一、追本溯源：“兩端不栽”的概念建構與邏輯起點演講人追本溯源：“兩端不栽”的概念建構與邏輯起點01教學策略：從“理解模型”到“遷移應用”的能力培養(yǎng)02生活解碼：“兩端不栽”的典型應用場景03總結：讓“兩端不栽”成為連接數(shù)學與生活的橋梁04目錄2025小學五年級數(shù)學上冊兩端不栽應用場景課件作為深耕小學數(shù)學教學十余年的一線教師，我始終相信：數(shù)學的生命力在于與生活的聯(lián)結。當我們將“兩端不栽”這一抽象的數(shù)學模型與學生的日常經驗對接時，那些看似枯燥的公式便會化作打開生活問題的鑰匙。今天，我將以“兩端不栽”的應用場景為核心，從概念解析、生活場景、教學策略三個維度展開，帶大家走進這節(jié)充滿生活智慧的數(shù)學課。01追本溯源：“兩端不栽”的概念建構與邏輯起點追本溯源：“兩端不栽”的概念建構與邏輯起點要理解“兩端不栽”的應用場景，首先需要明確其在“植樹問題”體系中的定位。五年級上冊的“植樹問題”屬于“間隔排列”的典型課例，教材通常按照“兩端都栽—只栽一端—兩端不栽”的順序編排，這符合兒童從具體到抽象、從特殊到一般的認知規(guī)律。1概念界定：什么是“兩端不栽”？“兩端不栽”指在一條線段上進行物體的等距離排列時，起點和終點位置都不放置物體的情況。其核心數(shù)學關系可表述為：棵數(shù)=間隔數(shù)-1（此處“棵數(shù)”泛指需要排列的物體數(shù)量，如樹、路燈、花盆等）。以最典型的植樹場景為例：在一條長20米的小路一側植樹，每隔5米栽一棵，兩端都不栽。此時間隔數(shù)=總長÷間距=20÷5=4個，根據(jù)公式，棵數(shù)=4-1=3棵。通過畫圖驗證（用“|”表示樹，“—”表示間隔）：—|—|—|—1概念界定：什么是“兩端不栽”？（起點）（終點）可見，4個間隔對應3棵樹，起點和終點均無樹，完全符合“兩端不栽”的定義。2與“兩端都栽”的對比：從差異中深化理解為避免學生混淆，我在教學中常采用表格對比法（見表1）：|類型|示意圖（以5米間隔、20米小路為例）|間隔數(shù)|棵數(shù)|數(shù)量關系||------------|----------------------------------|--------|--------|----------------||兩端都栽||—|—|—|—||4|5|棵數(shù)=間隔數(shù)+1||兩端不栽|—|—|—|—|4|3|棵數(shù)=間隔數(shù)-1|通過直觀對比，學生能清晰發(fā)現(xiàn)：兩端是否栽樹直接影響棵數(shù)與間隔數(shù)的關系。這種“差異教學”能有效突破“只記公式不理解本質”的學習誤區(qū)。3數(shù)學本質：間隔排列中的對應思想“兩端不栽”的本質是“間隔數(shù)”與“物體數(shù)”的一一對應關系。當兩端不栽時，第一個物體對應第二個間隔的起點，最后一個物體對應倒數(shù)第二個間隔的終點，因此物體數(shù)比間隔數(shù)少1。這種對應思想是解決所有“間隔問題”的核心，也是后續(xù)學習“封閉圖形植樹問題”“鋸木頭問題”的基礎。02生活解碼：“兩端不栽”的典型應用場景生活解碼：“兩端不栽”的典型應用場景數(shù)學教育家弗賴登塔爾說：“數(shù)學源于現(xiàn)實，用于現(xiàn)實。”“兩端不栽”的模型并非紙上談兵，而是廣泛存在于學生的生活場景中。通過挖掘這些真實情境，能讓學生真正體會“學有用的數(shù)學”。1公共設施類：道路、廣場的間隔布置這類場景是“兩端不栽”最常見的應用，典型例子包括：道路路燈：某城市主干道改造時，計劃在長300米的路段一側安裝太陽能路燈，要求每30米安裝一盞，且道路起點（與立交橋銜接處）和終點（與隧道入口銜接處）不安裝。此時間隔數(shù)=300÷30=10個，路燈數(shù)=10-1=9盞。廣場花壇圍欄：學校廣場有一個長50米的長方形花壇，為防止踩踏，需在其一條長邊每隔5米安裝一根圍欄立柱，兩端（與短邊銜接處）因需留出口不安裝。間隔數(shù)=50÷5=10個，立柱數(shù)=10-1=9根。教學中，我曾帶學生實地測量校園走廊的長度，模擬“兩端不栽”安裝裝飾畫的任務。當學生用卷尺量出48米的走廊長度，設定每6米掛一幅畫，最終算出需要7幅畫（48÷6-1=7）時，他們興奮地說：“原來掛畫也有數(shù)學！”這種“做中學”的體驗，比單純做題更能激發(fā)學習興趣。2建筑工程類：樓梯、欄桿的結構設計建筑中的間隔問題常涉及“兩端不栽”，例如：樓梯扶手立柱：某教學樓樓梯的水平投影長度為12米，設計師要求每1.5米安裝一根立柱支撐扶手，樓梯起點（與地面銜接處）和終點（與樓面銜接處）因需安裝固定件不設置立柱。間隔數(shù)=12÷1.5=8個，立柱數(shù)=8-1=7根。圍墻裝飾柱：小區(qū)新建圍墻長45米，計劃在圍墻頂部每隔3米設置一個雕花裝飾柱，圍墻兩端（與大門銜接處）需預留空間不設置。間隔數(shù)=45÷3=15個，裝飾柱數(shù)=15-1=14個。我曾讓學生觀察自家樓梯，記錄扶手立柱的數(shù)量和間隔距離，再用公式驗證是否符合“兩端不栽”的規(guī)律。有學生發(fā)現(xiàn)：“我家樓梯扶手有5根立柱，間隔是2米，樓梯長應該是（5+1）×2=12米！”這說明學生已能逆向應用公式，實現(xiàn)了從“學數(shù)學”到“用數(shù)學”的跨越。3自然與人文類：植物種植與文化裝飾在植物種植和文化裝飾中，“兩端不栽”也有獨特應用：校園綠化帶：學校準備在長24米的教學樓前綠化帶種植月季，要求每4米種植一叢，兩端（靠近樓門處）因需留通道不種植。間隔數(shù)=24÷4=6個，月季叢數(shù)=6-1=5叢。傳統(tǒng)燈籠懸掛：春節(jié)期間，社區(qū)在長60米的文化長廊兩側懸掛紅燈籠，每5米掛一個，長廊兩端（入口和出口）因需安裝電子屏不懸掛。單側間隔數(shù)=60÷5=12個，單側燈籠數(shù)=12-1=11個，兩側共22個。去年春節(jié)，我班學生參與社區(qū)燈籠懸掛方案設計，他們用“兩端不栽”公式算出的結果被社區(qū)采納。當看到自己設計的燈籠整齊掛在長廊上時，孩子們自豪地說：“數(shù)學讓我們的節(jié)日更有意義！”這種正向反饋，正是數(shù)學教育的價值所在。03教學策略：從“理解模型”到“遷移應用”的能力培養(yǎng)教學策略：從“理解模型”到“遷移應用”的能力培養(yǎng)“兩端不栽”的教學不能停留在公式記憶，而應引導學生經歷“問題抽象—模型建立—遷移應用”的完整過程。結合五年級學生的認知特點，我總結了以下教學策略：1情境導入：用生活問題引發(fā)認知沖突好的導入能快速激活學生的思維。我通常以“矛盾情境”開場：“上周學校要在10米長的小路一側種菊花，每隔5米種一棵。小明說種3棵，小紅說種1棵，到底誰對？”學生根據(jù)已有經驗（兩端都栽種3棵）會質疑小紅，但當我補充“兩端都不栽”的條件時，認知沖突自然產生。此時再引導學生畫圖驗證：10米小路，每隔5米一個間隔，共2個間隔，兩端不栽只能種1棵（—|—），學生立刻明白“條件變化導致結果變化”的關鍵。2操作探究：在動手實踐中建構模型五年級學生仍以具體形象思維為主，動手操作是理解抽象模型的關鍵。我設計了“間隔小能手”實踐活動：學具操作：用小棒代表樹，繩子代表小路，通過“擺一擺”探究不同長度、不同間距下“兩端不栽”的棵數(shù)規(guī)律。例如，用20厘米的繩子（代表20米），每5厘米（代表5米）擺一根小棒，兩端不擺，學生通過操作發(fā)現(xiàn)：4個間隔對應3根小棒，直觀感知“棵數(shù)=間隔數(shù)-1”。畫圖建模：要求學生用“○”代表樹，“—”代表間隔，畫出不同場景的示意圖（如30米小路每隔10米栽樹，兩端不栽）。通過畫圖，學生能清晰看到間隔數(shù)與棵數(shù)的對應關系，避免“死記硬背公式”的誤區(qū)。2操作探究：在動手實踐中建構模型曾有學生在操作后總結：“原來不是所有植樹問題都要加1，要看兩端有沒有樹。畫圖就像數(shù)學的‘放大鏡’，能讓我看清規(guī)律！”這種來自學生的真實感悟，是操作探究最珍貴的成果。3變式訓練：在問題解決中提升遷移能力為避免“套公式”的機械學習，我設計了多層次的變式練習：基礎變式：已知總長和間距，求棵數(shù)（如“80米的跑道一側插彩旗，每隔10米插一面，兩端不插，需要多少面？”）。逆向變式：已知棵數(shù)和間距，求總長（如“公園小路一側裝路燈，兩端不裝，共裝了6盞，每兩盞間隔8米，小路有多長？”）。綜合變式：結合“兩端都栽”“只栽一端”的對比練習（如“同一條24米的小路，分別按兩端都栽、只栽一端、兩端不栽三種方式種樹，每隔6米一棵，各需要多少棵？”）。通過變式訓練，學生逐漸從“套用公式”轉向“分析條件”，真正掌握“具體問題具體分析”的數(shù)學思維。4實踐延伸：在生活調查中深化理解數(shù)學學習的終極目標是解決生活問題。我布置“生活中的間隔問題”調查任務，要求學生：觀察并記錄3個“兩端不栽”的實際場景（如小區(qū)圍欄、商場扶手電梯立柱等）；測量相關數(shù)據(jù)（總長、間距），計算物體數(shù)量；用數(shù)學日記記錄發(fā)現(xiàn)和思考。學生的調查成果遠超預期：有的測量了家中陽臺晾衣桿的掛鉤間距（兩端不掛），有的統(tǒng)計了公交站廣告牌的間隔（兩端不設），還有的結合疫情期間“排隊間隔線”分析（兩端不站人）。這些真實的實踐，讓數(shù)學真正“活”了起來。04總結：讓“兩端不栽”成為連接數(shù)學與生活的橋梁總結：讓“兩端不栽”成為連接數(shù)學與生活的橋梁回顧整節(jié)課的設計，“兩端不栽”不僅是一個數(shù)學模型，更是一把打開生活問題的鑰匙。它教會學生：用數(shù)學的眼光觀察生活：生活中看似普通的間隔現(xiàn)象，背后都有數(shù)學規(guī)律；用數(shù)學的思維分析問題：通過“間隔數(shù)”與“物體數(shù)”的關系，將復雜問題抽象為數(shù)學模型；用數(shù)學的語言表達世界：用公式、圖表等工具清晰描