試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2026年上海市普通高等學(xué)校春季招生統(tǒng)一文化考試數(shù)學(xué)試卷（完卷時(shí)間：120分鐘滿分：150分）一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題，考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，1-6題每個(gè)空格填對(duì)得4分，7-12題每個(gè)空格填對(duì)得5分，否則一律得零分.1．已知集合，，若，則.2．關(guān)于的不等式的解集為.3．已知，，若，則.4．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線的距離為.5．的二項(xiàng)展開式中，的系數(shù)為.6．若，，且，則的最大值是．7．在5個(gè)人中選3個(gè)人去演講，若甲一定去，則一共有種選法.8．已知點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，若點(diǎn)到的焦點(diǎn)的距離是到軸的距離的兩倍，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)是.9．已知，對(duì)于所有滿足的復(fù)數(shù)，都有的最小值與的最小值相同，則.10．在中，、在邊上，且，，與所成的夾角為，則的最大值為.11．已知橢圓與橢圓相交于、、、四點(diǎn)，且與和的四個(gè)焦點(diǎn)在同一個(gè)圓上，則.12．有一個(gè)油壺，壺身視為圓柱，壺嘴視為直線且不計(jì)容積，壺底直徑厘米，壺身高厘米，壺內(nèi)油液面高厘米，壺嘴長(zhǎng)厘米，與壺身夾角為，壺嘴最低點(diǎn)距壺底厘米，將壺身向壺嘴方向至少轉(zhuǎn)度可使油倒出（精確到）二、選擇題（本大題滿分18分）本大題共有4題，每題有且只有一個(gè)正確答案.考生必須在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，13-14題每題選對(duì)得4分，15-16題每題選對(duì)得5分，否則一律得零分.13．下列數(shù)列中是等差數(shù)列也是等比數(shù)列的是（

）A．1,,1,,1 B．1，2，3，4，5C．5，5，5，5，5 D．1，2，3，5，714．已知，則下列不等式恒成立的是（

）A． B． C． D．15．平移對(duì)稱法在幾何學(xué)中具有重要的應(yīng)用.設(shè)平面直角坐標(biāo)系中有一圖形，過內(nèi)任意一點(diǎn)作垂直于軸的直線，滿足為一線段.現(xiàn)沿方向平移這些線段，使得它們的中點(diǎn)均在軸上，這樣叫做平移對(duì)稱法.對(duì)于，，直線和直線圍成的封閉圖形，對(duì)它進(jìn)行一次平移對(duì)稱，得到的圖像大致為（

）A． B．C． D．16．對(duì)于函數(shù)，，設(shè).對(duì)于點(diǎn)集，若存在，使得任取，總有，則稱為“最低點(diǎn)”.對(duì)于函數(shù)和，以下說法中正確的是（

）A．若和都有最小值，則有最低點(diǎn)；B．若有最低點(diǎn)，則和都有最小值；C．若或有最小值，則有最低點(diǎn)；D．若有最低點(diǎn)，則或有最小值.三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題卷的相應(yīng)編號(hào)規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.17．某興趣班共150人，年齡分布及興趣愛好統(tǒng)計(jì)如下：年齡剪紙攝影畫畫人數(shù)8451055650(1)現(xiàn)采用分層抽樣抽取30人，其中抽到年齡在歲的有多少人？(2)該興趣班150人的平均年齡是多少？(3)現(xiàn)從150人中任意抽選1人，記抽到的學(xué)員年齡在為事件，記抽到學(xué)員愛好攝影為事件.事件與是否獨(dú)立？請(qǐng)說明理由.18．如圖所示正四棱臺(tái)，其中，.(1)當(dāng)時(shí)，求和平面所成角；(2)證明：平面；若棱臺(tái)高為3，求三棱錐的體積.19．已知函數(shù).(1)當(dāng)，，求函數(shù)在處的切線方程；(2)若函數(shù)的最小正周期為，且在上恰好有1351個(gè)解，求的取值范圍.20．已知雙曲線，過點(diǎn)作不垂直于軸的直線交雙曲線于、兩點(diǎn).(1)求雙曲線離心率；(2)若點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線的右支上，且是的中點(diǎn)，求直線的斜率；(3)若，，分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，是關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，若存在直線使得，求的取值范圍.21．設(shè)是定義在上的函數(shù).定義性質(zhì)：若對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，，則稱函數(shù)具有“性質(zhì)”.(1)判斷函數(shù)是否具有“性質(zhì)”；(2)若分段函數(shù)具有“性質(zhì)”，求所有滿足條件的實(shí)數(shù)和的解；(3)已知的值域?yàn)?，且在上是?yán)格增函數(shù)，證明：是偶函數(shù)的充要條件是：具有“性質(zhì)”.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．【分析】利用子集的定義求解.【詳解】，，，集合中所有的元素都在集合中，集合中的元素在集合中，.故答案為：.2．【分析】由可得:，解不等式可得其解集.【詳解】由可得:，解得:，所以不等式的解集為.故答案為：.3．2【分析】由向量平行的坐標(biāo)表示計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以，即，解?故答案為：2.4．##0.6【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.【詳解】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得.故答案為：.5．【分析】寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，令，解出，代入即可得到答案.【詳解】二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為，令，解得，所以的系數(shù)為.故答案為：.6．2【分析】由于、為正值，且為定值4，因此可以運(yùn)用基本不等式先求出的最大值，進(jìn)而求出的最大值．【詳解】解：∵，，∴∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，時(shí)取等號(hào)故答案為：2．【點(diǎn)睛】此題考查基本不等式的應(yīng)用，應(yīng)用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”的條件，屬于基礎(chǔ)題7．6【分析】結(jié)合組合知識(shí)求解即可.【詳解】由題意，甲一定去，則從剩下的4人中任選2人即可，則一共有種選法.故答案為：6.8．【分析】設(shè)，根據(jù)條件，利用拋物線的定義得，即可求解.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，由題有，解得，故答案為：.9．3【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義分析求解即可.【詳解】由得復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合為以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，因?yàn)楸硎军c(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離，且點(diǎn)到圓心的距離為1，則的最小值為，而表示點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離，且點(diǎn)到圓心的距離為，則的最小值為，又因?yàn)榈淖钚≈蹬c的最小值相同，所以，，解得.故答案為：3.10．【分析】先利用與表示、，再將轉(zhuǎn)化為與的計(jì)算，進(jìn)而求解.【詳解】,與所成的夾角為令，則當(dāng)時(shí)，的最大值為.故答案為：.11．【分析】根據(jù)橢圓和圓的對(duì)稱性、橢圓的焦距公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)閮蓚€(gè)橢圓的四個(gè)焦點(diǎn)在同一個(gè)圓上，所以根據(jù)橢圓和的對(duì)稱性可知，該圓的圓心為原點(diǎn)，因此有，且兩個(gè)橢圓的半焦距為，因此該圓的方程為，又因?yàn)?、、、四點(diǎn)與和的四個(gè)焦點(diǎn)在同一個(gè)圓上，所以由橢圓和圓的對(duì)稱性可知，這四個(gè)點(diǎn)也在圓上，由，代入橢圓中，得，又，故，故答案為：12．【分析】根據(jù)題意，結(jié)合條件分別表示出，然后在中，由正弦定理代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)壺嘴最低點(diǎn)，最高點(diǎn)分別是，圖中圓柱軸截面矩形，距離點(diǎn)最近的頂點(diǎn)是點(diǎn)，另外三個(gè)頂點(diǎn)分別為，當(dāng)水平液面經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，可將油倒出，設(shè)傾斜角為，當(dāng)液面經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，，先考慮液面不超過點(diǎn)，即的情況，設(shè)液面與分別交于點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)為，過作的垂線，垂足為，則，，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，在中，，即，即，即，所以，即，因?yàn)?，所以至少將油壺傾斜即可將油倒出.故答案為：13．C【分析】設(shè)該數(shù)列為，由題可得，其中為常數(shù)，據(jù)此推得，即得該數(shù)列為非零常數(shù)列，即可判斷.【詳解】設(shè)該數(shù)列為，則該數(shù)列滿足，其中.則，因?yàn)槌?shù)，該式對(duì)任意正整數(shù)成立，則，從而該數(shù)列為非零常數(shù)列，由選項(xiàng)知只有C滿足題意.故選：C14．C【分析】舉反例即可求解ABD，根據(jù)不等式的傳遞性即可求解C.【詳解】對(duì)于A,取，則故，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，取則，此時(shí)，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，由于，故，因此，C正確，對(duì)于D,取，則，此時(shí)，故D錯(cuò)誤，故選：C15．A【分析】先作出兩函數(shù)在區(qū)間上的圖象，根據(jù)平移對(duì)稱法，分別算出和時(shí)，兩函數(shù)的函數(shù)值，求得對(duì)應(yīng)線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，從而得出需要將兩函數(shù)圖象上下平移的長(zhǎng)度，根據(jù)平移后對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)結(jié)合各選項(xiàng)逐一判斷即得；也可以通過計(jì)算兩函數(shù)的函數(shù)值差值等分量，根據(jù)該函數(shù)的類型結(jié)合選項(xiàng)確定答案.【詳解】方法一：依題意，作出函數(shù)與在上的圖象.按照平移對(duì)稱法，當(dāng)時(shí)，，線段中點(diǎn)縱坐標(biāo)為，則應(yīng)將此時(shí)的線段沿方向向下平移，的圖象上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)縱坐標(biāo)應(yīng)分別為和，故排除B項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，線段中點(diǎn)縱坐標(biāo)為，則應(yīng)將此時(shí)的線段沿方向向下平移，的圖象上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)縱坐標(biāo)應(yīng)分別為和，故可排除C，D兩項(xiàng)，A項(xiàng)符合題意.方法二：根據(jù)平移對(duì)稱法的基本概念，將函數(shù)和函數(shù)在上的函數(shù)值差值等分在軸上下兩側(cè)，等分量為，故在上線性變化，結(jié)合選項(xiàng)知，只有選項(xiàng)A符合題意.故選：A.16．D【分析】可以舉反例證明選項(xiàng)A、B、C的命題均為假命題，對(duì)D，根據(jù)“最低點(diǎn)”的定義分析得或，再分類討論即可.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，取，，取，，則，；而無最低點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，取，，取，，則無最小值，；而有最低點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，取，，取，，則無最小值，；因?yàn)榈暮瘮?shù)值可趨向于負(fù)無窮大，所以無最低點(diǎn)，則亦無最低點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)橛凶畹忘c(diǎn)，不妨設(shè)為的最低點(diǎn)，且，且，所以或，若，則且對(duì)任意的，總有，即；若，同理可知；所以若有最低點(diǎn)，則或有最小值，故D正確.故選：D.17．(1)9；(2)；(3)不相互獨(dú)立，理由見解析.【分析】（1）由題意，計(jì)算年齡段占總體比例，據(jù)此可得答案.（2）利用年齡區(qū)間中點(diǎn)作為該區(qū)間年齡平均值，再由各年齡段人數(shù)占總體比例可得答案；（3）驗(yàn)證，是否等于可得答案.【詳解】（1）年齡段占總體比例為：，則抽取人數(shù)為：；（2）由題可得人的平均年齡為：；（3）由題可得，，，注意到，則事件A與事件B不相互獨(dú)立.18．(1)(2)證明見解析，體積為【分析】（1）作到下底面的垂線，確定線面角的平面角，再通過邊長(zhǎng)計(jì)算該角的大小.（2）連接上下底面對(duì)角線的交點(diǎn)，利用正棱臺(tái)性質(zhì)證得線線平行，進(jìn)而證明線面平行；利用線面垂直將三棱錐拆分為兩個(gè)小棱錐，結(jié)合棱臺(tái)的高計(jì)算其體積.【詳解】（1）過作平面于,連接，過分別作于于,連接,如圖為在平面上的投影,由于平面，所以，由于平面，所以平面.由于平面，所以.所以,同理,,四邊形為正方形,所以，為在平面上的投影,又因平面平面,所以和平面所成角即，,故和平面所成角為.（2）連接、交于,連接、交于,如圖,上下底面為正方形,由正棱臺(tái)性質(zhì),可得,且,所以四邊形為平行四邊形,所以，因?yàn)槠矫?平面，所以平面.由正棱臺(tái)性質(zhì),與上下底面均垂直,則，因?yàn)?，平面，所以平?所求三棱錐體積可拆分成兩個(gè)小三棱錐的體積之和,即:19．(1)(2)或，【分析】（1）根據(jù)以及可得，即可求導(dǎo)以及點(diǎn)斜式求解直線方程，（2）利用整體法，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可分類討論求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，則，根據(jù)可得，故，故，由于，故，故，，則，故函數(shù)在處的切線方程為，故，（2）函數(shù)的最小正周期為，故，所以，令，當(dāng)，則，令，則或，當(dāng)時(shí)，要使得有1351個(gè)實(shí)數(shù)根，則，解得，當(dāng)時(shí)，要使得有1351個(gè)實(shí)數(shù)根，則，解得，當(dāng)時(shí)，要使得有1351個(gè)實(shí)數(shù)根，則，無解，綜上可得或.20．(1)(2)(3)【分析】（1）求出，直接利用公式即可求解；（2）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)，將點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程求出，再利用斜率公式即可求出答案；（3）設(shè)直線方程為，聯(lián)立求出，由題意得且，再根據(jù)求出，結(jié)合且可求出答案.【詳解】（1）對(duì)于雙曲線，，，，所以雙曲線離心率.（2）因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以點(diǎn)，代入雙曲線方程，得，解得，又點(diǎn)在雙曲線的右支上，所以，即，所以，所以直線的斜率為.（3）當(dāng)直線斜率為時(shí)，易知與共線，不符合題意；當(dāng)直線斜率不為時(shí)，設(shè)直線方程為，設(shè)，，則，聯(lián)立，整理得，（*）且，，，因?yàn)椋?，所以，，所以，即，即，整理得，即，代入?）中得，又，所以，又因?yàn)椋?，所以且，綜上，的取值范圍為.21．(1)沒有，理由見解析(2)(3)證明見解析【分析】（1）運(yùn)用特例法，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷即可；（2）根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合“性質(zhì)”的特性進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)充要條件的定義，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)、“性質(zhì)”的特性進(jìn)行運(yùn)算證明即可.【詳解】（1）函數(shù)不具有“性質(zhì)”，理由如下：例如當(dāng)時(shí)，顯然成立，，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，所以有，這與“性質(zhì)”矛盾，故函數(shù)不具有“性質(zhì)”；（2）因?yàn)楹瘮?shù)具