第05講一元二次不等式與其他常見不等式解法目錄考情探究 2知識梳理 31.解一元二次不等式 32.解分式不等式 33.解單絕對值不等式 3探究核心考點 3考點一一元二次不等式的解法 3考點二三個“二次”之間的關(guān)系 4考點三一元二次不等式恒成立（有解問題） 5考點四實根分布 5考點五一元二次不等式的應(yīng)用 6考點六其他不等式及其解法 7三階突破訓(xùn)練 8基礎(chǔ)過關(guān) 8能力提升 9真題感知 10一、5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點2025年天津卷，15題，6分一元二次不等式恒成立問題基本不等式2024年新I卷，第1題,5分解三次不等式交集的概念及計算2023年新I卷，第1題,5分二次函數(shù)圖象解不等式集合間的基本運算二、命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的命題載體內(nèi)容，通常會結(jié)合其他知識點考查，需要掌握三個二次的基本關(guān)系，難度中等偏下【備考策略】1.理解并掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(單調(diào)性、對稱性、頂點、最值等)2.會解一元二次不等式、分式不等式、單絕對值不等式和高次不等式【命題預(yù)測】1.解三次不等式2.二次函數(shù)圖象解不等式3.二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間求參數(shù)值或范圍1.解一元二次不等式“三個二次”：一元二次不等式與一元二次方程及二次函數(shù)的聯(lián)系判別式一元二次方程的根有兩個不等實根，（設(shè)）有兩個相等實根無實數(shù)根二次函數(shù)的圖象的解集的解集??2.解分式不等式①②③④3.解單絕對值不等式或，考點一一元二次不等式的解法典例1．解下列不等式：(1)；(2)；(3)；(4)．典例2．解下列關(guān)于的不等式：(1)；(2)；(3)．跟蹤訓(xùn)練1．若要使有意義，則的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．或跟蹤訓(xùn)練2．（多選）關(guān)于的不等式的解集可能為（

）A． B．C． D．跟蹤訓(xùn)練3．已知集合，且滿足，求實數(shù)a的取值范圍．考點二三個“二次”之間的關(guān)系典例1．（多選）已知二次函數(shù)圖象如圖所示，則下列說法正確的是（

）A．在區(qū)間上單調(diào)遞減B．不等式的解集為C．D．不等式的解集為典例2．若關(guān)于的不等式的解集是，則關(guān)于的不等式的解集是.跟蹤訓(xùn)練1．（多選）已知關(guān)于一元二次不等式的解集為（其中），關(guān)于一元二次不等式的解集為，則（

）A． B．C． D．當(dāng)時，的最小值為跟蹤訓(xùn)練2．（多選）若關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則（

）A． B．C． D．考點三一元二次不等式恒成立（有解問題）典例1．若關(guān)于的不等式在上有解，則實數(shù)的取值范圍是．典例2．（2025·山東·二模）已知不等式對任意的恒成立，則實數(shù)a的最小值為．跟蹤訓(xùn)練1．當(dāng)時，不等式恒成立，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．跟蹤訓(xùn)練2．（2025·江西上饒·二模）若不等式恒成立，則的取值集合為（

）A． B． C． D．跟蹤訓(xùn)練3．若，，對，均有恒成立，則的取值范圍為.考點四實根分布典例1．若關(guān)于x的一元二次方程分別滿足下列條件時，求m的取值范圍．(1)兩根都大于0；(2)一根大于，另一根小于；(3)一根在內(nèi)，另一根在內(nèi)；(4)一根在內(nèi)，另一根不在內(nèi)；(5)一根小于1，另一根大于2；(6)兩根都在區(qū)間內(nèi)；(7)在內(nèi)有解．跟蹤訓(xùn)練1．關(guān)于的方程有兩根，其中一根小于2，另一根大于3，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．或 B．C． D．跟蹤訓(xùn)練2．（多選）若方程恰有一個實根，則實數(shù)的取值范圍可以是（

）A． B．C． D．跟蹤訓(xùn)練3．（24-25高三上·廣東深圳·階段練習(xí)）已知函數(shù)若方程有5個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為.考點五一元二次不等式的應(yīng)用典例1．某文具店購進一批新型臺燈，若按每盞臺燈15元的價格銷售，每天能賣出30盞；若售價每提高1元，日銷售量將減少2盞，現(xiàn)決定提價銷售，為了使這批臺燈每天獲得不少于400元的銷售收入．則這批臺燈的銷售單價x（單位：元）的取值范圍是（）A． B． C． D．典例2．某商店購進一批成本為每件30元的商品，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量（件）與銷售單價（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示．

(1)求該商品每天的銷售量與銷售單價之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若商店按單價不低于成本價，且不高于50元銷售，則銷售單價定為多少元時利潤最大？最大利潤是多少？(3)若商店要使銷售該商品每天獲得的利潤不低于800元，則每天的銷售量最少應(yīng)為多少件？跟蹤訓(xùn)練1．（2025高三·北京·專題練習(xí)）某商家為了提高一等品M的銷售額，對一等品M進行分類銷售．據(jù)統(tǒng)計，該商家有200件一等品M，產(chǎn)品單價為元．現(xiàn)計劃將這200件一等品分為兩類：精品和優(yōu)品．其中優(yōu)品x件（，），分類后精品的單價在原來的基礎(chǔ)上增加2x%，優(yōu)品的單價調(diào)整為元（），因市場需求旺盛，假設(shè)分類后精品與優(yōu)品可以全部售完．若優(yōu)品的單價不低于分類前一等品M的單價，且精品的總銷售額不低于優(yōu)品的總銷售額，則n的值可能為.跟蹤訓(xùn)練2．2024年8月12日，為期16天的巴黎奧運會落下帷幕，回顧這一屆奧運會，中國元素在這里隨處可見.這個盛夏，“中國智造”不僅為巴黎奧運會注入了新動力，也向世界展示了中國向“新”而行的活力，讓人們在享受比賽的同時，感受到中國發(fā)展的脈搏.巴黎奧組委的數(shù)據(jù)顯示，本屆奧運會的吉祥物產(chǎn)自中國.據(jù)調(diào)查，國內(nèi)某公司出售一款巴黎奧運會吉祥物，需要固定投入300萬元費用.假設(shè)購進該款產(chǎn)品全部售出.若以80元的單價出售，可售出15萬件，且每降價1元，銷量增加五千件.若購進該產(chǎn)品數(shù)量不超過30萬件，則經(jīng)銷商按照每件30元成本收費；若購進30萬件以上，則直接與玩具公司合作，以全新方式進行銷售，此時利潤（萬元）與銷量（萬件）的關(guān)系為.(1)當(dāng)購進產(chǎn)品數(shù)量為10萬件時，利潤是多少？(2)寫出利潤萬元關(guān)于購進產(chǎn)品數(shù)量（萬件）的函數(shù)解析式？（利潤銷售收入-成本）(3)購進并銷售產(chǎn)品多少萬件時，利潤最大？此時利潤是多少？考點六其他不等式及其解法典例1．（2025高三·天津·專題練習(xí)）求下列不等式的解集：(1);(2)；(3)；典例2．求不等式的解集．跟蹤訓(xùn)練1．（2025·河南許昌·三模）已知集合，，則（

）A． B． C． D．跟蹤訓(xùn)練2．已知集合，則（

）A． B．C． D．跟蹤訓(xùn)練3．求不等式的解集．1.不等式的解集是（

）A． B．或C． D．或2.，不等式恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3.一元二次不等式的解集為的充要條件是（

）A． B．C． D．4.設(shè)集合，則（

）A． B．C． D．5．（25-26高三上·內(nèi)蒙古包頭·階段練習(xí)）設(shè)，則“”是“”的必要而不充分條件，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．6.不等式的解集是．7.關(guān)于的不等式的解集為，求的值．8.已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍為．9.若關(guān)于的方程的兩個根都在區(qū)間上，則a的值范圍為．10.某工廠2025年年初用100萬元購進一臺新的設(shè)備，并立即投入使用，使用該設(shè)備后，每年的總收入預(yù)計為50萬元．設(shè)使用年后該設(shè)備的維修、保養(yǎng)費用為萬元，盈利總額為萬元．（1）與之間的函數(shù)關(guān)系式為；（2）從第年開始，使用該設(shè)備開始盈利．11．（25-26高三上·福建龍巖·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)．(1)若時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．(2)解關(guān)于的不等式（其中）．1.已知關(guān)于的不等式的解集為A，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．A中可能只有一個元素 B．若，則A中的元素為負數(shù)C．若，則 D．A可能為空集2.已知實數(shù)滿足，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．3.已知二次函數(shù)．甲同學(xué)：的解集為或；乙同學(xué)：的解集為或，丙同學(xué)：函數(shù)圖象的對稱軸在軸右側(cè)．在這三個同學(xué)的論述中，只有一個假命題，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．4.關(guān)于的方程至少有一個負根的充要條件是．5.已知，且，則的最大值為．6.已知，，若關(guān)于的不等式在時恒成立，則的最小值是.7.已知關(guān)于的不等式的解是，則關(guān)于的不等式的解為．8．（2025高三·天津·專題練習(xí)）設(shè)實數(shù)滿足條件：關(guān)于的方程至多一個實數(shù)根.（1）則的取值范圍是；（2）在此條件下，使有解，則的取值范圍為.9.已知函數(shù)滿足對任意的實數(shù)a，b，都有，且當(dāng)時，．若對所有的恒成立，則實數(shù)的取值范圍為．10.已知函數(shù)．(1)若，求不等式的解集；(2)已知，且在時恒成立，求的取值范圍；(3)若關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，且，求的取值范圍