2025-2026學(xué)年江蘇省南通市啟東市九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.拋物線y=x2?1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是A.(1,0) B.(?1,0) C.(0,1) D.(0,?1)2.已知⊙O的半徑為5cm.若點(diǎn)P在⊙O外，則點(diǎn)P和點(diǎn)O的距離可以是(

)A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm3.在下列事件中，不可能事件是(

)A.投擲一枚硬幣，正面向上 B.從只有紅球的袋子中摸出黃球

C.任意畫一個(gè)圓，它是軸對(duì)稱圖形 D.射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中靶心4.將拋物線y=3x2向下平移2個(gè)單位，得到新拋物線的解析式為(

)A.y=3(x?2)2 B.y=3x2+2 5.如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于點(diǎn)C.若AB=8，OC=3，則⊙O的半徑是(

)A.4

B.5

C.6

D.106.不透明袋子中有1個(gè)黑球，2個(gè)紅球，3個(gè)白球和4個(gè)黃球，這些球除顏色外無其他差別.從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，放回并搖勻后重復(fù)操作，某一顏色的球出現(xiàn)的頻率如圖所示，則此球的顏色最有可能是(

)A.紅球 B.白球 C.黑球 D.黃球7.已知正六邊形的半徑是4cm，則它的邊心距是(

)A.2cm B.22cm C.28.如果a>0，方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2滿足x1A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限9.如圖，從一張圓形紙片上剪出一個(gè)小圓形和一個(gè)扇形分別作為圓錐的底面和側(cè)面，其中小圓的直徑是大圓的半徑.下列剪法恰好能配成一個(gè)圓錐的是(

)A. B. C. D.10.已知函數(shù)y=?12x2+x+4，當(dāng)x=p時(shí)，y>4.下列結(jié)論：①0<p<2；②當(dāng)x=p+1時(shí)，y>4；③當(dāng)x=p?3時(shí)，y<4；④當(dāng)x=p+2時(shí)，A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題：本題共6小題，共22分。11.若事件A為必然事件，則事件A發(fā)生的概率P(A)=

.12.若開口向下的拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，則這條拋物線的解析式是

(寫出一個(gè)即可).13.已知AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線.若∠ACB=50°，則∠BAC=

度.14.在平面直角坐標(biāo)系中，若二次函數(shù)y=x2+6x+c的圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，則常數(shù)c的取值范圍是

15.下面的三個(gè)問題中都有兩個(gè)變量：

①直角三角形兩條直角邊的和等于8，直角三角形的面積y與一直角邊長x；

②鋼球從斜面頂端由靜止開始沿斜面滾下，速度每秒增加1.5m/s.鋼球滾動(dòng)的距離ym與滾動(dòng)的時(shí)間xs；

③用長度一定的籬笆圍成矩形場地，矩形面積y與一邊長x.

其中，變量y與變量x之間的函數(shù)關(guān)系可以用如圖所示的圖象表示的是

(填序號(hào)).

16.如圖，四邊形ABCD是矩形，經(jīng)過點(diǎn)A的圓分別與邊BC，CD相切于E，F(xiàn)兩點(diǎn).

(1)∠EAF=______度；

(2)若BE=22，DF=2，則圖中陰影部分的面積是______.

三、解答題：本題共9小題，共98分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題10分)

已知二次函數(shù)y=ax2+2ax的圖象經(jīng)過點(diǎn)(?1,1).

(1)求a的值；

(2)在所給的坐標(biāo)系中畫出這個(gè)函數(shù)的圖象18.(本小題8分)

如圖，A，B是⊙O上的兩個(gè)點(diǎn)，C是AB的中點(diǎn).求證：∠CAO=∠CBO.19.(本小題10分)

在投擲鉛球時(shí)，球以一定的速度斜向上拋出，不計(jì)空氣阻力，在空中劃過的運(yùn)動(dòng)路線可以看作是拋物線的一部分.如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，鉛球從出手到落地的過程中，它的豎直高度y(單位：m)與水平距離x(單位：m)近似滿足二次函數(shù)關(guān)系，記出手點(diǎn)與落地點(diǎn)的水平距離為投擲距離.小亮投擲鉛球時(shí)，記錄部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表.x/m12467…y/m98389…(1)求y與x的函數(shù)表達(dá)式；

(2)當(dāng)鉛球的投擲距離超過11m時(shí)，得分為滿分.請(qǐng)通過計(jì)算說明小亮在此次投擲中是否得滿分.20.(本小題10分)

如圖，已知△ABC.

(1)尺規(guī)作圖：求作⊙O，使⊙O經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)；

(2)僅用沒有刻度的直尺在⊙O上找一點(diǎn)D，使∠BCD=90°(21.(本小題10分)

為打造活力校園，某校在大課間開展了豐富多彩的活動(dòng)，現(xiàn)有4種體育類活動(dòng)供學(xué)生選擇：A.羽毛球，B.乒乓球，C.花樣跳繩，D.踢毽子，每名學(xué)生只能選擇其中一種體育活動(dòng).

(1)若小明在這4種體育活動(dòng)中隨機(jī)選擇，則選中“乒乓球”的概率是______；

(2)請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的方法，求小明和小聰隨機(jī)選擇選到同一種體育活動(dòng)的概率.22.(本小題12分)

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，D是AB延長線上一點(diǎn).若______，______，則______.

(1)給出下列表述：①AB是⊙O的直徑；②CD是⊙O的切線；③∠BCD=∠A.請(qǐng)從中選擇適當(dāng)表述，將對(duì)應(yīng)的序號(hào)填到橫線上方，使之構(gòu)成真命題，補(bǔ)全圖形，并加以證明(寫出一種情況即可)；

(2)在(1)的條件下，若CA=CD，⊙O的半徑為4，則劣弧AC的長為______.23.(本小題12分)

為拓寬高端市場，某水產(chǎn)品養(yǎng)殖基地正規(guī)劃開展特定高端水產(chǎn)品的專業(yè)化養(yǎng)殖項(xiàng)目.經(jīng)過市場調(diào)查得到如下信息：

(1)若該水產(chǎn)品的總產(chǎn)量為5760kg，求x的值；

(2)養(yǎng)殖面積定為多少時(shí)，基地利潤最大？最大利潤是多少？

24.(本小題13分)

如圖，四邊形APBC內(nèi)接于⊙O，延長AP，CB相交于點(diǎn)D，E是AC上一點(diǎn)，PE交AB于點(diǎn)F，且AB=AC，PE=CE.

(1)若∠PCD=20°，∠D=50°，求∠ACB的度數(shù)；

(2)求證AF=PF；

(3)若BD=PD=3，BC=6，求△AEF25.(本小題13分)

已知平面直角坐標(biāo)系中，開口向上的拋物線y=mx2+nx經(jīng)過點(diǎn)(h,k).

(1)當(dāng)h=2，k=0時(shí)，求該拋物線的對(duì)稱軸；

(2)當(dāng)0<h<2時(shí)，k的值始終為負(fù)數(shù)，證明：2m+n≤0；

(3)在(2)的條件下，該拋物線經(jīng)過(t,y1)，(3t,y2)兩點(diǎn)，且當(dāng)t>12參考答案一、選擇題：1.D

2.D

3.B

4.D

5.B

6.A

7.C

8.D

9.D

10.C

二、填空題：11.1

12.y=?x2(13.40

14.c<9

15.①③

16.45；

12?3π

三、解答題：17.解：(1)∵二次函數(shù)y=ax2+2ax的圖象經(jīng)過點(diǎn)(?1,1)，

∴1=a?2a，

解得a=?1.

∴a的值為?1；

(2)由(1)可知函數(shù)為x?3?2?101y?3010?3描點(diǎn)、連線作圖如下：

.

18.證明：連接AB，

∵C是AB的中點(diǎn)，

∴AC=BC.

∴AC=BC，

∴∠CAB=∠CBA，

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA，

∴∠CAB+∠OAB=∠CBA+∠OBA，

即證明：連接AB，

∵C是AB的中點(diǎn)，

∴AC=BC.

∴AC=BC，

∴∠CAB=∠CBA，

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA，

∴∠CAB+∠OAB=∠CBA+∠OBA，

19.解：(1)由題意得，拋物線頂點(diǎn)為(4,3)，

∴可設(shè)拋物線的為y=a(x?4)2+3.

又將x=1，y=94代入上式，

∴94=9a+3.

∴a=?112.

∴y=?112(x?4)2+3，即y=?112x2+23x+53.

(2)將y=0代入y=?112(x?4)2+3，

∴?112(x?4)2+3=0.

∴x1=10，x2=?2(不合題意，舍去).

∵10<11，

∴小亮在此次投擲中沒有得滿分．

20.解：(1)如圖，分別作線段BC，AC的垂直平分線，相交于點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，OA的長為半徑畫圓，

則⊙O即為所求．

(2)22.解：(1)若①②，則③．

證明：如圖，連接OC，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠BCO=90°，

∵CD是⊙O的切線，

∴∠OCD=90°，即∠BCD+∠BCO=90°，

∴∠ACO=∠BCD，

∵OA=OC，

∴∠A=∠ACO，

∴∠BCD=∠A；

故答案為：①；②；③(答案不唯一)；

(2)∵若CA=CD，

∴∠A=∠D，

∵∠BCD=∠A，

∴∠BCD=∠D，

∴∠ABC=∠BCD+∠A=2∠BCD，

∴∠ABC=2∠A，

∵∠ACB=90°，

∴∠ABC=60°，

∴∠AOC=120°，

∴AC的長為：120π×4180=83π，

故答案為：83π.

23.解：(1)由題意，得(960?40x)x=5760，

∴x1=x2=12.

答：x的值為12.

(2)設(shè)基地利潤為y萬元，

∴y=0.05(960?40x)x?(62+4x)

=?2x2+44x?62.

=?2(x?11)2+180.

∴當(dāng)x=11時(shí)，y有最大值180.

答：養(yǎng)殖面積定為11畝時(shí)，基地利潤最大，最大利潤是180萬元．

24.(1)解：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB.

∵AC=AC，

∴∠APC=∠ABC.

∴∠APC=∠ACB.

∵∠APC=∠D+∠PCD=50°+20°=70°，

∴∠ACB=70°；

(2)證明：∵PE=CE，

∴∠EPC=∠ECP.

由(1)知，∠APC=∠ACB，

∴∠APC?∠EPC=∠ACB?∠ECP.

即∠APE=∠PCD.

∵PB=PB.

∴∠PAB=∠PCD.

∴∠PAB=∠APE.

∴AF=PF.

(3)解：過點(diǎn)A作AH⊥BC，垂足為H.

∵AB=AC，

∴BH=CH=12BC=3.

∵BD=PD，

∴∠DBP=∠DPB.

∵四邊形APBC內(nèi)接于⊙O，

∴∠APB+∠ACD=180°.

∵∠DPB+∠APB=180°.

∴∠ACD=∠DPB.

同理，∠DAC=∠DBP.

∴∠ACD=∠DAC.

∴