復(fù)習(xí)任務(wù)群一現(xiàn)代文閱讀Ⅰ把握共性之“新”打通應(yīng)考之“脈”第二章等式與不等式2.1等式2.1.1等式的性質(zhì)與方程的解集學(xué)習(xí)任務(wù)1．能夠從具體實(shí)例中探索等式的性質(zhì)并會(huì)應(yīng)用．(邏輯推理)2．理解恒等式的概念，會(huì)進(jìn)行恒等變形．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3．會(huì)用十字相乘法分解因式，會(huì)求方程的解集．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)在邊長(zhǎng)為a的正方形中挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形(a>b)(如圖①)，將余下的部分剪接拼成一個(gè)長(zhǎng)方形(如圖②)，根據(jù)兩個(gè)圖形中陰影部分的面積相等，可以驗(yàn)證是你已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的哪個(gè)等式？必備知識(shí)·情境導(dǎo)學(xué)探新知知識(shí)點(diǎn)1等式的性質(zhì)性質(zhì)(1)：等式的兩邊同時(shí)加上同一個(gè)數(shù)或代數(shù)式，等式仍成立．用符號(hào)語(yǔ)言和量詞表示為：如果a＝b，則對(duì)任意c，都有______________．性質(zhì)(2)：等式的兩邊同時(shí)乘以同一個(gè)不為零的數(shù)或代數(shù)式，等式仍成立．用符號(hào)語(yǔ)言和量詞表示為：如果a＝b，則對(duì)任意不為零的c，都有__________．a(chǎn)＋c＝b＋cac＝bc提醒等式還具有如下性質(zhì)：(1)對(duì)稱性：等式左右兩邊互換，所得結(jié)果仍是等式，即如果a＝b，那么b＝a．(2)傳遞性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c(也叫等量代換)．知識(shí)點(diǎn)2恒等式1．恒等式的含義一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取________時(shí)等式都成立，則稱其為恒等式，也稱等式兩邊恒等．2．常見(jiàn)的代數(shù)恒等式(1)(a＋b)2＝_______________，(a－b)2＝a2－2ab＋b2．任意實(shí)數(shù)a2＋2ab＋b2(2)a2－b2＝____________________．(3)a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)，a3－b3＝____________________________．(4)(a＋b＋c)2＝__________________________________．(a＋b)(a－b)(a－b)(a2＋ab＋b2)a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca3．十字相乘法(1)給定式子x2＋Cx＋D，如果能找到a和b，使得D＝ab且C＝a＋b，則x2＋Cx＋D＝____________________．為了方便記憶，已知C和D，尋找滿足條件的a和b的過(guò)程，通常用圖來(lái)表示：

，其中兩條交叉的線表示對(duì)應(yīng)數(shù)相乘后相加要______，也正因?yàn)槿绱?，這種因式分解的方法稱為“十字相乘法”．代數(shù)式x2＋Cx＋D能進(jìn)行因式分解的條件是C2－4D≥0．(x＋a)(x＋b)等于C(2)用“十字相乘法”分解因式：①直接利用公式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)進(jìn)行分解；②利用公式acx2＋(ad＋bc)x＋bd＝(ax＋b)(cx＋d)進(jìn)行分解．思考1．十字相乘法分解因式的關(guān)鍵是什么？[提示]

把二次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)分解，交叉相乘，得到兩個(gè)因數(shù)，再把兩個(gè)因數(shù)相加，看它們的和是不是正好等于一次項(xiàng)系數(shù)．知識(shí)點(diǎn)3方程的解集1．方程的有關(guān)概念方程含有______的等式叫方程方程的解(或根)能使方程左右兩邊______的未知數(shù)的值叫方程的解(或根)方程的解集把一個(gè)方程2所有解組成的____稱為這個(gè)方程的解集解方程求方程的解的過(guò)程叫解方程未知數(shù)相等集合2．一元一次方程一元一次方程方程兩邊都是整式，都只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫一元一次方程滿足的條件①必須是整式方程；②只含有一個(gè)未知數(shù)；③未知數(shù)的次數(shù)都是1表示形式ax＋b＝0(a≠0)或ax＝b(a≠0)思考2．把方程通過(guò)適當(dāng)變換后，求出的未知數(shù)的值都是這個(gè)方程的解(根)嗎？[提示]

把方程通過(guò)變換，求出的未知數(shù)的值不一定是這個(gè)方程的根，也可能是這個(gè)方程的增根．

×√××√(6)用因式分解法解方程時(shí)部分過(guò)程為：(x＋2)(x－3)＝6，所以x＋2＝3或x－3＝2． (

)(7)計(jì)算(2a＋5)(2a－5)＝2a2－25． (

)(8)因式分解過(guò)程為：x2－3xy－4y2＝(x＋y)·(x－4)． (

)×××2．式子x2＋3x－18分解因式的結(jié)果是(

)A．(x－6)(x＋3)

B．(x＋6)(x－3)C．(x－2)(x＋9) D．(x＋2)(x－9)√B

[因?yàn)?×(－3)＝－18，6＋(－3)＝3，所以x2＋3x－18＝(x＋6)(x－3)．]3．已知三角形兩邊長(zhǎng)分別為4和7，第三邊的長(zhǎng)是方程x2－17x＋66＝0的根，則第三邊的長(zhǎng)為_(kāi)_______．6

[由方程x2－17x＋66＝0得，(x－6)(x－11)＝0，解得x＝6或x＝11，當(dāng)x＝6時(shí)，三邊長(zhǎng)為4，6，7，符合題意；當(dāng)x＝11時(shí)，以4，7，11為三邊構(gòu)不成三角形，不合題意，舍去，則第三邊長(zhǎng)為6．]6

關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難√√(2)若多項(xiàng)式x2＋kx－24可以因式分解為(x－3)·(x＋8)，則實(shí)數(shù)k的值為(

)A．5 B．－5C．11 D．－11(3)計(jì)算(x＋3y)2－(3x＋y)2的結(jié)果是(

)A．8x2－8y2 B．8y2－8x2C．8(x＋y)2 D．8(x－y)2√√

(3)(法一)(x＋3y)2－(3x＋y)2＝x2＋6xy＋9y2－(9x2＋6xy＋y2)＝x2＋6xy＋9y2－9x2－6xy－y2＝8y2－8x2．(法二)(x＋3y)2－(3x＋y)2＝[(x＋3y)＋(3x＋y)][(x＋3y)－(3x＋y)]＝(x＋3y＋3x＋y)(x＋3y－3x－y)＝(4x＋4y)(－2x＋2y)＝4(x＋y)×2(－x＋y)＝8y2－8x2．]【教材原題·P46例1】例1化簡(jiǎn)(2x＋1)2－(x－1)2．[解]

(方法一)可以利用兩數(shù)和的平方公式與兩數(shù)差的平方公式展開(kāi)，然后合并同類項(xiàng)，即(2x＋1)2－(x－1)2＝4x2＋4x＋1－(x2－2x＋1)＝3x2＋6x．(方法二)可以將2x＋1和x－1分別看成一個(gè)整體，然后使用平方差公式，即(2x＋1)2－(x－1)2＝[(2x＋1)＋(x－1)][(2x＋1)－(x－1)]＝3x(x＋2)＝3x2＋6x．反思領(lǐng)悟

利用恒等式進(jìn)行因式分解的步驟一提：先看能否提公因式；二套：再看能否套用公式；三檢查：再檢查因式分解是否徹底；四檢驗(yàn)：最后用多項(xiàng)式乘法檢驗(yàn)分解是否正確．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(1)計(jì)算：(x＋1)(x－1)(x2－x＋1)(x2＋x＋1)．(2)已知a＋b＋c＝4，ab＋bc＋ac＝4，求a2＋b2＋c2的值．[解]

(1)(法一)原式＝(x2－1)[(x2＋1)2－x2]＝(x2－1)(x4＋x2＋1)＝x6－1．(法二)原式＝(x＋1)(x2－x＋1)(x－1)(x2＋x＋1)＝(x3＋1)(x3－1)＝x6－1．(2)a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ac)＝8．類型2十字相乘法分解因式【例2】十字相乘法分解因式：(1)x2－x－56；(2)x2－10x＋16；(3)6x2＋11x－7．[解]

(1)因?yàn)?/p>

，所以原式＝(x＋7)(x－8)．(2)因?yàn)?/p>

，所以原式＝(x－2)(x－8)．(3)因?yàn)?/p>

，所以原式＝(2x－1)(3x＋7)．反思領(lǐng)悟

十字相乘法分解因式的方法(1)對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式的十字相乘法，重點(diǎn)是運(yùn)用公式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)進(jìn)行因式分解．(2)嘗試把某些二次三項(xiàng)式如ax2＋bx＋c分解因式，先把a(bǔ)分解成a＝a1a2，把c分解成c＝c1c2，并且排列如下：這里按斜線交叉相乘的積的和就是a1c2＋a2c1，如果它正好等于二次三項(xiàng)式ax2＋bx＋c中一次項(xiàng)的系數(shù)b，那么ax2＋bx＋c就可以分解成(a1x＋c1)(a2x＋c2)，其中a1，c1是圖中上面一行的兩個(gè)數(shù)，a2，c2是下面一行的兩個(gè)數(shù)．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．將y2－5y＋4因式分解的結(jié)果是(

)A．(y＋1)(y＋4) B．(y＋1)(y－4)C．(y－1)(y＋4) D．(y－1)(y－4)√D

[因式分解，可得y2－5y＋4＝(y－1)(y－4)，故選D．]類型3求方程的解集【例3】

【鏈接教材P48例2、例3】求下列方程的解集．(1)x(x－2)＋x－2＝0；(2)關(guān)于x的方程ax2－(a＋1)x＋1＝0．[解]

(1)把方程左邊因式分解，得(x－2)(x＋1)＝0，從而，得x－2＝0或x＋1＝0，所以x1＝2，x2＝－1．所以方程的解集為{－1，2}．

【教材原題·P48例2、例3】例2求方程x2－5x＋6＝0的解集．[解]

因?yàn)閤2－5x＋6＝(x－2)(x－3)，所以原方程可以化為(x－2)(x－3)＝0，從而可知x－2＝0或x－3＝0，即x＝2或x＝3，因此所求解集為{2，3}．

發(fā)現(xiàn)規(guī)律

用“十字相乘法”求一元二次方程的解集的一般步驟(1)移項(xiàng)，將一元二次方程的____化為0．(2)化積，利用提取公因式法、公式法等將一元二次方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的積．(3)轉(zhuǎn)化，兩個(gè)因式分別為_(kāi)，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程．(4)求解，解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解．(5)將其解寫(xiě)成____的形式．右邊0集合

√

學(xué)習(xí)效果·課堂評(píng)估夯基礎(chǔ)√D

[C中，若x＝y(tǒng)，則x－5＝y(tǒng)－5．等式的性質(zhì)中兩邊同除以一個(gè)不為0的數(shù)，等式成立，應(yīng)找不為0的式子，A中x可能為0，B中a＋1可能為0，而D中a2＋1>0，故D正確．]2．(多選)下列等式中，是恒等式的是(

)A．(x－2)(x＋2)＝x2－4B．(a＋b)c＝ac＋bcC．(－3＋m)(3＋m)＝m2－9D．16x2－9＝24x√√√ABC

[A中，(x－2)(x＋2)＝x2－4，使用平方差公式化簡(jiǎn)，是恒等式；B中，(a＋b)c＝ac＋bc是恒等式；C中，(－3＋m)(3＋m)＝(m－3)(m＋3)＝m2－9，平方差公式化簡(jiǎn)，是恒等式；D中，16x2－9＝24x是方程，不是恒等式．]3．方程2x－1＝0的解集是________．

4．(教材P48練習(xí)AT2改編)因式分解：(a－b)2＋11(a－b)＋28＝_________________．(a－b＋4)(a－b＋7)

[把a(bǔ)－b看作一個(gè)整體．因?yàn)?/p>

，所以原式＝(a－b＋4)(a－b＋7)．](a－b＋4)(a－b＋7)回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問(wèn)題：1．用因式分解法解一元二次方程的步驟是怎樣的？[提示]

(1)將方程右邊化為0．(2)將方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的積．(3)令每個(gè)因式等于0，得兩個(gè)一元一次方程，再求解．提醒：①用因式分解法解一元二次方程，經(jīng)常會(huì)遇到方程兩邊含有相同因式的情況，此時(shí)不能將其約去，而應(yīng)當(dāng)移項(xiàng)將方程右邊化為零，再提取公因式，若約去則會(huì)使方程失根．②對(duì)于較復(fù)雜的一元二次方程，應(yīng)靈活根據(jù)方程的特點(diǎn)分解因式．2．因式分解常用的方法有哪些？[提示]

提取公因式法、公式法、分組法、十字相乘法．章末綜合測(cè)評(píng)(一)動(dòng)量守恒定律題號(hào)135246879101112131415一、選擇題1．如圖，天平上的物體a，b，c使天平處于平衡狀態(tài)(標(biāo)有相同字母的物體質(zhì)量相同)，則物體a與物體c的質(zhì)量關(guān)系是(

)課時(shí)分層作業(yè)(十)等式的性質(zhì)與方程的解集A．2a＝3c

B．4a＝9cC．a(chǎn)＝2c D．a(chǎn)＝c題號(hào)135246879101112131415B

[由題圖可知，2a＝3b，2b＝3c，根據(jù)等式的性質(zhì)得4a＝6b，6b＝9c，所以4a＝6b＝9c，即4a＝9c．]√題號(hào)21345687910111213√1415

AB

[A、B屬于恒等式；只有當(dāng)x＝506時(shí)，等式4x＝2024才成立；只有當(dāng)x＝1時(shí)，等式(x－1)2＝0才成立，所以C、D不是恒等式．故選AB．]√3．將4x2＋1分別加上下列各項(xiàng)，其中不能化成(a＋b)2形式的是(

)A．4x

B．－4x

C．4x4

D．16x√題號(hào)213456879101112131415D

[對(duì)于A，4x2＋1＋4x＝(2x＋1)2，故此選項(xiàng)不符合題意；對(duì)于B，4x2＋1－4x＝(2x－1)2，故此選項(xiàng)不符合題意；對(duì)于C，4x4＋4x2＋1＝(2x2＋1)2，故此選項(xiàng)不符合題意；對(duì)于D，4x2＋1＋16x，不能運(yùn)用完全平方公式分解因式，故此選項(xiàng)符合題意．故選D．]√4．代數(shù)式5x2－4xy＋y2＋6x＋25的最小值為(

)A．－16

B．16

C．－8 D．8題號(hào)213456879101112131415B

[5x2－4xy＋y2＋6x＋25＝4x2－4xy＋y2＋x2＋6x＋9＋16＝(2x－y)2＋(x＋3)2＋16，而(2x－y)2＋(x＋3)2≥0，所以代數(shù)式5x2－4xy＋y2＋6x＋25的最小值是16．故選B．]√

題號(hào)213456879101112131415

二、填空題6．當(dāng)x＝－7時(shí)，代數(shù)式(2x＋5)(x＋1)－(x－3)(x＋1)的值為_(kāi)_______．題號(hào)213456879101112131415－6

[因?yàn)?2x＋5)(x＋1)－(x－3)(x＋1)＝2x2＋7x＋5－(x2－2x－3)＝x2＋9x＋8，又因?yàn)閤＝－7，所以原式＝(－7)2＋9×(－7)＋8＝－6．]－67．若2x2＋3x＋5＝a(2x＋1)(x＋1)＋b恒成立，則a＋b的值為_(kāi)_______．題號(hào)213456879101112131415

5

8．設(shè)集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，集合B＝{x|ax－1＝0}，若B?A，則實(shí)數(shù)a取值集合的真子集的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．題號(hào)213456879101112131415

7三、解答題9．分解因式：(1)8x3＋4x2－2x－1；(2)a3＋a2c＋b2c－abc＋b3．題號(hào)213456879101112131415[解]

(1)原式＝8x3－1＋2x(2x－1)＝(2x－1)·(4x2＋2x＋1)＋2x(2x－1)＝(2x－1)(4x2＋4x＋1)＝(2x－1)(2x＋1)2．(2)原式＝a3＋b3＋c(a2－ab＋b2)＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＋c(a2－ab＋b2)＝(a2－ab＋b2)(a＋b＋c)．題號(hào)213456879101112131415√10．小明在做解方程作業(yè)時(shí)，不小心將方程中的一個(gè)常數(shù)污染了看不清楚，被污染的方程是2y－1＝y(tǒng)－●，怎么辦呢？小明想了想便翻看了書(shū)后的答案，此方程的解是y＝－3，很快補(bǔ)好了這個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)應(yīng)是(

)A．1 B．2

C．3 D．4題號(hào)213456879101112131415D

[設(shè)所缺的部分為x，則2y－1＝y(tǒng)－x，把y＝－3代入，求得x＝4．故選D．]題號(hào)213456879101112131415√11．(多選)已知集合M＝{x|12x2＋11x＋2＝0}，N＝{x|mx＝2}，且N

M，則實(shí)數(shù)m的值可以是(

)A．0 B．－3C．－8 D．3題號(hào)213456879101112131415√√

題號(hào)21345687910111213141512．我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《田畝比類乘除捷法》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“給銀八百六十四兩，只云所得銀之兩數(shù)比總分人數(shù)，其銀多十二兩．問(wèn)：總是幾人，每人各得幾兩？”其意思是：現(xiàn)一共有銀子八百六十四兩，只知道每個(gè)人分到的銀子數(shù)目的兩倍比總?cè)藬?shù)多十二，則一共有________人，每個(gè)人分得________兩銀子．題號(hào)2134568791011121314153624

題號(hào)213456879101112131415

題號(hào)2134568791011121314153或－23或－2

[由題意得(x－1)(x＋1)－(x－1)(1－x)＝12．整理得x2－x－6＝0，因式分解得(x－3)·(x＋2)＝0，所以x－3＝0或x＋2＝0，解得x＝3或x＝－2．]題號(hào)21345687910111213141514．已知關(guān)于x的一元二次方程x2－4x＋2k＝0．(1)若方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)如果k是滿足(1)的最大整數(shù)，且方程x2－4x＋2k＝0的根是一元二次方程x2－2mx＋3m－1＝0的一個(gè)根，求m的值及這個(gè)方程的另一個(gè)根．題號(hào)21