吉林省蛟河市朝鮮族中學校2026屆高二數(shù)學第一學期期末綜合測試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知數(shù)列是等比數(shù)列，，是函數(shù)的兩個不同零點，則等于（）A. B.C.14 D.162．已知動圓M與直線y=2相切，且與定圓C：外切，求動圓圓心M的軌跡方程A. B.C. D.3．若動點滿足方程，則動點P的軌跡方程為（）A. B.C. D.4．音樂與數(shù)學有著密切的聯(lián)系，我國春秋時期有個著名的“三分損益法”：以“宮”為基本音，“宮”經(jīng)過一次“損”，頻率變?yōu)樵瓉淼模玫健拔ⅰ?，“微”?jīng)過一次“益”，頻率變?yōu)樵瓉淼?，得到“商”……依此?guī)律損益交替變化，獲得了“宮”“微”“商”“羽”“角”五個音階.據(jù)此可推得（）A.“商”“羽”“角”的頻率成公比為的等比數(shù)列B.“宮”“微”“商”的頻率成公比為的等比數(shù)列C.“宮”“商”“角”的頻率成公比為的等比數(shù)列D.“角”“商”“宮”的頻率成公比為的等比數(shù)列5．若圓與圓外切，則（）A. B.C. D.6．若隨機事件滿足，，，則事件與的關(guān)系是（）A.互斥 B.相互獨立C.互為對立 D.互斥且獨立7．現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊五位同學，分別帶著A、B、C、D、E五個不同的禮物參加“抽盲盒”學游戲，先將五個禮物分別放入五個相同的盒子里，每位同學再分別隨機抽取一個盒子，恰有一位同學拿到自己禮物的概率為（）A. B.C. D.8．函數(shù)的最大值為（）A.32 B.27C.16 D.409．函數(shù)圖象如圖所示,則的解析式可以為A. B.C. D.10．拋物線的準線方程是（）A. B.C. D.11．如圖甲是第七屆國際數(shù)學家大會（簡稱ICME—7）的會徽圖案，其主體圖案是由圖乙的一連串直角三角形演化而成的.已知，，，，為直角頂點，設這些直角三角形的周長從小到大組成的數(shù)列為，令，為數(shù)列的前項和，則（）A.8 B.9C.10 D.1112．已知函數(shù)在處取得極值，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知過橢圓上的動點作圓（為圓心）：的兩條切線，切點分別為，若的最小值為，則橢圓的離心率為______14．已知函數(shù)，則曲線在處的切線方程為___________.15．若圓柱的高、底面半徑均為1，則其表面積為___________16．等軸（實軸長與虛軸長相等）雙曲線的離心率_______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，分別是的中點（1）求證:平面平面；（2）求證:平面；（3）求三棱錐體積18．（12分）已知等差數(shù)列的前和為，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且，（1）求數(shù)列和數(shù)列的通項公式；（2）現(xiàn)由數(shù)列與按照下列方式構(gòu)造成新的數(shù)列①將數(shù)列中的項去掉數(shù)列中的項，按原來的順序構(gòu)成新數(shù)列；②數(shù)列與中的所有項分別構(gòu)成集合與，將集合中的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個新數(shù)列;在以上兩個條件中任選一個做為已知條件，求數(shù)列的前30項和.19．（12分）如圖，三棱錐中，為等邊三角形，且面面，（1）求證：；（2）當與平面BCD所成角為45°時，求二面角的余弦值20．（12分）在棱長為4的正方體中，點分別在線段上，點在線段延長線上，，，連接交線段于點.（1）求證平面；（2）求異面直線所成角的余弦值.21．（12分）（1）證明：；（2）已知：，，且，求證：.22．（10分）已知函數(shù)（a是常數(shù)）.（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）若，求a的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求得正確答案.【詳解】是函數(shù)的兩個不同零點，所以，由于數(shù)列是等比數(shù)列，所以.故選：C2、D【解析】由題意動圓M與直線y=2相切，且與定圓C：外切∴動點M到C（0，-3）的距離與到直線y=3的距離相等由拋物線的定義知，點M的軌跡是以C（0，-3）為焦點，直線y=3為準線的拋物線故所求M的軌跡方程為考點：軌跡方程3、A【解析】根據(jù)方程可以利用幾何意義得到動點P的軌跡方程是以與為焦點的橢圓方程，從而求出軌跡方程.【詳解】由題意得：到與的距離之和為8，且8>4，故動點P的軌跡方程是以與為焦點的橢圓方程，故，，所以，，所以橢圓方程為.故選：A4、C【解析】根據(jù)文化知識，分別求出相對應的頻率，即可判斷出結(jié)果【詳解】設“宮”的頻率為a，由題意經(jīng)過一次“損”，可得“徵”的頻率為a，“徵”經(jīng)過一次“益”，可得“商”的頻率為a，“商”經(jīng)過一次“損”，可得“羽”頻率為a，最后“羽”經(jīng)過一次“益”，可得“角”的頻率是a，由于a，a，a成等比數(shù)列，所以“宮、商、角”的頻率成等比數(shù)列，且公比為，故選：C【點睛】本題考查等比數(shù)列的定義，考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題5、C【解析】求得兩圓的圓心坐標和半徑，結(jié)合兩圓相外切，列出方程，即可求解.【詳解】由題意，圓與圓可得，，因為兩圓相外切，可得，解得故選：C.6、B【解析】利用獨立事件，互斥事件和對立事件的定義判斷即可【詳解】解：因為，，又因為，所以有，所以事件與相互獨立，不互斥也不對立故選：B.7、D【解析】利用排列組合知識求出每位同學再分別隨機抽取一個盒子，恰有一位同學拿到自己禮物的情況個數(shù)，以及五人抽取五個禮物的總情況，兩者相除即可.【詳解】先從五人中抽取一人，恰好拿到自己禮物，有種情況，接下來的四人分為兩種情況，一種是兩兩一對，兩個人都拿到對方的禮物，有種情況，另一種是四個人都拿到另外一個人的禮物，不是兩兩一對，都拿到對方的情況，由種情況，綜上：共有種情況，而五人抽五個禮物總數(shù)為種情況，故恰有一位同學拿到自己禮物的概率為.故選：D8、A【解析】利用導數(shù)即可求解.【詳解】因為，所以當時，；當時，.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞增,，因此，的最大值為.故選：A9、A【解析】利用排除法：對于B,令得,,即有兩個零點，不符合題意；對于C,當時，，當且僅當時等號成立，即函數(shù)在區(qū)間上存在最大值，不符合題意；對于D,的定義域為，不符合題意；本題選擇A選項.點睛：函數(shù)圖象的識辨可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢．(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性．(4)從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象．利用上述方法排除、篩選選項10、D【解析】將拋物線的方程化為標準方程，可得出該拋物線的準線方程.【詳解】拋物線的標準方程為，則，可得，因此，該拋物線的準線方程為.故選：D.11、B【解析】由題意可得的邊長，進而可得周長及，進而可得，可得解.【詳解】由，可得，，，，所以，，所以前項和，所以，故選：B.12、B【解析】根據(jù)極值點處導函數(shù)為零可求解.【詳解】因為，則，由題意可知.經(jīng)檢驗滿足題意故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由橢圓方程和圓的方程可確定橢圓焦點、圓心和半徑；當最小時，可知，此時；根據(jù)橢圓性質(zhì)知，解方程可求得，進而得到離心率.【詳解】由橢圓方程知其右焦點為；由圓的方程知：圓心為，半徑為；當最小時，則最小，即，此時最小；此時，；為橢圓右頂點時，，解得：，橢圓的離心率.故答案為：.14、【解析】求出函數(shù)的導函數(shù)，即可求出切線的斜率，再利用點斜式求出切線方程【詳解】解：∵，∴，又，∴曲線在點處的切線方程為，即.故答案為：.15、【解析】根據(jù)圓柱表面積公式求解即可.【詳解】根據(jù)題意得到圓柱的高，底面半徑，則表面積.故答案為：16、【解析】由題意可知，，由，化簡可求離心率.【詳解】由題意可知，，兩邊同時平方，得，即，，所以離心率，故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）【解析】（1）由直線與平面垂直證明直線與平行的垂直；（2）證明直線與平面平行；（3）求三棱錐的體積就用體積公式.（1）在三棱柱中，底面ABC，所以AB，又因為AB⊥BC，所以AB⊥平面，因為AB平面，所以平面平面.（2）取AB中點G，連結(jié)EG，F(xiàn)G，因為E，F(xiàn)分別是、的中點，所以FG∥AC，且FG=AC，因為AC∥，且AC=，所以FG∥，且FG=，所以四邊形為平行四邊形，所以EG，又因為EG平面ABE，平面ABE，所以平面.（3）因為=AC=2，BC=1，AB⊥BC，所以AB=，所以三棱錐的體積為：==.考點：本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直與平行的證明；考查幾何體的體積的求解等基礎(chǔ)知識，考查同學們的空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力、邏輯推理能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想18、（1），（2）答案見解析【解析】（1）由題意可直接得到等比數(shù)列的通項公式；求出等差數(shù)列的公差，即可得到其通項公式；（2）若選①，則可確定由數(shù)列前33項的和減去，即可得答案；若選②，則可確定由數(shù)列前27項的和加上，即可得答案.【小問1詳解】因為數(shù)列為等比數(shù)列，且，所以.又因，所以，又，則，故等差數(shù)列的通項公式為.【小問2詳解】因為，，所以，而若選①因為在數(shù)列前30項內(nèi)，不在在數(shù)列前30項內(nèi).，則數(shù)列前30項和為：=1632.若選②因為在數(shù)列前30項內(nèi)，不在在數(shù)列前30項內(nèi).，則數(shù)列前30項和為：=1203.19、（1）證明見解析；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定條件證得平面即可推理作答.(2)由與平面BCD所成角確定正邊長與CD長的關(guān)系，再作出二面角的平面角，借助余弦定理計算作答.【小問1詳解】在三棱錐中，平面平面，平面平面，而，平面，因此有平面，又有平面，所以.【小問2詳解】取BC中點F，連接AF，DF，如圖，因為等邊三角形，則，而平面平面，平面平面，平面，于是得平面，是與平面BCD所成角，即，令，則，因，即有，由(1)知，，則有，過C作交AD于O，在平面內(nèi)過O作交BD于E，連CE，從而得是二面角的平面角，中，，，中，由余弦定理得，，，顯然E是斜邊中點，則，中，由余弦定理得，所以二面角的余弦值.20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由線面平行的判定定理證明；（2）建立空間直角坐標系，用空間向量法求異面直線所成的角【小問1詳解】證明：且，由三角形相似可得，，，又，，又平面，平面平面；【小問2詳解】解：以為坐標原點，分別以為軸建立空間坐標系，如圖．則設異面直線所成角為，則21、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）利用分析法證明即可；（2）將與相乘，展開后利用基本不等式可證明所證不等式成立.【詳解】（1