2026復(fù)變函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)檢測(cè)試卷及答案考試時(shí)長(zhǎng)：120分鐘滿分：100分2026復(fù)變函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)檢測(cè)試卷及答案考核對(duì)象：數(shù)學(xué)專業(yè)本科生、相關(guān)專業(yè)從業(yè)者題型分值分布：?jiǎn)芜x題（10題×2分）20分填空題（10題×2分）20分判斷題（10題×2分）20分簡(jiǎn)答題（3題×4分）12分應(yīng)用題（2題×9分）18分總分：100分一、單選題（每題2分，共20分）1.函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析的必要條件是（）A.u(x,y)和v(x,y)在D內(nèi)連續(xù)B.u(x,y)和v(x,y)在D內(nèi)可微C.u(x,y)和v(x,y)滿足柯西-黎曼方程且偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)D.u(x,y)和v(x,y)在D內(nèi)可積2.函數(shù)f(z)=z2在z=1處的洛朗級(jí)數(shù)展開式中，-3z的系數(shù)為（）A.1B.-2C.3D.-33.積分∮|z-1|2dz沿單位圓正向的值為（）A.2πB.4πC.π2D.04.函數(shù)f(z)=1/(z2+1)的極點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.0B.1C.2D.35.若f(z)在z?處解析，且f(z?)≠0，則f(z)在z?處的留數(shù)為（）A.0B.f'(z?)C.∞D(zhuǎn).無(wú)法確定6.函數(shù)f(z)=sin(1/z)在z=0處的孤立奇點(diǎn)類型為（）A.可去奇點(diǎn)B.極點(diǎn)C.本性奇點(diǎn)D.非孤立奇點(diǎn)7.若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析，則v(x,y)滿足的偏微分方程為（）A.u_x=v_yB.u_y=-v_xC.u_x+v_y=0D.u_y+v_x=08.函數(shù)f(z)=e^z在z=πi處的泰勒級(jí)數(shù)展開式中，z3項(xiàng)的系數(shù)為（）A.1B.e^πC.π3D.09.積分∮(1/z)dz沿正向圓周|z|=2的值為（）A.0B.2πiC.-2πiD.4πi10.函數(shù)f(z)=z/(z2-1)在z=1處的留數(shù)為（）A.1/2B.-1/2C.1D.-1---二、填空題（每題2分，共20分）1.若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析，則u(x,y)和v(x,y)滿足______方程組。參考答案：柯西-黎曼方程（u_x=v_y,u_y=-v_x）2.函數(shù)f(z)=1/(z-2)在z=3處的留數(shù)為______。參考答案：1/(3-2)=13.積分∮(z+1)/(z2+1)dz沿正向單位圓的值為______。參考答案：πi4.函數(shù)f(z)=z2在z=0處的泰勒級(jí)數(shù)展開式的第4項(xiàng)為______。參考答案：0（因泰勒級(jí)數(shù)僅含z2,z?,...項(xiàng)）5.若f(z)在z?處解析，且f(z?)≠0，則f(z)在z?處的留數(shù)為______。參考答案：06.函數(shù)f(z)=sin(z)/z在z=0處的值（利用洛必達(dá)法則）為______。參考答案：17.積分∮(1/z2)dz沿正向圓周|z|=1的值為______。參考答案：0（因積分路徑不繞奇點(diǎn)）8.函數(shù)f(z)=z/(z2+1)在z=i處的留數(shù)為______。參考答案：-1/2i9.若f(z)在z?處有m階極點(diǎn)，則f(z)在z?處的留數(shù)為______。參考答案：(-1)^(m-1)·f^(m-1)(z?)/(m-1)!10.函數(shù)f(z)=e^z在z=0處的泰勒級(jí)數(shù)展開式中，常數(shù)項(xiàng)為______。參考答案：1---三、判斷題（每題2分，共20分）1.若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則f(z)在D內(nèi)連續(xù)。（√）2.函數(shù)f(z)=1/z在z=0處有可去奇點(diǎn)。（×）3.積分∮(1/z)dz沿正向圓周|z|=2的值為2πi。（√）4.若f(z)在z?處解析，則f(z)在z?的去心鄰域內(nèi)解析。（√）5.函數(shù)f(z)=z2在z=1處的泰勒級(jí)數(shù)展開式是唯一的。（√）6.函數(shù)f(z)=sin(1/z)在z=0處有本性奇點(diǎn)。（√）7.若f(z)在z?處有極點(diǎn)，則f(z)在z?的去心鄰域內(nèi)解析。（×）8.積分∮(z+1)/zdz沿正向單位圓的值為0。（×）9.函數(shù)f(z)=e^z在z=0處的泰勒級(jí)數(shù)展開式在復(fù)平面上處處收斂。（√）10.若f(z)在z?處有留數(shù)，則f(z)在z?處一定有極點(diǎn)。（×）---四、簡(jiǎn)答題（每題4分，共12分）1.簡(jiǎn)述柯西-黎曼方程的物理意義。參考答案：柯西-黎曼方程是復(fù)變函數(shù)解析性的代數(shù)條件，其物理意義與不可壓縮流體的平面無(wú)旋流動(dòng)相關(guān)。u(x,y)和v(x,y)可視為流場(chǎng)的實(shí)部和虛部，方程組表示流場(chǎng)無(wú)旋（vorticity-free）且質(zhì)量守恒（divergence-free）。2.解釋什么是函數(shù)的孤立奇點(diǎn)，并舉例說明。參考答案：孤立奇點(diǎn)是函數(shù)f(z)在z?的去心鄰域內(nèi)解析，但在z?處不解析的點(diǎn)。例如f(z)=1/z在z=0處有孤立奇點(diǎn)。3.說明留數(shù)定理的應(yīng)用場(chǎng)景。參考答案：留數(shù)定理可用于計(jì)算沿閉曲線的積分，尤其適用于計(jì)算實(shí)積分（如∫?2πe^(cosθ)cos(sinθ)dθ可通過復(fù)變函數(shù)方法求解），以及求解含sinθ,cosθ的積分。---五、應(yīng)用題（每題9分，共18分）1.計(jì)算積分∮(z2+2z+3)/(z-1)dz沿正向圓周|z|=2。解題思路：（1）函數(shù)f(z)=z2+2z+3在z=1處有極點(diǎn)，且為單極點(diǎn)；（2）留數(shù)Res(f,1)=lim(z→1)(z-1)(z2+2z+3)=6；（3）由留數(shù)定理，積分值=2πi·Res(f,1)=12πi。參考答案：12πi2.將函數(shù)f(z)=1/(z2+1)在z=i處展開為洛朗級(jí)數(shù)，并求∮f(z)dz沿正向圓周|z|=2的值。解題思路：（1）f(z)=1/(z2+1)=1/[(z-i)(z+i)]=1/(z-i)·1/(z+i)；（2）在|z-i|<|z-i|+|i|=2內(nèi)展開：1/(z+i)=1/(3+2i)+1/(3-2i)·(z-i)/2+[(z-i)/2]2+...；（3）∮f(z)dz=2πi·Res(f,i)=2πi·1/(2i)=π。參考答案：π---標(biāo)準(zhǔn)答案及解析一、單選題1.C解析：解析性要求滿足柯西-黎曼方程且偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)。2.D解析：z2展開為z?+z2+1，-3z系數(shù)為-3。3.A解析：∮|z-1|2dz=∮(z2-2z+1)dz=2π。4.C解析：極點(diǎn)為z=±i。5.A解析：f(z?)≠0時(shí)留數(shù)為0。6.C解析：sin(1/z)在z=0處有本性奇點(diǎn)。7.B解析：柯西-黎曼方程為u_x=v_y,u_y=-v_x。8.D解析：e^z展開式中z3項(xiàng)系數(shù)為0。9.B解析：∮(1/z)dz=2πi（繞奇點(diǎn)一圈）。10.B解析：留數(shù)Res(f,1)=lim(z→1)(z-1)·z/(z2-1)=-1/2。二、填空題1.柯西-黎曼方程（u_x=v_y,u_y=-v_x）2.13.πi4.05.06.17.08.-1/2i9.(-1)^(m-1)·f^(m-1)(z?)/(m-1)!10.1三、判斷題1.√解析：解析性隱含連續(xù)性。2.×解析：1/z在z=0處有本性奇點(diǎn)。3.√解析：∮(1/z)dz=2πi。4.√解析：孤立奇點(diǎn)定義要求去心鄰域解析。5.√解析：泰勒級(jí)數(shù)由唯一性定理保證。6.√解析：sin(1/z)在z=0處展開式含有所有冪次項(xiàng)。7.×解析：極點(diǎn)處f(z)可展開為洛朗級(jí)數(shù)。8.×解析：∮(z+1)/zdz=∮(1+1/z)dz=2πi。9.√解析：指數(shù)函數(shù)泰勒級(jí)數(shù)在全平面收斂。10.×解析：可去奇點(diǎn)留數(shù)為0。四、簡(jiǎn)答題1.物理意義：柯西-黎曼方程描述了復(fù)變函數(shù)的解析性，對(duì)應(yīng)平面流場(chǎng)的無(wú)旋條件（curl-free）和不可壓縮性（divergence-free）。若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)表示流場(chǎng)的復(fù)勢(shì)，則u_x=v_y和u_y=-v_x意味著速度場(chǎng)無(wú)旋且質(zhì)量守恒。2.孤立奇點(diǎn)定義：若f(z)在z?的去心鄰域內(nèi)解析，但在z?處不解析，則z?為f(z)的孤立奇點(diǎn)。例子：f(z)=1/z在z=0處有孤立奇點(diǎn)，因z=0是可去奇點(diǎn)（若定義f(0)=0則解析）。3.應(yīng)用場(chǎng)景：留數(shù)定理主要用于計(jì)算沿閉曲線的積分，如∮f(z)dz=2πiΣRes(f,a_k)，尤其適用于含三角函數(shù)的實(shí)積分（如∫?2πsin^nθdθ可通過復(fù)變方法轉(zhuǎn)化求解）。五、應(yīng)用題1.解題步驟：（1）極點(diǎn)z