第1節(jié)數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法最新考綱1.了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式)；2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類(lèi)特殊函數(shù)．知識(shí)梳理1．?dāng)?shù)列的概念(1)數(shù)列的定義：按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．(2)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*(或它的有限子集)為定義域的函數(shù)an＝f(n)，當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值．(3)數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和通項(xiàng)公式法．2．?dāng)?shù)列的分類(lèi)分類(lèi)原則類(lèi)型滿足條件按項(xiàng)數(shù)分類(lèi)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無(wú)限按項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系分類(lèi)遞增數(shù)列an＋1＞an其中n∈N*遞減數(shù)列an＋1＜an常數(shù)列an＋1＝an按其他標(biāo)準(zhǔn)分類(lèi)有界數(shù)列存在正數(shù)M，使|an|≤M擺動(dòng)數(shù)列從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列3.數(shù)列的通項(xiàng)公式(1)通項(xiàng)公式：如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子an＝f(n)來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．(2)遞推公式：如果已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且從第二項(xiàng)(或某一項(xiàng))開(kāi)始的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an－1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式．4．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，則an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1（n＝1），,Sn－Sn－1（n≥2）.))[常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒]1．一些常見(jiàn)數(shù)列的通項(xiàng)公式(1)數(shù)列1，2，3，4，…的通項(xiàng)公式為an＝n；(2)數(shù)列2，4，6，8，…的通項(xiàng)公式為an＝2n；(3)數(shù)列1，2，4，8，…的通項(xiàng)公式為an＝2n－1；(4)數(shù)列1，4，9，16，…的通項(xiàng)公式為an＝n2；(5)數(shù)列1，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，…的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(1,n).2．已知遞推關(guān)系求通項(xiàng)一般有兩種常見(jiàn)思路：(1)算出前幾項(xiàng)，再歸納、猜想；(2)利用累加或累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式．診斷自測(cè)1．思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)相同的一組數(shù)按不同順序排列時(shí)都表示同一個(gè)數(shù)列．()(2)一個(gè)數(shù)列中的數(shù)是不可以重復(fù)的．()(3)所有數(shù)列的第n項(xiàng)都能使用公式表達(dá)．()(4)根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出的數(shù)列的通項(xiàng)公式可能不止一個(gè)．()解析(1)數(shù)列：1，2，3和數(shù)列：3，2，1是不同的數(shù)列．(2)數(shù)列中的數(shù)是可以重復(fù)的．(3)不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式．答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2，則a8的值為()A．15 B．16 C．49 解析當(dāng)n＝8時(shí)，a8＝S8－S7＝82－72＝15.答案A3．已知數(shù)列的前4項(xiàng)為2，0，2，0，則依此歸納該數(shù)列的通項(xiàng)不可能是()A．a(chǎn)n＝(－1)n－1＋1 B．a(chǎn)n＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2，n為奇數(shù)，,0，n為偶數(shù)))C．a(chǎn)n＝2sineq\f(nπ,2) D．a(chǎn)n＝cos(n－1)π＋1解析對(duì)n＝1，2，3，4進(jìn)行驗(yàn)證，an＝2sineq\f(nπ,2)不合題意，故選C.答案C4．已知an＝n2＋λn，且對(duì)于任意的n∈N*，數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是________．解析因?yàn)閧an}是遞增數(shù)列，所以對(duì)任意的n∈N*，都有an＋1＞an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)＞n2＋λn，整理，得2n＋1＋λ＞0，即λ＞－(2n＋1)．(*)因?yàn)閚≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ＞－3.答案(－3，＋∞)5．(2018·臺(tái)州月考)在數(shù)列{xn}中，x1＝10，xn＝log2(xn－1－2)，則數(shù)列{xn}的第2項(xiàng)是________，所有項(xiàng)和T＝________．解析∵x1＝10，xn＝log2(xn－1－2)，∴x2＝log2(x1－2)＝log28＝3，x3＝log2(x2－2)＝log21＝0.數(shù)列{xn}所有項(xiàng)的和為10＋3＋0＝13.答案3136．(必修5P33A5改編)根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點(diǎn)數(shù)，寫(xiě)出點(diǎn)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式an＝________．解析a1＝1，a2＝6＝1＋5＝1＋5×(2－1)，a3＝11＝1＋5×2＝1＋5×(3－1)，a4＝16＝1＋5×3＝1＋5×(4－1)，∴an＝1＋5×(n－1)＝5n－4.答案5n－4考點(diǎn)一由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)【例1】根據(jù)下面各數(shù)列前幾項(xiàng)的值，寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)－1，7，－13，19，…；(2)eq\f(2,3)，eq\f(4,15)，eq\f(6,35)，eq\f(8,63)，eq\f(10,99)，…；(3)eq\f(1,2)，2，eq\f(9,2)，8，eq\f(25,2)，…；(4)5，55，555，5555，….解(1)偶數(shù)項(xiàng)為正，奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，故通項(xiàng)公式必含有因式(－1)n，觀察各項(xiàng)的絕對(duì)值，后一項(xiàng)的絕對(duì)值總比它前一項(xiàng)的絕對(duì)值大6，故數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(－1)n(6n－5)．(2)這是一個(gè)分?jǐn)?shù)數(shù)列，其分子構(gòu)成偶數(shù)數(shù)列，而分母可分解為1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一項(xiàng)都是兩個(gè)相鄰奇數(shù)的乘積，分子依次為2，4，6，…，相鄰的偶數(shù)，故所求數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝eq\f(2n,（2n－1）（2n＋1）).(3)數(shù)列的各項(xiàng)，有的是分?jǐn)?shù)，有的是整數(shù)，可將數(shù)列的各項(xiàng)都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再觀察．即eq\f(1,2)，eq\f(4,2)，eq\f(9,2)，eq\f(16,2)，eq\f(25,2)，…，分子為項(xiàng)數(shù)的平方，從而可得數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝eq\f(n2,2).(4)將原數(shù)列改寫(xiě)為eq\f(5,9)×9，eq\f(5,9)×99，eq\f(5,9)×999，…，易知數(shù)列9，99，999，…的通項(xiàng)為10n－1，故所求的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝eq\f(5,9)(10n－1)．規(guī)律方法根據(jù)所給數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)時(shí)，需仔細(xì)觀察分析，抓住以下幾方面的特征：(1)分式中分子、分母的各自特征；(2)相鄰項(xiàng)的聯(lián)系特征；(3)拆項(xiàng)后的各部分特征；(4)符號(hào)特征．應(yīng)多進(jìn)行對(duì)比、分析，從整體到局部多角度觀察、歸納、聯(lián)想．【訓(xùn)練1】(1)數(shù)列0，eq\f(2,3)，eq\f(4,5)，eq\f(6,7)，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為()A．a(chǎn)n＝eq\f(n－1,n＋2)(n∈N*) B．a(chǎn)n＝eq\f(n－1,2n＋1)(n∈N*)C．a(chǎn)n＝eq\f(2（n－1）,2n－1)(n∈N*) D．a(chǎn)n＝eq\f(2n,2n＋1)(n∈N*)(2)數(shù)列－eq\f(1,1×2)，eq\f(1,2×3)，－eq\f(1,3×4)，eq\f(1,4×5)，…的一個(gè)通項(xiàng)公式an＝________．解析(1)注意到分子0，2，4，6都是偶數(shù)，對(duì)照選項(xiàng)排除即可．(2)這個(gè)數(shù)列前4項(xiàng)的絕對(duì)值都等于序號(hào)與序號(hào)加1的積的倒數(shù)，且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(－1)neq\f(1,n（n＋1）).答案(1)C(2)(－1)neq\f(1,n（n＋1）)考點(diǎn)二由Sn與an的關(guān)系求an(易錯(cuò)警示)【例2】(1)(2017·溫州市十校聯(lián)考)在數(shù)列{an}中，Sn是其前n項(xiàng)和，且Sn＝2an＋1，則數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝________．(2)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n＋1，則數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝________．解析(1)依題意得Sn＋1＝2an＋1＋1，Sn＝2an＋1，兩式相減得Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an，即an＋1＝2an，又S1＝2a1＋1＝a1，因此a1＝－1，所以數(shù)列{an}是以a1＝－1為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，an＝－2n－1(2)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3＋1＝4，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝3n＋1－3n－1－1＝2·3n－1.顯然當(dāng)n＝1時(shí)，不滿足上式．∴an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4，n＝1，,2·3n－1，n≥2.))答案(1)－2n－1(2)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4，n＝1，,2·3n－1，n≥2))規(guī)律方法數(shù)列的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系是an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))①當(dāng)n＝1時(shí)，a1若適合Sn－Sn－1，則n＝1的情況可并入n≥2時(shí)的通項(xiàng)an；②當(dāng)n＝1時(shí)，a1若不適合Sn－Sn－1，則用分段函數(shù)的形式表示．易錯(cuò)警示在利用數(shù)列的前n項(xiàng)和求通項(xiàng)時(shí)，往往容易忽略先求出a1，而是直接把數(shù)列的通項(xiàng)公式寫(xiě)成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只適用于n≥2的情形．【訓(xùn)練2】(1)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n2－2n＋1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________．(2)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(2,3)an＋eq\f(1,3)，則{an}的通項(xiàng)公式an＝________．解析(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，顯然當(dāng)n＝1時(shí)，不滿足上式．故數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2，n＝1，,6n－5，n≥2.))(2)由Sn＝eq\f(2,3)an＋eq\f(1,3)，得當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝eq\f(2,3)an－1＋eq\f(1,3)，兩式相減，得an＝eq\f(2,3)an－eq\f(2,3)an－1，∴當(dāng)n≥2時(shí)，an＝－2an－1，即eq\f(an,an－1)＝－2.又n＝1時(shí)，S1＝a1＝eq\f(2,3)a1＋eq\f(1,3)，a1＝1，∴an＝(－2)n－1.答案(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2，n＝1，,6n－5，n≥2))(2)(－2)n－1考點(diǎn)三由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式【例3】(1)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝4，an＋2＋2an＝3an＋1(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________．(2)(2018·衢州質(zhì)檢)在數(shù)列{an}中，a1＝1，(n2＋2n)(an＋1－an)＝1(n∈N*)，則通項(xiàng)公式an＝________．解析(1)由an＋2＋2an－3an＋1＝0，得an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，∴數(shù)列{an＋1－an}是以a2－a1＝3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴an＋1－an＝3×2n－1，∴n≥2時(shí)，an－an－1＝3×2n－2，…，a3－a2＝3×2，a2－a1＝3，將以上各式累加得an－a1＝3×2n－2＋…＋3×2＋3＝3(2n－1－1)，∴an＝3×2n－1－2(當(dāng)n＝1時(shí)，也滿足)．(2)由(n2＋2n)(an＋1－an)＝1得an＋1－an＝eq\f(1,n2＋2n)＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋2)))，所以a2－a1＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1)－\f(1,3)))，a3－a2＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,4)))，…，an－1－an－2＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－2)－\f(1,n)))，an－an－1＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－1)－\f(1,n＋1)))，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)－\f(1,n＋1)－\f(1,n)))＋1＝eq\f(7,4)－eq\f(2n＋1,2n（n＋1）).答案(1)3×2n－1－2(2)eq\f(7,4)－eq\f(2n＋1,2n（n＋1）)規(guī)律方法(1)形如an＋1＝an＋f(n)的遞推關(guān)系式利用累加法求通項(xiàng)公式，特別注意能消去多少項(xiàng)，保留多少項(xiàng)．(2)形如an＋1＝an·f(n)的遞推關(guān)系式可化為eq\f(an＋1,an)＝f(n)的形式，可用累乘法，也可用an＝eq\f(an,an－1)·eq\f(an－1,an－2)·…·eq\f(a2,a1)·a1代入求出通項(xiàng)．(3)形如an＋1＝pan＋q的遞推關(guān)系式可以化為(an＋1＋x)＝p(an＋x)的形式，構(gòu)成新的等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，求變量x是關(guān)鍵．【訓(xùn)練3】在數(shù)列{an}中，(1)若a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，則通項(xiàng)公式an＝________．(2)(一題多解)若a1＝1，an＝eq\f(n－1,n)an－1(n≥2)，則通項(xiàng)公式an＝________．(3)若a1＝1，an＋1＝2an＋3，則通項(xiàng)公式an＝________．解析(1)由題意得，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋(2＋3＋…＋n)＝2＋eq\f(（n－1）（2＋n）,2)＝eq\f(n（n＋1）,2)＋1.又a1＝2＝eq\f(1×（1＋1）,2)＋1，符合上式，因此an＝eq\f(n（n＋1）,2)＋1.(2)法一因?yàn)閍n＝eq\f(n－1,n)an－1(n≥2)，所以an－1＝eq\f(n－2,n－1)·an－2，…，a2＝eq\f(1,2)a1，以上(n－1)個(gè)式子的等號(hào)兩端分別相乘得an＝a1·eq\f(1,2)·eq\f(2,3)·…·eq\f(n－1,n)＝eq\f(a1,n)＝eq\f(1,n).法二因?yàn)閍n＝eq\f(an,an－1)·eq\f(an－1,an－2)·eq\f(an－2,an－3)·…·eq\f(a3,a2)·eq\f(a2,a1)·a1＝eq\f(n－1,n)·eq\f(n－2,n－1)·eq\f(n－1,n－2)·…·1＝eq\f(1,n).(3)設(shè)遞推公式an＋1＝2an＋3可以轉(zhuǎn)化為an＋1＋t＝2(an＋t)，即an＋1＝2an＋t，解得t＝3.故an＋1＋3＝2(an＋3)．令bn＝an＋3，則b1＝a1＋3＝4，且eq\f(bn＋1,bn)＝eq\f(an＋1＋3,an＋3)＝2.所以{bn}是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．∴bn＝4·2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－3.答案(1)eq\f(n（n＋1）,2)＋1(2)eq\f(1,n)(3)2n＋1－3基礎(chǔ)鞏固題組一、選擇題1．?dāng)?shù)列eq\f(2,3)，－eq\f(4,5)，eq\f(6,7)，－eq\f(8,9)，…的第10項(xiàng)是()A．－eq\f(16,17) B．－eq\f(18,19) C．－eq\f(20,21) D．－eq\f(22,23)解析所給數(shù)列呈現(xiàn)分?jǐn)?shù)形式，且正負(fù)相間，求通項(xiàng)公式時(shí)，我們可以把每一部分進(jìn)行分解：符號(hào)、分母、分子．很容易歸納出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝(－1)n＋1·eq\f(2n,2n＋1)，故a10＝－eq\f(20,21).答案C2．?dāng)?shù)列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一個(gè)通項(xiàng)公式an等于()A.eq\f(（－1）n＋1,2) B．coseq\f(nπ,2)C．coseq\f(n＋1,2)π D．coseq\f(n＋2,2)π解析令n＝1，2，3，…，逐一驗(yàn)證四個(gè)選項(xiàng)，易得D正確．答案D3．(一題多解)在數(shù)列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，則其通項(xiàng)公式an＝()A．2n－1 B．2n－1＋1 C．2n－1 D．2(n解析法一由an＋1＝2an＋1，可求a2＝3，a3＝7，a4＝15，…，驗(yàn)證可知an＝2n－1.法二由題意知an＋1＋1＝2(an＋1)，∴數(shù)列{an＋1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴an＋1＝2n，∴an＝2n－1.答案A4．?dāng)?shù)列{an}滿足an＋1＋an＝2n－3，若a1＝2，則a8－a4＝()A．7 B．6 C．5 解析依題意得(an＋2＋an＋1)－(an＋1＋an)＝[2(n＋1)－3]－(2n－3)，即an＋2－an＝2，所以a8－a4＝(a8－a6)＋(a6－a4)＝2＋2＝4.答案D5．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)積為n2，那么當(dāng)n≥2時(shí)，an等于()A．2n－1 B．nC.eq2 \f(（n＋1）2,n2) D.eq\f(n2,（n－1）2)解析設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為T(mén)n，則Tn＝n2，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝eq\f(Tn,Tn－1)＝eq\f(n2,（n－1）2).答案D6．(2018·寧波鎮(zhèn)海中學(xué)調(diào)研)已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝a，其前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Sn＋Sn－1＝4n2(n≥2，n∈N*)，若對(duì)任意n∈N*，an＜an＋1恒成立，則a的取值范圍是()A．(3，5) B．(4，6) C．[3，5) D．[4，6)解析由Sn＋Sn－1＝4n2(n≥2，n∈N*)，得Sn＋1＋Sn＝4(n＋1)2.兩式相減得，an＋1＋an＝8n＋4(n≥2)，則an＋2＋an＋1＝8n＋12.兩式相減得，an＋2－an＝8(n≥2)．又由a1＝a，a1＋a2＋a1＝16得a2＝16－2a，又由a1＋a2＋a3＋a1＋a2＝4×32得a3＝4＋2a，所以a2n＝a2＋8(n－1)＝8n＋8－2a，a2n＋1＝a3＋8(n－1)＝8n－4＋2a.因?yàn)閷?duì)任意n∈N*，an＜an＋1恒成立，所以eq\b\lc\((\a\vs4\al\co1(a＜16－2a，,8n＋8－2a＜8n－4＋2a，,8n－4＋2a＜8（n＋1）＋8－2a，))解得3＜a答案A二、填空題7．若數(shù)列{an}滿足關(guān)系an＋1＝1＋eq\f(1,an)，a8＝eq\f(34,21)，則a5＝________．解析借助遞推關(guān)系，則a8遞推依次得到a7＝eq\f(21,13)，a6＝eq\f(13,8)，a5＝eq\f(8,5).答案eq\f(8,5)8．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且an≠0(n∈N*)，又anan＋1＝Sn，則a3－a1＝________．解析因?yàn)閍nan＋1＝Sn，所以令n＝1得a1a2＝S1＝a1，由于a1≠0，則a2＝1，令n＝2，得a2a3＝S2＝a1＋a2，即a3＝1＋a1，所以a3－a答案19．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，則a1＝________；an＝________．解析當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝4≠2×1＋1，因此an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4，n＝1，,2n＋1，n≥2.))答案4eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4，n＝1，,2n＋1，n≥2))10．(2018·紹興一中適應(yīng)性考試)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝n2＋n＋1，bn＝(－1)n·(an－2)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______，數(shù)列{bn}的前50項(xiàng)和為_(kāi)_______．解析當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n＋1－[(n－1)2＋(n－1)＋1]＝2n，當(dāng)n＝1時(shí)不滿足上式，則其通項(xiàng)公式為an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3，n＝1，,2n，n≥2.))當(dāng)n＝1時(shí)，b1＝－1；當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝(－1)n·(an－2)＝(－1)n·2(n－1)，則數(shù)列{bn}的前50項(xiàng)和為－1＋2×1－2×2＋2×3－…＋2×49＝－1＋2×(1－2＋3－…＋49)＝－1＋2×25＝49.答案an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3，n＝1，,2n，n≥2))49三、解答題11．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝n2－7n＋6.(1)這個(gè)數(shù)列的第4項(xiàng)是多少？(2)150是不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)？若是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，它是第幾項(xiàng)？(3)該數(shù)列從第幾項(xiàng)開(kāi)始各項(xiàng)都是正數(shù)？解(1)當(dāng)n＝4時(shí)，a4＝42－4×7＋6＝－6.(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，解得n＝16或n＝－9(舍去)，即150是這個(gè)數(shù)列的第16項(xiàng)．(3)令an＝n2－7n＋6＞0，解得n＞6或n＜1(舍)．∴從第7項(xiàng)起各項(xiàng)都是正數(shù)．12．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(n＋2,3)an.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通項(xiàng)公式．解(1)由S2＝eq\f(4,3)a2得3(a1＋a2)＝4a2，解得a2＝3a1由S3＝eq\f(5,3)a3得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，解得a3＝eq\f(3,2)(a1＋a2)＝6.(2)由題設(shè)知a1＝1.當(dāng)n≥2時(shí)，有an＝Sn－Sn－1＝eq\f(n＋2,3)an－eq\f(n＋1,3)an－1，整理得an＝eq\f(n＋1,n－1)an－1.于是a1＝1，a2＝eq\f(3,1)a1，a3＝eq\f(4,2)a2，……an－1＝eq\f(n,n－2)an－2，an＝eq\f(n＋1,n－1)an－1.將以上n個(gè)等式兩端分別相乘，整理得an＝eq\f(n（n＋1）,2).顯然，當(dāng)n＝1時(shí)也滿足上式．綜上可知，{an}的通項(xiàng)公式an＝eq\f(n（n＋1）,2).能力提升題組13．設(shè)an＝－3n2＋15n－18，則數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)的值是()A.eq\f(16,3) B.eq\f(13,3) C．4 D．0解析∵an＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(5,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)，由二次函數(shù)性質(zhì)，得當(dāng)n＝2或3時(shí)，an最大，最大為0.答案D14．(2018·杭州調(diào)考)已知數(shù)列{an}滿足an＋2＝an＋1－an，且a1＝2，a2＝3，則a2019的值為_(kāi)_______．解析由題意得，a3＝a2－a1＝1，a4＝a3－a2＝－2，a5＝a4－a3＝－3，a6＝a5－a4＝－1，a7＝a6－a5＝2，∴數(shù)列{an}是周期為6的周期數(shù)列，而2019＝6×336＋3，∴a2019＝a3＝1.答案115．(2017·金麗衢十二校聯(lián)考)對(duì)于各項(xiàng)均為整數(shù)的數(shù)列{an}，如果ai＋i(i＝1，2，3，…)為完全平方數(shù)，則稱數(shù)列{an}具有“P性質(zhì)”．不論數(shù)列{an}是否具有“P性質(zhì)”，如果存在與{an}不是同一數(shù)列的{bn}，且{bn}同時(shí)滿足下面兩個(gè)條件：①b1，b2，b3，…，bn是a1，a2，a3，…，an的一個(gè)排列；②數(shù)列{bn}具有“P性質(zhì)”，則稱數(shù)列{an}具有“變換P性質(zhì)”．下面三個(gè)數(shù)列：①數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(n,3)(n2－1)；②數(shù)列1，2，3，4，5；③1，2，3，…，11.具有“P性質(zhì)”的為_(kāi)_______；具有“變換P性質(zhì)”的為_(kāi)_______．解析對(duì)于①，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n2－n，∵a1＝0，∴an＝n2－n，∴ai＋i＝i2(i＝1，2，3，…)為完全平方數(shù)，∴數(shù)列{an}具有“P性質(zhì)”；對(duì)于②，數(shù)列1，2，3，4，5，具有“變換P性質(zhì)”，數(shù)列{bn}為3，2，1，5，4，具有“P性質(zhì)”，∴數(shù)列{an}具有“變換P性質(zhì)”；對(duì)于③，因?yàn)?1，4都只有與5的和才能構(gòu)成完全平方數(shù)，所以1，2，3，…，11，不具有“變換P性質(zhì)”．答案①②16．(2018·臺(tái)州測(cè)試)已知數(shù)列{an}中，an＝1＋eq\f(1,a＋2（n－1）)(n∈N*，a∈R且a≠0)．(1)若a＝－7，求數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值；(2)若對(duì)任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范圍．解(1)