高考數(shù)學(xué)常用公式及結(jié)論

1元素與集合的關(guān)系:A^=>CVA,xeCL.A<^>A.00A<=>A0

2集合｛q,%,…,4｝的子集個(gè)數(shù)共有2"個(gè)；真子集有2〃-1個(gè)；非空子集有2〃-1個(gè)；非空的真子集

有2"-2個(gè).

3二次函數(shù)的解析式的三種形式：

（1）一般式/（x）=ad+公+。（。工0）;

（2）頂點(diǎn)式/*）=。*一萬(wàn)）2+&（。=0）;（當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（力次）時(shí)，設(shè)為此式）

（3）零點(diǎn)式/（x）=a（x-斗）（x-/）（。工0）；（當(dāng)已知拋物線與工軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（斗,（））、（馬，°）時(shí)，

設(shè)為此式）

2

（4）切線式：/（%）=67（x-x0）+（kx+d）Aci0）<.（當(dāng)已知拋物線與直線），="+。相切且切點(diǎn)的

橫坐標(biāo)為與時(shí)，設(shè)為此式）

4充要條件：（1）、p=q,則P是q的充足條件，反之，q是p的必要條件；

（2）、p=q,且qW>p,則P是q的充足不必要條件；

（3）、pq,且q=p,則P是q的必要不充足條件；

（4）、pK〉q,且q#>p,則P是q的既不充足又不必要條件。

5函數(shù)單調(diào)性：

增函數(shù)；（1）、文字描述是；y隨x的增大而增大。

（2）、數(shù)學(xué)符號(hào)表述是：設(shè)f（x）在x￡D上有定義，若對(duì)任意的且為<9，均有

/（*）</（%）成立，則就叫fJ）在xWD上是增函數(shù)。D則就是f（x）的遞增區(qū)間。

減函數(shù)：（1）、文字描述是：y隨x的增大而減小。

（2）、數(shù)學(xué)符號(hào)表述是：設(shè)f（X）在MD上有定義，若對(duì)任意的與"2￡0，且耳<%2,均有

/（芯）>/*2）成立，則就叫f（x）在x￡D上是減函數(shù)。D則就是f（x）的遞減區(qū)間.

單調(diào)性性質(zhì)：（1）、增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)；（2）、減函數(shù)+減函數(shù)=減函數(shù);

（3）、增函數(shù)-減函數(shù)=增函數(shù)；（4）、減函數(shù)-增函數(shù)=減函數(shù)；

注：上述成果中的函數(shù)的定義域一般狀況下是要變的，是等號(hào)左邊兩個(gè)函數(shù)定義域的交集。

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：

——--■Ma,單調(diào)性

內(nèi)層函數(shù)1t\

外層函數(shù)it\t

復(fù)合函數(shù)t\\i

等價(jià)關(guān)系:

⑴設(shè)X,電式。,〃］,可工天那么

（%-々）［/（與）一/（電）］>°<=>>0?！ɑ迷冢?。力］上是增函數(shù);

（X-毛）［/（5）-/（毛）］<0。巾）-仆2）<oo/（文）在上是減函數(shù).

⑵設(shè)函數(shù)y=/（x）在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，假如廣。）>0,則為增函數(shù)；假如/（x）<0,則/*）

為減函數(shù).

6函數(shù)的奇偶性：（注：是奇偶函數(shù)的前提條件是：定義域必須有關(guān)原點(diǎn)對(duì)稱）

奇函數(shù)：

定義：在前提條件下，若有/(一幻二一/(工)或〃一工)+/(1)=()，

則f(X)就是奇函數(shù)。

性質(zhì)：(1)、奇函數(shù)的圖象有關(guān)原點(diǎn)對(duì)稱；

⑵、奇函數(shù)在x>0和x<0上具有相彳以的單調(diào)區(qū)間;

(3)、定義在R上的奇函數(shù)，有f(0)=0.

偶函數(shù)：

定義：在前提條件下，若有/(TV)=/(X),則f(X)就是偶函數(shù)。

性質(zhì)：(1)、偶函數(shù)的圖象有關(guān)y軸對(duì)稱；

(2)、偶函數(shù)在x>0和x<0上具有相反的單調(diào)區(qū)間；

奇偶函數(shù)間的關(guān)系：

(1)、奇函數(shù)?偶函數(shù)=奇函數(shù)：(2)、奇函數(shù)-奇函數(shù)=偶函數(shù)；

(3)、偶奇函數(shù)?偶函數(shù):偶函數(shù)；(4)、奇函數(shù)土奇函數(shù)=奇函數(shù)(也有例外得偶函數(shù)的)

(5)、偶函數(shù)土偶函數(shù)=偶函數(shù)；(6)、奇函數(shù)土偶函數(shù)=非奇非偶函數(shù)

奇函數(shù)的圖象有關(guān)原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象有關(guān)y軸對(duì)稱;反過(guò)來(lái)，假如一種函數(shù)的圖象有關(guān)原點(diǎn)對(duì)稱,

那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；假如一種函數(shù)的圖象有關(guān)y軸對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù).

7函數(shù)的周期性：

定義：對(duì)函數(shù)f(x),若存在T40,使得f(x+T)=f(x),則就叫f(x)是周期函數(shù)，其中，T是f(x)

的一種周期。

周期函數(shù)幾種常見(jiàn)的表述形式：

(1)、f(x+T)=-f(x),此時(shí)周期為2T；

(2)、f(x+ni)=f(x+n),此時(shí)周期為2，〃一〃|；

⑶、f(x+m)=...-,此時(shí)周期為2m。

f(x)

8常見(jiàn)函數(shù)的圖像:

h—a

數(shù))，=f(x+a)與)，=f(b-x)的圖象有關(guān)直線x=—對(duì)稱.

10分?jǐn)?shù)指數(shù)塞與根式的性質(zhì)：

(1)a"=Na'"(NL且〃>1).

Qa>Q,m,nwN*,且〃>1).

(3)即)"=〃.

(4)當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，海=〃；當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，"=|。|=|"'"一.

-a,。<0

11指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化式：log“N=/?=a"=N(〃>0,〃w1,N>0).

指數(shù)性質(zhì)：

(1)1、ap=-^；(2)、a°=l(。*0)；(3)、

ap

⑷、"?"=優(yōu)+’(〃>0,3€。)；(5)、，"二";

指數(shù)函數(shù)：

(1)、)，=ax(a>1)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)；

(2)、)，=優(yōu)(0<。<:1)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。注：一指數(shù)函數(shù)圖象都恒過(guò)點(diǎn)(0,1)

對(duì)數(shù)性質(zhì):

logM+logN=log(A/7V)；(2)、log”M-log“N=log”《；

⑴、flafl

⑶、!oghm=w-logb:(4)、logbn=—?logb；(5)、log1=0

a6“mmaa

]oh

(6)、logaa=1；(7)、a^=b

對(duì)數(shù)函數(shù):

(1)、y=logf/x(a>1)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù);

(2)、y=log“x(0<a<l)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)；注：對(duì)數(shù)函數(shù)圖象都恒過(guò)點(diǎn)(1,0)

(3)、log”x>0<=>a,xG(0,1)或a,xe(1,+00)

(4)、108〃入<0=。￡(0,1)貝卜￡(1,+8)或。￡(1,+30)貝卜￡(0,1)

logN

12對(duì)數(shù)的換底公式：k)g〃N=」^(。>0,且awl,m〉0,且〃2。1,N>0).

log”,a

對(duì)數(shù)恒等式：4叫N=N(〃>0,且awl,N〉0).

推論log,.,b"=—log”〃(a>0,且awl,N>0).

"m

13對(duì)數(shù)的四則運(yùn)算法貝U:若a>0,aWLM>0,N>0,貝U

M

⑴log.(MN)=log,M+log.N;⑵]08"二=108/0-108*;

N

n

(3)log”Mn=nlogM(neR);(4)logNn=—log”N(n,mGR)。

a“m

14平均增長(zhǎng)率的問(wèn)題(負(fù)增長(zhǎng)時(shí)〃〈0)：

假如本來(lái)產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N,平均增長(zhǎng)率為〃，則對(duì)于時(shí)間x的總產(chǎn)值有)，=N(l+p)'.

15等差數(shù)列：

通項(xiàng)公式：(1)=4+(〃-1)〃，其中。］為首項(xiàng)，d為公差，n為項(xiàng)數(shù)，%為末項(xiàng)。

亞分期付款（按揭貸款”每次還款X二得含元（貸款〃元，〃次還清，每期利率為

17三角不等式：

(1)若工￡(0,—),則sinx<x<tanx.

2

(2)若x￡((),1)，貝！11<sinx+cosxW及.

(3)|sin;i|+|cosx|>1.

18同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin20+cos20=l,lan夕二嚶，

cos。

19正弦、余弦的誘導(dǎo)公式(奇變偶不變，符號(hào)看象限)

20和角與差角公式

sin(cr±/?)=sinacosp±cosasinft；cos(a±^)=cosacosq:sinasinft;

,,c、tan±tan/?

tan(cr±,)=-----------------—.

1孑tanatan0

asina+bcosa=yja2+加sin(a+0)

(輔助角。所在象限由點(diǎn)(4加的象限決定，tan0=2).

21二倍角公式及降舞公式

.3.2tana

sin2a=sinacosa=--------、-.

1+laira

_，.2c211c.21-tan~a

cos2a=cosa-siira=2cos~a-l=l-2sin"a=--------；—.

1+tan-a

2tanasin2a1-cos2a

tana=--------------=---------------

1-tan2a1+cos2asin2a

.21-cos2a21+cos2a

sin~a=--------------,cosa=---------------

22

22三角函數(shù)的周期公式

2乃

函數(shù)y=sin(6M+0),x￡R及函數(shù)y=COS(0.E+0),X￡R(A,3,0為常數(shù)，且AHO)的周期7=——；

1。1

7T7T

函數(shù)y=tan3>x+0）,x,匕r+—,攵￡Z（A,3,°為常數(shù)，且AW0）的周期7=——.

2\co\

三角函數(shù)的圖像：

尸譏X*____________尸COSX3

.干/］、3平丁、/“、二

幺-3乳R川\0S//1KX_2*-七限忑/n'。/泰~j嗎

23正弦定理：，一二〃一二」一二2R(R為A4BC外接圓的半徑).

sinAsinBsinC

oa=2/?sinA,b=2/?sinB,c=2/?sinC<=>a:/?:c=sinA:sin:sinC

24余弦定理：

a2=b2+c2-次cosA;b2=c2+a2-2cacosB;c2=/+b2-labcosC.

25面積定理：

(1)S=-ah(l=-bhb=-ch(/?a>%、兒分別表達(dá)a、b、c邊上的高).

222

(2)5=—r/ZjsinC=—Z?csinA=—ctzsinB.

222

（3）SM“B=IJ（|E|.|赤|）2-（麗?麗）2.

r一2sA，+/LC符邊

么內(nèi)切倒一（/_〃.（，，出角△內(nèi)切1~~

26三角形內(nèi)角和定理：

在△ABC中，有A+3+C=/roC=%-（A+3）

C=￡A+B^2C=2^_+

222

27實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律:設(shè)入、P為實(shí)數(shù)，那么：

（1）結(jié)合律：入（一1）=（入口）a;

（2）第一分派律：（入+p）a=>^a+iia;

（3）第二分派律：入（3+5）=入3+人行.

28d與3的數(shù)量積（或內(nèi)積）：a-b=\a\\b\cosO.

29平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：

⑴設(shè)1=（$,y）,b=（x2,y2）f則一+萬(wàn)=（百+孫乂+%）?

⑵設(shè)2=（百,%）,b=（x2,y2）9則1-/”（百一］2，%一外）.

⑶設(shè)A區(qū)，yi）,B（々，為），則4*=。8-ON=-%-X）.

（4）設(shè)力=（x,y）,則42=（/U,4y）.

（5）設(shè)6=（斗，叩），、=（%2，為），則”石=（中2+乂必）?

30兩向量的夾角公*

八dB

cos0=------/M=（西,y）,B々，為））?

團(tuán)?聞Jx「+y「W巧+%

31平面兩點(diǎn)間的距離公營(yíng)__________________________

22

dAl）=||=\IABAB=y］（x2-x］）+（y2-yi）（A（x,,y,）,B（x2,y2））.

32向量的平行與垂直：設(shè)M=&，,），方="2，%），且方工。，貝1J：

a\\b<^b=Xa<=>xiy2-x2yi=0.（交叉相乘差為零）

alb(gwO)oa?5=0<=>x)x2+y1y2=0.(對(duì)應(yīng)相乘和為零)

33線段的定比分公式：設(shè)片（斗,），2（々，%），P（x，），）是線段6丹的分點(diǎn)，丸是實(shí)數(shù)，且肝=之至，

麗+）龍

<=>OP=

oUP=i而+("t)礫(z=—!-7).

1+A

34三角形的重心坐標(biāo)公式:△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（X］,y，、B（X2,y2）^（XX3,、％）,則AABC

的重心的坐標(biāo)是G（x+，+七，）1+）'2+）'3）.

33

35三角形五“心”向量形式的充要條件：

設(shè)。為AA8C所在平面上一點(diǎn)，角A8,C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為凡〃,c,則

（1）。為AABC的夕卜心oO>（2=。42=012.

（2）。為AABC的重心=方+礪+云=0.

(3)。為AA3C的垂心oOX礪=加?反=

(4)。為AA8C的內(nèi)心<=>〃8+/?礪+(灰=0.

(5)。為AA8C的乙4的旁心=。刀=〃礪+c詼.

36常用不等式：

(1)€/?=>。2+/?222"(當(dāng)且僅當(dāng)@=1)時(shí)取“二”號(hào)).

(2)a,〃￡R+=>史22，石(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)).

2

(3)/4-+c3>3abc(a>0力>0,00).

(4)同一例《卜+44卜+瓦

(5)若《，石《等(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取"=”號(hào))。

37極值定理：已知尤)，都是正數(shù)，則有

(1)若積是定值〃，則當(dāng)x=y時(shí)和x+y有最小值2折；

(2)若和x+)，是定值$,則當(dāng)x=y時(shí)積個(gè)，有最大值Is?.

4

(3)己知。，仇X,)，￡/?',若OT+故=1則有

—+—={ax+by)(—+—)=di+Z?+—十—>?-lZ?+2Jab=(y/a+>fb)2?

xyxyxy

(4)已知a,Ax,ye*,若且+2二1則有

xy

x+y=(x+y)(—+—)=a-\-b+—+—>a-\-b+24cib=(4a+4b)2

xyxy

38一元二次不等式aY+笈+c>0(或v0)(ar(),△=〃-4ac>0),假如。與aP十樂(lè)+c同號(hào)，則

其解集在兩根之外；假如〃與a^+bx+c異號(hào)，則其解集在兩根之間.簡(jiǎn)言之：同號(hào)兩根之外，異

號(hào)兩根之間.即：

A<x<x2O(X-x1)(x-X,)<0(?<x2)；

X<X],或不>工2O(^-Xt)(x-x2)>O(X]<x2).

39具有絕對(duì)值的不等式：當(dāng)a>0時(shí)，有

1

國(guó)<a=X2<a<^-a<x<a.

兇>a。V>片0x>q或*v—a.

40斜率公式：

^=—~—(<區(qū)，,)、E(%，K)).

41直線的五種方程：

(1)點(diǎn)斜式y(tǒng)-yi=k(x-xi)(直線/過(guò)點(diǎn)R(X],y),且斜率為左).

(2)斜截式y(tǒng)=Ax+b(b為直線/在y軸上的截距).

(3)兩點(diǎn)式上—~(乂工K)(5(%,)))、A(X,，K)(玉工乂，凹工力)).

%一弘

兩點(diǎn)式的推廣：(w-x)(y-y)-(%-y)*-X)=0(無(wú)任何限制條件!)

(4)截距式2+2=1(〃、〃分別為直線的橫、縱截距，〃=0、〃00)

ah

(5)一般式Ar+8y+C=0(其中A、B不一樣步為0).

直線AY+B)，+C=0的法向量：I'=(A,B),方向向量：I=(B,-A)

42夾角公式：

k-k

(1)tana=|2'|.(l:y=>+&,l\y=kx^b,kk工-1)

1IK、A]A222x2

(2)tana=|—:A-+4y+G=0,(：42+82y+。2=。，A4+8田2-O).

41Ao+g&

直線/1_L。時(shí)，直線/】與/2的夾角是2.

?2

434到4的角公式:

k—k

L

(l)tan?——.((:y=k]x+bt,l2:y=k、x+b、，kk/-1)

1+k2k]

(2)tana=~:4/+4)，+。1=0,/2:Ax+B2y+C2=0,A^A,+wO).

AiA2+B2

直線4_L，2時(shí)，直線k到"的角是巴TT.

-2

44點(diǎn)到直線的距離：d=l”:8），o+C|（點(diǎn)尸10，,0）,直線/：Ar+By+C=0）.

VA2+B2

45圓的四種方程：

（1）圓的原則方程（工一〃）2+（3，一〃）2二，

（2）圓的一般方程x2+/+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0）.

⑶圓的參數(shù)方程P=：+rcosf.

y=o+rs\x\0

（4）圓的直徑式方程（17］）（工-%）+（5-、）（）'-）'2）=°（圓的直徑的端點(diǎn)是g/）、5（x2,）',））?

22

46點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)P（x（r兒）與圓（x-a）?+（y-b）=r的位置關(guān)系有三種：

若d=｛（a—x0y+（b—），o）2，則0點(diǎn)尸在圓外;

d=〃0點(diǎn)。在圓上;d<〃<=>點(diǎn)P在圓內(nèi),

47直線與圓的位置關(guān)系：直線Ar+B），+C=0與圓（1-。）2+（）,一與2=/的位置關(guān)系有三種

|4。+劭+C|)

("=

VA2+B2

d>廠=相離<=>A<0；f/=r<=>相切<^>A=0;J<r<=>相交<=>A>0.

48兩圓位置關(guān)系的鑒定措施:設(shè)兩圓圓心分別為6,6，半徑分別為n,0，|。|。2|=〃，則:

d>A+G=外離<=>4條公切線；

〃=八+與=外切o3條公切線；

M-弓Ivd</+4u>相交=2條公切線:內(nèi)含軍相交夕日楠

d=k-4|=內(nèi)切。1條公切線；e--------------9-------------e---------------8^

0cde弓|=內(nèi)含u>無(wú)公切線.0-d—rM-dfd—*0

22

xvx=acosO

49橢圓靛哈=叱八。）的參數(shù)方程是.離心率《=c一

y=/?sin夕a

22

準(zhǔn)線到中心的距離為Ja,焦點(diǎn)到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離（焦準(zhǔn)距）〃二b匚。

cc

過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦叫通經(jīng),其長(zhǎng)度為：

50橢圓二+與=1(。>8>0)焦半徑公式及兩焦半徑與焦距構(gòu)成三角形的面積:

c..,24F、PF

|Pf；|=e(x+—)=a+ex,|PF21=e(-——x)=a-ex；SM、PF=c\yp1=〃一tan—。

cc2

51橢圓的的內(nèi)外部：

2222

(1)點(diǎn)P(%,y。)在橢圓二+與=1(。>人>0)的內(nèi)部=與+當(dāng)<1.

crbab

2222

(2)點(diǎn)P(%,%)在橢圓三+與=1(。>〃>0)的外部0W+磐>1.

alrab~

52橢圓的切線方程：

22

(1)橢圓二十二=1(。>〃>0)上一點(diǎn)P(X(),先)處的切線方程是號(hào)+如二=1.

alra~b~

22

(2)過(guò)橢圓二+2=1外一點(diǎn)。(％,兒)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是縛=1.

a'h~a~b~

2

(3)橢圓r+'nim〉"〉。)與直線At+gy+C=()相切的條件是42〃2+3%2=。2.

a~b~

X2—,準(zhǔn)線到中心的距離為且，焦點(diǎn)到對(duì)應(yīng)

53雙曲線%二9?！?的離心率，

,2?2

準(zhǔn)線的距離(焦準(zhǔn)距)〃=巴。過(guò)焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦叫通經(jīng)，其長(zhǎng)度為：2.—.

ca

22

焦半徑公式歸用=|e(x+幺)|=|。+0|,|PK|=|e(幺T)H”"I，

CC

/FPF

兩焦半徑與焦距構(gòu)成三角形的面積S“.".=/rcot―!一。

51雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系：

2222

(1)若雙曲線方程為二一二二1=漸近線方程：4-7T=0<?y=±-x.

a~b~a-b-a

22

(2)若漸近線方程為)，=±2x0'±F=0=雙曲線可設(shè)為二一2二九.

aabcro

2222

(3)若雙曲線與「一4二1有公共漸近線，可設(shè)為「一4二九

a-b-a-b-

(X>0,焦點(diǎn)在x軸上，X<0,焦點(diǎn)在y軸上).

(4)焦點(diǎn)到漸近線的距離總是。。

55雙曲線的切線方程：

(1)雙曲線二—盤(pán)二1(?！?力〉0)上一點(diǎn)2(％,)，0)處的切線方程是警一渾二1.

ab~ab~

22

(2)過(guò)雙曲線二-1=1外一點(diǎn)P(x°,)，o)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是羋-渾二

ab~a~b-

22

(3)雙曲線二-二二1與直線Ar+8)，+C=0相切的條件是A2a2_B2b2=c2.

a“l(fā)r

56拋物線r=2Px的焦半徑公式：

拋物線J/=2px[p>0)焦半徑|C丹=x0+-|.

+K+片

過(guò)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)|cq=內(nèi)+工2+P?

.--2

57二次函數(shù)），=加+bx+c=〃（X+_L）2+，￡，m00）的圖象是拋物線：

2a4。

（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-=,4"："）；（2）焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（-，,4成'一"+1）；

2a4a2a4a

4fzc—Z?2—1

（3）準(zhǔn)線方程是y=一.

4（7

58直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)公式\AB\=7（^-^）2+（^-^）2

22

或|A8|="+-）［（%+（）2-=|七一占I4+tancc=\y{-y2\\/i+cota

Y—kx+b

（弦端點(diǎn)A（X1,y）,B*2,%），由方程1消去y得到ar?+/?x+c=。

F（x,y）=0

△>0,。為直線AB的傾斜角，女為直線的斜率，|%-5=A+N）2-4入洛?

59證明直線與平面的平行的思索途徑：

（1）轉(zhuǎn)化為直線與平面無(wú)公共點(diǎn)；

（2）轉(zhuǎn)化為線線平行；

（3）轉(zhuǎn)化為面面平行.

60證明直線與平面垂直的思索途徑：

（1）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；

（2）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；

（3）轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；

（4）轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一種平行平面。

61證明平面與平面的垂直的思索途徑：

（1）轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；

（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直；

（3）轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量平行。

62向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算：

設(shè)己=（4，〃2，。3），萬(wàn)=（4也也）則：

（1）M+b=（4+4,。2+%，。3+83）；

（2）訝一方=（4一々,。2-62，。3-4）；

⑶入3=（相,％%/%）（入￡R）；

（4）G?B=%bi+a2b2；

63夾角公式：

設(shè)4=（4，〃2，。3），B=（"也也）,則COS<二石>=+,

Q+火y4十"2十”;

64異面直線間的距離：

是兩異面直線,其公垂向量為石，a。是44上任一點(diǎn)，d為間的距離）?

I川

65點(diǎn)B到平面。的距離：

|萬(wàn)?向

（〃為平面a的法向量,Aea48是“的一條斜線段）.

向t

66球的半徑是R,則其體積”9上其表面積S=40t

67球的組合體:

(1)球與長(zhǎng)方體的組合體：長(zhǎng)方體的外接球的直徑是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng).

(2)球與正方體的組合體:正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長(zhǎng)，正方體的棱切球的直徑是正方體

的面對(duì)角線長(zhǎng)，正方體的外接球的直徑是正方體的體對(duì)角線長(zhǎng).

(3)球與正四面體的組合體：棱長(zhǎng)為〃的正四面體的內(nèi)切球的半徑為如。

12

(正四面體高自。的!)，外接球的半徑為正四面體高四。的2).

34434

68分類計(jì)數(shù)原理(加法原理)：N=叫+牡+…+

分步計(jì)數(shù)原理(乘法原理)：N=m}x,n2x...xmll.

69排列數(shù)公式：A'1'=n(n-1)???(//-/n+1)=-----------.(//,tnGN*,且加工〃)?規(guī)定0!=l.

(n-my.

70組合數(shù)公式：…(”"+D=—-—