x≠﹣2 C.x≠4 D.x≠﹣42.諸葛亮的《誡子書》中有言“非淡泊無以明志，非寧?kù)o無以致遠(yuǎn)”，下面是“寧?kù)o致遠(yuǎn)”四個(gè)字的首字母，其中是軸對(duì)稱圖形的是（）A B. C. D.3.成人每天維生素的攝入量約為克，數(shù)據(jù)“”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.4.下列運(yùn)算中正確的是（）A. B.C. D.5.一木工師傅有兩根長(zhǎng)分別為的木條，他要找第三根木條，將它們釘成一個(gè)三角形框架，以下4根木條，他選擇（）根木條合適．A. B. C. D.6.如圖，點(diǎn)F，A，D，C在同一直線上，，且，，已知，，則的長(zhǎng)為（）A.5 B.6 C.6.5 D.77.下列命題的逆命題，正確的是（）A.全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等 B.相等兩個(gè)數(shù)的平方也相等C.兩個(gè)無理數(shù)的積也是無理數(shù) D.等腰三角形兩腰上的高相等8.下列各式能用完全平方公式進(jìn)行分解因式的是（）A.x2+1 B.x2+2x﹣1C.x2+x+1 D.x2+4x+49.如圖，點(diǎn)在內(nèi)部的一條射線上，于點(diǎn)，且．已知點(diǎn)到射線的最小距離為4，且，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.10.某特快列車在最近一次的鐵路大提速后，時(shí)速提高了30千米小時(shí)，則該列車行駛350千米所用的時(shí)間比原來少用1小時(shí)，若該列車提速前的速度是x千米小時(shí)，下列所列方程正確的是（）A. B.C. D.11.如圖，外角的平分線CE與內(nèi)角的平分線BE交于點(diǎn)E，若，則的度數(shù)為（）A.65° B.60° C.55° D.50°12.如圖，，和均為等腰三角形，其中，．連接并延長(zhǎng)交，于點(diǎn)，，連接．若平分，則下列選項(xiàng)中不正確的是（）A. B. C. D.二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分）13.因式分解：_____．14.如圖，，請(qǐng)你添加一個(gè)條件使得，可添?xiàng)l件是_________．（添一個(gè)即可）15.要使的展開式中不含項(xiàng)，則________．16.若，則的值為__________．17.如圖，在中，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為______．18.已知:如圖，BD為△ABC的角平分線，且BD=BC，E為BD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，BE=BA，過E作EF⊥AB，F(xiàn)為垂足，下列結(jié)論:①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=EF=EC；④AE=EC，其中正確的是________(填序號(hào))三、解答題（本大題共7小題，共90分）19.（1）計(jì)算：；（2）解方程：．20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．與關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)D，E，F(xiàn)．（1）點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為；（2）在圖中畫出，求的面積．21.如圖，在△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝110°，AD是BC邊上高線，AE平分∠BAC，求∠DAE的度數(shù)．22.為保障蔬菜基地種植用水，需要修建灌溉水渠．計(jì)劃先由甲、乙兩隊(duì)合作修建30天，剩下的工程再由乙隊(duì)單獨(dú)做15天完成，若甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需天數(shù)之比為2:3．求甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)修建灌溉水渠各需多少天？23.如圖，在中，，是邊上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)分別向，引垂線，垂足分別為，．（1）當(dāng)點(diǎn)在的什么位置時(shí)，？并說明理由；（2）在（1）的條件下，若，，求的長(zhǎng)．24.閱讀下列材料：若一個(gè)正整數(shù)x能表示成（a，b是正整數(shù)，且的形式，則稱這個(gè)數(shù)為“明禮崇德數(shù)”，a與b是x的一個(gè)平方差分解．例如：因?yàn)?，所?是“明禮崇德數(shù)”，3與2是5的平方差分解；再如：y是正整數(shù)，所以M也是“明禮崇德數(shù)”，與y是M的一個(gè)平方差分解．（1）判斷：9

“明禮崇德數(shù)”填“是”或“不是”；（2）已知與是P一個(gè)平方差分解，求P；（3）已知（，y是正整數(shù)，k是常數(shù)，且），要使N是“明禮崇德數(shù)”，試求出符合條件的一個(gè)k值，并說明理由．25.已知在等邊三角形中，點(diǎn)D在上，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，且，連接，．【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖，當(dāng)D為的中點(diǎn)時(shí)，探究線段與之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論：；（選填“”“”或“”）類比探究】（2）如圖，當(dāng)D為邊上任意一點(diǎn)時(shí)，探究線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；【拓展延伸】（3）當(dāng)D為的中點(diǎn)，時(shí)，P，Q分別為射線、射線上的動(dòng)點(diǎn)，且．若，求的長(zhǎng)．答案參考：八上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量評(píng)價(jià)考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題3分，共36分）1.若分式有意義，則x的取值范圍是（）A.x≠2 B.x≠﹣2 C.x≠4 D.x≠﹣4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分式有意義的條件可得2x+4≠0，據(jù)此進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由題意得：2x+4≠0，解得：x≠-2，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了分式有意義的條件，熟知分母不為0時(shí)分式有意義是解題的關(guān)鍵．2.諸葛亮的《誡子書》中有言“非淡泊無以明志，非寧?kù)o無以致遠(yuǎn)”，下面是“寧?kù)o致遠(yuǎn)”四個(gè)字的首字母，其中是軸對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可．【詳解】解：A.不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；B.不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；C.不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；D.能找到這樣一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．3.成人每天維生素的攝入量約為克，數(shù)據(jù)“”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】絕對(duì)值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10-n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．【詳解】0.0000046=4.6×10-6．

故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10-n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．4.下列運(yùn)算中正確是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查的是冪的乘方運(yùn)算、完全平方和公式、同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算及同底數(shù)冪的除法運(yùn)算等知識(shí)，根據(jù)冪的乘方運(yùn)算、完全平方和公式、同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算及同底數(shù)冪的除法運(yùn)算逐項(xiàng)驗(yàn)證即可得到答案，熟練掌握整式相關(guān)運(yùn)算法則是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、，計(jì)算錯(cuò)誤，此選項(xiàng)不符合題意；B、，計(jì)算錯(cuò)誤，此選項(xiàng)不符合題意；C、，計(jì)算正確，此選項(xiàng)符合題意；D、，計(jì)算錯(cuò)誤，此選項(xiàng)不符合題意；故選：C．5.一木工師傅有兩根長(zhǎng)分別為的木條，他要找第三根木條，將它們釘成一個(gè)三角形框架，以下4根木條，他選擇（）根木條合適．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，理解三角形三邊關(guān)系是解題關(guān)鍵．三角形的三邊關(guān)系：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊，據(jù)此可得第三邊的取值范圍，進(jìn)而可得答案．【詳解】解：設(shè)三角形框架的第三邊長(zhǎng)為，根據(jù)題意，可得，∴，故選項(xiàng)A、B、D不符合題意，選項(xiàng)C符合題意．故選：C．6.如圖，點(diǎn)F，A，D，C在同一直線上，，且，，已知，，則的長(zhǎng)為（）A.5 B.6 C.6.5 D.7【答案】C【解析】【分析】根據(jù)、，可得∠F=∠C，∠EDF=∠BAC，且EF=BC，可證，從而得AC=DF，DC=AF，再根據(jù)，，求出DC，從而求出AC的長(zhǎng)．【詳解】∵、，∴∠F=∠C，∠EDF=∠BAC，在和中，∠F=∠C，∠EDF=∠BAC，EF=BC，∴，∴AC=DF，可得DC=AF又DC=(FC-AD)÷2=(10-3)÷2=3.5∴AC=AD+DC=6.5故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)．熟練掌握三角形的全等判定及性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵，同時(shí)對(duì)于線段長(zhǎng)度的轉(zhuǎn)換是比較關(guān)鍵的．7.下列命題的逆命題，正確的是（）A.全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等 B.相等兩個(gè)數(shù)的平方也相等C.兩個(gè)無理數(shù)的積也是無理數(shù) D.等腰三角形兩腰上的高相等【答案】D【解析】【分析】首先確定逆命題，再判斷逆命題的真假，即可一一判定．【詳解】A.全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，逆命題為：對(duì)應(yīng)角相等的三角形全等，不正確；B.相等兩個(gè)數(shù)的平方也相等，逆命題為：平方相等的兩個(gè)數(shù)也相等，不正確，如；C.兩個(gè)無理數(shù)的積也是無理數(shù)，逆命題為：積是無理數(shù)的兩個(gè)數(shù)也是無理數(shù)，不正確，如；D.等腰三角形兩腰上的高相等，逆命題為：兩邊上高相等的三角形是等腰三角形，正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了命題與逆命題，判斷命題的真假，解題的關(guān)鍵是正確寫出一個(gè)命題的逆命題并判斷其真假．8.下列各式能用完全平方公式進(jìn)行分解因式的是（）A.x2+1 B.x2+2x﹣1C.x2+x+1 D.x2+4x+4【答案】D【解析】【詳解】根據(jù)完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2可得，選項(xiàng)A、B、C都不能用完全平方公式進(jìn)行分解因式，D、x2+4x+4=（x+2）2．9.如圖，點(diǎn)在內(nèi)部的一條射線上，于點(diǎn)，且．已知點(diǎn)到射線的最小距離為4，且，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了角平分線的判定與性質(zhì)，由題意得出點(diǎn)到兩邊的距離相等，從而得出射線是的角平分線，即，求出，即可得出答案，熟練掌握角平分線的判定與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：于點(diǎn)，且，到射線的最小距離為4，點(diǎn)到兩邊距離相等，射線是的角平分線，，，，，故選：C．10.某特快列車在最近一次的鐵路大提速后，時(shí)速提高了30千米小時(shí)，則該列車行駛350千米所用的時(shí)間比原來少用1小時(shí)，若該列車提速前的速度是x千米小時(shí)，下列所列方程正確的是（）A. B.C D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可得等量關(guān)系為原來走350千米所用的時(shí)間提速后走350千米所用的時(shí)間，根據(jù)等量關(guān)系列式即可判斷．【詳解】解：原來走350千米所用的時(shí)間為，現(xiàn)在走350千米所用的時(shí)間為：，所以可列方程為：.故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意找到提速前和提速后所用時(shí)間的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．11.如圖，的外角的平分線CE與內(nèi)角的平分線BE交于點(diǎn)E，若，則的度數(shù)為（）A.65° B.60° C.55° D.50°【答案】D【解析】【分析】過點(diǎn)E作EF⊥BA交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，EM⊥AC于點(diǎn)M，EN⊥BC交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，設(shè)∠ECD=x°，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理，可得EF=EM，再由三角形外角的性質(zhì)，可得∠BAC=80°，從而得到∠CAF=100°，再由Rt△EFA≌Rt△EMA，即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)E作EF⊥BA交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，EM⊥AC于點(diǎn)M，EN⊥BC交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，設(shè)∠ECD=x°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠ECD=x°，EM=EN，∵BE平分ABC，∴∠ABE=∠EBC，EF=EN，∴EF=EM，∵∠BEC=40°，∴∠ABE=∠EBC=∠ECD–∠BEC=(x-40)°，∴∠BAC=∠ACD–∠ABC=2x°-(x°-40°)-(x°-40°)=80°，∴∠CAF=100°，在Rt△EFA和Rt△EMA中，∵EA=EA，EM=EF，∴Rt△EFA≌Rt△EMA(HL)，∴∠FAE=∠EAC=50°．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．12.如圖，，和均為等腰三角形，其中，．連接并延長(zhǎng)交，于點(diǎn)，，連接．若平分，則下列選項(xiàng)中不正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題根據(jù)，得到，即可判斷A項(xiàng)，根據(jù)題意證明，由等腰三角形性質(zhì)得到，由角平分線性質(zhì)得到，推出,即可判斷B、D項(xiàng)，根據(jù)題意繼續(xù)推出，即可判斷C項(xiàng)．【詳解】解：，，即，A項(xiàng)正確，不符合題意．，，，，又，，平分，，，，，B、D項(xiàng)正確，不符合題意．，，，，，，C項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)、平行的判定定理、熟練掌握相關(guān)性質(zhì)并靈活運(yùn)用，即可解題．二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分）13.因式分解：_____．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用．根據(jù)分解因式的方法，首負(fù)先提負(fù)，放進(jìn)括號(hào)里的各項(xiàng)要變號(hào)，再提取公因式，括號(hào)里的剩下項(xiàng)，考慮完全平方公式分解．【詳解】解：，故答案為：．14.如圖，，請(qǐng)你添加一個(gè)條件使得，可添?xiàng)l件是_________．（添一個(gè)即可）【答案】AB＝CD【解析】【分析】由已知二線平行，得到一對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，圖形中又有公共邊，具備了一組邊和一組角對(duì)應(yīng)相等，還缺少邊或角對(duì)應(yīng)相等的條件，結(jié)合判定方法及圖形進(jìn)行選擇即可．【詳解】解：∵，∴∠ABD＝∠CDB，又BD＝BD，若添加AB＝CD，利用SAS可證兩三角形全等；故答案為：AB＝CD（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)和三角形全等的判定方法；判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加時(shí)注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，不能添加，根據(jù)已知結(jié)合圖形及判定方法選擇條件是正確解答本題的關(guān)鍵．15.要使的展開式中不含項(xiàng)，則________．【答案】【解析】【分析】本題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式．先計(jì)算多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，再使項(xiàng)系數(shù)為0即可．【詳解】解：，∵不含項(xiàng)，∴，解得，故答案為：．16.若，則的值為__________．【答案】【解析】【分析】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，利用整體代入求值是解決本題的關(guān)鍵．由，可得，然后整體代入即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，故答案為：．17.如圖，在中，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為______．【答案】9【解析】【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，軸對(duì)稱—最短路線問題．連接，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得，從而周長(zhǎng)可轉(zhuǎn)化為，而，從而可求出周長(zhǎng)的最小值．【詳解】連接，∵是的垂直平分線，∴，∴，∴周長(zhǎng)的最小值為9．故答案為：918.已知:如圖，BD為△ABC的角平分線，且BD=BC，E為BD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，BE=BA，過E作EF⊥AB，F(xiàn)為垂足，下列結(jié)論:①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=EF=EC；④AE=EC，其中正確的是________(填序號(hào))【答案】①②④【解析】【分析】易證△ABD≌△EBC,可得可得①②正確,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求得，即，根據(jù)可求得④正確.【詳解】①BD為△ABC的角平分線,在△ABD和△EBC中，，△ABD≌△EBC，①正確；②BD為△ABC的角平分線，BD=BC，BE=BA，△ABD≌△EBC，②正確；③∵∴為等腰三角形，∵△ABD≌△EBC，∵BD為△ABC的角平分線,,而EC不垂直與BC，③錯(cuò)誤；④正確.故答案為:①②④.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì),本題中熟練求證三角形全等和熟練運(yùn)用全等三角形對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊相等性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.三、解答題（本大題共7小題，共90分）19.（1）計(jì)算：；（2）解方程：．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查整式的混合運(yùn)算，解分式方程；（1）先算乘方，再算乘除，最后算加減即可；（2）先去分母變成整式方程，再解整式方程，最后檢驗(yàn)即可．【詳解】解：（1）原式．（2）方程兩邊乘，得．解得．檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，．所以，原分式方程的解為．20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．與關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)D，E，F(xiàn)．（1）點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為；（2）在圖中畫出，求的面積．【答案】（1）（2）圖見解析，【解析】【分析】本題考查的是畫軸對(duì)稱圖形，關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)．（1）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變可得答案．（2）分別確定點(diǎn)A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D，E，F(xiàn)，再順次連接可得，再利用割補(bǔ)法求解的面積即可．【小問1詳解】解：∵與關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)D，E，F(xiàn)，．∴．【小問2詳解】解：如圖，即為所求．．21.如圖，在△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝110°，AD是BC邊上高線，AE平分∠BAC，求∠DAE度數(shù)．【答案】40°【解析】【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和求得的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)求得，根據(jù)高的性質(zhì)求得，即可求解．【詳解】解：∵∠B＝30°，∠ACB＝110°，∴∠BAC＝180°－30°－110°＝40°，∵AE平分∠BAC，∴，∵∠B＝30°，AD是BC邊上的高線，∴∠BAD＝90°－30°＝60°，∴∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝60°－20°＝40°．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理及角平分線的性質(zhì)，高線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是三角形的內(nèi)角和定理以及角平分線和高的性質(zhì)．22.為保障蔬菜基地種植用水，需要修建灌溉水渠．計(jì)劃先由甲、乙兩隊(duì)合作修建30天，剩下的工程再由乙隊(duì)單獨(dú)做15天完成，若甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需天數(shù)之比為2:3．求甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)修建灌溉水渠各需多少天？【答案】甲工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要60天，乙工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要90天【解析】【分析】設(shè)甲工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要2x天，則乙工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要3x天，根據(jù)甲工程隊(duì)完成的部分+乙工程隊(duì)完成的部分=總工程量，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論；【詳解】解：設(shè)甲工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要2x天，則乙工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要3x天，依題意，得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，∴，．答：甲工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要60天，乙工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要90天．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程．23.如圖，在中，，是邊上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)分別向，引垂線，垂足分別為，．（1）當(dāng)點(diǎn)在的什么位置時(shí)，？并說明理由；（2）在（1）的條件下，若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）當(dāng)點(diǎn)在的中點(diǎn)上時(shí)，，理由見解析（2）24【解析】【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)．根據(jù)等腰三角形三線合一與角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等說明即可；兩次利用直角三角形中角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半即可求得．【小問1詳解】解：當(dāng)點(diǎn)在的中點(diǎn)上時(shí)，．理由：連接．∵為中點(diǎn)，，為的平分線，，，．【小問2詳解】解:，，為中點(diǎn)，，，，，，，，，，．24.閱讀下列材料：若一個(gè)正整數(shù)x能表示成（a，b是正整數(shù)，且的形式，則稱這個(gè)數(shù)為“明禮崇德數(shù)”，a與b是x的一個(gè)平方差分解．例如：因?yàn)?，所?是“明禮崇德數(shù)”，3與2是5的平方差分解；再如：y是正整數(shù)，所以M也是“明禮崇德數(shù)”，與y是M的一個(gè)平方差分解．（1）判斷：9

“明禮崇德數(shù)”填“是”或“不是”；（2）已知與是P的一個(gè)平方差分解，求P；（3）已知（，y是正整數(shù)