第32講數(shù)列的求和方法1.基本數(shù)列求和公式法(1)等差數(shù)列求和公式:Sn=n(a1+a(2)等比數(shù)列求和公式:Sn=n2.幾種數(shù)列求和的常用方法(1)倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列{an}與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法求解．(2)分組（并項(xiàng)）求和法：一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和后相加減．(3)裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得前n項(xiàng)和．(4)錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用錯(cuò)位相減法求解．3.常用結(jié)論(1)一些常見的數(shù)列的前n項(xiàng)和：①1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2)；②2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；③1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.(2)常見的裂項(xiàng)技巧①eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1).②eq\f(1,nn＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋2))).③eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n).④eq\f(1,nn＋1n＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,nn＋1)－\f(1,n＋1n＋2))).考點(diǎn)一等差等比公式法考點(diǎn)二倒序相加法考點(diǎn)三分組（并項(xiàng)）求和法考點(diǎn)四裂項(xiàng)相消法考點(diǎn)四錯(cuò)位相減法考點(diǎn)一：等差等比公式法例1．已知數(shù)列，等差數(shù)列滿足，，．(1)證明：；(2)若為等差數(shù)列，求的前n項(xiàng)和．考點(diǎn)二：倒序相加法例2．“數(shù)學(xué)王子”高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，他的數(shù)學(xué)研究幾乎遍及所有領(lǐng)域，在數(shù)論、代數(shù)學(xué)、非歐幾何、復(fù)變函數(shù)和微分幾何等方面都作出了開創(chuàng)性的貢獻(xiàn)．我們高中階段也學(xué)習(xí)過很多高斯的數(shù)學(xué)理論，比如高斯函數(shù)、倒序相加法、最小二乘法、每一個(gè)n階代數(shù)方程必有n個(gè)復(fù)數(shù)解等．已知某數(shù)列的通項(xiàng)，則（

）A．48 B．49 C．50 D．51考點(diǎn)三：分組（并項(xiàng)）求和法例3．求值：（

）A．1013 B．－1012 C．－1013 D．1012例4．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為

（

）A． B．C． D．考點(diǎn)四：裂項(xiàng)相消法例5．（2023·江西九江·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列的通項(xiàng)為，則其前8項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)五：錯(cuò)位相減法例6．已知數(shù)列滿足，則的前100項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．一、單選題1．記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，則（

）A．12 B．15 C．18 D．212．（2023·安徽滁州·?？家荒＃┬±钅瓿跸蜚y行貸款萬元用于購房，購房貸款的年利率為，按復(fù)利計(jì)算，并從借款后次年年初開始?xì)w還，分次等額還清，每年次，問每年應(yīng)還（）萬元.A． B． C． D．3．已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，，記且，則（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，數(shù)列滿足，則（

）A．2022 B．2023 C．4044 D．40465．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（

）A． B． C． D．6．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則（

）A． B． C． D．7．在數(shù)列中，，，則（

）A． B． C． D．8．已知數(shù)列滿足，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的正整數(shù)，都有，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、解答題9．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在任意相鄰兩項(xiàng)與（其中）之間插入個(gè)3，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列．記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求的值．10．（2023·全國·校聯(lián)考二模）在數(shù)列中，，.(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.11．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考一模）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.12．（2023·四川南充·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列前n項(xiàng)和為．從下面①②中選擇其中一個(gè)作為條件解答試題，若選擇不同條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．①數(shù)列是等比數(shù)列，，且成等差數(shù)列；②數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，，；(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知數(shù)列的前n項(xiàng)的和為，且．證明：．13．（2023·江西贛州·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.14．（2023·山西太原·太原五中?？家荒＃?shù)列滿足.(1)求證：是等比數(shù)列；(2)若，求的前項(xiàng)和為.15．（2023·山東德州·統(tǒng)考一模）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．16．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，；數(shù)列中，，．(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式和；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．17．（2023·四川巴中·統(tǒng)考一模）