高三數(shù)學考前沖刺押題模擬卷01（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．若復數(shù)是純虛數(shù)，則的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)純虛數(shù)的概念可知即可求，進而計算可得結果.【詳解】由題意知：,可得，所以,根據(jù)虛部的概念，可得的虛部為.故選：A2．設集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)條件，得到，，再利用集合的運算，即可求出結果.【詳解】因為，所以，又由，得到，即，所以，故選：B.3．如圖，將一個圓柱等分切割，再將其重新組合成一個與圓柱等底等高的幾何體，n越大，組合成的新幾何體就越接近一個“長方體”.若新幾何體的表面積比原圓柱的表面積增加了10，則圓柱的側面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設圓柱的底面半徑為，高分析可得新幾何體的表面積比原圓柱的表面積增加的為軸截面的面積，由此可得，由圓柱的側面積公式計算可得答案.【詳解】根據(jù)題意，設圓柱的底面半徑為，高，其軸截面的面積為，新幾何體的表面積比原圓柱的表面積增加的為軸截面的面積，若新幾何體的表面積比原圓柱的表面積增加了，即所以圓柱的側面積為.故選：A.4．在中，角的對邊分別為，若，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用正弦定理邊化角整理求得，在將條件中的向量等式兩邊平方可求得，進而可求.【詳解】因為，由正弦定理得，又，所以，所以，又，所以，因為，所以，即又兩邊同時平方得，即，所以，.故選：A.5．已知，則下列選項中，能使取得最小值25的為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】A選項，利用基本不等式直接進行求解；B選項，利用基本不等式“1”的妙用求解；C選項，可以舉出反例；D選項，設，，利用三角恒等變換得到.【詳解】A選項，，當且僅當，即時，等號成立，A錯誤；B選項，因為，所以，故，當且僅當，即時，等號成立，B正確；C選項，當時，滿足，此時，C錯誤；D選項，，設，其中，則，因為，所以，故，顯然取不到最小值25，D錯誤.故選：B6．已知數(shù)列{an}的前n項和分別為Sn，，若任取n∈N*，不等式恒成立，則實數(shù)λ的取值范圍為（

）A．（） B．（） C．（） D．（）【答案】A【分析】由推理得到，，再對n進行奇偶分類，分別解決恒成立問題即得實數(shù)λ的取值范圍.【詳解】已知數(shù)列的前n項和分別為，由題意，①，②，得，即，因為，所以，故是首項為，公比為的等比數(shù)列，，故；當n為奇數(shù)時，恒成立，，因為隨著n的增大而減小，所以時取最大值，故；當n為偶數(shù)時，恒成立，只需，顯然隨著n的增大而增大，所以時取最小值，故，所以．故選:A．7．2021年高考結束后小明與小華兩位同學計劃去老年公寓參加志愿者活動．小明在如圖的街道E處，小華在如圖的街道F處，老年公寓位于如圖的G處，則下列說法正確的個數(shù)是（

）①小華到老年公寓選擇的最短路徑條數(shù)為4條②小明到老年公寓選擇的最短路徑條數(shù)為35條③小明到老年公寓在選擇的最短路徑中，與到F處和小華會合一起到老年公寓的概率為④小明與小華到老年公寓在選擇的最短路徑中，兩人并約定在老年公寓門口匯合，事件A：小明經(jīng)過F事件B；從F到老年公寓兩人的路徑?jīng)]有重疊部分（路口除外），則A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)起點走向終點所需要向上、向右走的總步數(shù)，并確定向上或向右各走的步數(shù)，則最短路徑的走法有，再利用古典概率及條件概率求法，求小明到F處和小華會合一起到老年公寓的概率、小明經(jīng)過F且從F到老年公寓兩人的路徑?jīng)]有重疊的概率即可.【詳解】由圖知，要使小華、小明到老年公寓的路徑最短，則只能向上、向右移動，而不能向下、向左移動，對于①，小華到老年公寓需要向上1格，向右2格，即小華共走3步其中1步向上，所以最短路徑條數(shù)為條，錯誤；對于②，小明到老年公寓需要向上3格，向右4格，即小明共走7步其中3步向上，最短路徑條數(shù)為條，正確；對于③，小明到的最短路徑走法有條，再從F處和小華一起到老年公寓的路徑最短有3條，而小明到老年公寓共有條，所以到F處和小華會合一起到老年公寓的概率為，正確；對于④，由題意知：事件的走法有18條即，事件的概率，所以，錯誤.故說法正確的個數(shù)是2.故選：B.8．已知，若存在實數(shù)，當時，滿足，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由函數(shù)性質，得，，將問題轉化為求的取值范圍，構造函數(shù)，利用導數(shù)求函數(shù)的值域即可.【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖，當時，，由得，由可得，由圖可知，，點、關于直線對稱，則，點、關于直線對稱，則，所以，令，其中，，當時，，在上單調遞減，當時，，即函數(shù)在上單調遞增，所以，當時，，當時，；當時，，則，所以的取值范圍為.故選：D.【點睛】關鍵點點睛：解本題的關鍵就是利用正弦型函數(shù)的周期性和對稱性，將問題轉化為求函數(shù)的值域，求值域時，除函數(shù)的單調性外還要注意函數(shù)的取值特點.選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知一組數(shù)據(jù)：3，3，4，4，4，x，5，5，6，6的平均數(shù)為，則（

）A．B．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為4C．若將這組數(shù)據(jù)每一個都加上0.3，則所有新數(shù)據(jù)的平均數(shù)變?yōu)?D．這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為5.5【答案】ACD【分析】根據(jù)平均數(shù)求出值，再根據(jù)百分位的性質求出結果．【詳解】由題意得，解得，故A正確；將這組數(shù)據(jù)從小到大排列為3，3，4，4，4，5，5，6，6，7，則中位數(shù)，故B錯誤；若將這組數(shù)據(jù)每一個都加上0.3，則所有新數(shù)據(jù)的平均數(shù)變?yōu)椋蔆正確；因為，所以這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為，故D正確．故選：ACD．10．雙曲拋物線又稱馬鞍面，其形似馬具中的馬鞍表面而得名．其在力學、建筑學、美學中有著廣泛的應用．在空間直角坐標系中，將一條平面內開口向上的拋物線沿著另一條平面內開口向下的拋物線滑動（兩條拋物線的頂點重合）所形成的就是馬鞍面，其坐標原點被稱為馬鞍面的鞍點，其標準方程為，則下列說法正確的是（）A．用平行于平面的面截馬鞍面，所得軌跡為雙曲線B．用法向量為的平面截馬鞍面所得軌跡為拋物線C．用垂直于y軸的平面截馬鞍面所得軌跡為雙曲線D．用過原點且法向量為的平面截馬鞍面所得軌跡為拋物線【答案】AB【分析】利用空間向量的相關知識，結合馬鞍面的標準方程，逐一變換方程判斷各選項即可得解.【詳解】因為馬鞍面的標準方程為，對于A，平行于平面的面中為常數(shù)，不妨設為，得，故所得軌跡是雙曲線.，故A正確；對于B，法向量為的平面中為常數(shù)，不妨設為，則，為拋物線方程，故B正確；對于C，垂直于軸的平面中為常數(shù)，不妨設為，則，為拋物線方程，故C錯誤；對于D，不妨設平面上的點坐標為，因為平面過原點且法向量為，由，得，故，代入馬鞍面標準方程，得，當時，方程為，不是物物線，故D錯誤.故選：AB.11．在三棱錐中，平面，平面內動點的軌跡是集合.已知且在棱所在直線上，，則（

）A．動點的軌跡是圓B．平面平面C．三棱錐體積的最大值為3D．三棱錐外接球的半徑不是定值【答案】ABC【分析】首先底面建坐標系，利用軌跡法求得點的軌跡，點也在軌跡圓上，再根據(jù)幾何關系，以及體積公式，外接球的半徑問題，利用數(shù)形結合，即可求解.【詳解】A.因為，所以在平面內，以所在直線為軸，以線段的中垂線為軸，建立平面直角坐標系，如圖，

設，，，由知，，化簡為，即點的軌跡為圓，故A正確；B.根據(jù)以上證明可知，點和在圓與軸的兩個交點，如上圖，由條件可知，點在圓上，則，而平面，平面,所以，所以是二面角的平面角，則平面平面，故B正確；C.當點到的距離為2時，此時的面積最大，此時最大面積是,則三棱錐體積的最大值為，故C正確；D.由以上證明可知，，且，如圖，取的中點，作平面，且，所以，所以三棱錐外接球的半徑是定值，故D錯誤.

故選：ABC【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是理解題意，并在底面建立坐標系，求點的軌跡，后面的選項就會迎刃而解.填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）【答案】80【分析】中有2個括號提供，還有3個括號都是，求出系數(shù)即可.【詳解】可看作5個相乘，有2個括號提供，還有3個括號都是，則，系數(shù)為80.故答案為：8013．已知圓，圓，直線上存在點，過點向圓引兩條切線和，切點是和，再過點向圓引兩條切線和，切點是和，若，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)題意作出圖形，結合圖象轉化得，從而利用兩點距離公式求得點的軌跡方程，進而得到直線與圓有交點，由此得解.【詳解】連接圓心和切點，如圖所示，則有，易知，故，，不妨設，，，，化簡得，P的軌跡為以圓心，為半徑的圓，又P在直線上，直線與圓有交點，，故.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵是將題設條件轉化得，從而利用阿氏圓的相關知識可知點的軌跡方程為圓，進而得解.14．設，函數(shù)，給出下列四個結論：①在區(qū)間上單調遞減；②當時，存在最大值；③設，則；④設．若存在最小值，則a的取值范圍是．其中所有正確結論的序號是．【答案】②③【分析】先分析的圖像，再逐一分析各結論；對于①，取，結合圖像即可判斷；對于②，分段討論的取值范圍，從而得以判斷；對于③，結合圖像可知的范圍；對于④，取，結合圖像可知此時存在最小值，從而得以判斷.【詳解】依題意，，當時，，易知其圖像為一條端點取不到值的單調遞增的射線；當時，，易知其圖像是，圓心為，半徑為的圓在軸上方的圖像（即半圓）；當時，，易知其圖像是一條端點取不到值的單調遞減的曲線；對于①，取，則的圖像如下，

顯然，當，即時，在上單調遞增，故①錯誤；對于②，當時，當時，；當時，顯然取得最大值；當時，，綜上：取得最大值，故②正確；對于③，結合圖像，易知在，且接近于處，的距離最小，

當時，，當且接近于處，，此時，，故③正確；對于④，取，則的圖像如下，

因為，結合圖像可知，要使取得最小值，則點在上，點在，同時的最小值為點到的距離減去半圓的半徑，此時，因為的斜率為，則，故直線的方程為，聯(lián)立，解得，則，顯然在上，滿足取得最小值，即也滿足存在最小值，故的取值范圍不僅僅是，故④錯誤.故答案為：②③.【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是分析得的圖像，特別是當時，的圖像為半圓，解決命題④時，可取特殊值進行排除即可.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）如圖所示，在等腰直角中，為線段的中點，點分別在線段上運動，且，設.

(1)設，求的取值范圍及；(2)求面積的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件得，即可得，在中，利用即可求出結果；（2）根據(jù)條件得到，再利用基本不等式即可求出結果.【詳解】（1）因為為等腰直角三角形，為線段的中點，所以.因為點在線段上運動，所以，因為，所以，所以..............................................................6分（2）因為，所以，所以，所以，當且僅當時，等號成立，所以面積的最小值為...............................................................13分

16．(15分）如圖，在梯形中，，，.將沿對角線折到的位置，點P在平面內的射影H恰好落在直線上.(1)求二面角的正切值；(2)點F為棱上一點，滿足，在棱上是否存在一點Q，使得直線與平面所成的角為?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）過點作于點，連接，可證得平面，進而可知為二面角的平面角，利用三角形計算即可得出結果.（2）連接，由為等邊三角形，H為線段的中點，，又平面，以H為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，求得平面的法向量，假設棱上存在滿足要求的點，設，，利用，計算可求得，即可得出結果.【詳解】（1）如圖，過點作于點，連接，，平面，平面，，又，平面，平面，平面，，.為二面角的平面角.∵，，∴為等邊三角形，，又中，，，，.又，，，H為線段的中點.，，中，，，所以二面角的正切值為..............................................................7分（2）連接，為等邊三角形，H為線段的中點，，又平面，則，，兩兩垂直，以H為坐標原點，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，.設平面的法向量為，，令，可得.假設棱上存在滿足要求的點Q，設，，.，因為直線與平面所成的角為，，整理得：，解得或（舍去）.所以，則.所以當時，與平面所成的角為.............................................................15分17．(15分）已知函數(shù)，.(1)若（其中為的導函數(shù)），討論的單調性；(2)求證：.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求出的導數(shù)，通過討論的范圍，求出的單調區(qū)間；（2）構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和最值，從而證明.【詳解】（1），則，當時，由得，得，∴在上單調遞減，在上單調遞增.當時，，∴在上單調遞增，當時，令，得或；令，得，∴在上單調遞減，在和上單調遞增，當時，令，得或；令，得，∴在上單調遞減，在和上單調遞增...............................................................7分（2）構造函數(shù)，則，，則在上單調遞增，，，∴，，即，∴.當，，單調遞減；當，，單調遞增，∴的最小值為，∵，∴等號不能取，∴，∴..............................................................15分18．(17分）已知甲、乙兩支登山隊均有n名隊員，現(xiàn)有新增的4名登山愛好者將依次通過摸出小球的顏色來決定其加入哪支登山隊，規(guī)則如下：在一個不透明的箱中放有紅球和黑球各2個，小球除顏色不同之外，其余完全相同先由第一名新增登山愛好者從箱中不放回地摸出1個小球，再另取完全相同的紅球和黑球各1個放入箱中；接著由下一名新增登山愛好者摸出1個小球后，再放入完全相同的紅球和黑球各1個，如此重復，直至所有新增登山愛好者均摸球和放球完畢．新增登山愛好者若摸出紅球，則被分至甲隊，否則被分至乙隊．(1)求三人均被分至同一隊的概率；(2)記甲，乙兩隊的最終人數(shù)分別為，，設隨機變量，求．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由題意，三人均被分至同一隊，即三人同分至甲隊或乙隊，分別求出被分至甲隊即摸出紅球的概率、被分至甲隊即摸出紅球的概率、被分至甲隊即摸出紅球的概率，再應用條件概率公式及互斥事件加法求三人均被分至同一隊的概率；（2）根據(jù)題意有可能取值為，分析各對應值的實際含義，并求出對應概率，進而求期望即可.【詳解】（1）三人均被分至同一隊，即三人同分至甲隊或乙隊，記事件“被分至甲隊”，事件“被分至甲隊”，事件“被分至甲隊”，當即將摸球時，箱中有2個紅球和2個黑球，則被分至甲隊即摸出紅球的概率為；當被分至甲隊時，箱中有2個紅球和3個黑球，則被分至甲隊即摸出紅球的概率為；當均被分至甲隊時，箱中有2個紅球和4個黑球，則被分至甲隊即摸出紅球的概率為；所以，則，同理知：新增登山愛好者均被分至乙隊的概率也為，所以三人均被分至同一隊的概率為...............................................................8分（2）由題設，可能取值為，為新增的4名登山愛好者被分至同一隊，則，為新增的4名登山愛好者中有3名均被分至同一隊，其余1名被分至另一隊，設新增的第名登山愛好者被單獨分至甲隊或乙隊，則，，，，所以，為新增的4名登山愛好者中各有2名被分至甲隊和乙隊，則，所以................................................................17分19．(17分）我們約定，如果一個橢圓的長軸和短軸分別是另一條雙曲線的實軸和虛軸，則稱它們互為“姊妺”圓錐曲線.已知橢圓，雙曲線是橢圓的“姊妺”圓錐曲線，分別為的離心率，且，點分別為橢圓的左?右頂點.(1)求雙曲線的方程；(2)設過點的動直線交雙曲線右支于兩點，若直線的斜率分別為.（i）試探究與的比值是否為定值.若是定值，求出這個定值；若不是定值，請說明理由；（ii）求的取值范圍.【答案】(1)(2)（i）為定值，（ii）【分析】（1）設出雙曲線方程，根據(jù)離心率的乘積得到方程，求出，得到答案；（2）（i）設，直線的方程為，聯(lián)立雙曲線