2026復(fù)變函數(shù)復(fù)平面變換考核試卷及答案考試時(shí)長(zhǎng)：120分鐘滿分：100分試卷名稱：2026復(fù)變函數(shù)復(fù)平面變換考核試卷考核對(duì)象：數(shù)學(xué)專業(yè)本科二年級(jí)學(xué)生題型分值分布：-判斷題（10題，每題2分）總分20分-單選題（10題，每題2分）總分20分-多選題（10題，每題2分）總分20分-簡(jiǎn)答題（3題，每題4分）總分12分-應(yīng)用題（2題，每題9分）總分18分總分：100分一、判斷題（每題2分，共20分）1.模運(yùn)算滿足交換律。2.如果函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則f(z)在D內(nèi)處處可導(dǎo)。3.所有解析函數(shù)的實(shí)部都是調(diào)和函數(shù)。4.如果w=u+iv是z=x+yi的線性變換，則該變換是保角的。5.極點(diǎn)與零點(diǎn)的階數(shù)可以相同。6.留數(shù)定理適用于所有解析函數(shù)的積分計(jì)算。7.如果f(z)在閉區(qū)域C上連續(xù)，則沿C的積分值為0。8.對(duì)數(shù)函數(shù)log(z)在z=0處有奇點(diǎn)。9.所有解析函數(shù)都可以展開(kāi)為L(zhǎng)aurent級(jí)數(shù)。10.雙曲正弦函數(shù)sh(z)是全純函數(shù)。二、單選題（每題2分，共20分）1.函數(shù)f(z)=z2在z=1處的導(dǎo)數(shù)是（）。A.2B.1C.4D.02.函數(shù)f(z)=|z|在z=1處的導(dǎo)數(shù)是（）。A.1B.2C.不存在D.03.函數(shù)f(z)=e^z在z=0處的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式中，z3項(xiàng)的系數(shù)是（）。A.1B.0C.1/6D.1/34.線性變換w=az+b將單位圓映射為（）。A.單位圓B.橢圓C.拋物線D.雙曲線5.函數(shù)f(z)=1/(z-1)在z=2處的留數(shù)是（）。A.1B.-1C.1/2D.-1/26.函數(shù)f(z)=z/(z2+1)在z=i處的留數(shù)是（）。A.1/2B.-1/2C.1D.-17.函數(shù)f(z)=sin(z)在z=π處的值是（）。A.0B.1C.-1D.i8.函數(shù)f(z)=z2在|z|≤1區(qū)域內(nèi)的積分值為（）。A.0B.2πiC.πiD.-πi9.函數(shù)f(z)=e^z在|z|≤1區(qū)域內(nèi)的積分值為（）。A.0B.2πiC.πiD.-πi10.函數(shù)f(z)=1/z在|z|≥1區(qū)域內(nèi)的積分值為（）。A.0B.2πiC.πiD.-πi三、多選題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，在z=0處解析的有（）。A.f(z)=z2B.f(z)=1/zC.f(z)=sin(z)D.f(z)=log(z)2.下列函數(shù)中，是調(diào)和函數(shù)的有（）。A.u(x,y)=x2-y2B.u(x,y)=excosyC.u(x,y)=ln(x2+y2)D.u(x,y)=sin(x)cos(y)3.下列變換中，是保角的的有（）。A.w=z2B.w=1/zC.w=az+bD.w=e^z4.下列關(guān)于留數(shù)的說(shuō)法正確的有（）。A.留數(shù)定理適用于所有閉曲線積分B.留數(shù)是解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)處的積分值C.留數(shù)可以用于計(jì)算實(shí)軸上的積分D.留數(shù)的計(jì)算僅限于極點(diǎn)5.下列關(guān)于Laurent級(jí)數(shù)的說(shuō)法正確的有（）。A.Laurent級(jí)數(shù)包含正冪和負(fù)冪項(xiàng)B.Laurent級(jí)數(shù)僅包含正冪項(xiàng)C.Laurent級(jí)數(shù)可以表示解析函數(shù)在奇點(diǎn)附近的展開(kāi)D.Laurent級(jí)數(shù)僅適用于整函數(shù)6.下列關(guān)于線性變換的說(shuō)法正確的有（）。A.線性變換保持點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離B.線性變換將直線映射為直線C.線性變換將圓映射為圓D.線性變換將橢圓映射為橢圓7.下列關(guān)于積分路徑的說(shuō)法正確的有（）。A.積分路徑的方向不影響積分結(jié)果B.積分路徑的方向影響積分結(jié)果C.閉曲線積分的結(jié)果僅與曲線內(nèi)的奇點(diǎn)有關(guān)D.閉曲線積分的結(jié)果為0當(dāng)且僅當(dāng)被積函數(shù)解析8.下列關(guān)于解析函數(shù)的性質(zhì)正確的有（）。A.解析函數(shù)的實(shí)部和虛部都是調(diào)和函數(shù)B.解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍解析C.解析函數(shù)的積分結(jié)果為0當(dāng)且僅當(dāng)積分路徑不包圍奇點(diǎn)D.解析函數(shù)的積分結(jié)果僅與被積函數(shù)有關(guān)9.下列關(guān)于復(fù)平面變換的說(shuō)法正確的有（）。A.M?bius變換是保角的B.M?bius變換將圓映射為圓或直線C.M?bius變換將直線映射為圓或直線D.M?bius變換是可逆的10.下列關(guān)于留數(shù)應(yīng)用的說(shuō)法正確的有（）。A.留數(shù)可以用于計(jì)算實(shí)軸上的積分B.留數(shù)可以用于計(jì)算振蕩積分C.留數(shù)僅適用于閉曲線積分D.留數(shù)僅適用于極點(diǎn)四、簡(jiǎn)答題（每題4分，共12分）1.簡(jiǎn)述解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系。2.簡(jiǎn)述留數(shù)定理的應(yīng)用場(chǎng)景。3.簡(jiǎn)述線性變換w=az+b的性質(zhì)。五、應(yīng)用題（每題9分，共18分）1.計(jì)算函數(shù)f(z)=1/(z2-1)在|z|=2閉曲線上的積分，并驗(yàn)證留數(shù)定理。2.將函數(shù)f(z)=z/(z2+1)在|z|<1區(qū)域內(nèi)展開(kāi)為L(zhǎng)aurent級(jí)數(shù)，并求其在z=0處的留數(shù)。---標(biāo)準(zhǔn)答案及解析一、判斷題1.√模運(yùn)算滿足交換律，即|ab|=|ba|。2.√解析函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)處處可導(dǎo)。3.√根據(jù)Cauchy-Riemann方程，解析函數(shù)的實(shí)部是調(diào)和函數(shù)。4.×線性變換w=az+b在z=0處可能不保角。5.√極點(diǎn)和零點(diǎn)的階數(shù)可以相同。6.×留數(shù)定理適用于解析函數(shù)在閉曲線上的積分計(jì)算。7.×連續(xù)函數(shù)沿閉曲線的積分不一定為0。8.√對(duì)數(shù)函數(shù)log(z)在z=0處有奇點(diǎn)。9.×僅解析函數(shù)可以展開(kāi)為L(zhǎng)aurent級(jí)數(shù)。10.√雙曲正弦函數(shù)sh(z)是全純函數(shù)。二、單選題1.A導(dǎo)數(shù)f'(z)=2z，在z=1處為2。2.C|z|在z=1處不可導(dǎo)。3.C泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式中，z3項(xiàng)系數(shù)為1/6。4.A線性變換將單位圓映射為單位圓。5.B留數(shù)為-1。6.A留數(shù)為1/2。7.Asin(π)=0。8.A在|z|≤1區(qū)域內(nèi)，積分值為0。9.B在|z|≤1區(qū)域內(nèi)，積分值為2πi。10.A在|z|≥1區(qū)域內(nèi)，積分值為0。三、多選題1.AC解析函數(shù)包括z2和sin(z)。2.AB調(diào)和函數(shù)滿足Laplace方程。3.CDw=az+b和w=e^z是保角的。4.BC留數(shù)定理適用于閉曲線積分，留數(shù)可以用于計(jì)算實(shí)軸上的積分。5.ACLaurent級(jí)數(shù)包含正負(fù)冪項(xiàng)，可用于奇點(diǎn)附近展開(kāi)。6.BCD線性變換將直線映射為直線，圓映射為圓，且是可逆的。7.BC閉曲線積分結(jié)果與曲線內(nèi)奇點(diǎn)有關(guān)，方向影響結(jié)果。8.ABC解析函數(shù)的實(shí)部虛部調(diào)和，導(dǎo)數(shù)仍解析，積分結(jié)果與奇點(diǎn)有關(guān)。9.ABCDM?bius變換是保角的，將圓映射為圓或直線，是可逆的。10.AB留數(shù)可用于計(jì)算實(shí)軸和振蕩積分。四、簡(jiǎn)答題1.解析函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)處處可導(dǎo)，其實(shí)部和虛部滿足Cauchy-Riemann方程，因此都是調(diào)和函數(shù)。2.留數(shù)定理可用于計(jì)算閉曲線積分，特別是涉及解析函數(shù)和孤立奇點(diǎn)的積分。3.線性變換w=az+b是保距的，將直線映射為直線，圓映射為圓，且是可逆的。五、應(yīng)用題1.解：函數(shù)f(z)=1/(z2-1)在z=1和z=-1處有極點(diǎn)。在|z|=2閉曲線上，積分值為：∮f(z)dz=2πi(Res(f,1)+Res(f,-1))Res(f,1)=lim(z→1)(z-1)/(z2-1)=1/2Res(f,-1)=lim(z→-1)(z+1)/(z2-1)=-1/2∮f(z)dz=2πi(1/2-1/2)=0驗(yàn)證留數(shù)定理，積分結(jié)果為0，與留數(shù)定理一致。2.解：函數(shù)f(z)=z/(z2+1)在z=i和z=-i處有極點(diǎn)。在|z|<1區(qū)域內(nèi)展開(kāi)為L(zhǎng)aurent級(jí)數(shù)：f(z)=z/(z2+1)=z/(z-i)(z+i)展開(kāi)為部分分式：f(z)=(1/2i)(1/(z-i)-1/(z+i))在|z|<1區(qū)域內(nèi)展開(kāi)：1/(z-i)=-1/i(1-z/i+z2/i2+...)=-i(1+z/i+z2/i2+...)1/(z+i)=1/i(1-z/i+z2/i2+...)=i(1-z/i+z2/i2+...)f(z)=(1/2i)[-i(1+z/i+z2/i2+...)+i(1-z/i+z2/i2+...)]=(1/2i)[-i+iz+...+i-iz+...]=(1/2i)(-i+i)=0在z=0處，留數(shù)為：Res(f,0)=lim(z→0)f(z)=0但實(shí)際展開(kāi)應(yīng)為：f(z)=z/(z2+1)=z/(z-i)(z+i)在|z|<1區(qū)域內(nèi)展開(kāi)：f(z)=(1/2i)(1/(z-i)-1/(z+i))