安徽省合肥市肥西縣2025年高三上學期期中數(shù)學試卷考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______注意事項：1.請將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效。2.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.集合\(A=\{x\mid-2<x<3\}\)，\(B=\{x\midx\ge1\}\)，則\(A\capB\)等于(A)\(\{x\mid1\lex<3\}\)(B)\(\{x\mid-2<x\le1\}\)(C)\(\{x\mid-2<x<1\}\)(D)\(\{x\midx\ge-2\}\)2.“\(x^2-1=0\)”是“\(x=1\)”的(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件3.已知復數(shù)\(z=1+i\)（其中\(zhòng)(i\)為虛數(shù)單位），則\(z^2\)的實部是(A)1(B)2(C)-1(D)-24.函數(shù)\(f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期是(A)\(\frac{\pi}{2}\)(B)\(\pi\)(C)\(\frac{2\pi}{3}\)(D)\(2\pi\)5.若\(\cos\alpha=\frac{1}{2}\)，且\(\alpha\)是第四象限角，則\(\sin\alpha\)等于(A)\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)(B)\(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)(C)\(\frac{1}{2}\)(D)\(-\frac{1}{2}\)6.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的首項\(a_1=3\)，公差\(d=2\)，則\(a_5\)等于(A)7(B)9(C)11(D)137.從5名男生和4名女生中選出3名代表，其中至少有一名女生，不同的選法共有(A)40種(B)60種(C)100種(D)120種8.函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+2\)的單調遞增區(qū)間是(A)\((-\infty,0)\cup(2,+\infty)\)(B)\((0,2)\)(C)\((-\infty,0)\cup(0,2)\cup(2,+\infty)\)(D)\((-\infty,2)\cup(2,+\infty)\)9.如果\(a>b\)，那么下列不等式一定成立的是(A)\(a^2>b^2\)(B)\(\frac{1}{a}>\frac{1}\)(C)\(\log_ab>\log_ba\)(D)\(a^3>b^3\)10.在直角三角形\(ABC\)中，\(\angleC=90^\circ\)，\(AC=3\)，\(BC=4\)，則\(\sinA\)等于(A)\(\frac{3}{5}\)(B)\(\frac{4}{5}\)(C)\(\frac{3}{4}\)(D)\(\frac{4}{3}\)11.已知點\(A(1,2)\)，點\(B(3,0)\)，則線段\(AB\)的中點坐標是(A)\((2,1)\)(B)\((1,1)\)(C)\((2,2)\)(D)\((1,2)\)12.已知直線\(l_1:y=kx+1\)和直線\(l_2:x+y=0\)互相垂直，則\(k\)等于(A)-1(B)1(C)-2(D)2二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。請將答案填在答題卡對應位置。13.若\(\tan\alpha=\frac{3}{4}\)，且\(\alpha\)是第三象限角，則\(\cos\alpha\)等于________。14.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n=n^2+n\)，則\(a_3\)等于________。15.過點\(P(1,2)\)作直線\(l\)與圓\(C:(x-1)^2+(y-1)^2=1\)相切，則直線\(l\)的方程是________。16.在一項調查中，隨機抽取了100名學生，其中喜歡籃球的有60人，喜歡足球的有45人，同時喜歡籃球和足球的有\(zhòng)(x\)人。若喜歡籃球或足球的學生共有80人，則\(x\)的值是________。三、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(本小題滿分10分)已知函數(shù)\(f(x)=\lg(x^2-ax+3)\)。(1)若\(f(2)=0\)，求\(a\)的值；(2)若\(f(x)\)在\((1,+\infty)\)上有意義，求\(a\)的取值范圍。18.(本小題滿分12分)已知\(\cos(\alpha+\beta)=\frac{1}{2}\)，\(\cos(\alpha-\beta)=\frac{3}{2}\)。(1)求\(\cos\alpha\cos\beta\)和\(\sin\alpha\sin\beta\)的值；(2)求\(\cos2\alpha\cos2\beta\)的值。19.(本小題滿分12分)在等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，已知\(a_1=2\)，\(a_4+a_7=15\)。(1)求數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項公式；(2)設\(b_n=\frac{1}{a_n}\)，求數(shù)列\(zhòng)(\{b_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n\)。20.(本小題滿分12分)已知函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+2\)。(1)求函數(shù)\(f(x)\)的單調區(qū)間；(2)求函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([-2,3]\)上的最大值和最小值。21.(本小題滿分12分)在平面直角坐標系中，點\(A(1,3)\)，點\(B(4,0)\)。(1)求過點\(A\)且與直線\(AB\)垂直的直線方程；(2)求以\(AB\)為直徑的圓的方程。22.(本小題滿分12分)為了解某校高三學生的體育鍛煉情況，隨機抽取了100名學生進行調查，得到如下兩頻數(shù)分布表：|鍛煉時間（分鐘/天）|[0,20)|[20,40)|[40,60)|[60,80)|[80,100)||--------------------|--------|--------|--------|--------|--------||男生人數(shù)|10|18|22|15|5||女生人數(shù)|8|15|20|12|5|(1)求樣本中鍛煉時間不少于40分鐘的學生人數(shù)；(2)求樣本中男生人數(shù)和女生人數(shù)之比；(3)若從鍛煉時間不少于40分鐘的學生中隨機抽取2人，求這2人都是男生的概率。試卷答案一、選擇題：1.A2.B3.B4.B5.B6.D7.B8.A9.D10.B11.A12.A二、填空題：13.-\frac{4}{5}14.815.x-y+1=0或x+y-3=016.25三、解答題：17.解：(1)由\(f(2)=\lg(2^2-2a+3)=0\)，得\(2^2-2a+3=1\)，解得\(a=3\)。(2)由\(f(x)\)在\((1,+\infty)\)上有意義，得\(x^2-ax+3>0\)對\(x\in(1,+\infty)\)恒成立。令\(g(x)=x^2-ax+3\)，則\(\Delta=a^2-12<0\)或\(g(1)=4-a+3>0\)且\(-\frac{a}{2}\le1\)，解得\(a<2\sqrt{3}\)或\(a<7\)，即\(a<2\sqrt{3}\)。18.解：(1)由\(\cos(\alpha+\beta)=\frac{1}{2}\)，得\(\alpha+\beta=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi\)，\(k\in\mathbb{Z}\)。由\(\cos(\alpha-\beta)=\frac{3}{2}\)知此式無解。應改為：由\(\cos(\alpha+\beta)=\frac{1}{2}\)，得\(\alpha+\beta=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi\)，\(k\in\mathbb{Z}\)。由\(\cos(\alpha-\beta)=\frac{1}{2}\)，得\(\alpha-\beta=\pm\frac{\pi}{3}+2m\pi\)，\(m\in\mathbb{Z}\)。則\(\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}\pm\frac{1}{2})=0\)或\(1\)。\(\sin\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)]=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}\mp\frac{1}{2})=0\)或\(-\frac{1}{2}\)。(2)\(\cos2\alpha\cos2\beta=(2\cos^2\alpha-1)(2\cos^2\beta-1)=4\cos^2\alpha\cos^2\beta-2(\cos^2\alpha+\cos^2\beta)+1=4(\cos\alpha\cos\beta)^2-2(2\cos^2\alpha\cos^2\beta-(\cos^2\alpha+\cos^2\beta))+1=4(\cos\alpha\cos\beta)^2-4\cos\alpha\cos\beta+1=4(0\text{或}1)^2-4(0\text{或}1)+1=0\)或\(1\)。19.解：(1)設等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的公差為\(d\)。由\(a_4+a_7=15\)，得\(a_1+3d+a_1+6d=15\)，即\(2a_1+9d=15\)。又\(a_1=2\)，解得\(d=1\)。故\(a_n=a_1+(n-1)d=2+(n-1)\cdot1=n+1\)。(2)\(b_n=\frac{1}{a_n}=\frac{1}{n+1}\)。\(S_n=b_1+b_2+\cdots+b_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n+1}\)。20.解：(1)求導得\(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(f'(x)>0\)，得\(x<0\)或\(x>2\)。令\(f'(x)<0\)，得\(0<x<2\)。故函數(shù)\(f(x)\)的單調遞增區(qū)間為\((-\infty,0)\)和\((2,+\infty)\)，單調遞減區(qū)間為\((0,2)\)。(2)由(1)知，函數(shù)\(f(x)\)在\((-\infty,0)\)上遞增，在\((0,2)\)上遞減，在\((2,+\infty)\)上遞增。故\(f(x)\)在\(x=0\)處取得極大值\(f(0)=2\)，在\(x=2\)處取得極小值\(f(2)=-2\)。又\(f(-2)=(-2)^3-3(-2)^2+2=-8-12+2=-18\)，\(f(3)=3^3-3\cdot3^2+2=27-27+2=2\)。比較\(f(-2)=-18\)，\(f(0)=2\)，\(f(2)=-2\)，\(f(3)=2\)可知，函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([-2,3]\)上的最大值為2，最小值為-18。21.解：(1)直線\(AB\)的斜率\(k_{AB}=\frac{0-3}{4-1}=-1\)。過點\(A(1,3)\)且與直線\(AB\)垂直的直線方程的斜率為\(k=1\)。由點斜式得直線方程為\(y-3=1(x-1)\)，即\(x-y+2=0\)。檢驗點\(A(1,3)\)在直線\(x-y+2=0\)上，故直線方程為\(x-y+2=0\)。若改為：過點\(A(1,3)\)且與直線\(AB\)垂直的直線方程的斜率為\(k=1\)。由點斜式得直線方程為\(y-3=1(x-1)\)，即\(x-y+2=0\)。檢驗點\(A(1,3)\)在直線\(x-y+2=0\)上，故直線方程為\(x-y+2=0\)。另解：設過點\(A(1,3)\)的直線方程為\(y-3=k(x-1)\)。由直線\(l\)與圓\(C\)相切，得\(\frac{|k\cdot1-1\cdot3+2|}{\sqrt{k^2+1^2}}=1\)，即\(|k-1|=\sqrt{k^2+1}\)。平方得\(k^2-2k+1=k^2+1\)，解得\(k=0\)。故直線方程為\(y-3=0(x-1)\)，即\(y-3=0\)。(2)以\(AB\)為直徑的圓的圓心為\(C\left(\frac{1+4}{2},\frac{3+0}{2}\right)=\left(\frac{5}{2},\frac{3}{2}\right)\)，半徑\(r=\frac{1}{2}\sqrt{(4-1)^2+(0-3)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{9+9}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\)。故圓的方程為\(\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\left(y-