3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：橢圓的定義1．定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡．2．焦點(diǎn)：兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2.3．焦距：兩焦點(diǎn)間的距離|F1F2|.4．幾何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常數(shù))且2a>|F1F2|.考點(diǎn)二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)a，b，c的關(guān)系b2＝a2－c2考點(diǎn)三：求軌跡方程的方法直譯法——“四步一回頭”，四步：（1）建立適當(dāng)坐標(biāo)系，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（2）寫出適合條件的點(diǎn)M的集合；

（3）將“翻譯”成代數(shù)方程；（4）化簡代數(shù)方程為最簡形式.【題型歸納】題型一：利用橢圓的定義求方程1．（2023·江蘇·高二）若點(diǎn)滿足方程，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為（

）A． B． C． D．2．（2022秋·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中）已知?jiǎng)狱c(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為6，則動(dòng)點(diǎn)軌跡方程為（

）A． B．C． D．3．（2022秋·遼寧沈陽·高二校聯(lián)考期中）橢圓M的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線交橢圓M于點(diǎn)A，B.若的周長為20，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．題型二：橢圓的焦點(diǎn)三角形問題4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的周長為（

）A．10 B．16 C．20 D．不能確定5．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為，若，則的面積為（

）A． B． C．4 D．6．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知是橢圓上的點(diǎn)，?分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，若，則的面積為（

）A． B． C． D．題型三：根據(jù)方程表示橢圓求參數(shù)問題7．（2023秋·高二課前預(yù)習(xí)）“”是“方程表示橢圓”的（）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．（2023秋·河南南陽·高二南陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若方程表示橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．9．（2023春·四川南充·高二?？计谥校?duì)于常數(shù)，“”是“方程的曲線是橢圓”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件題型四：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法10．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若橢圓的中心為原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成個(gè)正三角形，焦點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的最短距離為，則這個(gè)橢圓的方程為（

）A． B．或C． D．以上都不對(duì)11．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，M為C上一點(diǎn)，若的中點(diǎn)為，且的周長為，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．12．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓，分別是橢圓C的焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若，則（

）A．2 B．4 C．6 D．8題型五：與橢圓有關(guān)的軌跡問題13．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知?jiǎng)訄A過點(diǎn)，并且在圓B：的內(nèi)部與其相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為（

）A． B． C． D．14．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，在圓上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，D為垂足，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PD的中點(diǎn)M的軌跡方程為（

）A． B．C． D．15．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓：（圓心為），點(diǎn)，點(diǎn)Р在圓A上運(yùn)動(dòng)，設(shè)線段PB的垂直平分線和直線PA的交點(diǎn)為Q，則點(diǎn)Q的軌跡方程為（

）A． B．C． D．題型六：橢圓的最值問題16．（2023秋·全國·高二期中）已知點(diǎn)P為橢圓上動(dòng)點(diǎn)，分別是橢圓C的焦點(diǎn)，則的最大值為（

）A．2 B．3 C． D．417．（2018秋·河北衡水·高二河北阜城中學(xué)階段練習(xí)）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，若點(diǎn)在橢圓上，且，則點(diǎn)到軸的距離為（

）A． B． C． D．18．（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，，分別是兩圓和上的點(diǎn)，則的最小值、最大值分別為（

）A．8，11 B．8，12 C．6，10 D．6，11題型七：橢圓方程的綜合問題19．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知橢圓C：，左，右焦點(diǎn)分別為，，橢圓C經(jīng)過，．(1)求橢圓C的方程；(2)若點(diǎn)P使得，求的面積．20．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)，；(2)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，橢圓上任一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為10；(3)焦點(diǎn)在x軸上，，且經(jīng)過點(diǎn)；(4)，且經(jīng)過點(diǎn).21．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，點(diǎn)、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)．(1)若，求；(2)若的面積為9，求的大?。倦p基達(dá)標(biāo)】一、單選題22．（2023秋·陜西渭南·高二渭南市瑞泉中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若方程表示橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．23．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在此橢圓上，則的周長等于（

）A．20 B．16 C．18 D．1424．（2023秋·甘肅天水·高二秦安縣第一中學(xué)?？计谀┤绻麢E圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6，那么點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離是（

）．A．4 B．14 C．12 D．825．（2023·全國·高二專題練習(xí)）求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，經(jīng)過點(diǎn)；(2)焦點(diǎn)在軸上的橢圓上任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的和為.(3)兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是和，并且經(jīng)過點(diǎn).(4)已知橢圓中，且，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.26．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且過點(diǎn)，焦距為，設(shè)為橢圓上的一點(diǎn)，、是該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，求：(1)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)的面積．【高分突破】一、單選題27．（2023·江蘇·高二）阿基米德是古希臘著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率π等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：（a＞b＞0）的面積為，兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A． B．C． D．28．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，分別為左、右焦點(diǎn)，則的最大值為（

）A．2 B．3 C．4 D．不存在29．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，且經(jīng)過點(diǎn)P，同時(shí)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．＋＝1 B．＋＝1C．＋＝1 D．＋＝130．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，A為橢圓C的左頂點(diǎn)，以為直徑的圓與橢圓C在第一、二象限的交點(diǎn)分別為M，N，若直線AM，AN的斜率之積為，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．31．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，且，則的面積為（

）A．6 B．12 C． D．32．（2023·全國·高二）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為.若點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)恰好在上，且直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，則（

）A． B． C． D．二、多選題33．（2023秋·江蘇淮安·高二淮陰中學(xué)校考開學(xué)考試）若方程所表示的曲線為C，則下面四個(gè)說法中正確的是（

）A．曲線C可能是圓B．若，則C為橢圓C．若C為橢圓，且焦點(diǎn)在x軸上，則D．若C為橢圓，且焦點(diǎn)在y軸上，則34．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)為，，P是C上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）．A．B．P到最小的距離是2C．面積的最大值為6D．P到最大的距離是935．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)），是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，A是橢圓上一點(diǎn)，是直角三角形，則的面積為（

）A．9 B．C． D．36．（2023秋·高二單元測試）已知點(diǎn)，直線l：，動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離是點(diǎn)P到直線l的距離的一半．若某直線上存在這樣的點(diǎn)P，則稱該直線為“最遠(yuǎn)距離直線”，則下列結(jié)論正確的是（）A．點(diǎn)P的軌跡方程是B．直線是“最遠(yuǎn)距離直線”C．平面上有一點(diǎn)，則的最小值為5D．點(diǎn)P的軌跡與圓C：沒有交點(diǎn)三、填空題37．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓C上任意一點(diǎn)都滿足關(guān)系式，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.38．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)是橢圓的左焦點(diǎn)，P為橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，則的最大值為.39．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）橢圓的兩焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，若，則的大小為．40．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，若，則．41．（2023·全國·高二專題練習(xí)）以