二項式定理展開式有幾項？每一項是怎樣構(gòu)成的？

的展開式是什么？問題1:

展開式中每一項是怎樣構(gòu)成的？展開式有幾項？問題2:多項式乘法的再認識復(fù)習(xí)回顧探究的展開式.……①項：②系數(shù)：探究1推導(dǎo)的展開式.個①項：②系數(shù)：探究1推導(dǎo)的展開式.①項：②系數(shù)：探究1推導(dǎo)的展開式.①項：②系數(shù)：探究1推導(dǎo)的展開式.個③

展開式：猜想探究2仿照上述過程,推導(dǎo)的展開式.①項：②系數(shù)：探究3：請分析的展開過程LL③展開式：④二項展開式的通項:③二項式系數(shù):①項數(shù)：②次數(shù)：共有n＋1項

各項的次數(shù)都等于n，

字母a的次數(shù)按降冪排列，次數(shù)由n遞減到0,

字母b的次數(shù)按升冪排列，次數(shù)由0遞增到n

.二項式定理

的二項展開式二項式定理的再認識

例1：求的展開式．思考3：你能否直接求出展開式的第３項？

思考1：展開式的第３項的系數(shù)是多少？思考2：展開式的第３項的二項式系數(shù)是多少？應(yīng)用舉例

解:直接展開例1：求的展開式．先化簡后展開例1：求的展開式．解:例2求的展開式的第4項的二項式系數(shù)和系數(shù)。應(yīng)用舉例

例3.求展開式中含的項，并說明它是展開式的第幾項？1.求的展開式中的系數(shù)是（）實戰(zhàn)演練A.42

B.35C.28D.21D2.展開式中的常數(shù)項為（）A.80B.-80C.40D.-40C3.（）CA.1B.-1C.D.思維拓展在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展開式中含x4項的系數(shù)是()求(x+2y+z)6的展開式中含xy2z3項的系數(shù).A.-15B.85C.-120D.274A思考題（3）二項展開式的通項：1.二項式定理：2.二項式定理的簡單應(yīng)用課堂小結(jié)（2）二項式系數(shù)：（2）利用通項公式求特定項及特定項的系數(shù)（1）二項式定理的結(jié)構(gòu)特征（1）二項式定理的正用和逆用（3）注意區(qū)分項的系數(shù)和二項式系數(shù)二項式定理探究請你求出(a+b)2，(a+b)3的展開式二項式定理研究的是的展開式.(a+b)2＝

a2+2ab+b2(a+b)3＝

？

＝a3

＋3a2b

＋3

ab2

＋b3取0個b,則a3前的系數(shù)為取1個b，則a2b前的系數(shù)為取2個b，則ab2前的系數(shù)為取3個b，則b3前的系數(shù)為(a+b)3＝

a3

＋

a2b

＋

ab2

＋

b3(a+b)3＝

(a+b)(a+b)(a+b)＝？二項式定理取0個b,則an前的系數(shù)為取1個b，則an-1b前的系數(shù)為取2個b，則an-2b2前的系數(shù)為......取r個b，則an-rbr前的系數(shù)為......取n個b，則bn前的系數(shù)為？二項式定理右邊的多項式叫做的二項展開式通項：二項式系數(shù)：（牛頓二項公式）注①二項展開式共有項；②的指數(shù)從起依次減小1，到0為止；的指數(shù)從0起依次增加1，到為止；③各項中，的指數(shù)和為.例1

解法一：直接利用二項式定理展開

應(yīng)用

一利用的二項展開式解題例1

解法二：先化簡，再利用二項式定理展開

應(yīng)用

一利用的二項展開式解題對于較復(fù)雜的二項式，有時先化簡再展開會更簡便.練習(xí)化簡：

求的展開式.練習(xí)例2

求

的展開式的第4項的二項式系數(shù)和系數(shù).

應(yīng)用

二利用通項求特定項或特定項的系數(shù)

系數(shù)為

-56二項式系數(shù)為解：變式1

應(yīng)用

二利用通項求特定項或特定項的系數(shù)分析:

先求出

是展開式的哪一項,再代入通項公式求它的系數(shù).若二項展開式的通項為，則為常數(shù)項.變式2

練習(xí)

.

-2解析解析A.10B.20C.40D.80C

.-252配套練習(xí)

.8答案A.15B.20C.30D.35C1.求的展開式中項的系數(shù)思考2.今天是周三，那么天后是周幾？小結(jié)1.二項式定理：2.通項：3.應(yīng)用：（1）利用二項式定理展開；

（2）掌握通項公式求特定項與項的系數(shù)、二項式系數(shù).二項式系數(shù)：4.注意：（1）二項展開式的特征；（2）區(qū)分二項式系數(shù)與系數(shù).應(yīng)用了轉(zhuǎn)化與化歸思想1.求的展開式中項的系數(shù)思考2.今天是周三，那么天后是周幾？作業(yè)：（A本）課本第37頁習(xí)題1.3A組

3（1），4（2），5二項式定理導(dǎo)入新課先看下面的問題

若今天是星期一，再過810天后的那一天是星期幾？在初中，我們已經(jīng)學(xué)過了

(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)3＝(a+b)2(a+b)＝a3+3a2b+3ab2+b3觀察

對于(a+b)4，(a+b)5

如何展開?(a+b)100又怎么辦？(a+b)n(n∈N+)呢？

我們知道，事物之間或多或少存在著規(guī)律.這節(jié)課，我們就來研究(a+b)n的二項展開式的規(guī)律性.規(guī)律：(a+b)1=a+b(a+b)2=(a+b)(a+b)=a?a+a?b+b?a+b?b=a2+2ab+b2(a+b)3=(a+b)2(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)4=(a+b)3(a+b)=(a3+3a2b+3ab2+b3)(a+b)=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

如何從組合知識得到(a+b)4展開式中各項的系數(shù)?(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(1)若每個括號都不取b，只有一種取法得到a4；(2)若只有一個括號取b，共有種取法得到a3b；(3)若只有兩個括號取b，共有種取法得到a2b2；(4)若只有三個括號取b，共有種取法得到ab3；(5)若每個括號都取b，共有種取法得b4.1二項式定理

知識要點

如何證明上述猜想呢？證明：由于(a+b)n是（a+b）相乘，每個（a+b）在相乘時有兩種選擇，選a或b，而且每個（a+b）中的a或b都選定后，才能得到展開式的一項.

因此，由分步乘法計數(shù)原理可知，在合并同類項之前，(a+b)n的展開式共有2n項，其中每一項都是an-kbk（k=0，1，…，n）的形式.

對于某個k（），對應(yīng)的項an-kbk是由n-k個（a+b）中選a，k個（a+b）中選b得到的.由于b選定后，a的選法也隨之確定.

因此，an-kbk出現(xiàn)的次數(shù)相當于從n個(a+b)中取k個b的組合數(shù).這樣，(a+b)n的展開式中，an-kbk共有個，將它們合并同類項，就可以得到二項展開式：對二項式定理的理解

（1）它有n+1項;

（2）各項的次數(shù)都等于二項式的次數(shù)n;

（3）字母a按降冪排列，次數(shù)由n遞減到0;字母b按升冪排列，次數(shù)由0遞增到n.知識要點2二項式系數(shù)我們看到的二項展開式共有n+1項，其中各項的系數(shù)()叫做二項式系數(shù)（binomialcoefficient）.3通項

式中的叫做二項展開式的通項，用Tk+1

表示，即通項為展開式的第k+1項：對通項的理解

（1）它是(a+b)n的展開式的第k+1項，這里k=0，1，2，…，n;

（2）字母a，b是一種“符號”，實際上它們可以是數(shù)、式及其它什么的，只要具備二項式的形式就可以用定理寫出展開式;

（3）展開式是對(a+b)n這個標準形式而言的，還可以對等式進行變形.例題1用二項式定理展開下列各式：思考（1）如何求展開式中的第三項？（2）如何求展開式中第三項的系數(shù)？方法（1）用定理展開，再找指定項；（2）用通項公式.解:（2）先將原式化簡，再展開，得例題21.的展開式中，第五項是……（）

A.B.C.D.2.的展開式中，不含a的項是第（）

A.7項B.8項C.9項D.6項

要解答上題必須熟記二項式定理上題答案：

(1)B(2)A例題3求近似值（精確到0.001）（1）(0.997)3（2）(1.002)6分析：（1）(0.997)3=(1-0.003)3（2）(1.002)6=(1+0.002)6

類似這樣的近似計算轉(zhuǎn)化為二項式定理求展開式，按精確度展開到一定項.例題4

4.求二項式的展開式中的有理項.分析：方法一用通項公式（適用于任意次冪）方法二用定理展開（次數(shù)較小時使用）答案：課堂小結(jié)1.二項式定理

二項式定理(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+…+Cnran-rbr+…+Cnnbn是通過不完全歸納法，并結(jié)合組合的概念得到展開式的規(guī)律性，然后用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.2.二項式定理的特點

(1)項數(shù)：共n+1項,是關(guān)于a與b的齊次多項式

(2)系數(shù)

(3)指數(shù)：a的指數(shù)從n逐項遞減到0,是降冪排列；b的指數(shù)從0逐項遞增到n，是升冪排列.1.（2018年安徽、河北卷）在的展開式中，常數(shù)項是______.

A.14 B.－14 C.42D.－42

高考鏈接解析：

則k=6，故展開式中的常數(shù)項是,選答案A.令2.（2018年全國）在(x-a)10的展開式中，x7的系數(shù)是15，則實數(shù)a的值為_______.-1/2解析：課堂練習(xí)1.填空（1）(x+2)10(x2-1)的展開式中x10的系數(shù)為_____.（2）在(x-1)11的展開式中，x的偶次冪的所有項的系數(shù)的和為______.1.179-210

2.選擇（1）(i)12展開式中所有奇數(shù)項的和是()A.-1 B.1