福建省三明市三明第一中學(xué)2026屆數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知直線與平行，則a的值為（）A.1 B.﹣2C. D.1或﹣22．過(guò)兩點(diǎn)和的直線的斜率為（）A. B.C. D.3．函數(shù)在上的最小值為（）A. B.C.-1 D.4．若圓C與直線：和：都相切，且圓心在y軸上，則圓C的方程為（）A. B.C. D.5．已知點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓：的切線，設(shè)其中一個(gè)切點(diǎn)為，則的取值范圍為（）A. B.C. D.6．世界上最早在理論上計(jì)算出“十二平均律”的是我國(guó)明代杰出的律學(xué)家朱載堉，他當(dāng)時(shí)稱這種律制為“新法密率”十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它前一個(gè)單音的頻率的比都相等，且最后一個(gè)單音是第一個(gè)單音頻率的2倍.已知第十個(gè)單音的頻率，則與第四個(gè)單音的頻率最接近的是（）A.880 B.622C.311 D.2207．已知，則（）A. B.C. D.8．兩位同學(xué)課余玩一種類似于古代印度的“梵塔游戲”：有3個(gè)柱子甲、乙、丙，甲柱上有個(gè)盤(pán)子，最上面的兩個(gè)盤(pán)子大小相同，從第二個(gè)盤(pán)子往下大小不等，大的在下，小的在上（如圖）.把這個(gè)盤(pán)子從甲柱全部移到乙柱游戲結(jié)束，在移動(dòng)的過(guò)程中每次只能移動(dòng)一個(gè)盤(pán)子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3個(gè)柱子上的盤(pán)子始終保持小的盤(pán)子不能放在大的盤(pán)子之下.設(shè)游戲結(jié)束需要移動(dòng)的最少次數(shù)為，則當(dāng)時(shí)，和滿足A. B.C. D.9．在正方體中，與直線和都垂直，則直線與的關(guān)系是（）A.異面 B.平行C.垂直不相交 D.垂直且相交10．若命題為“，”，則為（）A.， B.，C.， D.，11．若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則函數(shù)（）A.有最小值，無(wú)最大值 B.有最大值，無(wú)最小值C.有最小值，最大值 D.無(wú)最大值，無(wú)最小值12．設(shè)O為正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3點(diǎn)，則取到的3點(diǎn)共線的概率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．經(jīng)過(guò)點(diǎn)，的直線的傾斜角為_(kāi)__________.14．二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化成十進(jìn)制數(shù)為_(kāi)_____.15．點(diǎn)到直線的距離為_(kāi)______.16．設(shè)是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為_(kāi)__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）函數(shù)（1）求在上的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍18．（12分）已知直線l過(guò)點(diǎn)，與兩坐標(biāo)軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)（1）若的面積為，求直線l的方程；（2）求的面積的最小值19．（12分）如圖，第1個(gè)圖形需要4根火柴，第2個(gè)圖形需要7根火柴，，設(shè)第n個(gè)圖形需要根火柴（1）試寫(xiě)出，并求；（2）記前n個(gè)圖形所需的火柴總根數(shù)為，設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和20．（12分）在四棱錐中，平面，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，分別為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求三棱錐的體積.21．（12分）已知橢圓F：經(jīng)過(guò)點(diǎn)且離心率為，直線和是分別過(guò)橢圓F的左、右焦點(diǎn)的兩條動(dòng)直線，它們與橢圓分別相交于點(diǎn)A、B和C、D，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AB和直線CD相交于M．記直線的斜率分別為，且（1）求橢圓F標(biāo)準(zhǔn)方程（2）是否存在定點(diǎn)P，Q，使得為定值．若存在，請(qǐng)求出P、Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由22．（10分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，為等比數(shù)列，且，（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)題意可得，解之即可得解.【詳解】解：因?yàn)橹本€與平行，所以，解得.故選：A.2、D【解析】應(yīng)用兩點(diǎn)式求直線斜率即可.【詳解】由已知坐標(biāo)，直線的斜率為.故選：D3、D【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故.故選：D.4、B【解析】首先求出兩平行直線間的距離，即可求出圓的半徑，設(shè)圓心坐標(biāo)為，，利用圓心到直線的距離等于半徑得到方程，求出的值，即可得解；【詳解】解：因?yàn)橹本€：和：的距離，由圓C與直線：和：都相切，所以圓的半徑為，又圓心在軸上，設(shè)圓心坐標(biāo)為，，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，所以或（舍去），所以圓心坐標(biāo)為，故圓的方程為；故選：B5、B【解析】設(shè)，得到，利用橢圓的范圍求解.【詳解】解：設(shè)，則，，，因?yàn)?，所以，即，故選：B6、C【解析】依題意，每一個(gè)單音的頻率構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，由，算出公比，結(jié)合，即可求出.【詳解】設(shè)第一個(gè)單音的頻率為，則最后一個(gè)單音的頻率為，由題意知，且每一個(gè)單音的頻率構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，設(shè)公比為，則，解得：又，則與第四個(gè)單音的頻率最接近的是311,故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是分析題意將其轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的知識(shí)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及求導(dǎo)法則求導(dǎo)函數(shù)即可.【詳解】.故選：B.8、C【解析】通過(guò)寫(xiě)出幾項(xiàng)，尋找規(guī)律，即可得到和滿足的遞推公式.【詳解】若甲柱有個(gè)盤(pán)，甲柱上的盤(pán)從上往下設(shè)為，其中，，當(dāng)時(shí)，將移到乙柱，只移動(dòng)1次；當(dāng)時(shí)，將移到乙柱，將移到乙柱，移動(dòng)2次；當(dāng)時(shí)，將移到丙柱，將移到丙柱，將移到乙柱，再將移到乙柱，將移到乙柱，；當(dāng)時(shí)，將上面的3個(gè)移到丙柱，共次，然后將移到乙柱，再將丙柱的3個(gè)移到乙柱，共次，所以次；當(dāng)時(shí)，將上面的4個(gè)移到丙柱，共次，然后將移到乙柱，再將丙柱的4個(gè)移到乙柱，共次，所以次；……以此類推，可知，故選.【點(diǎn)睛】主要考查了數(shù)列遞推公式的求解，屬于中檔題.這類型題的關(guān)鍵是寫(xiě)出幾項(xiàng)，尋找規(guī)律，從而得到對(duì)應(yīng)的遞推公式.9、B【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示求出，再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得，根據(jù)共線定理即可判斷.【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則.設(shè)，則，取.，.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量垂直的坐標(biāo)表示、空間向量的坐標(biāo)表示、空間向量共線定理，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】特稱命題的否定是全稱命題，把存在改為任意，把結(jié)論否定.【詳解】“，”的否命題為“，”，故選：B11、A【解析】對(duì)求導(dǎo)，根據(jù)極值點(diǎn)求參數(shù)a，再由導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性并判斷其最值情況.【詳解】由題設(shè)，且，∴，可得.∴且，當(dāng)時(shí)，遞減；當(dāng)時(shí)，遞增；∴有極小值，無(wú)極大值.綜上，有最小值，無(wú)最大值.故選：A12、A【解析】列出從5個(gè)點(diǎn)選3個(gè)點(diǎn)的所有情況，再列出3點(diǎn)共線的情況，用古典概型的概率計(jì)算公式運(yùn)算即可.【詳解】如圖，從5個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)有共種不同取法，3點(diǎn)共線只有與共2種情況，由古典概型的概率計(jì)算公式知，取到3點(diǎn)共線的概率為.故選：A【點(diǎn)晴】本題主要考查古典概型的概率計(jì)算問(wèn)題，采用列舉法，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)兩點(diǎn)間斜率公式得到斜率，再根據(jù)斜率確定傾斜角大小即可.【詳解】根據(jù)兩點(diǎn)間斜率公式得：，所以直線的傾斜角為：.故答案為：14、13【解析】根據(jù)二進(jìn)制數(shù)和十進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換方法即可求解.【詳解】.故答案為：13.15、【解析】應(yīng)用點(diǎn)線距離公式求點(diǎn)線距離.【詳解】由題設(shè)，點(diǎn)到距離為.故答案為：16、【解析】求出等邊的邊長(zhǎng)，畫(huà)出圖形，判斷D的位置，然后求解即可.【詳解】為等邊三角形且其面積為，則，如圖所示，設(shè)點(diǎn)M為的重心，E為AC中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在平面上的射影為時(shí)，三棱錐的體積最大，此時(shí)，，點(diǎn)M為三角形ABC的重心，，中，有，，所以三棱錐體積的最大值故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查球的內(nèi)接多面體，棱錐的體積的求法，要求內(nèi)接三棱錐體積的最大值，底面是面積一定的等邊三角形，需要該三棱錐的高最大，故需要底面，再利用內(nèi)接球，求出高，即可求出體積的最大值，考查學(xué)生的空間想象能力與數(shù)形結(jié)合思想，及運(yùn)算能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為和（2）【解析】（1）求出，然后可得答案；（2）由條件可得，設(shè)，則，然后利用導(dǎo)數(shù)可得在上單調(diào)遞增，，然后分、兩種情況討論求解即可.【小問(wèn)1詳解】由題可得令，得；令，得，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為和【小問(wèn)2詳解】由，得，即設(shè)，則設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，，所以所以即在上單調(diào)遞增，則若，則，所以h(x)在上單調(diào)遞增所以h(x)≥h(0)＝0恒成立，符合題意若a＞2，則，必存在正實(shí)數(shù)，滿足：當(dāng)時(shí)，，h(x)單調(diào)遞減，此時(shí)h(x)＜h(0)＝0，不符合題意綜上所述，a的取值范圍是18、（1）或（2）4【解析】（1）設(shè)直線方程為，根據(jù)所過(guò)的點(diǎn)及面積可得關(guān)于的方程組，求出解后可得直線方程，我們也可以設(shè)直線，利用面積求出后可得直線方程.（2）結(jié)合（1）中直線方程的形式利用基本不等式可求面積的最小值.【小問(wèn)1詳解】法一：（1）設(shè)直線，則解得或，所以直線或法二：設(shè)直線，，則，則，∴或﹣8所以直線或【小問(wèn)2詳解】法一：∵，∴，∴，此時(shí)，∴面積的最小值為4，此時(shí)直線法二：∵，∴，此時(shí)，∴面積的最小值為4，此時(shí)直線19、（1），；（2）.【解析】（1）根據(jù)題設(shè)找到規(guī)律寫(xiě)出，由等差數(shù)列的定義求.（2）由等差數(shù)列前n項(xiàng)和求，再利用裂項(xiàng)相消法求.【小問(wèn)1詳解】由題意知：，，，，可得每增加一個(gè)正方形，火柴增加3根，即，所以數(shù)列是以4為首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列，則.【小問(wèn)2詳解】由題意可知，，所以，則，所以，，即20、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）取的中點(diǎn)，利用三角形中位線定理可證明BG//EF，由線線平行，可得線面平行；（2根據(jù)圖像可得，以為底面，證明為高，利用三棱錐的體積公式，可得答案;【小問(wèn)1詳解】取的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以且，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，四邊形為菱形，所以且，所以且，故四邊形BFEG為平行四邊形，所以BG//EF，因?yàn)槊婷?，所以?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)榈酌媸沁呴L(zhǎng)為2的菱形，，則為正三角形，所以因?yàn)槊?，所以為三棱錐的高所以三棱錐的體積.21、（1）；（2）存在點(diǎn)，使得為定值.【解析】（1）設(shè)，，，結(jié)合條件即求；（2）由題可設(shè)直線方程，利用韋達(dá)定理法可得，再結(jié)合條件可得點(diǎn)的軌跡方程為，然后利用橢圓的定義即得結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，，，橢圓方程為：，橢圓過(guò)點(diǎn)，，解得t=1，所以橢圓F的方程是【小問(wèn)2詳解】由題可得焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，當(dāng)直線AB或CD的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或，當(dāng)直線AB和CD的斜率都存在時(shí)，設(shè)斜率分別為，點(diǎn)，直線AB為，聯(lián)立，得則，，同理可得，，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得由題意，知，所以設(shè)點(diǎn)，則，所以，化簡(jiǎn)得，當(dāng)直線或的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或，也滿足此方程所以點(diǎn)在橢圓上