平涼市重點中學2026屆高二數學第一學期期末調研模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．等差數列中，,，則當取最大值時，的值為A.6 B.7C.6或7 D.不存在2．若，在直線l上，則直線l一個方向向量為（）A. B.C. D.3．在中，已知角A，B，C所對邊為a，b，c，，，，則（）A. B.C. D.14．已知為坐標原點，向量，點，.若點在直線上，且，則點的坐標為（）.A. B.C. D.5．在中國古代，人們用圭表測量日影長度來確定節(jié)氣，一年之中日影最長的一天被定為冬至.從冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣，其日影長依次成等差數列，若冬至、立春、春分日影長之和為31.5尺，小寒、雨水，清明日影長之和為28.5尺，則大寒、驚蟄、谷雨日影長之和為（）A.25.5尺 B.34.5尺C.37.5尺 D.96尺6．設是雙曲線的一個焦點，，是的兩個頂點，上存在一點，使得與以為直徑的圓相切于，且是線段的中點，則的漸近線方程為A. B.C. D.7．過原點O作兩條相互垂直的直線分別與橢圓交于A、C與B、D，則四邊形ABCD面積最小值為（）A B.C. D.8．已知，若，是第二象限角，則=（）A. B.5C. D.109．若橢圓與直線交于兩點,過原點與線段AB中點的直線的斜率為,則A. B.C. D.210．若函數恰好有個不同的零點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.11．若直線的傾斜角為120°，則直線的斜率為（）A. B.C. D.12．直線與橢圓交于兩點，以線段為直徑的圓恰好經過橢圓的左焦點，則此橢圓的離心率為（）A B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知、是空間內兩個單位向量，且，如果空間向量滿足，且，，則對于任意的實數、，的最小值為______14．若，則與向量同方向的單位向量的坐標為____________.15．已知直線與直線垂直，則實數的值為___________.16．已知、是橢圓的兩個焦點，點在橢圓上，且，，則橢圓離心率是___________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知點，.（1）求以為直徑的圓的方程；（2）若直線被圓截得的弦長為，求值18．（12分）在下列所給的三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并加以解答①過（－1，2）；②與直線平行；③與直線垂直問題：已知直線過點M（3，5），且______（1）求的方程；（2）若與圓相交于點A、B，求弦AB的長19．（12分）已知數列為等差數列，為其前n項和，若，（1）求數列的首項和公差；（2）求的最小值.20．（12分）已知公差不為的等差數列的首項，且、、成等比數列.（1）求數列的通項公式；（2）設，，是數列的前項和，求使成立的最大的正整數.21．（12分）某地從今年8月份開始啟動12-14歲人群新冠肺炎疫苗的接種工作，共有8千人需要接種疫苗.前4周的累計接種人數統計如下表：前x周1234累計接種人數y（千人）2.5344.5（1）求y關于的線性回歸方程；（2）根據（1）中所求的回歸方程，預計該地第幾周才能完成疫苗接種工作?參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，22．（10分）已知橢圓的右焦點為，且經過點.（1）求橢圓的標準方程；（2）設橢圓的左頂點為，過點的直線（與軸不重合）交橢圓于兩點，直線交直線于點，若直線上存在另一點，使.求證：三點共線.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】設等差數列的公差為∵∴∴∴∵∴當取最大值時，的值為或故選C2、C【解析】利用直線的方向向量的定義直接求解.【詳解】因為，在直線l上，所以直線l的一個方向向量為.故選：C.3、B【解析】利用正弦定理求解.【詳解】在中，由正弦定理得，解得，故選：B.4、A【解析】由在直線上，設，再利用向量垂直，可得，進而可求E點坐標.【詳解】因為在直線上，故存在實數使得，.若，則，所以，解得，因此點的坐標為.故選：A.【定睛】本題考查了空間向量的共線和數量積運算，考查了運算求解能力和邏輯推理能力，屬于一般題目.5、A【解析】由題意可知，十二個節(jié)氣其日影長依次成等差數列，設冬至日的日影長為尺，公差為尺，利用等差數列的通項公式，求出，即可求出，從而得到答案【詳解】設從冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣其日影長依次成等差數列{}，如冬至日的日影長為尺，設公差為尺.由題可知，所以，，，，故選：A6、C【解析】根據圖形的幾何特性轉化成雙曲線的之間的關系求解.【詳解】設另一焦點為，連接，由于是圓的切線，則，且，又是的中點，則是的中位線，則，且，由雙曲線定義可知，由勾股定理知，，，即，漸近線方程為，所以漸近線方程為故選C.【點睛】本題考查雙曲線的簡單的幾何性質，屬于中檔題.7、A【解析】直線AC、BD與坐標軸重合時求出四邊形面積，與坐標軸不重合求出四邊形ABCD面積最小值，再比較大小即可作答.【詳解】因四邊形ABCD的兩條對角線互相垂直，由橢圓性質知，四邊形ABCD的四個頂點為橢圓頂點時，而，四邊形ABCD的面積，當直線AC斜率存在且不0時，設其方程為，由消去y得：，設，則，，直線BD方程為，同理得：，則有，當且僅當，即或時取“=”，而，所以四邊形ABCD面積最小值為.故選：A8、D【解析】先由誘導公式及同角函數關系得到，再根據誘導公式化簡，最后由二倍角公式化簡求值即可.【詳解】∵，∴，∵是第二象限角，∴，∴故選：D9、D【解析】細查題意，把代入橢圓方程，得，整理得出，設出點的坐標，由根與系數的關系可以推出線段的中點坐標，再由過原點與線段的中點的直線的斜率為，進而可推導出的值.【詳解】聯立橢圓方程與直線方程，可得，整理得，設，則，從而線段的中點的橫坐標為，縱坐標，因為過原點與線段中點的直線的斜率為，所以，所以，故選D.【點睛】該題是一道關于直線與橢圓的綜合性題目，涉及到的知識點有直線與橢圓相交時對應的解題策略，中點坐標公式，斜率坐標公式，屬于簡單題目.10、D【解析】分析可知，直線與函數的圖象有個交點，利用導數分析函數的單調性與極值，數形結合可求得實數的取值范圍.【詳解】令，可得，構造函數，其中，由題意可知，直線與函數的圖象有個交點，，由，可得或，列表如下：增極大值減極小值增所以，，，作出直線與函數的圖象如下圖所示：由圖可知，當時，即當時，直線與函數的圖象有個交點，即函數有個零點.故選：D.11、B【解析】求得傾斜角的正切值即得【詳解】k=tan120°=.故選：B12、D【解析】根據題意作出示意圖，根據圓的性質以及直線的傾斜角求解出的長度，再根據橢圓的定義求解出的關系，則橢圓離心率可求.【詳解】設橢圓的左右焦點分別為，如下圖：因為以線段為直徑的圓恰好經過橢圓的左焦點，所以且，所以，又因為的傾斜角為，所以，所以為等邊三角形，所以，所以，因為，所以，所以，所以，所以，故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據已知可設，，，根據已知條件求出、、的值，將向量用坐標加以表示，利用空間向量的模長公式可求得的最小值.【詳解】因為、是空間內兩個單位向量，且，所以，，因為，則，不妨設，，設，則，，解得，則，因為，可得，則，所以，，當且僅當時，即當時，等號成立，因此，對于任意的實數、，的最小值為.故答案為：.14、【解析】由空間向量的模的計算求得向量的模，再由單位向量的定義求得答案.【詳解】解：因為，所以，所以與向量同方向的單位向量的坐標為，故答案為：.15、【解析】由直線垂直的充要條件列式計算即可得答案.【詳解】解：因為直線與直線垂直，所以，解得故答案為：16、【解析】先由，根據橢圓的定義，求出，，再由余弦定理，根據，即可列式求出離心率.【詳解】因為點在橢圓上，所以，又，所以，因，在中，由，根據余弦定理可得，解得（負值舍去）故答案為：.【點睛】本題主要考查求橢圓的離心率，屬于?？碱}型.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1).(2)或【解析】（1）根據題意，有A、B的坐標可得線段AB的中點即C的坐標，求出AB的長即可得圓C的半徑，由圓的標準方程即可得答案；（2）根據題意，由直線與圓的位置關系可得點C到直線x﹣my+1＝0的距離d，結合點到直線的距離公式可得，解可得m的值，即可得答案【詳解】（1）根據題意，點，，則線段的中點為，即的坐標為；圓是以線段為直徑的圓，則其半徑，圓的方程為.（2）根據題意，若直線被圓截得的弦長為，則點到直線的距離，又由，則有，變形可得：，解可得或【點睛】本題考查直線與圓的位置關系以及弦長的計算，涉及圓的標準方程，屬于基礎題18、（1）（2）【解析】(1)可依次根據直線方程的點斜式、“兩直線平行，斜率相等”、“兩直線垂直，斜率相乘為－1”求直線l的方程；(2)利用垂徑定理即可求圓的弦長.【小問1詳解】選條件①：∵直線過點(3，5)及(－1，2)，∴直線的斜率為，依題意，直線的方程為，即；選條件②：∵直線的斜率為，直線與直線平行，∴直線的斜率為，依題意，直線的方程為；即；選條件③：∵直線的斜率為，直線與直線垂直，∴直線的斜率為，依題意，直線的方程為，即；【小問2詳解】圓心為(2，3)，半徑為2，圓心到直線的距離為∴19、（1）首項為-2，公差為1；（2）.【解析】(1)設出等差數列的公差，再結合前n項和公式列式計算作答.(2)由(1)的結論，探求數列的性質即可推理計算作答.【小問1詳解】設等差數列首項為，公差為，而為其前n項和，，，于是得：，解得，，所以，.【小問2詳解】由(1)知，，，，數列是遞增數列，前3項均為非正數，從第4項起為正數，而，于是得的前2項和與前3項和相等并且最小，所以當或時，.20、（1）（2）【解析】（1）設等差數列的公差為，根據已知條件可得出關于實數的等式，結合可求得的值，由此可得出數列的通項公式；（2）利用裂項求和法求出，解不等式即可得出結果.【小問1詳解】解：設等差數列公差為，則，由題意可得，即，整理得，，解得，故.【小問2詳解】解：，所以，，由得，可得，所以，滿足成立的最大的正整數的值為.21、（1）；（2）預計第9周才能完成接種工作【解析】（1）利用最小二乘法原理求解即可；（2）解方程即得解.【小問1詳解】解：由表中數據得，，，，.所以所以y關于的線性回歸方程為.【小問2詳解】解：令，解得.所以預計第9周才能完成接種工作.22、（1）；（2）證明見解析.【解析】(1)根據給定條件利用橢圓的定義求出軸長即可計算作答.(2)根據給定條件設出的方程，與橢圓C的方程聯立，求出直線PA的方程并求出