2026復(fù)變函數(shù)共形映射技巧試卷及答案考試時長：120分鐘滿分：100分試卷名稱：2026復(fù)變函數(shù)共形映射技巧試卷考核對象：數(shù)學(xué)專業(yè)本科三年級學(xué)生題型分值分布：-判斷題（10題，每題2分）總分20分-單選題（10題，每題2分）總分20分-多選題（10題，每題2分）總分20分-案例分析（3題，每題6分）總分18分-論述題（2題，每題11分）總分22分總分：100分---一、判斷題（每題2分，共20分）1.共形映射一定是保角映射，但保角映射不一定是共形映射。2.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析且不為常數(shù)，則f(z)在D內(nèi)是共形映射。3.分式線性映射可以將圓周或直線映射為圓周或直線。4.羅謝定理表明，若邊界上兩點關(guān)于無窮遠(yuǎn)點對稱，則它們在映射下的像也關(guān)于無窮遠(yuǎn)點對稱。5.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析且導(dǎo)數(shù)不為零，則f(z)在D內(nèi)是共形映射。6.等溫線映射是指將區(qū)域映射為等溫線的共形映射。7.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析且導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則f(z)在D內(nèi)是共形映射。8.儒歇定理可以用來判斷在閉曲線內(nèi)部是否有解。9.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析且導(dǎo)數(shù)不為零，則f(z)的逆映射也是共形映射。10.若函數(shù)f(z)將區(qū)域D映射為區(qū)域D'，則f(z)的導(dǎo)數(shù)的輻角決定了映射的方向。二、單選題（每題2分，共20分）1.下列哪個函數(shù)在復(fù)平面上處處解析？A.e^z+z^2B.sin(z)+cos(z)C.|z|D.1/z2.函數(shù)w=z^2將單位圓映射為？A.單位圓B.圓心在原點的圓C.橢圓D.雙曲線3.分式線性映射w=(az+b)/(cz+d)的保圓性取決于？A.a,b,c,d的值B.a+b+c+dC.a,b,c,d的模長D.a,b,c,d的實部4.函數(shù)w=log(z)將右半平面映射為？A.上半平面B.下半平面C.整個復(fù)平面D.無界區(qū)域5.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析且導(dǎo)數(shù)不為零，則f(z)的逆映射將？A.D映射為自身B.D映射為D的像C.D映射為D的補集D.D映射為無窮遠(yuǎn)6.羅謝定理適用于？A.解析函數(shù)的零點判定B.解析函數(shù)的極點判定C.解析函數(shù)的邊界行為D.解析函數(shù)的對稱性7.函數(shù)w=sqrt(z)將單位圓映射為？A.單位圓B.圓心在原點的圓C.橢圓D.雙曲線8.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析且導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則f(z)的逆映射？A.一定解析B.一定不解析C.可能解析D.可能不解析9.分式線性映射w=(az+b)/(cz+d)的保對稱性取決于？A.a,b,c,d的值B.a+b+c+dC.a,b,c,d的模長D.a,b,c,d的實部10.函數(shù)w=exp(z)將上半平面映射為？A.上半平面B.下半平面C.整個復(fù)平面D.無界區(qū)域三、多選題（每題2分，共20分）1.下列哪些函數(shù)在復(fù)平面上處處解析？A.e^zB.sin(z)C.|z|D.1/z2.共形映射的性質(zhì)包括？A.保角性B.保距性C.保對稱性D.保面積性3.分式線性映射w=(az+b)/(cz+d)可以將哪些圖形映射為圓周或直線？A.圓周B.直線C.橢圓D.雙曲線4.羅謝定理的應(yīng)用包括？A.判斷零點存在性B.判斷極點存在性C.判斷邊界行為D.判斷對稱性5.函數(shù)w=z^2將哪些區(qū)域映射為對稱區(qū)域？A.上半平面B.下半平面C.左半平面D.右半平面6.共形映射的逆映射的性質(zhì)包括？A.一定解析B.一定不解析C.可能解析D.可能不解析7.分式線性映射w=(az+b)/(cz+d)的保對稱性取決于？A.a,b,c,d的值B.a+b+c+dC.a,b,c,d的模長D.a,b,c,d的實部8.函數(shù)w=log(z)將哪些區(qū)域映射為無界區(qū)域？A.上半平面B.下半平面C.左半平面D.右半平面9.共形映射的應(yīng)用包括？A.流體力學(xué)B.電學(xué)C.幾何學(xué)D.物理學(xué)10.函數(shù)w=exp(z)將哪些區(qū)域映射為對稱區(qū)域？A.上半平面B.下半平面C.左半平面D.右半平面四、案例分析（每題6分，共18分）1.證明函數(shù)w=z+1/z在單位圓內(nèi)是共形映射。2.求函數(shù)w=z/(1-z)將單位圓映射為哪個區(qū)域，并說明理由。3.設(shè)計一個分式線性映射將上半平面映射為單位圓，并驗證其保角性。五、論述題（每題11分，共22分）1.論述共形映射在流體力學(xué)中的應(yīng)用，并舉例說明。2.詳細(xì)解釋羅謝定理的內(nèi)容及其應(yīng)用，并舉例說明。---標(biāo)準(zhǔn)答案及解析一、判斷題1.錯誤。共形映射一定是保角映射，但保角映射不一定是共形映射，因為共形映射還要求導(dǎo)數(shù)不為零。2.正確。解析函數(shù)且導(dǎo)數(shù)不為零的函數(shù)是共形映射。3.正確。分式線性映射具有保圓周和直線的性質(zhì)。4.正確。羅謝定理表明，若邊界上兩點關(guān)于無窮遠(yuǎn)點對稱，則它們在映射下的像也關(guān)于無窮遠(yuǎn)點對稱。5.正確。解析函數(shù)且導(dǎo)數(shù)不為零的函數(shù)是共形映射。6.錯誤。等溫線映射是指將區(qū)域映射為等溫線的映射，不一定是共形映射。7.錯誤。解析函數(shù)且導(dǎo)數(shù)連續(xù)的函數(shù)不一定是共形映射，因為共形映射還要求導(dǎo)數(shù)不為零。8.正確。儒歇定理可以用來判斷在閉曲線內(nèi)部是否有解。9.正確。解析函數(shù)且導(dǎo)數(shù)不為零的函數(shù)的逆映射也是共形映射。10.正確。導(dǎo)數(shù)的輻角決定了映射的方向。二、單選題1.B.sin(z)+cos(z)解析：e^z,sin(z),cos(z)在復(fù)平面上處處解析；|z|不解析；1/z在z=0不解析。2.B.圓心在原點的圓解析：z^2將單位圓映射為圓心在原點的圓。3.A.a,b,c,d的值解析：分式線性映射的保圓性取決于a,b,c,d的值。4.A.上半平面解析：log(z)將右半平面映射為上半平面。5.A.D映射為自身解析：解析函數(shù)且導(dǎo)數(shù)不為零的函數(shù)的逆映射將D映射為自身。6.A.解析函數(shù)的零點判定解析：羅謝定理用于判斷解析函數(shù)的零點存在性。7.B.圓心在原點的圓解析：sqrt(z)將單位圓映射為圓心在原點的圓。8.C.可能解析解析：解析函數(shù)且導(dǎo)數(shù)連續(xù)的函數(shù)的逆映射可能解析。9.A.a,b,c,d的值解析：分式線性映射的保對稱性取決于a,b,c,d的值。10.A.上半平面解析：exp(z)將上半平面映射為上半平面。三、多選題1.A.e^z,B.sin(z)解析：e^z,sin(z)在復(fù)平面上處處解析；|z|不解析；1/z在z=0不解析。2.A.保角性,C.保對稱性解析：共形映射具有保角性和保對稱性，但不一定保距和保面積。3.A.圓周,B.直線解析：分式線性映射可以將圓周或直線映射為圓周或直線。4.A.判斷零點存在性,C.判斷邊界行為解析：羅謝定理用于判斷零點存在性和邊界行為。5.A.上半平面,C.左半平面解析：z^2將上半平面和左半平面映射為對稱區(qū)域。6.A.一定解析,C.可能解析解析：解析函數(shù)且導(dǎo)數(shù)不為零的函數(shù)的逆映射一定解析，但解析函數(shù)且導(dǎo)數(shù)連續(xù)的函數(shù)的逆映射可能解析。7.A.a,b,c,d的值解析：分式線性映射的保對稱性取決于a,b,c,d的值。8.A.上半平面,C.左半平面解析：log(z)將上半平面和左半平面映射為無界區(qū)域。9.A.流體力學(xué),B.電學(xué),C.幾何學(xué)解析：共形映射在流體力學(xué)、電學(xué)和幾何學(xué)中有廣泛應(yīng)用。10.A.上半平面,C.左半平面解析：exp(z)將上半平面和左半平面映射為對稱區(qū)域。四、案例分析1.證明函數(shù)w=z+1/z在單位圓內(nèi)是共形映射。解析：在單位圓內(nèi)，z=re^(iθ)，其中0<r<1。w=z+1/z=re^(iθ)+1/re^(iθ)=re^(iθ)+e^(-iθ)/r=re^(iθ)+e^(-iθ)/r=rcosθ+irsinθ+(cosθ-isinθ)/r=(r+1/r)cosθ+i(r-1/r)sinθ。導(dǎo)數(shù)dw/dz=1-z^2/|z|^3=1-z^2在單位圓內(nèi)不為零，因此w=z+1/z在單位圓內(nèi)是共形映射。2.求函數(shù)w=z/(1-z)將單位圓映射為哪個區(qū)域，并說明理由。解析：令z=re^(iθ)，則w=re^(iθ)/(1-re^(iθ))。當(dāng)r=1時，w=e^(iθ)/(1-e^(iθ))，其模長為1，因此單位圓映射為圓周。當(dāng)r<1時，w=re^(iθ)/(1-re^(iθ))，其模長小于1，因此單位圓映射為圓心在原點的圓。3.設(shè)計一個分式線性映射將上半平面映射為單位圓，并驗證其保角性。解析：令w=(z-i)/(z+i)，則上半平面映射為單位圓。導(dǎo)數(shù)dw/dz=(z+i)^2-(z-i)^2/((z+i)^2)=4i/(z+i)^2在上半平面不為零，因此w=(z-i)/(z+i)是共形映射。五、論述題1.論述共形映射在流體力學(xué)中的應(yīng)用，并舉例說明。解析：共形映射在流體力學(xué)中用于將復(fù)