2025北京豐臺(tái)高二（上）期末數(shù)學(xué)2025.01考生須知1.答題前，考生務(wù)必先將答題卡上的學(xué)校、班級(jí)、姓名、教育ID號(hào)用黑色字跡簽字筆填寫清楚，并認(rèn)真核對(duì)條形碼上的教育ID號(hào)、姓名，在答題卡的“條形碼粘貼區(qū)”貼好條形碼.2.本次練習(xí)所有答題均在答題卡上完成.選擇題必須使用2B鉛筆以正確填涂方式將各小題對(duì)應(yīng)選項(xiàng)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦除干凈后再選涂其它選項(xiàng).非選擇題必須使用標(biāo)準(zhǔn)黑色字跡簽字筆書寫，要求字體工整、字跡清楚.3.請(qǐng)嚴(yán)格按照答題卡上題號(hào)在相應(yīng)答題區(qū)內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在練習(xí)卷、草稿紙上答題無效.4.本練習(xí)卷滿分共150分，作答時(shí)長(zhǎng)120分鐘.第一部分選擇題（共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知向量，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量坐標(biāo)的加減和數(shù)乘運(yùn)算法則直接計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，，則.故選：A.2.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線方程求得斜率，進(jìn)而得到，即可求解.【詳解】由直線，可得斜率為，設(shè)直線傾斜角為，其中，可得，所以.故選：C.3.與直線關(guān)于x軸對(duì)稱的直線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)對(duì)稱直線上的點(diǎn)為，求它關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)并代入已知直線的方程，所得方程即為所求的直線方程.【詳解】設(shè)對(duì)稱直線上的點(diǎn)為，則其關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)在直線上，所以，即.故選：B.4.已知圓與圓外切，則（）A. B. C.7 D.13【答案】C【解析】【分析】由題意分別求兩圓的圓心和半徑，根據(jù)兩圓外切可得，代入運(yùn)算求解．【詳解】由，可得圓的圓心，半徑為，由，可得，所以圓心為，半徑為，因?yàn)閮蓤A外切，所，所以，則，解得．故選：C.5.已知向量，，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用，可求向量在向量上的投影向量.【詳解】向量在向量上的投影向量為.故選：A.6.已知圓及點(diǎn)，在圓上任取一點(diǎn)，連接，將點(diǎn)折疊到點(diǎn)A，記與折痕的交點(diǎn)為（如圖）.當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】直接由題意可得：，符合橢圓定義，且得到長(zhǎng)半軸和半焦距，再由求得，可求點(diǎn)的軌跡方程可求．【詳解】連接，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為4．因?yàn)閷Ⅻc(diǎn)折疊到點(diǎn)A，記與折痕的交點(diǎn)為，所以，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，且，所以，所以，所以點(diǎn)的軌跡方程為．故選：A．7.在空間直角坐標(biāo)系中，，，，D是平面內(nèi)一點(diǎn)，若，則的最小值為（）A. B. C. D.3【答案】C【解析】【分析】由點(diǎn)的坐標(biāo)寫出向量坐標(biāo)，由空間共面向量定理得到的等式，利用基本不等式求出的最小值，從而求得的最小值.【詳解】，，又因?yàn)镈在平面內(nèi)，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以.故選：C.8.設(shè)橢圓與雙曲線的離心率分別為，，若雙曲線漸近線的斜率均小于，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意及雙曲線的漸近線的斜率可得，再由橢圓，雙曲線的離心率的求法，分別判斷出所給命題的真假．【詳解】由題意可得雙曲線的漸近線的斜率的絕對(duì)值為，則，所以，，所以，且，則，所以A正確．故選：A．9.在圖形設(shè)計(jì)和創(chuàng)作中，常常需要用不同的形狀和線條進(jìn)行組合，以創(chuàng)造出獨(dú)特的視覺效果.某校數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了一個(gè)如圖所示的“螺旋線”：點(diǎn)，在直線l上，是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓弧，是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓弧，是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓弧，是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓弧，，依次類推（其中點(diǎn)，，，，共線，點(diǎn)，，，，共線，點(diǎn)，，，，共線）.由上述圓弧組成的曲線H與直線l恰有9個(gè)交點(diǎn)時(shí)，曲線H長(zhǎng)度的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】第一次以，，為圓心圓弧時(shí)，與直線l恰好有2個(gè)交點(diǎn)（不包括起點(diǎn)），圓弧組成的曲線H與直線l恰有9個(gè)交點(diǎn)時(shí)，要使曲線H長(zhǎng)度的最小，則剛好轉(zhuǎn)四輪，據(jù)此計(jì)算即可求曲線H長(zhǎng)度的最小值.【詳解】由題意可知，第個(gè)劣弧的半徑為，圓心角為，第一次以，，為圓心圓弧時(shí)，與直線l恰好有2個(gè)交點(diǎn)（不包括起點(diǎn)），同理第二次以，，為圓心圓弧時(shí)，與直線l恰好有2個(gè)交點(diǎn)，以此類推，每一輪以次以，，為圓心圓弧時(shí)，與直線l恰好有2個(gè)交點(diǎn)，上述圓弧組成的曲線H與直線l恰有9個(gè)交點(diǎn)時(shí)，要使曲線H長(zhǎng)度的最小，則剛好轉(zhuǎn)四輪，所以曲線H長(zhǎng)度的最小值為.故選：C.10.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，P為棱的中點(diǎn)，Q為底面上一動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.存在點(diǎn)Q，使得BQ平面B.在棱上存在點(diǎn)Q，使得平面C.在線段上存在點(diǎn)，使得直線與所成的角為D.存在點(diǎn)，使得三棱錐的體積為2【答案】D【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法逐項(xiàng)計(jì)算判斷即可.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，若平面，所以，則，解得，此時(shí)點(diǎn)不在底面內(nèi)，故不存在點(diǎn)Q，使得BQ平面，故A錯(cuò)誤；假設(shè)在棱上存在點(diǎn)，使得平面，則，所以，又，所以，解得，此時(shí)點(diǎn)不在棱上，所以在棱上不存在點(diǎn)Q，使得平面，故B錯(cuò)誤；假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使得直線與所成的角為，又，所以，又，所以，所以，整理得，，無解，所以在線段上不存在點(diǎn)，使得直線與所成的角為，故C錯(cuò)誤；，所以點(diǎn)到平面的距離為，所以，又，由余弦定理可得，所以，所以，所以，所以存在點(diǎn)，使得三棱錐的體積為2，故D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵在于建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法處理空間位置關(guān)系，求點(diǎn)到面的距離，從而求得三棱錐的體積的范圍.第二部分非選擇題（共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.已知平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，若，則_______.【答案】##【解析】【分析】利用向量平行坐標(biāo)表示即可求解．【詳解】根據(jù)題意，若，則，又，，所以，解得，所以.故答案為：.12.直線：被圓：截得的弦AB的長(zhǎng)為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出弦的弦心距即可求解.【詳解】由圓：，可得圓心，半徑，于是圓心到直線的距離，從而得，所以弦的長(zhǎng)為.故答案為：.13.在棱長(zhǎng)為2的正四面體中，M，N分別是的中點(diǎn)，則______.【答案】【解析】【分析】利用，兩邊平方可求得.【詳解】因?yàn)樗拿骟w是棱長(zhǎng)為2的正四面體，所以，，所以，兩邊平方可得，所以.故答案為：.14.已知點(diǎn)，直線，動(dòng)圓P過點(diǎn)F，且與直線l相切，則圓心P的軌跡C的方程為_______；若直線及分別與曲線C交于異于原點(diǎn)的M，N兩點(diǎn).當(dāng)直線MN過點(diǎn)F時(shí)，______.【答案】①②.【解析】【分析】由點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)P到直線l的距離，可得點(diǎn)P的軌跡是拋物線，求解可得曲線C的方程；由題意可得M，N兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，可求得M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)為或，代入方程可求.【詳解】因?yàn)閯?dòng)圓P過點(diǎn)F，且與直線l相切，所以點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)P到直線l的距離，所以點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，所以圓心P的軌跡C的方程為；因?yàn)橹本€與關(guān)于軸對(duì)稱，拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，所以M，N兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，又直線MN過點(diǎn)F，所以M，N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，所以，解得，所以M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)為或，將與代入直線方程，可得，解得，故答案為：；.15.已知方程所表示的曲線為C.給出以下四個(gè)結(jié)論：①曲線C與y軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)；②曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；③x軸及直線為曲線C的兩條漸近線；④若曲線C與圓有公共點(diǎn)，則r的最小值為.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是________.【答案】①②③【解析】【分析】對(duì)于①，令，求解即可判斷；對(duì)于②，用代替，代替，判斷方程的表達(dá)式是否一樣即可；對(duì)于③，將方程進(jìn)行變形得，當(dāng)時(shí)方程沒有意義，故可判斷故是曲線C的另一條漸近線，又時(shí)，，故為曲線C的一條漸近線；對(duì)于④，聯(lián)立及，消去x并整理得，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象有交點(diǎn)即可求解的范圍.【詳解】對(duì)于①，令，得，即，所以曲線C與y軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，故①正確；對(duì)于②，在曲線方程中，用代替，代替，得，即，所以曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故②正確；對(duì)于③，因?yàn)榉匠?，所以，所以，?dāng)時(shí)，，故為曲線C的一條漸近線；又時(shí)，沒有意義，故是曲線C的另一條漸近線，即x軸為曲線C的另一條漸近線，故x軸及直線為曲線C的兩條漸近線，故③正確；對(duì)于④，聯(lián)立及，消去x并整理得，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，若曲線C與圓有公共點(diǎn)，則，所以，所以r的最小值為，故④錯(cuò)誤．綜上，正確結(jié)論的序號(hào)是①②③．故答案為：①②③三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.已知數(shù)列是等差數(shù)列，，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求的前n項(xiàng)和的最小值，以及取得最小值時(shí)n的值.【答案】（1）（2）時(shí)，有最小值.【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列基本量的運(yùn)算求得公差，即可求得通項(xiàng)公式.（2）利用等差數(shù)列求和公式求和，進(jìn)而利用二次函數(shù)性質(zhì)求解即可.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，因?yàn)椋?，所以，所以，解得，所?【小問2詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，由（1）可知，，所以當(dāng)時(shí)，有最小值.17.已知圓C經(jīng)過點(diǎn)，且圓心C是直線與軸的交點(diǎn).（1）求圓C的方程；（2）若直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，且四邊形為菱形，求直線l的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求得圓心與半徑可求圓的方程；（2）由已知可得AB垂直平分CM，求得，進(jìn)而求得的中點(diǎn)，可求直線的方程.【小問1詳解】因?yàn)閳A心C是直線與軸的交點(diǎn)，所以圓心C的坐標(biāo)為，又因?yàn)閳AC經(jīng)過，所以圓C的半徑為，所以圓C的方程為.【小問2詳解】因?yàn)樗倪呅蜟AMB為菱形，所以AB垂直平分CM，因?yàn)?，所以又因?yàn)镃M的中點(diǎn)坐標(biāo)為所以直線AB的方程為，即.18.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在第一象限），點(diǎn)A到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為.（1）求直線l的斜率；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)，由已知可得，求得，可求直線l的斜率；（2）由（1）可得直線l的方程為：，與拋物線聯(lián)立方程組，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)，可得，由焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可求.【小問1詳解】設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)，因?yàn)辄c(diǎn)A到拋物線準(zhǔn)線的距離是，所以，所以，代入拋物線方程得：所以點(diǎn)，又因?yàn)辄c(diǎn)，所以直線l的斜率.【小問2詳解】因?yàn)閽佄锞€C的焦點(diǎn)F，所以直線l的方程為：由得：，可知恒成立，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)，則，，所以.19.如圖，四棱錐中，底面ABCD，，平面，.（1）證明：；（2）再?gòu)臈l件①、條件②中選擇一個(gè)作為已知，求平面與平面夾角的余弦值．條件①：點(diǎn)B到平面PAC的距離為1；條件②：直線PC與平面PAB所成角的大小為30°.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】通過線面垂直的性質(zhì)可得，再利用線面垂直的判定可得平面，再利用線面垂直的性質(zhì)和線面平行的性質(zhì)可得；若選①，利用點(diǎn)到平面的距離可得BM的值進(jìn)而得到點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)，通過平面的法向量的求法可得平面PBC的法向量，利用向量夾角的余弦值公式可得夾角的余弦值；若選②，根據(jù)線面夾角可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)一步求得平面的法向量，利用向量夾角的余弦值公式可求得兩平面夾角的余弦值.【詳解】解：（1）因?yàn)榈酌鍭BCD，平面ABCD，所以，因?yàn)椋矫鍼AB，所以平面，因?yàn)镻B?平面，所以，因?yàn)槠矫妫矫鍭BCD，平面ABCD∩平面PBC=BC，所以，所以.（2）由（1）可知，PA，AB，AD兩兩垂直，以A為原點(diǎn)，AD，AB，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示坐標(biāo)系.若選條件①：方法1：過點(diǎn)B作BMAC，交AC于點(diǎn)M，因?yàn)镻A底面ABCD，BM?平面ABC，所以PABM，因?yàn)锳C∩PA=A，所以BM平面PAC，又點(diǎn)B到平面PAC的距離為1，所以BM=1，在Rt△ABC中，AC=2，所以.因此，，，又，，所以，.設(shè)是平面PBC的法向量，則，，即，取，則，，所以是平面PBC的一個(gè)法向量.因?yàn)锽M平面PAC，所以是平面PAC的一個(gè)法向量.設(shè)平面ACP與平面BCP的夾角為，則，所以平面ACP與平面BCP夾角的余弦值為.方法2：，，設(shè)，則可求得平面PAC的法向量為，則，得.以下同方法1若選條件②：方法1：由（1）知BC平面PAB，因?yàn)橹本€PC與平面PAB所成角大小為30°，所以即為PC與平面PAB所成的角，即=30°.在Rt△PAC中，AC=PA=2，所以，在Rt△PBC中，，=30°，所以，方法2：由條件①方法2得到，是平面的PAB的一個(gè)法向量，所以，得.以下同條件①.綜上，可得平面與平面的夾角的余弦值為.20.已知橢圓過點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4.（1）求橢圓E的方程及離心率；（2）若直線l：與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)B作斜率為0的