江西省名校學(xué)術(shù)聯(lián)盟2026屆數(shù)學(xué)高二上期末考試模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線(xiàn)內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．直線(xiàn)的傾斜角為（）A.150° B.120°C.60° D.30°2．在數(shù)列中，，則等于A(yíng). B.C. D.3．已知A，B，C，D是同一球面上的四個(gè)點(diǎn)，其中是正三角形，平面，，則該球的表面積為（）A. B.C. D.4．雙曲線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)如下：如圖1，從雙曲線(xiàn)右焦點(diǎn)發(fā)出的光線(xiàn)經(jīng)雙曲線(xiàn)鏡面反射，反射光線(xiàn)的反向延長(zhǎng)線(xiàn)經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)．我國(guó)首先研制成功的“雙曲線(xiàn)新聞燈”，就是利用了雙曲線(xiàn)的這個(gè)光學(xué)性質(zhì)．某“雙曲線(xiàn)燈”的軸截面是雙曲線(xiàn)一部分，如圖2，其方程為，分別為其左、右焦點(diǎn)，若從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線(xiàn)經(jīng)雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)A和點(diǎn)B反射后（，A，B在同一直線(xiàn)上），滿(mǎn)足，則該雙曲線(xiàn)的離心率的平方為（）A. B.C. D.5．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則（）A. B.C. D.6．用1，2，3，4這4個(gè)數(shù)字可寫(xiě)出（）個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)A.24 B.12C.81 D.647．與空間向量共線(xiàn)的一個(gè)向量的坐標(biāo)是（）A. B.C. D.8．在的展開(kāi)式中，只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則（）A.5 B.6C.7 D.89．古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積.若橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)，均在y軸上，橢圓C的面積為，且短軸長(zhǎng)為，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.10．已知橢圓和雙曲線(xiàn)有共同焦點(diǎn)，是它們一個(gè)交點(diǎn)，且，記橢圓和雙曲線(xiàn)的離心率分別為，則的最大值為A.3 B.2C. D.11．已知、是平面直角坐標(biāo)系上的直線(xiàn)，“與的斜率相等”是“與平行”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分條件也非必要條件12．在空間直角坐標(biāo)系下，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________.14．不等式是的解集為_(kāi)_____15．設(shè)函數(shù)（1）求的最小正周期和的最大值；（2）已知銳角的內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，若，且，求的面積.16．在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線(xiàn)的左，右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)且與圓相切的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)相交于點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），若，則雙曲線(xiàn)的離心率___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列中，，.（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.18．（12分）已知橢圓C：的左右焦為，，點(diǎn)是該橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)軸時(shí)，，（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）記，求實(shí)數(shù)m的最大值19．（12分）如圖1，在邊長(zhǎng)為4的等邊三角形ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，BC的中點(diǎn)，沿DE把折起，得到如圖2所示的四棱錐.（1）證明：平面.（2）若二面角的大小為60°，求平面與平面的夾角的大小.20．（12分）已知命題：，在下面①②中任選一個(gè)作為：，使為真命題，求出實(shí)數(shù)a取值范圍.①關(guān)于x的方程有兩個(gè)不等正根；②.（若選①、選②都給出解答，只按第一個(gè)解答計(jì)分.）21．（12分）已知?jiǎng)訄A過(guò)點(diǎn)，且與直線(xiàn)：相切（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡方程；（2）若過(guò)點(diǎn)且斜率的直線(xiàn)與圓心的軌跡交于兩點(diǎn)，求線(xiàn)段的長(zhǎng)度22．（10分）已知直線(xiàn)，圓.（1）證明：直線(xiàn)l與圓C相交；（2）設(shè)l與C的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A、B，弦AB的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M的軌跡方程；（3）在（2）的條件下，設(shè)圓C在點(diǎn)A處的切線(xiàn)為，在點(diǎn)B處的切線(xiàn)為，與的交點(diǎn)為Q.試探究：當(dāng)m變化時(shí)，點(diǎn)Q是否恒在一條定直線(xiàn)上？若是，請(qǐng)求出這條直線(xiàn)的方程；若不是，說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】由斜率得傾斜角【詳解】直線(xiàn)的斜率為，所以?xún)A斜角為30°.故選：D2、D【解析】分析：已知逐一求解詳解：已知逐一求解．故選D點(diǎn)睛：對(duì)于含有的數(shù)列，我們看作擺動(dòng)數(shù)列，往往逐一列舉出來(lái)觀(guān)察前面有限項(xiàng)的規(guī)律3、C【解析】由題意畫(huà)出幾何體的圖形，把、、、擴(kuò)展為三棱柱，上下底面中心連線(xiàn)的中點(diǎn)與的距離為球的半徑，由此能求出球的表面積【詳解】把、、、擴(kuò)展為三棱柱，上下底面中心連線(xiàn)的中點(diǎn)與的距離為球的半徑，，，是正三角形，，，球的表面積為故選：C4、D【解析】設(shè)，根據(jù)題意可得，由雙曲線(xiàn)定義得、，進(jìn)而求出（用表示），然后在中，應(yīng)用勾股定理得出關(guān)系，求得離心率【詳解】易知共線(xiàn)，共線(xiàn)，如圖，設(shè)，則.因?yàn)?，所以，則，則，又因?yàn)?，所以，則,在中，，即，所以.故選：D5、C【解析】由an=Sn-Sn-1,【詳解】解：因?yàn)?，所以，，兩式相減可得，即，因?yàn)?，，所以，即，時(shí)，也滿(mǎn)足上式，所以，所以，故選：C.6、A【解析】由題意，從4個(gè)數(shù)中選出3個(gè)數(shù)出來(lái)全排列即可.【詳解】由題意，從4個(gè)數(shù)中選出3個(gè)數(shù)出來(lái)全排列，共可寫(xiě)出個(gè)三位數(shù).故選：A7、C【解析】根據(jù)空間向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示即可得出結(jié)果.【詳解】.故選：C.8、B【解析】當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，展開(kāi)式中第項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，展開(kāi)式中第和項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大.【詳解】因?yàn)橹挥幸豁?xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以n為偶數(shù)，故，得.故選：B9、C【解析】設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)已知條件，求得，即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，故可設(shè)其方程為，根據(jù)題意可得，，故可得，故所求橢圓方程為：.故選：C.10、D【解析】設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a1，雙曲線(xiàn)的半實(shí)軸長(zhǎng)a2，焦距2c．根據(jù)橢圓及雙曲線(xiàn)的定義可以用a1，a2表示出|PF1|，|PF2|，在△F1PF2中根據(jù)余弦定理可得到，利用基本不等式可得結(jié)論【詳解】如圖，設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a1，雙曲線(xiàn)的半實(shí)軸長(zhǎng)為a2，則根據(jù)橢圓及雙曲線(xiàn)的定義：|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，∴|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2，設(shè)|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝，則：在△PF1F2中，由余弦定理得，4c2＝（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos∴化簡(jiǎn)得：a12+3a22＝4c2，該式可變成：，∴≥2∴，故選D【點(diǎn)睛】本題考查圓錐曲線(xiàn)的共同特征，考查通過(guò)橢圓與雙曲線(xiàn)的定義求焦點(diǎn)三角形三邊長(zhǎng)，考查利用基本不等式求最值問(wèn)題，屬于中檔題11、D【解析】根據(jù)直線(xiàn)平行與直線(xiàn)斜率的關(guān)系，即可求解.【詳解】解：與的斜率相等”，“與可能重合，故前者不可以推出后者，若與平行，與的斜率可能都不存在，故后者不可以推出前者，故前者是后者的既非充分條件也非必要條件，故選：D.12、C【解析】根據(jù)空間坐標(biāo)系中點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)關(guān)系求解【詳解】點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合常變量分離法進(jìn)行求解即可.【詳解】，因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，所以在上恒成立，即，當(dāng)時(shí)，的最小值為，所以，故答案為：14、【解析】由可得，結(jié)合分式不等式的解法即可求解.【詳解】由可得，整理可得：，則，解可得：.所以不等式是的解集為:.故答案為：.15、（1）的最小正周期為，的最大值為1（2）【解析】（1）直接根據(jù)的表達(dá)式和正弦函數(shù)的性質(zhì)可得到的最小正周期和最大值；（2）先根據(jù)求得角的大小為，然后在中利用余弦定理求得，最后根據(jù)三角形的面積公式即可【小問(wèn)1詳解】已知?jiǎng)t的最小正周期為：則的最大值為：【小問(wèn)2詳解】由可得：（）或（）又為銳角，則可得：.在中，由余弦定理可得：，即又，解得：則的面積為：16、2【解析】設(shè)切點(diǎn)，根據(jù)，可得，在中，利用余弦定理構(gòu)造齊次式，從而可得出答案.【詳解】解：設(shè)切點(diǎn)，由，∴，∵為中點(diǎn)，則為中位線(xiàn)，∴，，中，，，，∴.故答案為：2.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)條件求出即可；（2），然后利用等差數(shù)列的求和公式求出答案即可.【詳解】（1）且，，（2）18、（1）（2）【解析】（1）利用橢圓的定義及勾股定理可求解；（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在軸截距的問(wèn)題，臨界條件為直線(xiàn)與橢圓相切，求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，所以，∴，所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：【小問(wèn)2詳解】要求的最值，即求直線(xiàn)在軸截距的最值，可知當(dāng)直線(xiàn)與橢圓相切時(shí)，m取得最值.聯(lián)立方程：，整理得，解得所以實(shí)數(shù)m的最大值為19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】(1)由結(jié)合線(xiàn)面平行的判定即可推理作答.(2)取DE的中點(diǎn)M，連接，F(xiàn)M，證明平面平面，再建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量推理、計(jì)算作答.【小問(wèn)1詳解】在中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AC，BC的中點(diǎn)，所以，則圖2中，，而平面，平面，所以平面.【小問(wèn)2詳解】依題意，是正三角形，四邊形是菱形，取DE的中點(diǎn)M，連接，F(xiàn)M，如圖，則，，即是二面角的平面角，，取中點(diǎn)N，連接，則有，在中，由余弦定理得：，于是有，，即，而，，，平面，則平面，又平面，從而有平面平面，因平面平面，平面，因此，平面，過(guò)點(diǎn)N作，則兩兩垂直，以點(diǎn)N為原點(diǎn)，射線(xiàn)分別為x，y，z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，設(shè)平面的法向量，則，令，得，顯然有，即，所以平面與平面的夾角為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用向量法求二面角：(1)找法向量，分別求出兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后求得法向量的夾角，結(jié)合圖形得到二面角的大??；(2)找與交線(xiàn)垂直的直線(xiàn)的方向向量，分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與交線(xiàn)垂直且以垂足為起點(diǎn)的直線(xiàn)的方向向量，則這兩個(gè)向量的夾角就是二面角的平面角20、答案見(jiàn)解析【解析】根據(jù)題意，分析、為真時(shí)的取值范圍，又由復(fù)合命題真假的判斷方法可得、都是真命題，據(jù)此分析可得答案.【詳解】解：選①時(shí)由知在上恒成立，∴，即又由q：關(guān)于x的方程有兩個(gè)不等正根，知解得，由為真命題知,解得.實(shí)數(shù)a的取值范圍.選②時(shí)由知在上恒成立，∴，即又由，知在上恒成立，∴，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)，∴，由為真命題知，解得.實(shí)數(shù)a的取值范圍.21、（1）；（2）.【解析】（1）由題意分析圓心符合拋物線(xiàn)定義，然后求軌跡方程；（2）直接聯(lián)立方程組，求出弦長(zhǎng).【詳解】解：（1）圓過(guò)點(diǎn)，且與直線(xiàn)相切點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等于由拋物線(xiàn)定義可知點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)、以為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，依題意，設(shè)點(diǎn)的軌跡方程為，則，解得，所以，動(dòng)圓圓心的軌跡方程是（2）依題意可知直線(xiàn)，設(shè)聯(lián)立，得，則，所以，線(xiàn)段的長(zhǎng)度為【點(diǎn)睛】（1）待定系數(shù)法、代入法可以求二次曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）“設(shè)而不求”是一種在解析幾何中常見(jiàn)的解題方法，可以解決直線(xiàn)與二次曲線(xiàn)相交的問(wèn)題.22、（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）點(diǎn)Q恒在直線(xiàn)上，理由見(jiàn)解析.【解析】（1）求出直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，得到在圓內(nèi)部，故證明直線(xiàn)l與圓C相交；（2）設(shè)出點(diǎn)，利用垂直得到等量關(guān)系，整理后即為軌跡方程；（3）利用Q、A、B、C四點(diǎn)共圓，得到此圓方程，聯(lián)立，求出相交弦的方程，即直線(xiàn)的方程，根據(jù)直線(xiàn)過(guò)的定點(diǎn)，得到，從而得