【第8講：函數(shù)的周期性】總覽總覽題型梳理一．函數(shù)周期性的判斷與求解（共9小題）二．由函數(shù)的周期性求解函數(shù)或參數(shù)（共5小題）三．抽象函數(shù)的周期性（共7小題）四．類周期函數(shù)（共6小題）【知識點清單】1．函數(shù)的奇偶性【知識點的認識】①如果函數(shù)f（x）的定義域關于原點對稱，且定義域內任意一個x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)，其圖象特點是關于（0，0）對稱．②如果函數(shù)f（x）的定義域關于原點對稱，且定義域內任意一個x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù)，其圖象特點是關于y軸對稱．【解題方法點撥】①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點，那么運用f（0）＝0解相關的未知量；②奇函數(shù)：若定義域不包括原點，那么運用f（x）＝﹣f（﹣x）解相關參數(shù)；③偶函數(shù)：在定義域內一般是用f（x）＝f（﹣x）這個去求解；④對于奇函數(shù)，定義域關于原點對稱的部分其單調性一致，而偶函數(shù)的單調性相反．2．奇函數(shù)偶函數(shù)的性質【知識點的認識】①如果函數(shù)f（x）的定義域關于原點對稱，且定義域內任意一個x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)，其圖象特點是關于（0，0）對稱．②如果函數(shù)f（x）的定義域關于原點對稱，且定義域內任意一個x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù)，其圖象特點是關于y軸對稱．【解題方法點撥】①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點，那么運用f（0）＝0解相關的未知量；②奇函數(shù)：若定義域不包括原點，那么運用f（x）＝﹣f（﹣x）解相關參數(shù)；③偶函數(shù)：在定義域內一般是用f（x）＝f（﹣x）這個去求解；④對于奇函數(shù)，定義域關于原點對稱的部分其單調性一致，而偶函數(shù)的單調性相反．3.奇偶函數(shù)圖象的對稱性【知識點的認識】奇偶函數(shù)的對稱性是相對于其圖象來說的，具體而言奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，其特點是f（x）＝m時，f（﹣x）＝﹣m；偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱，它的特點是當f（x）＝n時，f（﹣x）＝n．4．抽象函數(shù)的奇偶性【知識點的認識】抽象函數(shù)是指沒有給出函數(shù)的具體解析式，只給出了一些體現(xiàn)函數(shù)特征的式子的一類函數(shù)．由于抽象函數(shù)表現(xiàn)形式的抽象性，使得這類問題成為函數(shù)內容的難點之一．【解題方法點撥】①盡可能把抽象函數(shù)與我們數(shù)學的具體模型聯(lián)系起來，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它的原型就是y＝kx；②可通過賦特殊值法使問題得以解決5．函數(shù)周期性的判斷與求解【知識點的認識】函數(shù)的周期性定義為若T為非零常數(shù)，對于定義域內的任一x，使f（x）＝f（x+T）恒成立，則f（x）叫做周期函數(shù)，T叫做這個函數(shù)的一個周期．常函數(shù)為周期函數(shù)，但無最小正周期，其周期為任意實數(shù)．【解題方法點撥】周期函數(shù)一般和偶函數(shù)，函數(shù)的對稱性以及它的圖象相結合，考查的內容比較豐富．①求最小正周期的解法，盡量重復的按照所給的式子多寫幾個，例：求f（x）=1解：由題意可知，f（x+2）=1f(x)=f（x﹣2）②與對稱函數(shù)或者偶函數(shù)相結合求函數(shù)與x軸的交點個數(shù)．如已知函數(shù)在某個小區(qū)間與x軸有n個交點，求函數(shù)在更大的區(qū)間與x軸的交點個數(shù)．思路：第一，這一般是個周期函數(shù)，所以先求出周期T；第二，結合函數(shù)圖象判斷交點個數(shù)；第三，注意端點的值．【命題方向】題目包括判斷和求解函數(shù)的周期性，結合周期性分析函數(shù)的性質及應用．6．抽象函數(shù)的周期性【知識點的認識】抽象函數(shù)是指沒有給出函數(shù)的具體解析式，只給出了一些體現(xiàn)函數(shù)特征的式子的一類函數(shù)．由于抽象函數(shù)表現(xiàn)形式的抽象性，使得這類問題成為函數(shù)內容的難點之一．【解題方法點撥】①盡可能把抽象函數(shù)與我們數(shù)學的具體模型聯(lián)系起來，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它的原型就是y＝kx；②可通過賦特殊值法使問題得以解決例：f（xy）＝f（x）+f（y），求證f（1）＝f（﹣1）＝0令x＝y(tǒng)＝1，則f（1）＝2f（1）?f（1）＝0令x＝y(tǒng)＝﹣1，同理可推出f（﹣1）＝0③既然是函數(shù)，也可以運用相關的函數(shù)性質推斷它的單調性；【命題方向】抽象函數(shù)及其應用．抽象函數(shù)是一個重點，也是一個難點，解題的主要方法也就是我上面提到的這兩種．高考中一般以中檔題和小題為主，要引起重視．6．類周期函數(shù)【知識點的認識】類周期函數(shù)是指具有類似周期性，但又不完全遵循周期性規(guī)律的函數(shù)．【解題方法點撥】﹣分析類周期函數(shù)的形式，找到函數(shù)的近似周期．﹣利用類周期性分析函數(shù)性質，確定類周期函數(shù)的行為．﹣綜合考慮類周期函數(shù)的各部分，分析其性質和應用．【命題方向】題目包括判斷和求解類周期函數(shù)的性質，結合實際問題分析類周期函數(shù)的應用．題型題型分類知識講解與?？碱}型一．函數(shù)周期性的判斷與求解（共9小題）1．已知函數(shù)f（x）滿足f（x）＝﹣f（x+2），且f（3）＝﹣1，則f（2025）＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考點】函數(shù)周期性的判斷與求解．【分析】首先得出函數(shù)的周期是4，然后結合f（x）＝﹣f（x+2），f（3）＝﹣1即可求解．【解答】解：根據(jù)題意可知，f（x）＝﹣f（x+2）＝﹣[﹣f（x+4）]＝f（x+4），f（2025）＝f（1+506×4）＝f（1）＝﹣f（3）＝1．故選：C．【點評】本題考查了函數(shù)的周期性，屬于基礎題．2．已知函數(shù)f（x）滿足對于任意的實數(shù)x，都有f(x+3)=1f(x)，且f(3)=1A．?13 B．13 【考點】函數(shù)周期性的判斷與求解．【分析】根據(jù)f(x+3)=1f(x)可求f（【解答】解：根據(jù)題意可知，f(x+3)=1f(x)，則所以函數(shù)f（x）的周期T＝6，所以f(2025)=f(337×6+3)=f(3)=1故選：B．【點評】本題考查了函數(shù)的周期性，屬于基礎題．3．已知函數(shù)y＝x2f（x+1）是定義在R上的奇函數(shù)n且f（x﹣1）＝f（5﹣x），且當x∈[0，1]時，f（x）＝2﹣2x，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2025）＝（）A．﹣2 B．0 C．2 D．﹣4050【考點】函數(shù)周期性的判斷與求解．【分析】根據(jù)題意，由條件可得函數(shù)f（x）關于點（1，0）對稱，再結合條件可得函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)，代入計算，即可得到結果．【解答】解：已知函數(shù)y＝x2f（x+1）是定義在R上的奇函數(shù)n且f（x﹣1）＝f（5﹣x），且當x∈[0，1]時，f（x）＝2﹣2x，所以（﹣x）2f（﹣x+1）＝﹣x2f（x+1），即f（1﹣x）＝﹣f（1+x），即函數(shù)f（x）關于點（1，0）對稱，所以f（x）+f（2﹣x）＝0，又因為f（x﹣1）＝f（5﹣x），則函數(shù)f（x）關于直線x＝2對稱，即f（x）＝f（4﹣x），所以f（4﹣x）+f（2﹣x）＝0，令t＝2﹣x，則x＝2﹣t，f（2+t）+f（t）＝0，即f（t）＝﹣f（2+t），所以f（4+t）＝﹣f（2+t）＝f（t），即f（4+x）＝f（x），函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)，又當x∈[0，1]時，f（x）＝2﹣2x，則f（0）＝2，f（1）＝0，則f（2）＝﹣f（0）＝﹣2，f（3）＝﹣f（1）＝0，f（4）＝f（0）＝2，則f（1）+f（2）+f（3）+...+f（2025）＝506×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（2025）＝f（1）＝0．故選：B．【點評】本題考查函數(shù)的周期性相關知識，屬于中檔題．4．已知函數(shù)f（x）滿足：?x∈R，f（x）?f（x+4）＝2，且f（1）＝2，則f（29）＝（）A．1 B．2 C．3 D．4【考點】函數(shù)周期性的判斷與求解．【分析】根據(jù)已知得到函數(shù)f（x）的一個周期為8，再利用周期性求函數(shù)值．【解答】解：已知函數(shù)f（x）滿足：?x∈R，f（x）?f（x+4）＝2，且f（1）＝2，顯然f（x）≠0，所以f(x+4)=2所以f(x+8)=2f(x+4)=22所以f(29)=f(8×3+5)=f(5)=2故選：A．【點評】本題考查函數(shù)的周期性，屬于中檔題．5．已知函數(shù)f（x）滿足對?x∈R都有f（x）＝f（x+3），f（x）+f（4﹣x）＝4，則f（2024）＝（）A．1 B．2024 C．2 D．2025【考點】函數(shù)周期性的判斷與求解．【分析】求出函數(shù)f（x）的周期為3，以及f（2）＝2，即可求出結果．【解答】解：由f（x）+f（4﹣x）＝4，令x＝2，可知f（2）+f（2）＝4，即f（2）＝2，又因為f（x）＝f（x+3），所以函數(shù)f（x）的一個周期為3，則f（2024）＝f（3×674+2）＝f（2）＝2．故選：C．【點評】本題考查函數(shù)的周期性等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．6．已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x）＝f（2﹣x）．當1≤x≤2時，f（x）＝log2（x+7），則f（2023）＝（）A．3 B．﹣3 C．﹣5 D．5【考點】函數(shù)周期性的判斷與求解；對數(shù)運算求值；奇函數(shù)偶函數(shù)的性質．【分析】首先判斷函數(shù)的周期，再利用周期求函數(shù)值．【解答】解：f（x）為奇函數(shù)，則f（﹣x）＝﹣f（x），f（x）＝f（2﹣x），則﹣f（﹣x）＝f（2﹣x），即﹣f（x）＝f（2+x），故f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），所以函數(shù)f（x）是周期為4的函數(shù)，f（2023）＝f（506×4﹣1）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣log28＝﹣3．故選：B．【點評】本題主要考查函數(shù)周期性的判斷與求解，屬于基礎題．7．已知函數(shù)f（x）是周期為2的奇函數(shù)，且當x∈（0，1）時，f（x）＝3x+1，則f(logA．3 B．﹣3 C．﹣2 D．2【考點】函數(shù)周期性的判斷與求解；奇函數(shù)偶函數(shù)的性質．【分析】先將log381【解答】解：已知函數(shù)f（x）是周期為2的奇函數(shù)，且當x∈（0，1）時，f（x）＝3x+1，故f(log=?f(log則f(log故選：B．【點評】本題考查函數(shù)的周期性相關知識，屬于中檔題．8．已知函數(shù)f（x）對任意x∈R，都有f（x）+f（﹣x）＝1，f（x）的圖象關于點(?π2，12A．?34 B．34 C．?【考點】函數(shù)周期性的判斷與求解．【分析】f（x）的圖象關于點(?π2，12)對稱和f（x）＝f（﹣π+x），得【解答】解：因為f（x）的圖象關于點(?π2，12)對稱，所以有f（﹣x）+又f（x）＝f（﹣π+x），所以f（x）是周期為π的周期函數(shù)，所以f(119π故選：B．【點評】本題主要考查了函數(shù)對稱性及周期性的應用，屬于中檔題．9．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，?x∈R，恒有f（x）+f（x+2）＝0，且當x∈（0，1]時，f（x）＝1+2x，則f（1）+f（2）+…+f（2024）+f（2025）＝3．【考點】函數(shù)周期性的判斷與求解．【分析】依題意，可求得f（x）是以4為周期的函數(shù)，進而可得答案．【解答】解：∵?x∈R，恒有f（x）+f（x+2）＝0，∴f（x+2）＝﹣f（x），①∴f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即f（x）是以4為周期的函數(shù)；②又f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴f（0）＝0，又當x∈（0，1]時，f（x）＝1+2x，∴f（1）＝1+2＝3；由①②得f（2）＝﹣f（4）＝﹣f（0）＝0，f（3）＝﹣f（1）＝﹣3，∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝3+0﹣3+0＝0，∴f（1）+f（2）+…+f（2024）+f（2025）＝506[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）＝0+3＝3．故答案為：3．【點評】本題考查數(shù)函數(shù)的周期性的判斷與求解，考查運算能力，屬于中檔題．二．由函數(shù)的周期性求解函數(shù)或參數(shù)（共5小題）10．已知定義在R上的函數(shù)y＝f（x）滿足f(x+4)=1f(x)，當0＜x＜4時，若f（x）＝ax+b（a＞0，b＞0），且f（2025）＝1，則A．3+2 B．2+2 C．3+22【考點】由函數(shù)的周期性求解函數(shù)或參數(shù)．【分析】根據(jù)已知條件求出函數(shù)的周期，進而求得a+b＝1，化1a【解答】解：因為f(x+4)=1f(x)，所以即f（x+8）＝f（x），故y＝f（x）的周期為8，所以f（2025）＝f（8×253+1）＝f（1）＝a+b＝1，則1a因為a＞0，b＞0，所以3+b當且僅當ba=2a故選：C．【點評】本題主要考查函數(shù)周期性與基本不等式的綜合，屬于中檔題．11．已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x﹣1）+f（x+1）＝0，且當x∈[0，2）時，f（x）＝log2（x+1），則3f（2023）﹣2f（2022）的值為（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3【考點】由函數(shù)的周期性求解函數(shù)或參數(shù)．【分析】由f（x﹣1）+f（x+1）＝0變形可知原函數(shù)是周期T＝4的周期函數(shù)，利用周期化簡結合函數(shù)已知的解析式即可求解．【解答】解：∵f（x﹣1）+f（x+1）＝0，∴f（﹣1）+f（1）＝0，且f（1）＝log2（1+1）＝1，∴f（﹣1）＝﹣1，∴f（0）+f（2）＝0，且f（0）＝log2（0+1）＝0，∴f（2）＝0，又可得f（x）+f（x+2）＝0，∴f（x+4）＝f（x），∴f（x）是周期T＝4的周期函數(shù)，∴f（2023）＝f（﹣1）＝﹣1，f（2022）＝f（2）＝0，∴3f（2023）﹣2f（2022）＝3×（﹣1）﹣2×0＝﹣3．故選：D．【點評】本題主要考查抽象函數(shù)的應用，考查計算能力，屬于基礎題．12．已知f（x+1）是周期為2的奇函數(shù)，當﹣1≤x≤0時，f（x）＝sinπx，則f(?4A．?12 B．12 C．?【考點】由函數(shù)的周期性求解函數(shù)或參數(shù)．【分析】先利用已知條件確定函數(shù)f（x）的周期，再利用f（x+1）＝﹣f（﹣x+1）和已知的解析式，求解即可．【解答】解：因為f（x+1）是周期為2的函數(shù)，所以f（x）的周期為2，因為f（x+1）為奇函數(shù)，則f（x+1）＝﹣f（﹣x+1），且當﹣1≤x≤0時，f（x）＝sinπx，所以f(?4故選：D．【點評】本題考查了函數(shù)奇偶性與周期性的應用，解題的關鍵是將所要求解的值利用奇偶性與周期性進行轉化，考查了邏輯推理能力與轉化化歸能力，屬于中檔題．（多選）13．已知函數(shù)f（x），g（x）的定義域均為R，且g（x）+f（﹣x+2）＝1，f（x）﹣g（x+1）＝1，若y＝f（x）的圖象關于直線x＝1對稱，則以下說法正確的是（）A．g（x）為奇函數(shù) B．?x∈R，f（x）＝f（x+4） C．f（x+2024）+f（﹣x﹣2023）＝2 D．g(?【考點】由函數(shù)的周期性求解函數(shù)或參數(shù)；奇函數(shù)偶函數(shù)的判斷；奇偶函數(shù)圖象的對稱性．【分析】利用對稱性、和周期性的性質，結合f（x）與g（x）之間的關系，逐項判斷即可．【解答】解：∵函數(shù)f（x），g（x）的定義域均為R，由g（x）+f（﹣x+2）＝1可得g（x+1）+f（1﹣x）＝1，又f（x）﹣g（x+1）＝1，∴f（x）+f（1﹣x）＝2，故f（x+2024）+f（﹣x﹣2023）＝2，C正確；∵y＝f（x）的圖象關于直線x＝1對稱，∴f（1﹣x）＝f（1+x），∴f（x）+f（1+x）＝2，∴f（x+2）+f（1+x）＝2，∴f（x）＝f（x+2），即T＝2，f（x）＝f（x+4），B正確；∵y＝f（x）的圖象關于直線x＝1對稱，∴f（﹣x）＝f（2+x），∴f（x）＝f（﹣x）；又g（x）+f（2﹣x）＝1，∴g（x）+f（x）＝1，∴g（﹣x）+f（﹣x）＝1，∴g（x）+f（x）＝1，∴g（﹣x）+f（﹣x）＝1，又f（x）是偶函數(shù)，∴g（﹣x）＝g（x），∴g（x）是偶函數(shù)，故A錯誤，由f（x）+f（1﹣x）＝2得f（12）＝1，則f（12）＝f（又f（x）＝f（x+2），∴f（?32）＝1，由g（x）+f（x）＝1，f（?32）+∴g（?32）＝0，故選：BCD．【點評】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，周期性及對稱性的綜合應用，屬于中檔題．14．設函數(shù)y＝f（x）的定義域為R，f（x﹣1）為奇函數(shù)，f（x+1）為偶函數(shù)，當x∈（﹣1，1]時，f（x）＝2x﹣1，則k=12025【考點】由函數(shù)的周期性求解函數(shù)或參數(shù)．【分析】求出函數(shù)f（x）的圖象的對稱點，對稱直線，周期，求出k=18f(k)【解答】解：因為函數(shù)y＝f（x）的定義域為R，f（x﹣1）為奇函數(shù)，f（x+1）為偶函數(shù)，所以函數(shù)f（x）的圖象關于點（﹣1，0）對稱，也關于直線x＝1對稱，所以f（﹣x）＝f（x+2），f（﹣x）＝﹣f（x﹣2），所以f（x+2）＝﹣f（x﹣2），則f（x+8）＝﹣f（x+4）＝f（x），所以函數(shù)f（x）是周期為8的周期函數(shù)，當x∈（﹣1，1]時，f（x）＝2x﹣1，則f（1）＝1，f（7）＝f（﹣1）＝0，f（8）＝f（0）＝﹣1，f（2）＝f（0）＝﹣1，f（3）＝f（﹣1）＝0，f（4）＝﹣f（﹣6）＝﹣f（2）＝1，f（5）＝f（﹣3）＝﹣f（1）＝﹣1，f（6）＝﹣f（﹣8）＝﹣f（0）＝1，所以k=18又因為2024＝8×253，所以k=12025故答案為：1．【點評】本題主要考查了函數(shù)性質的綜合應用，屬于中檔題．三．抽象函數(shù)的周期性（共7小題）15．已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（6﹣x）+f（x）＝0，且f（2x+1）為偶函數(shù)，則f（2023）＝（）A．0 B．1 C．2 D．3【考點】抽象函數(shù)的周期性；抽象函數(shù)的奇偶性．【分析】由已知條件得8為函數(shù)f（x）的周期，結合f（3）＝0利用函數(shù)的周期性即可求值．【解答】解：因為f（2x+1）為偶函數(shù)，所以f（2x+1）＝f（﹣2x+1），所以f（﹣x）＝f（x+2），又f（6﹣x）+f（x）＝0，所以f（﹣x）+f（x+6）＝0，所以f（x+2）+f（x+6）＝0，所以f（x）+f（x+4）＝0，所以f（x+4）+f（x+8）＝0，所以f（x+8）＝f（x），所以8為函數(shù)f（x）的周期，又f（6﹣x）+f（x）＝0得f（6﹣3）+f（3）＝0，所以f（3）＝0，所以f（2023）＝f（252×8+7）＝f（7）＝﹣f（3）＝0．故選：A．【點評】本題考查抽象函數(shù)的性質，屬中檔題．16．已知定義在R上的函數(shù)f（x），對任意實數(shù)x都有f（x+4）＝﹣f（x），若函數(shù)y＝f（x﹣1）的圖象關于直線x＝1對稱，且f（﹣1）＝2，則f（2025）＝（）A．1 B．2 C．3 D．4【考點】抽象函數(shù)的周期性；抽象函數(shù)的奇偶性．【分析】先利用圖象變換得出f（x）為偶函數(shù)，再利用f（x+4）＝﹣f（x）得出y＝f（x）的周期，進而利用周期性和對稱性即可求解．【解答】解：因為將函數(shù)f（x+4）＝﹣f（x），所以f（x+8）＝﹣f（x+4）＝f（x），所以f（x）是周期為8，又y＝f（x﹣1）的圖象關于直線x＝1對稱，所以f（1﹣x﹣1）＝f（1+x﹣1），即f（﹣x）＝f（x），所以f（x）為偶函數(shù)，又f（﹣1）＝2，所以f（2025）＝f（1+253×8）＝f（1）＝f（﹣1）＝2．故選：B．【點評】本題考查抽象函數(shù)的性，屬中檔題．17．已知定義域均為R的函數(shù)f（x），g（x）滿足f（2﹣x）+f（x）＝2，g（4﹣x）＝g（x），g（2）＝3，若f（x）＝g（2+x）+4，則下列說法錯誤的是（）A．f（x）的圖象關于y軸對稱 B．﹣8為f（x）的一個周期 C．f（2023）＝﹣1 D．k=122f（【考點】抽象函數(shù)的周期性．【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的對稱性可得f（﹣x）＝f（x），f（x+4）＝f（x），f（0）＝g（2）+4＝7，f（1）＝1，從而根據(jù)周期性及對稱性，即可分別求解．【解答】解：因為g（4﹣x）＝g（x），g（2）＝3，又f（x）＝g（2+x）+4，所以f（2﹣x）＝g（4﹣x）+4，f（x﹣2）＝g（x）+4，兩式相減可得：f（2﹣x）﹣f（x﹣2）＝0，所以f（2﹣x）＝f（x﹣2），所以f（﹣x）＝f（x），所以f（x）的圖象關于y軸對稱，所以A選項正確；又f（2﹣x）+f（x）＝2，所以f（2﹣x）+f（﹣x）＝2，所以f（x+2）+f（x）＝2，所以f（x+4）+f（x+2）＝2，所以f（x+4）＝f（x），所以f（x）的周期為4，所以﹣8為f（x）的一個周期，所以B選項正確；因為g（2）＝3，f（x）＝g（2+x）+4，所以f（0）＝g（2）+4＝7，又f（2﹣x）+f（x）＝2，所以2f（1）＝2，所以f（1）＝1，所以f（2）＝2﹣f（0）＝2﹣7＝﹣5，f（3）＝f（﹣1）＝f（1）＝1，f（4）＝f（0）＝7，所以f（2023）＝f（4×505+3）＝f（3）＝1，所以C選項錯誤；所以f（x）的一個周期的和為f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝1﹣5+1+7＝4，所以k=122f（k）＝5×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）＝5×4+1﹣5＝16，所以故選：C．【點評】本題考查抽象函數(shù)的性質的綜合應用．屬中檔題．18．已知函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)，f（1）＝1，且?x∈（﹣∞，0），f（x）＝xf（1﹣x），則k=02025A．220252026! B．C．220262025! 【考點】抽象函數(shù)的周期性；抽象函數(shù)的奇偶性．【分析】根據(jù)奇函數(shù)性質及迭代法求出x＞1且x∈N時，f(x)=1【解答】解：函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)，f（1）＝1，因為f（﹣x）＝﹣f（x），f（0）＝0，又?x∈（﹣∞，0），f（x）＝xf（1﹣x），所以當x＞1且x∈N時，1﹣x＜0，f（1﹣x）＝（1﹣x）f（x），所以f(x)=f(x?1)所以f(x)=f(x?1)所以k=02025又2025!k!(2025?k)!所以k=02025故選：D．【點評】本題考查抽象函數(shù)的性質，屬中檔題．19．已知定義在Z上的函數(shù)f（x）滿足f（x+y）＝f（x）+f（y）+2xy﹣1，且f（2）＝7，則（）A．f（1）＝4 B．方程f（x）＝0有解 C．f（x﹣1）＝f（﹣x） D．f（x+1）＝f（x）【考點】抽象函數(shù)的周期性．【分析】根據(jù)題意，利用賦值法，即可求解．【解答】解：因為定義在Z上的函數(shù)f（x）滿足f（x+y）＝f（x）+f（y）+2xy﹣1，且f（2）＝7，所以f（2）＝2f（1）+1＝7，所以f（1）＝3，所以A選項錯誤；又f（0）＝2f（0）﹣1，所以f（0）＝1，又f（3）＝f（1）+f（2）+3＝13，f（4）＝2f（2）+7＝21，…，因為1＝f（0）＝f（1）+f（﹣1）﹣3＝3+f（﹣1）﹣3所以f（﹣1）＝1，所以f（﹣2）＝2f（﹣1）+1＝3，所以f（﹣3）＝f（﹣1）+f（﹣2）+3＝7，所以f（﹣4）＝2f（﹣2）+7＝13，所以f（﹣5）＝f（﹣2）+f（﹣3）+11＝21，…，所以方程f（x）＝0無解，f（x﹣1）＝f（﹣x），f（x+1）≠f（x），所以B，D選項錯誤，C選項正確．故選：C．【點評】本題考查抽象函數(shù)的求值問題，屬中檔題．20．已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）+f（6﹣x）＝0，且函數(shù)y=f(x+32)為偶函數(shù)，當0≤x≤32時，f（x）＝4x﹣2A．32 B．2 C．﹣2 【考點】抽象函數(shù)的周期性；函數(shù)的奇偶性．【分析】根據(jù)函數(shù)對稱性和偶函數(shù)的條件推出6是f（x）的一個周期，利用函數(shù)的周期性和解析式條件即可求得答案．【解答】解：根據(jù)題意，定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）+f（6﹣x）＝0，變形可得f（x+3）＝﹣f（3﹣x）①，又由函數(shù)y=f(x+32)為偶函數(shù)，則f(?x+32)=f(x+32)，變形可得f由①②兩式可得：f（﹣x）＝﹣f（3﹣x），即f（x）＝﹣f（x+3），則有f（x+6）＝﹣f（x+3）＝f（x），故6是f（x）的一個周期．因為當0≤x≤32時，f（x）＝4x﹣2x故f（2026）＝f（337×6+4）＝f（4）＝﹣f（1）＝﹣2．故選：C．【點評】本題考查函數(shù)的奇偶性和對稱性，涉及函數(shù)的周期性，屬于基礎題．21．已知對于?x∈R，f（x+1）+f（x﹣1）＝f（x），f（x）+g（x﹣3）＝2，g（﹣3﹣x）＝g（﹣3+x），且g（﹣3）＝1，則i=02025A．12 B．32 C．1【考點】抽象函數(shù)的周期性．【分析】由對于?x∈R，f（x+1）+f（x﹣1）＝f（x），可得函數(shù)y＝f（x）的周期為6，利用賦值示可求得f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）＝0，由f（x）+g（x﹣3）＝2，g（﹣3）＝1，可得f（0）＝1，由g（﹣3﹣x）＝g（﹣3+x），可得函數(shù)y＝g（x）關于x＝﹣3對稱，周期為6，且為R上偶函數(shù)，進而可得f（x）也是R上偶函數(shù)，取特殊函數(shù)求解即可．【解答】解：因為對于?x∈R，f（x+1）+f（x﹣1）＝f（x），所以f（x+2）+f（x）＝f（x+1），所以f（x+2）+f（x﹣1）＝0，即f（x+2）＝﹣f（x﹣1），f（x+3）＝﹣f（x），所以f（x+6）＝﹣f（x+3）＝f（x），所以函數(shù)y＝f（x）為周期函數(shù)，最小正周期為6，由f（x+2）+f（x﹣1）＝0，可得f（3）+f（0）＝0，f（4）+f（1）＝0，f（5）+f（2）＝0，所以f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）＝0，又因為f（x）+g（x﹣3）＝2，g（﹣3）＝1，所以f（0）+g（﹣3）＝2，解得f（0）＝1，在f（x+1）+f（x﹣1）＝f（x）中，令x＝1，則有f（2）+f（0）＝f（1），所以f（1）＝f（2）+1，由g（﹣3﹣x）＝g（﹣3+x），可得y＝g（x）關于直線x＝﹣3對稱，由f（x）+g（x﹣3）＝2，可得f（x+6）+g（x+3）＝2，又因為f（x+6）＝f（x），所以g（x+3）＝g（x﹣3），即g（x+6）＝g（x），所以函數(shù)y＝g（x）為周期函數(shù)，最小正周期為6，所以由g（﹣3﹣x）＝g（﹣3+x），可得g[﹣（x+3）]＝g[（x+3）﹣6]＝g（x+3），即g（﹣x）＝g（x），所以g（x）為R上的偶函數(shù)，由f（x）+g（x﹣3）＝2，可得f（x+3）+g（x）＝2，所以f（﹣x+3）+g（﹣x）＝2，所以f（x+3）＝f（﹣x+3）＝f[﹣（x﹣3）]＝f[﹣（x+3）+6]＝f[﹣（x+3）]，所以y＝f（x）也是R上的偶函數(shù)，取f（x）＝cosπx3滿足f（x+1）+f（x﹣1）＝f（x），所以g（x﹣3）＝2﹣f（x）＝2﹣cosπx3所以g（x）＝2﹣cos[π3（x+3）]＝2+cosπx滿足g（﹣3﹣x）＝g（﹣3+x），且g（﹣3）＝1，所以f（2）=?1所以i=02025f（i）＝337×[f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）]+f（0）+f（1）+f（2）+＝f（1）+f（2）＝2f（2）+1＝0．故選：D．【點評】本題考查了利用賦值法求抽象函數(shù)的值、判斷抽象函數(shù)的奇偶性及周期性，考查了邏輯推理能力，屬于難題．四．類周期函數(shù)（共6小題）22．函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（1+x）＝f（1﹣x），若x∈[0，1]，f（x）＝2x，則f（2023）＝（）A．4 B．2 C．1 D．0【考點】類周期函數(shù)．【分析】根據(jù)f（1+x）＝f（1﹣x），結合f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，易得函數(shù)f（x）的周期為2，然后由f（2023）＝f（1011×2+1）＝f（1）求解．【解答】解：因為f（1+x）＝f（1﹣x），且f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，所以f（1+x）＝f（x﹣1），令t＝x﹣1，則x＝t+1，所以f（t+2）＝f（t），即f（x）＝f（x+2），所以函數(shù)f（x）的周期為2，所以f（2023）＝f（1011×2+1）＝f（1）＝2．故選：B．【點評】本題考查抽象函數(shù)的性質以及應用，涉及函數(shù)奇偶性、對稱性的應用，屬于中檔題．23．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f(12)=12，f（1）＝1，f(x)=12f(5x)，當0≤x1＜x2≤1時，f（x1A．2 B．1 C．12 【考點】類周期函數(shù)；函數(shù)的值．【分析】根據(jù)題意，分析可得f（15）=12f（1）=12，進而可得12=f（15）≤f（25）≤f（12）=12，則有f（【解答】解：根據(jù)題意，f（1）＝1，f(x)=12f(5x)，則f（15）=又由當0≤x1＜x2≤1時，f（x1）≤f（x2），則有12=f（15）≤f（25）≤f（故f（25）=則f（10）＝2f（2）＝4f（25故選：A．【點評】本題考查抽象函數(shù)的求值，注意函數(shù)值變化的規(guī)律，屬于中檔題．24．定義在R上的函數(shù)y＝f（x）的圖的關于點(?34，0)成中心對稱，對任意的實數(shù)x都有f(x)=?f(x+32)，且f（﹣1）＝1，f（0）＝﹣2，則f（1）+A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2【考點】類周期函數(shù)．【分析】由題可得函數(shù)的周期為3，結合條件可得一個周斯內的函數(shù)值，用分組求和即得．【解答】解：∵f（x）＝﹣f（x+32），f（x+32）＝﹣f（x），則f（x+3）＝﹣f（x+3則f（x）是周期為3的周期函數(shù)，則f（2）＝f（﹣1+3）＝f（﹣1）＝1，f（12）＝﹣f∵函數(shù)f（x）的圖象關于點(?3∴f（1）＝﹣f（?52）＝﹣f（∵f（0）＝f（3）＝﹣2，∴f（1）+f（2）+f（3）＝1+1﹣2＝0，由2024＝674×3+2，則f（1）+f（2）+f（3）+?+f（2024）＝f（1）+f（2）＝2．故選：A．【點評】本題考查函數(shù)的求值，函數(shù)的周期性，中心對稱，屬于中檔題．25．已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，f(x)=1+f(x?2)1?f(x?2)，且f(2)=2+3A．2?3 B．3?2 C．2+3【考點】類周期函數(shù)．【分析】根據(jù)條件f(x)=1+f(x?2)1?f(x?2)，可推出函數(shù)f（x）的周期為8，從而求出【解答】解：∵f(x)=1+f(x?2)∴f（x﹣2）=1+f(x?4)∴f（x）=1+∴f（x﹣4）=?1f(x?8)，即f（x）＝f（∴函數(shù)f（x）的周期為8，∴f（2022）＝f（252×8+6）＝f（6）=?1故選：B．【點評】本題主要考查了函數(shù)的周期性，屬于基礎題．26．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+1）＝﹣f（x）+2x+1，則下列是周期函數(shù)的是（）A．y＝f（x）+x B．y＝f（x）﹣x C．y＝f（x）+2x D．y＝f（x）﹣2x【考點】類周期函數(shù)．【分析】令選項中的函數(shù)為g（x），將f（x）用g（x）表示，再代入條件關系式f（x+1）＝﹣f（x）+2x+1，即可判斷g（x）的周期性．【解答】解：對于A，令g（x）＝f（x）+x，可得f（x）＝g（x）﹣x，由f（x+1）＝﹣f（x）+2x+1，可得g（x+1）﹣x﹣1＝﹣g（x）+x+2x+1，即g（x+1）＝﹣g（x）+4x+2，得不出函數(shù)具有周期性，故A錯誤；對于B，令g（x）＝f（x）﹣x，可得f（x）＝g（x）+x，由f（x+1）＝﹣f（x）+2x+1，可得g（x+1）+x+1＝﹣g（x）﹣x+2x+1，即g（x+1）＝﹣g（x），所以g（x+2）＝﹣g（x+1）＝g（x），即函數(shù)g（x）的周期為2，故B正確；對于C，令g（x）＝f（x）+2x，可得f（x）＝g（x）﹣2x，由f（x+1）＝﹣f（x）+2x+1，可得g（x+1）﹣2（x+1）＝﹣g（x）+2x+2x+1，即g（x+1）＝﹣g（x）+6x+3，得不出函數(shù)具有周期性，故C錯誤；對于D，令g（x）＝f（x）﹣2x，可得f（x）＝g（x）+2x，由f（x+1）＝﹣f（x）+2x+1，可得g（x+1）+2（x+1）＝﹣g（x）﹣2x+2x+1，即g（x+1）＝﹣g（x）﹣2x﹣1，得不出函數(shù)具有周期性，D錯誤；故選：B．【點評】本題主要考查了函數(shù)的周期性，屬于中檔題．（多選）27．對于函數(shù)y＝f（x）（x∈R），下列命題正確的有（）A．在同一直角坐標系中，函數(shù)y＝f（1﹣x）與y＝f（x﹣1）的圖像關于直線x＝0對稱 B．若f（1﹣x）＝f（x﹣1），則函數(shù)y＝f（x）的圖像關于直線x＝1對稱 C．若f（1+x）＝f（x﹣1），則函數(shù)y＝f（x）是周期函數(shù) D．若f（1﹣x）＝﹣f（x﹣1），則函數(shù)y＝f（x）的圖像關于（0，0）對稱【考點】類周期函數(shù)．【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性，奇偶性判斷ABD選項，根據(jù)函數(shù)的周期性判斷選項C．【解答】解：對于A，函數(shù)y＝f（﹣x）與y＝f（x）的圖像關于y軸即直線x＝0對稱，又f（1﹣x）＝f（﹣（x﹣1）），即y＝f（1﹣x）的圖像是由y＝f（﹣x）的圖像向右平移1個單位長度得到，同理，y＝f（x﹣1）的圖像是由y＝f（x）的圖像向右平移1個單位長度得到，所以函數(shù)y＝f（1﹣x）與y＝f（x﹣1）的圖像關于直線x＝1對稱，故A錯誤；對于B，若f（1﹣x）＝f（x﹣1），則f（1﹣（x+1））＝f（x+1﹣1），即f（﹣x）＝f（x），所以其圖像關于直線x＝0對稱，故B錯誤；對于C，若f（1+x）＝f（x﹣1），則f（1+x+1）＝f（x+1﹣1），即f（x+2）＝f（x），所以f（x）是周期為2的周期函數(shù)，故C正確；對于D，若f（1﹣x）＝﹣f（x﹣1），則f（1﹣（x+1））＝﹣f（x+1﹣1），即f（﹣x）＝﹣f（x），所以其圖像關于點（0，0）對稱，故D正確；綜上所述，CD正確．故選：CD．【點評】本題考查函數(shù)的奇偶性，對稱性和周期性的判斷，屬中檔題．課后針對訓練課后針對訓練一、單選題1．已知定義域為R的函數(shù)，滿足是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列說法不一定正確的是（

）A．的圖象關于直線對稱 B．C．的一個周期為4 D．的圖象關于點對稱2．已知函數(shù)的定義域為為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則（

）A． B．C． D．3．已知是定義在上的奇函數(shù)，且滿足，當時，，則（

）A． B． C． D．4．已知函數(shù)的定義域為，函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)的圖象關于直線對稱，則（

）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C． D．5．已知函數(shù)滿足和，且當時，，則的值為（

）A．0 B．2 C．4 D．56．已知函數(shù)的定義域為，且為偶函數(shù)，則（

）A． B．0 C．1 D．2二、多選題7．已知定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足，則（

）A．的圖象關于點對稱 B．是以8為周期的周期函數(shù)C． D．8．已知函數(shù)的定義域為，且，的圖象關于對稱.當時，，若，則（

）A．的周期為4B．的圖象關于對稱C．D．當時，9．設函數(shù)的定義域為R，且滿足，為奇函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．為偶函數(shù) B．關于對稱C． D．的導函數(shù)的周期為10．已知函數(shù)的定義域為，且，曲線的圖象關于直線對稱．若時，，則（）A． B．C． D．11．已知函數(shù)的定義域為，，且，，則下列結論一定正確的是（

）A． B． C． D．三、填空題12．已知函數(shù)滿足，且，則；．13．已知函數(shù)的定義域為，且為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，，則.14．已知函數(shù)和的定義域均為，且，若是偶函數(shù)，，則.15．設是定義在上的函數(shù)，且，則．16．設是定義在上的函數(shù)，且，在區(qū)間上，其中，．若，則的值為．四、解答題17．已知為偶函數(shù)，且周期為4，當時，，求當時的解析式．18．①若恒成立，則有何特性？②若恒成立，則有何特性？③若恒成立，則有何特性？④若恒成立，則有何特性？參考答案題號12345678910答案BBBBCBBCABCBCDABD題號11答案AC1．B【分析】根據(jù)條件中的對稱性，變形判斷AD，再結合判斷C，根據(jù)對稱性，再判斷B.【詳解】由是偶函數(shù)，可知，則關于對稱，故A正確；因為是奇函數(shù)，所以也是奇函數(shù)，關于點對稱，故D正確；由AD可知，，即，即，則，所以是周期函數(shù)，周期為4，故C正確；由可知，，函數(shù)關于對稱，但不確定，故B錯誤.故選：B2．B【分析】根據(jù)題意可推出函數(shù)的周期，結合賦值法可確定，判斷B，其余選項結合賦值，無法確定，即可判斷正確.【詳解】因為函數(shù)為偶函數(shù)，則，可得，因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，所以，即得，即，故函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，對于，令，則，對于，令，則，B正確；由題意可知，無法推出，A錯誤，又，，而是否為0不確定，故CD錯誤，故選：B3．B【分析】利用奇函數(shù)和題設等式推理得出4是函數(shù)的一個周期，結合給定區(qū)間上的函數(shù)解析式，利用周期和求導即可求得.【詳解】因是定義在上的奇函數(shù)，則，由可得，即，則得，故4是函數(shù)的一個周期.因當時，，則，當時，，則，于是，.故選：B.4．B【分析】由題設奇偶性和對稱性條件結合奇偶性定義公式和對稱性公式進行分析函數(shù)的性質即可得解.【詳解】因為是奇函數(shù)，所以為偶函數(shù)，所以，即，故的圖象關于直線對稱，由的圖象關于直線對稱得，即，即，所以關于對稱，所以，所以，故是奇函數(shù)，所以B選項正確；因為，又，所以，即，所以，故C選項錯誤；不能得到的奇偶性與的值，故A，D選項錯誤.故選：B5．C【分析】由題，可知函數(shù)的周期性和對稱性，結合已知求解即可.【詳解】由滿足，得，所以，所以，所以是以4為周期的函數(shù)，因為，所以的圖象關于直線對稱，因為當時，，所以.故選：C.6．B【分析】根據(jù)給定條件，利用賦值法可得，且為奇函數(shù)，再結合已知的偶函數(shù)求得8為的一個周期，借助性質求出目標值.【詳解】函數(shù)的定義域為，且有，令，得，解得；令，得，則，而，即不恒為0，因此，函數(shù)為奇函數(shù)，由為偶函數(shù)，得，則，于是，，8為的一個周期，由，得，即，因此，所以.故選：B【點睛】思路點睛：涉及抽象函數(shù)等式問題，利用賦值法探討函數(shù)的性質，再借助性質即可求解.7．BC【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性以及表達式，可得，則的圖象關于點對稱，故A錯誤；化簡可得，故B正確；又，可得，故C正確；利用賦值法可求得，故D錯誤.【詳解】對于A，由題意，，且，又，即①，用替換中的，得②，由①+②得，所以的圖象關于點對稱，故A錯誤；對于B，由，可得，即，所以，所以是以8為周期的周期函數(shù)，故B正確；對于C，由①可得，則，所以，故C正確；對于D，因為，為偶函數(shù)，所以，令，則有，令，則有，令，則有，，令，